相似与三角函数方法解决一类问题
初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的应用问题
初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的应用问题在初三数学上册中，综合算式是一个非常重要的内容，而在综合算式中，三角函数的应用问题是其中的一类。
三角函数的应用问题常常涉及到实际生活中的各种场景，通过运用三角函数的知识，我们可以解决许多与角度、距离、高度等相关的实际问题。
本篇文章将以综合算式中的三角函数的应用问题为主题，介绍一些常见的应用问题及其解法。
一、海浪问题假设你正在海边度假，突然发现一艘船正好从沙滩上开始入海。
你想知道船离开沙滩X米后的水深。
解题思路：根据题目意思，我们可以将问题转化为一个直角三角形问题。
设船离开沙滩X米的水深为d，船的运动轨迹与水平面呈α角。
那么，根据三角函数的定义，正切函数的定义可以表示为tanα=d/X。
因此，我们可以通过求解α的值来得到船离开沙滩X米后的水深。
二、飞机问题假设你坐在一架飞机上，飞机以一定的速度水平飞行，俯瞰地面的角度为α。
你想知道离飞机垂直下方地面的距离。
解题思路：根据题目意思，我们可以将问题转化为一个直角三角形问题。
设飞机离地面的距离为h，飞机俯瞰地面的角度为α。
那么，根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为sinα=h/d，其中d为飞机离你的水平距离。
因此，我们可以通过求解h的值来得到离飞机垂直下方地面的距离。
三、塔楼问题假设你站在一座高塔的塔顶，往下看，塔底和塔顶与你的水平角度分别为β1和β2，你想知道塔的高度。
解题思路：根据题目意思，我们可以将问题转化为一个直角三角形问题。
设塔的高度为h，塔顶和塔底与你的水平角度分别为β1和β2。
那么，根据三角函数的定义，正切函数的定义可以表示为tanβ1=h/d1，tanβ2=h/d2，其中d1和d2分别为塔底和塔顶与你的水平距离。
因此，我们可以通过求解h的值来得到塔的高度。
综上所述，通过运用三角函数的知识，我们可以解决许多与角度、距离、高度等相关的实际问题。
在解决三角函数的应用问题时，我们需要根据情况选择合适的三角函数，根据已知条件列出方程，然后求解未知量。
利用导数巧解一类常见的三角函数问题
教学实践新课程NEW CURRICULUM在三角函数的教学和练习中,师生常常会碰到一类这样的三角函数问题：问题1：（2013浙江镇海中学阶段性测试）已知3sin α+4cos α=5，求tan α。
问题2：（2014北京石景山5月）已知sin α+cos α=2√，α∈（0，π），求tan α。
师生通常是从三角方面的知识与方程方面的知识相结合出发进行求解，但有时对于像问题1、问题2师生可以将三角方面的知识与导数求极值的知识相结合来巧妙解答。
因为三角函数相关的知识学习是在必修内容中，而导数相关知识在选修内容中，在高中数学的教学过程中，很多学校老师往往是先进行必修内容的教学，再进行选修内容的教学。
选修内容的有些知识与前面必修内容知识联系密切。
比如，导数与函数会放在高三复习时连接起来，但是因为高考对三角函数的考查一般很少与导数联系起来，所以很多师生都会忽略导数与三角函数相结合起来解题。
有时对于像问题1、2这种类似的问题，将导数与三角函数结合起来能巧妙快速准确地解答题目。
作者先给出问题1目前常见的四种解法。
图1思路1图2思路2解法1：3sin α+4cos α=5，等式变形得3sin α=5-4cos α，两边平方得9sin 2α=25-40cos α+16cos 2α得到关于cos α的方程：25cos 2α-40cos α+16=0，（5cos α-4）2=0，求出：cos α=45，sin α=35，从而得到tan α=34解法2：等式两边平方得到：9sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=259sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=25（sin 2α+cos 2α）等式两边同时除以cos 2α得16tan 2α-24tan α+9=0，tan α=34图3思路3图4思路4解法3：设4sin α-3cos α=x ，两式平方相加得到x 2+25=（4sin α-3cos α）2+（3sin α+4cos α）2=25，x =0则tan α=34解法4：∵3sin α+4cos α=5sin （α+φ），其中cos φ=35，sin φ=45∴sin （α+φ）=1，则α+φ=2k π+π2（k ∈Z ）sin α=sin （2k π+π2-φ）=cos φ=35，cos α=cos （2k π+π2-φ）=sins φ=45，故tan α=34现在，重点介绍解法5：利用导数的有关知识来求解。
一类三角函数问题的多种解法
