上海初三数学一模压轴题汇总

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2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

压轴第25题精选30道-几何综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒【答案】C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，①612t <≤和①1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；①如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；①如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．2．如图，E 在线段BA 的延长线上，①EAD ＝①D ，①B ＝①D ，EF①HC ，连FH 交AD 于G ，①FGA 的余角比①DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使①CKG ＝①CGK ，在①AGK内部有射线GM ，GM 平分①FGC ，则下列结论：①AD①BC ；①GK 平分①AGC ；①①E ＋①EAG ＋①HCK ＝180°；①①MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD①BC，故①正确；由平行线的性质得到①AGK=①CKG，等量代换得到①AGK=①CGK，求得GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；根据题意列方程得到①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，得到①AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：①①EAD=①D，①B=①D，①①EAD=①B，①AD①BC，故①正确；①①AGK=①CKG，①①CKG=①CGK，①①AGK=①CGK，①GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，①EF①CH，①①EPQ=①CQP，①①EPQ=①E+①EAG，①①CQG=①E+①EAG，①AD①BC，①①HCK+①CQG=180°，①①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；①①FGA的余角比①DGH大16°，①90°-①FGA-①DGH=16°，①①FGA=①DGH，①90°-2①FGA=16°，①①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，①①AGK=α+β，①GK平分①AGC，①①CGK=①AGK=α+β，①GM平分①FGC，①①FGM =①CGM ，①①FGA +①AGM =①MGK +①CGK ，①37°+α=β+α+β，①β=18.5°，①①MGK =18.5°，故①错误，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =．将矩形纸片沿GH 折叠，使点B 与D 重合．有下列语句：①四边形BGDH 是菱形；①74AG =；①7.5GH =；①60BGH ∠=︒．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得BH =DH =GD =BG ，即可判定①正确；若设AG =x ，则BG =DG =8-x ，在Rt ①AGB 中由勾股定理建立方程可求得x ，即AG 的长，因此可判定①；连接BD ，利用菱形的面积相等，可求得GH 的长，从而可判定①；根据对①的判定可确定①ABG 是否为30°即可判定①．【详解】根据折叠的性质得：BH =DH ，BG =GD ，①BHG =①DHG ，①BGH =①DGH①四边形ABCD 是矩形①AD ①BC ，AD =BC =8，①A =90°①①DGH =①BHG①①DGH =①DHG①GD =DH①BH =DH =GD =BG①四边形BGDH 是菱形即①正确设AG =x ，则BG =GD =8-x在Rt ①AGB 中，由勾股定理建立方程得：2226(8)x x +=- 解得：74x = 即AG 的长74故①正确如图，连接BD在Rt ①ABD 中，由勾股定理得：10BD = ①12BD GH GD AB =，GD =AD -AG =725844-= ①12510624GH ⨯=⨯ ①GH =7.5故①正确①BG =GD =254 ①12AG BG ≠ ①①A =90°①①ABG ≠30°即①AGB ≠60°①①BGH =①DGH①①BGH +①DGH ≠120°从而①BGH ≠60°即①不正确故正确的有3个故选：C ．【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．4．如图，正方形ABCD 中，P 为CD 边上任意一点，DE①AP 于点E ，点F 在AP 延长线上，且EF ＝AE ，连结DF 、CF ，①CDF 的平分线DG 交AF 于G ，连结BG ．给出以下结论：①DF＝DC ；①①DEG 是等腰直角三角形；①①AGB ＝45°；①DG+BG ．所有正确的结论是（）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一，得到AD ＝DF ，又根据正方形性质得AD ＝DC ，从而等量代换得，DF ＝DC ，即可判断①；设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，由902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-,推得1452FDG PDF α∠=∠=-，进一步得到=45DGE DFA FDG ∠=∠+∠，从而可判断①；在Rt ADE △和Rt ADP △中进行角等量代换，得到DAP EDP ∠=，再由AD DF =和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合DE AF ⊥，即可判断①；作BH ①AF ，分别在Rt BHG 和Rt DEG △中，进行边的转换，再根据BAH ADE ≅△△得到DG ，由AH GH AG +=，代入化简即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，①AD DC =,90BAD ADC ∠=∠=，DE AF ⊥，EF AE =，①AD DF =，①DF DC =，①①正确；①AD DF =，①DAF DFA ∠=∠，设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，①902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-，①DG平分①CDF，①1452FDG PDFα∠=∠=-，①=45DGE DFA FDG∠=∠+∠，①①DEG是等腰直角三角形，①①正确；①四边形ABCD是正方形①90ADC∠=,①90ADE EDP∠+∠=,①DE AF⊥，①90ADE DAP∠+∠=，①DAP EDP∠=∠，①AD DF=，①DAP DFP∠=∠，①EDP DFP∠=∠，①CDF∠的平分线交AF于点G，①CDG FDG∠=∠，①EDP CDG DFP FDG ∠+∠=∠+∠，①EDG EGD∠=∠，又①DE AF⊥，①DEG△是等腰直角三角形．