2021届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考文科数学试卷

2021年江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考文科数

学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M N 为

A ．（0，＋∞）

B ．（1，＋∞）

C ．[2，＋∞）

D ．［1，

＋∞）

2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为

A ．16

B ．13

C ．23

D ．56

3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12

- 4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．

的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则

B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则

C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则

D ．若//,//,//m n m n αα则

5．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC

方向的投影为

A ．21

B ．23

C ．21-

D ．23-

7．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象

与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于

A ．8

B ．8π

C ．4π

D ．2π

8．已知实数满足：，，则的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数()y f x =对任意的(,)22

x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）

A ．(0)2()4

f π>

B 2()()34f ππ<

C ．(0)2()3f f π>

D 2()()34f ππ-<- 10．已知命题p ：∃x ∈R ，（m ＋1）（x 2＋1）≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为

A ．m≥2

B ．m≤－2或m>－1

C ．m≤－2或m≥2

D ．－1＜m≤2 11．已知函数1()n n f x x ,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与

x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为

A ．－1

B ．1－log 20132012

C ．-log 20132012

D ．1

二、填空题

12．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．

13．若直线100,0ax by a b 过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b

的最小值为 ． 14．设三棱柱111ABC A B C -

的侧棱垂直于底面，12,90,AB AC BAC AA ==∠=︒=，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．

15．数列{}n a 的通项为(1)(21)sin

12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ．

三、解答题

16．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1•S n ，n ∈N *．

（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；

（Ⅱ）设3n n n c b lon a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ；

（Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2，有221b a -+331b a -+…+n

n b a -1＜23． 17．如图，在直三棱柱

中，AC =1，BC =2，AC ⊥BC ，

分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面

； （Ⅱ）若异面直线

与所成角为，求三棱锥的体积． 18．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0．18．

（1）求抽取的学生人数；

（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；

（3）已知a ≥10 ,b ≥8 ,求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率．

19．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足OS OT tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．

20．已知函数21()()ln ,()2f x a x x a R =-+∈．

（1）当0a =时，求()f x 在区间1[,]e e

上的最大值；

（2）若在区间（1， +∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．

21．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知∠EAD =∠PCA .

证明：（1）AD =AB ；

（2）DA 2=DC ⋅BP ．

22．已知平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C