２０２３年４月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一类三角函数问题的多种解法◉山东省淄博实验中学㊀李象林㊀许修花㊀崔㊀娟１例题呈现例１㊀设当x ＝θ时,函数f (x )＝s i n x －２c o s x 取得最大值,则c o s θ＝．解法１:利用辅助角公式a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b ２s i n (x ＋φ)(a b ʂ０),其中t a n φ＝b a ,可得㊀㊀f (x )＝s i n x －２c o s x＝５(５５s i n x －２５５c o s x )＝５s i n (x －φ),其中s i n φ＝２５５,c o s φ＝５５,f (x )的最大值为５,此时x ＝θ,于是s i n (θ－φ)＝１,因此θ－φ＝π２＋２k π,k ɪZ ．所以θ＝φ＋π２＋２k π,k ɪZ ．故c o s θ＝c o s (φ＋π２＋２k π)＝－s i n φ＝－２５５．解法２:向量法．图１令m ң＝(c o s x ,s i n x ),n ң＝(－２,１),于是f (x )＝m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向．而点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (－２,１)为平面内一定点．如图１,此时,A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,若当x ＝θ时,f (x )最大,由三角函数的定义可知,c o s θ＝－２(－２)２＋１２＝－２５５．解法３:导数法．当x ＝θ时,函数f (x )＝s i n x －２c o s x 取得最大值,最大值为５,所以,x ＝θ为f (x )＝s i n x －２c o s x(x ɪR )的极大值点,因此f ᶄ(θ)＝０,即㊀㊀㊀㊀㊀c o s θ＋２s i n θ＝０．①又因为㊀㊀㊀㊀㊀s i n θ－２c o s θ＝５,②所以,由①－②ˑ２,可得c o s θ＝－２５５．例２㊀若s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π),则t a n α＝(㊀㊀)．A．－１㊀㊀㊀B ．－２２㊀㊀㊀C ．２２㊀㊀㊀D．１解法１:利用辅助角公式,可得㊀㊀s i n α－c o s α＝２(２２s i n α－２２c o s α)＝２s i n (α－π４)．若s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π),则s i n (α－π４)＝１．由αɪ(０,π),可知α－π４ɪ(－π４,３π４)．于是α－π４＝π２,则α＝３π４．故t a n α＝－１．解法２:向量法．图２令m ң＝(c o s α,s i n α),n ң＝(－１,１),于是m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时,等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向．又因为点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (－１,１)为平面内一定点,如图２,所以A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,当s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π)时,由三角３８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀函数的定义知t a n α＝－１．解法３:导数法．f (x )＝s i n x －c o s x ,x ɪ(０,π)．若当x ＝α时,函数f (x )＝s i n x －c o s x 取得最大值２,此时αɪ(０,π),于是x ＝α为f (x )＝s i n x －c o s x ,x ɪ(０,π)的极大值点,因此f ᶄ(α)＝０,即c o s α＋s i n α＝０．因此,可得t a n α＝－１．２总结提升对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２:(１)由于y ＝a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２(aa ２＋b２s i n x ＋ba ２＋b２c o s x )＝a ２＋b ２s i n (x ＋φ),其中s i n φ＝ba ２＋b ２,c o s φ＝a a ２＋b２,因此,当a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b ２时,s i n (x ＋φ)＝１,于是x ＋φ＝π２＋２k π,k ɪZ ,x ＝－φ＋π２＋２k π,此时s i n x ＝s i n (－φ＋π２＋２k π)＝c o s φ,c o s x ＝c o s (－φ＋π２＋２k π)＝s i n φ．(２)令m ң＝(c o s x ,s i n x ),n ң＝(b ,a ),于是f (x )＝m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向,而点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (b ,a )为平面内一定点．如图１,此时,A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,若当x ＝θ时,f (x )最大,由三角函数的定义可知,c o s θ＝ba ２＋b ２,s i n θ＝aa ２＋b２．(３)对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２,即函数f (x )＝a s i n x ＋b c o s x 在x ＝θ处达到了最大值,由于x ɪR ,因此x ＝θ是f (x )＝a s i n x ＋b c o s x 的极大值点,故f ᶄ(θ)＝０,再结合a s i n θ＋b c o s θ＝a ２＋b ２,即可解出s i n θ,c o s θ．