①①正确如下图：作BH①AF于H，①①AGB＝45°，①BG，①DEG△是等腰直角三角形，①DG=，①四边形ABCD是正方形①AB AD=，又①BH AF⊥,DE AP⊥，①90BHA AED∠=∠=，①90BAH EAD EAD ADE∠+∠=∠+∠=，①BAH ADE∠=∠，①BAH ADE≅△△，①AH DE=，①DG=，①AH GH AG+=，=，①DG BG+=，①①正确；①故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．5．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S①ABP；①S①APH=S①ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S①ABP．①正确．由DH①PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC中，A D、BE分别平分①BA C、①ABC，①①A +①B =90°，又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC ，①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°，①①APB =135°，故①正确．①①BPD =45°，又①PF ①AD ，①①FPB =90°+45°=135°，①①APB =①FPB ，又①①ABP =①FBP ，BP =BP ，①①ABP ①①FBP （ASA ），①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF ，在①APH 和①FPD 中， APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APH ①①FPD （ASA ），①PH =PD ，①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确．①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD ，①S ①APB =S ①FPB ，S ①APH =S ①FPD ，PH =PD ，①①HPD =90°，①①HDP =①DHP =45°=①BPD ，①HD ①EP ，①S ①EPH =S ①EPD ，①S ①APH =S ①AED ，故①正确，①S 四边形ABDE =S ①ABP +S ①AEP +S ①EPD +S ①PBD=S ①ABP +（S ①AEP +S ①EPH ）+S ①PBD=S ①ABP +S ①APH +S ①PBD=S ①ABP +S ①FPD +S ①PBD=S ①ABP +S ①FBP=2S ①ABP ，故①不正确．若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH ，①①CDH=①CBE=①ABE，①①CDE=①ABC，①DE①AB，这个显然与条件矛盾，故①错误，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将①ADE沿AE对折至①AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①①ABG①①AFG；①BG=CG；①S①AGE=18；①①GAE=45°，其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】D【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt①ABG①Rt①AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt①ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出①DAE=①F AE，①BAG=①F AG，即可得出△GAE.【详解】解：①四边形ABCD是正方形，①AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，①CD=3DE，①DE=2，①①ADE沿AE折叠得到①AFE，①DE=EF=2，AD=AF，①D=①AFE=①AFG=90°，①AF=AB，①在Rt①ABG和Rt①AFG中AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，①Rt ①ABG ①Rt ①AFG （HL ）．①①正确；①Rt ①ABG ①Rt ①AFG ，①BG =FG ，①AGB =①AGF ．设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ①ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．①CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，①（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．①BG =GF =CG =3．①①正确；①BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2，①GE =GF +EF =5，AF =AB =6，①S △AGE =11561522GE AF ⨯=⨯⨯=， ①①错误；①①ADE 沿AE 折叠得到①AFE ，①①DAE ①①F AE ．①①DAE =①F AE ．①①ABG ①①AFG ，①①BAG =①F AG ．①①BAD =90°，①①EAG =①EAF +①GAF =12×90°=45°．①①正确．故选D ．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x =-+的图象交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以AB 为边在直线右侧作正方形ABCD ，连接BD ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交BD 于点E ，连接AE ．则下列说法中正确的是（）A．点D的坐标为(17,7)B．45EAF∠=︒C．点C的坐标为(12,17)D．AEF的周长为(14+【答案】C【分析】根据一次函数教师式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的教师式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则①EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出①AEF 的周长．