功动能定理

所以在计算功的过程中特别要分清研究对象
对质点有：
A
Ai
(b) F合
ds
i
(a)
即，各力作功之和等于合力作的功。 但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
二、 质点运动的动能定理
由
b W F dr
a
b
F
dr
cos
而
a
F cos F
a
F
m
第4章 功和能 §1 力的功 动能定理 §2 保守(内)力的功与相应的势能 §3 机械能守恒定律
§1 力的功 动能定理 一、力的功 二、 质点运动的动能定理 三、 质点系的动能定理
一、力的功 1. 恒力作用 直线运动
A FS cos
A F S
A
F
r
F
S
r
作用物体的位移
2.一般运动 （变力作用 曲线运动）
N
力所做的功？
C
mg
B
解：动能定理 由质点动能定理： W E k E k 0 E k 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 E k E k 0
A
A点物体动能 E k 0 0
mg cos dr W阻 E k
W阻
1 2
mv
2
90
0
mg
cos Rd
1 mv 2 mgR 2
解题思路
W E k E k 0 E k
1.确定研究对象；
2.受力分析，分析作功的力，不作功的力 不考虑；
3.分析始末运动状态，确定Ek、Ek0； 4.应用定理列方程求解。
例：质量为 m 的物体
从一个半径为 R 的1/4
m A
R
o
圆弧型表面滑下，到
达底部时的速度为 v,
f
n
求 A 到 B 过程中摩擦
h2
Q
结论：
o
x
1）与相对运动路径无关。只与初、末位置有关 2）为一相对位置的函数在始末相对位置值之差。
2、摩擦力做功的特点
如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩擦系 数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
1）沿圆弧；2）沿直径
解： Aab
b fr
dr
b
fr ds
圆弧 a
a
m fr dr
a
Rb
即 A保 EP
若选末态为势能零点
EPa
势能参考点 f保
dr
(a)
2.常见的势能函数
地面为势能零点
1)重力势能 EP mgh 末态为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
k x2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G
Mm r
以无限远为 势能零点
讨论 1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）
i 1
i 1
i 1
i 1
n
令 E k E ki 为质点系的动能， i 1
n
n
Wi外 Wi内 E k E k 0 E k
i 1
i 1
质点系的动能定理
外力对质点系做的功与内力对质点系 做的功之和等于质点系动能的增量。
A外 A内 EK 思考：为什么内力之和一定为零，而
内力作功之和不一定为零呢？
明确几点：
1.动能是描写物体状态的物理量，物体状 态的改变是靠作功实现的。
W E k E k 0 E k
2.功是过程量，动能是状态量，动能定理 建立起过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的外力作功时只须求始末两态 的动能变化，即求出该过程的功。
3.W为合力作功的代数和，不是合力中某一 个力的功。
dr
0
f保
dr
f保
dr
L f保
dr
f保
dr
f保
dr
=
0
L
a1b
b2a
a1b
通常： f dl 0
a2b
dl
1
b
L
普遍意义：
a
2
L
环流为零的力场是保守场， 如静电场力的环流也是零， 所以静电场也是保守场。
环流不为零的矢 量场是非保守场， 如磁场。
二、势能
1.定义 令
b
A保 f保 dl EPa EPb a
1
ds
Li
b
f2
思考：
写这个 等号的 条件？
对质点:各力作功之和等于合力作的功
b质点系问题
Ai
fi
dsi
?
(
fi )
ds
i
i Li
Li
对问号的解释： 一般的讨论：
m1 L1
如图两个质点走的路径不同。
L2
则，各质点的元位移
m2
ds1 ds2 ds3 dsn
故不能用一个共同的元位移 ds来代替。
f
元功
dA
f
ds
ds
b
A
(b)
f
ds
A
(b)
f
dr
a
(a)
(a)
讨论
1）A是标量 反映了能量的变化
正负：取决于力与位移的夹角
2）功是过程量
3）功的计算中应注意的问题
a质点问题
a
Ai
fi
dsi
(b)
(
f
)
ds
i
i
i
(a) i
Li
A
Ai
(b) F合
ds
i
(a)
f
R
o
f
n
mg
B
三、质点系的动能定理
两个或两个以上的质点组成的系统。
前面研究了一个质点的动能定理，如 果研究的对象为质点系，动能定理又如何 表示？以最简单的两个质点组成的质点系 为研究对象。
两个质点质量为 m1、 m2 ，受外力F1、
F2，内力为f12、f21，初速度为v10、v20,末
速度为v1、v2,位移为
r1 , r2
对 m1 、m2 应用质点 动能定理，
W1外 W1内 E k1 E k10 W2外 W2内 E k 2 E k 20
由于 m1 、m2 为一个 系统，将上两式相 加：
v10 v1
F1
m1
1
f12 1 ' r1
Байду номын сангаас
f21 2 '
m2
2
v20 v2
r2 F2
n
n
n
n
Wi外 Wi内 E ki E ki 0
(b)
fr ds mg R
Aab
b
fr
(a)
dr
mg 2 R
直径 a
一.保守力（conservative force）定义有两种表述
表述一（文字叙述）：
作功与路径无关,只与始末位置有关的力
称为保守力
表述二（数学表示） ：
f保
dr
0
L
保守力的环流为零。
证明第二种表述：
f保
注意：内力虽成对出现，但内力功之和 不一定为零(因各质点位移不一定相同)。
§2 保守(内)力的功与相应的势能 一、保守力的定义 二、势能
1、重力做功（一对力的功）的特点
Q
A ( mgj)dr
P
Q
P (mgj ) dxi dyj
h2 mgdy h1
y
h1 P
dr
mgj
mgh1 mgh2
dv dt
Fn
Fb
F
dr v
dt
b
W a F dr
b m dv dr vb mvdv
a dt
va
W
1 2
mvb 2
1 2
mva2
W
1 2
mvb 2
1 2
mva2
定义动能：
Ek
1 mv 2 2
单位：焦耳，J
W Ekb Eka Ek
动能定理：合力作功的代数和等于质点动 能的增量(或末态动能减去初态动能)。