如果题目求t a n θ,由fᶄ(θ)＝０即可快速求出,非常方便．同理,对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝－a ２＋b２也可用上述三种方法来解决．３练习巩固为了让学生灵活掌握上述几种方法,可以提供以下练习．(１)(２０２０ 北京卷)若函数f (x )＝s i n (x ＋φ)＋c o s x 的最大值为２,则常数φ的一个取值为．(２)(２００８ 浙江卷理)若c o s α＋２s i n α＝－５,则t a n α＝(㊀㊀)．A．１２㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀C ．－１２㊀㊀㊀D．－２(３)(２００７年全国高中数学联赛河南预赛题)若７s i n α＋２４c o s α＝２５,求t a n α的值．４练习的提示及参考答案(１)根据两角和的正弦公式,可得f x ()＝c o s φs i n x ＋(s i n φ＋１)c o s x ．由于s i n x ,c o s x 的系数为参数,f (x )的最大值是确定的值２,因此可以采取辅助角快速解决:由f (x )＝c o s ２φ＋(s i n φ＋１)２s i n (x ＋θ),可得c o s ２φ＋(s i n φ＋１)２＝２．所以,解得s i n φ＝１,故可取φ＝π２．故答案为:π２(２k π＋π２,k ɪZ 均可)．(２)由于１２＋２２＝５,因此c o s α＋２s i n α＝－５可以看作函数f (x )＝c o s x ＋２s i n x 在x ＝α处达到了最小值－５,故可以用导数法快速解决:f ᶄ(x )＝－s i n x ＋２c o s x ,fᶄ(α)＝－s i n α＋２c o s α＝０,因此t a n α＝２．故选:B ．(３)由于７２＋２４２＝２５,因此７s i n α＋２４c o s α＝２５可以看作函数f (x )＝７s i n x ＋２４c o s x 在x ＝α处达到了最大值２５,故可以用向量法或导数法快速解决．不妨采取向量法:令m ң＝(c o s α,s i n α),n ң＝(２４,７),则y ＝m ңn ң＝m ң|n ң|c o s ‹m ң,n ң›＝２５c o s ‹m ң,n ң›＝２５,于是c o s ‹m ң,n ң›＝１,此时m ң,n ң共线同向,故t a n α＝７２４．Z４８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
相似三角形的三角函数与指数函数
相似三角形的三角函数与指数函数在数学中，三角函数与指数函数是常见的函数形式。
在研究相似三角形时，我们可以利用三角函数与指数函数的性质来解决一些与相似三角形相关的问题。
本文将简要介绍相似三角形的一些基本概念，并探讨与其相关的三角函数与指数函数的应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形是指具有相同的形状但不一定相等的三角形。
相似三角形的特点是对应的角度相等，对应的边的比例相等。
用数学语言来表达就是：如果两个三角形的对应角相等，且对应边的长度比相等，则这两个三角形是相似的。
二、三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，三角函数有着重要的应用。
通过观察相似三角形的结构，我们可以发现一些有用的关系。
1. 正弦函数的应用正弦函数（sin）是一个描述角度与边长关系的函数。
在相似三角形中，如果两个角度相等，则它们的正弦值是相等的。
这个性质可以用于求解相似三角形的未知边长。
举例来说，如果我们已知一个三角形的某个角的正弦值，以及它与另一个相似三角形对应的角度，我们可以利用正弦函数的性质求解未知边长。
具体的计算方法是将已知的正弦值乘以已知边长的比例系数，从而得到未知边长的长度。
2. 余弦函数的应用余弦函数（cos）也是描述角度与边长关系的函数。
在相似三角形中，如果两个角度相等，则它们的余弦值是相等的。
同样地，我们可以利用余弦函数的性质来求解相似三角形的边长。
类似于正弦函数的应用，如果我们已知一个三角形的某个角的余弦值，以及它与另一个相似三角形对应的角度，我们可以通过已知边长的比例系数来计算未知边长的长度。
三、指数函数与相似三角形的关系指数函数是一类具有形式为f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数，x是变量。
指数函数在数学中有着广泛的应用。
1. 指数函数与变化率相似三角形的对应边长比是一个常数，也就是说，对应边长的比不随着角度的变化而变化。
这和指数函数的性质有些相似。
在指数函数中，底数a的取值可以决定函数的增长率。
一类动态平衡问题的三种典型解法
一类动态平衡问题的三种典型解法平衡问题是力学中常见的一种题型，解决平衡问题的基本思路是对物体进行受力分析，根据平衡条件0=∑F 来求解。
而动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢变化，“缓慢”指物体的速度很小，可认为速度为零，所以物体在变化过程中处于平衡状态，所以把物体的这种状态称为动态平衡状态，解此类动态平衡问题有三种典型的常见方法。
例：如图1所示，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力摩F 和环对杆的压力N F 的变化情况是（ ）A. F 逐渐增大，F 摩保持不变，F N 逐渐增大；B. F 逐渐增大，F 摩逐渐增大，F N 保持不变；C. F 逐渐减小，F 摩逐渐增大，F N 逐渐减小；D. F 逐渐减小，F 摩逐渐减小，F N 保持不变。