【详解】解：①一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴与A、B两点，①当x=0，则y=12，故B（0，12），当y=0，则x=5，故A（5，0），①AO=5，BO=12，在Rt①AOB中，AB，故AB的长为13；过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：①四边形ABCD是正方形，①①ABC =①BAD =90°，AB =DA =BC =CD ，①①OAB +①OBA =①OAB +①HAD =90°，①①OBA =①HAD ，在①OBA 和①HAD 中，AOB DHA OBA HAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①OBA ①①HAD （AAS ），①DH =AO =5，AH =BO =12，①OH =OA +AH =17，①点D 的坐标为（17，5），A 错误，不符合题意；①①CBN +①NCB =①CBN +①ABO =90°，①①NCB =①ABO ，在①CNB 和①BOA 中，NCB OBA CNB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CNB ①①BOA （AAS ），①BN =AO =5，CN =BO =12，又①CF ①x 轴，①CF =BO +BN =12+5=17，①C 的坐标为（12，17），C 正确，符合题意；设直线BD 的教师式为y =kx +b ，①17512k b b +=⎧⎨=⎩，解得：71712k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线BD 的教师式为71217y x =-+， ①OF =CN =12， ①AF =12-5=7，E 点的坐标为（12，12017）， ①EF =12017≠AF ， ①CF ①x 轴，①①EAF ≠45°，B 错误，不符合题意；在①CDE 和①ADE 中，CD AD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CDE ①①ADE （SAS ），①AE =CE ，①AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，①C ①AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24，D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．8．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，90BAF CAG ∠=∠=︒，AB AF =，AC AG =．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG CF =；①BG CF ⊥；①2BC AE =；①EF EG =，其中正确的有（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】证得①CAF ①①GAB （SAS ），从而推得①正确；利用①CAF ①①GAB 及三角形内角和与对顶角，可判断①正确；证明①AFM ①①BAD （AAS ），得出FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，得出NG =AD ，则FM =NG ，证明①FME ①①GNE （AAS ）．可得出结论①，①正确．【详解】解：①①BAF =①CAG =90°，①①BAF +①BAC =①CAG +①BAC ，即①CAF =①GAB ，又①AB =AF ，AC =AG ，①①CAF ①①GAB （SAS ），①BG =CF ，故①正确；①①F AC ①①BAG ，①①FCA =①BGA ，又①BG 与AC 所交的对顶角相等，①BG 与FC 所交角等于①GAC ，即等于90°，①BG ①CF ，故①正确；过点F 作FM ①AE 于点M ，过点G 作GN ①AE 交AE 的延长线于点N ，①①FMA =①F AB =①ADB =90°，①①F AM +①BAD =90°，①F AM +①AFM =90°，①①BAD =①AFM ，又①AF =AB ，①①AFM ①①BAD （AAS ），①FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，①NG =AD ，,AN CD =①FM =NG ，①FM ①AE ，NG ①AE ，①①FME =①ENG =90°，①①AEF =①NEG ，①①FME ①①GNE （AAS ）．①,EM EN = EF =EG ．故①正确．222,BD DC BC AM AN AM ME AE ∴+==+=+=故①正确故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（）A．B ．C ．72 D ．4【答案】D【分析】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：①,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形①6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠①CD AB ⊥①90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又①135ACB ∠=︒①135ACE BCF ∠+∠=︒①36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒①四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍） ①CD 的长为4．【点睛】本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键． 10．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可．【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD ∠=∠，∴ABD △为等腰三角形，∴ACE 为等腰三角形，CAE BAD ∠=∠，BAC α∠=，302BAD α-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE ∴为等边三角形，,DE AE CE ∴==∴DCE 为等腰三角形，延长CE 交AD 于F 点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECA DEF ECD EDC AED AEF DEFACE DCEACE DCE ACD ACD AED ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，在等腰①ABC 中，AB=AC ，①BAC=120°，点D 是线段BC 上一点，①ADC=90°，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①①APO=①ACO ；①①APO+①DCO=30°；①AC=AO+AP ；①PO=PC ，其中正确的有______．【答案】①①①①【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB=AC，AD①BC，①BO=CO，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC +①CAP =180°，①BAC =120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是________．