图1析：以环、绳及物体整体为研究对象，受力如图1-1所示，根据平衡条件有： 摩；F F F mg N ==图1-1在物体缓慢下降的过程，系统仍然在此四个力的作用下处于平衡状态，仍然有关系式mg=F N ，由牛顿第三定律可知：物体缓慢下降过程中环对杆的压力F N 保持不变，F 与F 摩仍满足大小相等，方向相反，所以两个力同时发生改变，关键是判断物体在下降过程中F 的变化规律。
方法一：计算法以物体为研究对象，受力如图1-2所示，由平衡条件可知：mg 与F 的合力与绳子的拉力F T 等大反向，F 大小满足关系式θtan mg F =，在物体缓慢下降过程中，物体的受力情况及平衡状态保持不变，所以关系式θtan mg F =仍然成立，但θ逐渐减小，所以F 也随之减小，F 摩也随之减小，D 答案正确。
图1-2小结：此题为高中阶段最常见的三力平衡问题，而力的合成法（这儿用的是力的合成思想，当然也可用力的正交分解来求解）与正交分解法是进行力的运算时最基本的方法。
动态平衡问题的几种解法
动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。
因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。
因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。
现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。
与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。
根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。
数学三角函数解题技巧
数学三角函数解题技巧
数学中的三角函数是一类非常重要的函数，常用于解决与角度有关的问题。
在学习三角函数时，很多学生会遇到各种各样的困难和难题。
以下就是一些关于解决三角函数解题的技巧。
1. 熟悉三角函数的定义
三角函数的定义有很多种，例如正弦函数，余弦函数，正切函数等等。
在解题过程中，首先需要对每种函数的定义进行熟悉和理解，才能更好地应用它们来解决问题。
2. 熟悉三角函数的基本性质
三角函数有很多基本性质，例如周期性，对称性，奇偶性等等。
熟悉这些基本性质，可以帮助我们更快地解决问题。
3. 转化为代数式解决问题
有些三角函数问题可以通过将三角函数转化为代数式来解决。
例如，可以使用和差化积公式或倍角公式将三角函数转化为代数式，然后再用代数式解决问题。
4. 利用三角函数的图像解决问题
三角函数的图像是一种很好的解题工具。
通过观察图像，可以了解函数的周期、振幅、极值等信息，从而更好地解决问题。
5. 利用三角函数的特殊值解决问题
三角函数有很多特殊值，例如正弦函数的最大值和最小值是1和-1，余弦函数的最大值和最小值是1和-1。
利用这些特殊值，可以更快地解决问题。
总之，解决三角函数问题需要多加练习和思考，掌握好以上技巧，相信可以更好地应对各种各样的三角函数问题。
三角函数的幅值与像的关系
三角函数的幅值与像的关系在数学中，三角函数是一类描述角度和直角三角形边长之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在学习三角函数时，我们需要了解幅值与像之间的关系，这对于解决各种三角函数相关问题非常重要。
1. 正弦函数的幅值与像的关系正弦函数是一个周期性函数，常用的表示方式为sin(x)。
在单位圆上，对于角度x（弧度制），正弦函数的值等于该角度对应点的y坐标。
幅值指的是正弦函数波形的最大值与最小值之间的差值，即幅值等于峰值与谷值之间的距离。
我们可以发现，正弦函数的幅值与像的关系是：幅值等于正弦函数图像在y轴上的最大值与最小值之间的距离。
幅值越大，正弦函数的振幅也会相应增加；幅值越小，正弦函数的振幅也会减小。
因此，幅值与像之间存在直接的正比关系。
2. 余弦函数的幅值与像的关系余弦函数是另一种常见的三角函数，常用的表示方式为cos(x)。
与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，描述了角度x（弧度制）对应点的x坐标。
同样地，幅值指的是余弦函数波形的最大值与最小值之间的差值，即幅值等于峰值与谷值之间的距离。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅值与像的关系是：幅值等于余弦函数图像在x轴上的最大值与最小值之间的距离。
幅值与像之间也存在正比关系，幅值越大，余弦函数的振幅也会相应增加；幅值越小，余弦函数的振幅也会减小。
3. 正切函数的幅值与像的关系正切函数是三角函数中的另一个重要函数，常用的表示方式为tan(x)。
正切函数描述的是角度x（弧度制）对应点的斜率。
不同于正弦函数和余弦函数，正切函数的像包括所有的实数。
因此，我们无法用幅值来描述正切函数的图片。
正切函数的幅值与像之间没有简单的直接关系。
总结：三角函数的幅值与像之间存在密切的关系。
对于正弦函数和余弦函数，幅值与图像的最大值与最小值之间的距离有直接的正比关系。
幅值越大，对应的图像振幅也会增加；幅值越小，对应的图像振幅也会减小。
然而，在正切函数中，幅值与图像之间没有简单的直接关系。
三角函数的应用方法
三角函数的应用方法三角函数是数学中重要的一类函数，它在物理、工程、计算机图形学等各个领域中具有广泛的应用。
以下将介绍三角函数在实际问题中的应用方法。
1.航海和导航方面的应用：在航海和导航中，三角函数常用于计算角度和距离。
例如，当我们知道两个点的经纬度坐标时，可以使用三角函数公式计算两个点之间的距离和方向。
此外，航海中的舵角也可以使用三角函数来计算。
2.科学研究中的应用：在牛顿力学和电磁学中，三角函数在描述物体的振动、波动和电磁波的传播等方面起着重要的作用。
比如，当我们研究弹性体的振动时，可以使用三角函数来描述弹簧的伸缩和物体的运动。
3.角度测量和定向：三角函数可以用于角度测量和定向。
例如，当使用罗盘测量一个物体的方向时，可以利用正弦或余弦函数来计算物体与参考方向之间的角度。
4.工程领域中的应用：在各种工程领域中，三角函数常常用于解决各种测量和计算问题。
例如，使用正切函数来计算斜面的坡度或水平面与斜面的夹角。
此外，工程中的纲线测量和建筑设计中的角度测量也都需要用到三角函数。
5.物理学中的应用：在力学、电磁学和光学中，三角函数常用于描述物体在空间中的运动。
例如，当我们需要计算一个物体在斜面上下滑动时的加速度和速度时，可以使用三角函数来描述物体的运动。
6.计算机图形学中的应用：在计算机图形学中，三角函数常常用于生成3D图像和动画。
例如，当我们在计算机屏幕上绘制一个旋转的平面时，可以使用正弦和余弦函数来计算平面的各个点在旋转过程中的位置。
综上所述，三角函数在实际问题中具有广泛的应用，涉及航海导航、科学研究、工程设计、物理学、计算机图形学等多个领域。
了解和掌握三角函数的应用方法可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
高中数学三角函数经典例题及详解
高中数学三角函数经典例题及详解高中数学三角函数专题复考试要求：三角函数是一类最典型的周期函数。
本单元的研究可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性。
同时，我们可以利用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；并且利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π，α±π的正弦、余弦、正切）。
②借助图象理解正弦函数在[0,2π]上、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在(-π/2,π/2)上的性质。
③结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
3）同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式sinx+cosx=4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。
5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。
经典题型：一、求值化简型这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降幂公式、辅助角公式。
运用双曲函数解决三角函数问题
运用双曲函数解决三角函数问题数学中，三角函数是常见的一类函数。
然而，在某些情况下，我们需要解决某些三角函数问题，但是没有精确的解决办法。
这时候，双曲函数就可以派上用场了。
本文将介绍如何运用双曲函数来解决一些常见的三角函数问题。
一、双曲函数简介首先，我们需要先介绍一下什么是双曲函数。
双曲函数是一类和三角函数相似的函数，它们在物理学、工程学等领域具有广泛应用。
双曲函数的定义如下：$$\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \tanh{x}=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}$$其中，$\sinh{x}$表示双曲正弦函数，$\cosh{x}$表示双曲余弦函数，$\tanh{x}$表示双曲正切函数。
二、使用双曲函数解决三角函数问题1. 求解$\sin{2x}$要求解$\sin{2x}$，我们可以利用双曲函数的公式：$$\tanh{ix}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+1}$$通过代入$x=2x$，我们可以得到：$$\tanh{2ix}=\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}+1}$$而$\cos{2x}=\cosh{2ix}$，因此我们可以得到：$$\sin{2x}=\frac{\tanh{2ix}}{\sqrt{1+\cosh^2{2ix}}}$$通过这个公式，我们就可以求解$\sin{2x}$的值了。
2. 求解$\cos{2x}$要求解$\cos{2x}$，我们可以使用以下公式：$$\cosh{2ix}=\cos{2x}+\sinh{2ix}$$通过代入$x=2x$，我们可以得到：$$\cosh{4ix}=\cos{4x}+\sinh{4ix}$$而$\sinh{4ix}=2\sinh{2ix}\cosh{2ix}$，因此我们可以得到：$$\cos{2x}=\frac{\cosh{4ix}-\cos{4x}}{2\sinh{2ix}\cosh{2ix}}$$通过这个公式，我们就可以求解$\cos{2x}$的值了。
三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名