【答案】【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP①AH时，PB有最小值，即可求解．【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，①四边形ABCD是矩形，①AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，①点E是AB中点，点H是CD中点，①CH＝AE＝DH＝BE＝4，①四边形AECH是平行四边形，①AH//CE，①点P是DF的中点，点H是CD的中点，①PH//EC，①点P在AH上，①当BP①AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，①AD＝DH＝CH＝BC＝4，①①DHA＝①DAH＝①CBH＝①CHB＝45°，AH＝BH＝①①AHB＝90°，①BP的最小值为故答案为【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．13．如图，在ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足2=，3AE BE=，CD AD过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．【答案】525【分析】连接AO ，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【详解】如图，连接AO ，①CD =3AD ，①AD ：CD =1：3， ①13ADF CDF S S =△△，13ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ①12CDF S =△，①4ADF S =△，16ACF S =△，①AF ①BC ，①16ABF ACF S S ==△△，①12ABD S =，①36CBD S =△，48ABC S =△，①AE =2BE ，①BE ：AE =1：2，①2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，①32AEC S =△，16BEC S =△，①()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ①123COD COD BOC S S S +=△△△，即423COD BOC S S =△△， ①:3:2COD BOC S S =△△，①36BCD BOC COD S S S =+=△△△， ①1085COD S =△， ①S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-=△△．故答案为：525．【点睛】本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．14．已知①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC=①DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE 、BE ，点F 和G 分别为DE 和BE 的中点，连接FG ，在①ADE 旋转过程中，当D 、E 、C 三点共线时，线段FG 的长为_______．【分析】分两种情况画出图形，如图1，连接BD ，证明①ADB ①①AEC ，求得①BDC =90°，在Rt ①BDC 中利用勾股定理求出BD 长度，最后利用三角形中位线性质求解FG 长度，如图2，同理可求出BD 的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，连接BD ，①①BAD =90°-①BAE ，①CAE =90°-①BAE ，①①BAD =①CAE ．在①ADB 和①AEC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝①①ADB ①①AEC （SAS ）．①BD =CE ，①ADB =①AEC =135°，①①BDC =135°-45°=90°．①①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，AB =6，AD =4，①DE =42，BC =62．设BD =x ，则DC =42+x ，在Rt ①BDC 中，利用勾股定理BD 2+DC 2=BC 2，①x 2+（42+x ）2=72，解得x 1=-22-27（舍去），x 2=-22+27．①点F 、G 分别为DE 、BE 的中点，①FG =12BD =-2+7．如图2，同理，设BD =CE =a ，在Rt ①BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，①a 2+(a −42)2=72，解得a =22-27（舍去），a =22+27，①FG =12BD =2+7，故答案为：72±．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．15．如图， ABCD 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将①PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．【答案】8)或(8) 【分析】先求出直线AD 的教师式为24y x =--，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt ①M NP '中，由勾股定理可求M N '=Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O '，所以x =855x ，则P ，8)；当M '在x 轴正半轴时，同理可得，x -x =(P 8)．【详解】解：设AD 的直线教师式为y kx b =+，将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 24y x ∴=--，(0,4)G ∴-，点P 是CD 边上，//CD x 轴，设(,8)P m ， //GM y 轴，(,4)M m ∴-，12PM ∴=，8PN =，当M '在x 轴负半轴时，如图，由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，12PM '∴=，在Rt ①M NP '中，M N '在Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，M O '∴=∴x = 解得855x，P ∴，8)；当M '在x 轴正半轴时，如图，同理可得，x -+=解得x =(P ∴8)；综上所述：P 点坐标为8)或(8)，故答案为8)或(8)．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．16．如图，矩形ABCD的边AB＝112，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．