第一类 三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名 三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.【例1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以A >B ，因此0<B <π2，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45. 由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.(变式)所以，b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.(变名)故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.(变角) 探究提高1.(1)变式：利用正弦定理变为sin A ＝a sin Bb .(2)变名：利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.(3)变角：把2A ＋π4的三角函数表示为2A 和π4的三角函数.2.此类问题的求解策略：要注重三角知识的应用性，突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀.在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.【训练1】 (2018·郑州质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C ，2b ＝3c .(1)求cos C ；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)由已知及正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ，∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴cos C ＝34. (2)∵c ＝4，2b ＝3c ，∴b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74，sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝378，cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝18，sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝378×34＋18×74＝5716.∴S△ABC ＝12bc sin A＝12×6×4×5716＝1574.。
利用三角函数值巧证一类不等式
表示
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同角三角函数基本关系1的代换及弦切互化解决三角函数求值问题
同角三角函数基本关系1的代换及弦切互化解决三角函数求值问题
三角函数是一类比较简单，但我们使用极其频繁的函数，概括起来可以把它分为三类：正弦、余弦和正切。
我们将介绍如何利用同角三角函数基本关系1及其相关弦切互化，从而解决三角函数求值问题。
首先，让我们看看同角三角函数的基本关系1：sinθ=cos(π/2-θ)。
这个公式表明，当θ的弧度为π/2时，正弦函数和余弦函数的值是相等的。
因此，当θ的弧度不等于
π/2时，可以通过将θ变换为θ-π/2来求出正弦和余弦的值：sin(θ-π/2)=cosθ。
其次，让我们来讨论弦切互化。
弦切函数描述了在介于0到π/2之间的闭合锥形内，一条直线弧度值与其切线角度值之间的函数关系。
由正切函数表示弦切函数，弦切函数可以用于表示函数的变换，如由θ到θ-π/2的变换：tan(θ-π/2)=cotθ。
同样，也可以用tanθ=cot(π/2-θ)显示。
最后要指出的是，这些基本关系可以简化许多求值问题，特别是当该问题出现“必须确定另一个三角函数知道其中一个”情况时。
例如，如果我们知道sinθ，那么我们可以通过将θ（弧度）变换为θ-π/2来求出cosθ，即：sin (θ - π/2) = cosθ。
另外，如果我们知道tanθ，则可以通过cot (π/2-θ)来求出cotθ：tanθ = cot (π/2-θ)。
总之，我们已经介绍了同角三角函数基本关系1的代换及弦切互化的用法，利用这些方法可以更容易地解决三角函数求值问题。
完全理解了这些方法，将有助于学习者更好地巩固所学知识，提高求解各种物理学问题的能力。
相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题
学生： 科目： 数 学 教师：知识框架一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
三角函数的泰勒展开与近似计算
三角函数的泰勒展开与近似计算在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在解决各种数学问题和应用中起着至关重要的作用。
在实际中，我们经常需要对三角函数进行计算，但有时候直接计算三角函数的值可能会比较困难或繁琐。
为了解决这个问题，我们可以利用泰勒展开和近似计算的方法来更加便捷地求得三角函数的近似值。
泰勒展开是一种将一个函数表示为多项式的形式的方法。
对于三角函数，我们可以使用泰勒展开式来近似计算其值。
以正弦函数为例，其泰勒展开式如下：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...该展开式中的每一项都包含一个阶乘，因此在实际计算中往往只需要计算几项便可以得到较为准确的结果。
通常情况下，前几项即可满足我们的计算需求。
以计算sin(π/4)为例，我们可以利用泰勒展开式进行计算。
代入x=π/4，展开并计算前几项，可以得到：sin(π/4) ≈ (π/4) - (π/4)^3/3! + (π/4)^5/5! - (π/4)^7/7! + ...通过计算几项，我们可以得到sin(π/4)的近似值。
同样地，对于余弦函数、正切函数等三角函数，我们也可以利用泰勒展开来进行近似计算。
只需将相应的展开式代入，并计算前几项，我们就能够得到较为准确的近似结果。
需要注意的是，泰勒展开只在某个区间内有效，超出该区间的计算结果可能会出现较大误差。
因此，在进行近似计算时，我们需要结合实际问题的范围来选择合适的展开式和计算项数。
此外，还有一些常用的近似公式可以用于三角函数的计算。
例如，欧拉公式中的方法可以将复数的指数函数表示为三角函数的形式，从而简化计算。
这些近似公式对于计算大角度的三角函数值尤为有效。
总之，三角函数的泰勒展开与近似计算是一种非常实用的数学工具，在实际问题中广泛应用。
通过选择合适的展开式和计算项数，我们可以在不需要进行复杂计算的情况下，快速而准确地求得三角函数的近似值。
同时，我们还可以利用一些常用的近似公式来简化计算过程。
一类三角函数求值问题的结论及应用
一类三角函数求值问题的结论及应用
林国红
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2024()7
【摘要】三角函数是高中数学的一个重要模块,三角函数求值问题常涉及复数的三角形式的考查,复数的三角形式的应用在培养思维灵活性等方面起到重要的作用.复数虽然在高考中的考查较为简单,但在竞赛或各校的强基计划考试中的考查力度和难度较大,究其原因是复数和其他知识板块(如三角函数、向量等)有着重要的联系,特别是复数的三角形式与三角函数及三角恒等变换联系密切,是竞赛与强基计划考试的热点,备受命题者青睐.本文通过两个引例,结合复数的三角形式与欧拉公式归纳总结出一类三角函数求值问题的两个优美结论并展示结论的相关应用.
【总页数】3页(P26-28)
【作者】林国红
【作者单位】广东省佛山市乐从中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一类三角函数求值问题的统一解决
2.基于减负增效的数学教学设计与思考——以一类三角函数求值问题的教学为例
3.三角函数中一类求值问题的解法——由一
道错题谈如何挖掘隐含条件4.对一类三角函数求值问题的研究5.一类三角函数求值问题的解法探究
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一类三角函数问题的一个新的求解模式
一类三角函数求值问题的一种新的求解模式吴家华（四川省遂宁中学校 629000）在三角函数中，有一类“已知关于x 的三角方程c x b x a =+cos sin )(222c b a ≥+，求角x 的某（些）三角函数值”的问题. 在文]2[],1[中，笔者分别给出了这类问题的两个不同的求值公式及其应用，取得了非常理想的解题效果. 笔者在教学和解题实践中，通过对这类问题的长期观察、分析、探索与研究，发现依次运用两边平方，“1”的代换（即x x 22cos sin +），齐次化切以及同角三角函数的商数关系等手段，又得到这类问题的一个新的求解模式，其基本思路是：①由条件确定角x 的范围（应尽量限制得小一些）；②等式两边平方，将右边常数乘以“1”的代换x x 22cos sin +；③两边同除以x 2cos ，并整理成关于x tan 的一元二次方程；④解方程，求得x tan ，并将其化为正、余弦形式；⑤代入已知式，求出x sin （或x cos ），进而求出x cos （或x sin ）的值.下面笔者以文]2[中的例题为例，说明上述求解模式的具体应用. 例1. 已知51cos sin =+αα，且πα<<0，求αtan 的值. 解 ∵51cos sin =+αα，∴432παπ<<，则1tan -<α. ∵51cos sin =+αα，两边平方，得： 251cos cos sin 2sin 22=++αααα，即 )cos (sin 251cos cos sin 2sin 2222x x +=++αααα. 两边同除以α2cos ，得：)1(tan 2511tan 2tan 22+=++ααα，即012tan 25tan 122=++αα. 解之，得：34tan -=α，或43tan -=α. 又∵1tan -<α，故34tan -=α. 例2.（09年浙江省高考题）若5sin 2cos -=+αα，则=αtan （ ）A.21` B. 2 C. 21- D. 2- 解 显然R ∈α.∵5sin 2cos -=+αα，两边平方，得：5cos cos sin 4sin 422=++αααα，即)cos (sin 5cos cos sin 4sin 42222αααααα+=++.两边同除以α2cos ，得：)1(tan 51tan 4tan 422+=++ααα，即04tan 4tan 2=+-αα.解之，得：2tan =α. 例3. 已知57cos sin =+αα，且1tan >α，则=αcos . 解 ∵57cos sin =+αα，两边平方，得： 2549cos cos sin 2sin 22=++αααα，即 )cos (sin 2549cos cos sin 2sin 2222x x +=++αααα. 两边同除以α2cos ，得：)1(tan 25491tan 2tan 22+=++ααα，即012tan 25tan 122=+-αα. 解之，得：34tan =α，或43tan =α. ∵1tan >α，∴34tan =α，即ααcos 34sin =. 代如已知等式，得：57cos cos 34=+αα， 解得：53cos =α. 故53cos =α. 例4. 已知42)4cos(-=+πα，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 . 解 Θ42)4cos(-=+πα，∴21cos sin =-αα. ∵)2,0(πα∈，∴)2,4(ππα∈，则1tan >α. 两边平方，得：41cos cos sin 2sin 22=+-αααα，即)cos (sin 41cos cos sin 2sin 2222x x +=+-αααα. 两边同除以α2cos ，得：)1(tan 411tan 2tan 22+=+-ααα，即03tan 8tan 32=+-αα. 解之，得：374tan ±=α. ∵1tan >α,∴374tan +=α，即ααcos 374sin +=. 代入21cos sin =-αα，解得：)71(23cos +=α. ∴)71(274sin ++=α. ∴27)71(277cos sin =++=+αα. 故214)cos (sin 2)cos (sin 22sin cos )4sin(2cos 22-=+-=--=-ααααααπαα. 例5.解三角方程（1）5.6cos 12sin 5=-x x （2）03sin 2cos 42=-+x x 解 （1）Θ5.6cos 12sin 5=-x x ，∴13cos 24sin 10=-x x . 两边平方，得：169cos 576cos sin 480sin 10022=+-x x x x ，即)cos (sin 169cos 576cos sin 480sin 1002222x x x x x x +=+-.两边同除以x 2cos ，得： )1(tan 169576tan 480tan 10022+=+-x x x ，即0407tan 480tan 692=-+x x . 解之，得：6985683240tan ±-=x . ∴6985683240arctan±-+=πk x （Z k ∈）.j故原方程的解集为},6985683240arctan|{Z k k x x ∈±-+=π. （2）Θ03sin 2cos 42=-+x x ，∴1sin )12cos 2(22=+-x x ，即1cos 2sin =+x x . 两边平方，得：1cos 4cos sin 4sin 22=++x x x x ，即x x x x x x 2222cos sin cos 4cos sin 4sin +=++，∴0cos 3cos sin 42=+x x x .即0cos =x ，或34tan -=x. ∴2ππ+=k x ，或34arctan -=πk x （Z k ∈）. 故原方程的解集为},34arctan ,2|{Z k k x k xx ∈-=+=πππ或. 参考文献 1. 吴家华.一个三角函数的求值公式及其应用[J].高中数学教与学，2017（10）.2. 吴家华.一类三角函数问题的另一求值公式及其解法[J].数理化学习，2019（06）.。
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图4 相似与三角函数方法解决一类问题
例1、如图1所示，在△ABC 中，∠ACB=90º，CDAB ，垂足为D ，
（1）图中有哪些相等的角？
（2）求证：①CD 2=AD •DB ；②AC 2=AD •AB; ③BC 2=BD •BA
练习
1、已知：如图2，△ABC 中，∠BAC=90º，AD ⊥BC 于D ，AB=2，BC=3，则DC 的长为（ ）
A 、8/3
B 、2/3
C 、4/3
D 、5/3
2、如图3，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AD=9，CD=6，则BD=（ ）
A 、4.5
B 、5
C 、3
D 、4
3、如图4,在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，若AD=4，BD=1，则CD=
例2、如图5，已知半径为1的1O e 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O e 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM 的函数解析式；
（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
A B C D A C
B D 图3
y x O A B M O 1
图5 图2 A B C D
练习2
、如图，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物
线2(0)3
y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设动点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，以相同的速度沿AB 、CB 向A 、B 运动，连结PQ ，设BP=m ，是否存在m 值，使以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△BAC 相似，若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由.
（4）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
x。