【答案】2.5【分析】过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，由“AAS”可证①GEH①①FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，①四边形ABCD是矩形，AB＝112，BC＝3，①①B＝90°，CD＝112，AD＝3，①AE＝1，①BE＝92，①①GHE＝①A＝①GEF＝90°，①①GEH+①EGH＝90°，①GEH+①FEA＝90°，①①EGH ＝①FEA ，又①GE ＝EF ，①①GEH ①①EF A （AAS ），①GH ＝AE ＝1，①点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，①当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，①CG 2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG ＝则四边形BCDG 的面积为 _____．【答案】【分析】过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ，先证明①ABD 为等边三角形，AED DFB △≌△求得60BGD ∠=︒，证明①CBM ①①CDN ，所以S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，CG 是NGB ∠的角平分线，进而求得CGM S △，根据S 四边形BCDG =S 四边形CMGN 即可求得四边形BCDG 的面积．【详解】如图，过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ．四边形ABCD 是菱形AB AD DC BC ∴===，A BDC ∠=∠AB BD =AB BD DA ∴==ABC ∴是等边三角形60A ∴∠=︒60BDC A ∴∠=∠=︒BCD ∴△是等边三角形60BCD ∴∠=︒，BC CD =,AE DF AD BD ==∴AED DFB △≌△ADE DBF ∴∠=∠60BGE BDG FBD BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒180********BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒12060180BGD BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒180CBM CDG ∴∠+∠=︒180CDG CDN ∠+∠=︒CDN CBM ∴∠=∠,CN DN CM BM ⊥⊥90CND CMB ∴∠=∠=︒又CD CB =CDN CBM ∴△≌△CN CM ∴=CG ∴是NGB ∠的角平分线1602CGM DGB ∴∠=∠=︒ 12CGM S GM CG ∴=⨯△ ①CBM ①①CDN ，S 四边形CMGN =CGM CDG BMC CGM CDG DNC S S S S S S ++=++=△△△△△△2S ①CMG ，①①CGM =60°，30MCG ∴∠=︒①GM =12CG ，CM ∴===①S 四边形CMGN =2S ①CMG =2×12×12CG 2，2CG =∴ S 四边形CMGN =故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明60CGM ∠=︒是解题的关键．18．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE ，BF 交于点P ，过点P 作PM①CD交BC 于M 点，PN①BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①①ABE①①BCF ；①AE ＝BF ；①AE①BF ；①线段MN 1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）【答案】①①①①【分析】由正方形的性质及F ，E 以相同的速度运动，利用SAS 证明①ABE ①①BCF ，得到AE =BF ，①BAE =①CBF ，再根据①CBF +①ABP =90°，可得①BAE +①ABP =90°，进而得到AE ①BF ，根据点P 在运动中保持①APB =90°，可得点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，根据勾股定理，求出CH 的长度，再求出PH 的长度，即可求出线段CP 的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN ．【详解】解：①动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动，①DF =CE ，①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =CD =2，①ABC =①BCD =90°，①CF =BE ，①①ABE ①①BCF （SAS ），故①正确；①AE =BF ，①BAE =①CBF ，故①正确；①①CBF +①ABP =90°，①①BAE +①ABP =90°，①①APB =90°，即AE ①BF ，故①正确；①点P 在运动中始终保持①APB =90°，①点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，如图，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt ①BCH 中，CH①PH =12AB =1，①CP =CH -PH 1，①PM ①CD ，PN ①BC ，①四边形PMCN 是平行四边形，①①BCD =90°，①四边形PMCN 是矩形，①MN =CP 1，即线段MN 1，故①正确．故答案为：①①①①．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明①ABE ①①BCF ．19．如图，A 在正方形CDBG 的边BD 的延长线上，且知AD BD =，E 在CD 上，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ．有以下结论：①AE EF =①45EAB EFB ∠+∠=︒①BC CE CF =+①CF ．其中，正确的结论有______．（填序号）【答案】①①①【分析】根据正方形性质得到①CBD =45°，进而得到①F AB +①AFB =135°，根据三角形性质即可得到①EAB +①EFB =45°，判断①正确；连接BE ，先证明AE =BE ，得到①EAB =①EBA ，根据①EAB+①EFB=45°证明EF=EB，即可判断①正确；作EH①BF，得到BC= FC+2CH，根据①CHE为等腰直角三角形得到CE，即可得到BC=FC，即可判断①错误；证明BC=，根据BC=FC得到FC=，即可得到①正确．【详解】解：①四边形CDBG为正方形，①①CBD=1①DBG=45°，2①①F AB+①AFB=135°，即①EAF+①AFE+①EAB+①EFB=135°，①EF①AE，①①AEF=90°，①①EAF+①AFE=90°，①①EAB+①EFB=45°，故①正确；连接BE，①四边形CDBG为正方形，①DE①AB，①AD=BD，①AE=BE，①①EAB=①EBA，①①EAB+①EFB=45°，①EBD+①EBF=45°，①①EFB=①EBF，①EF=EB，①AE=EF，故①正确；作EH①BF，①BE=FE，①BH=FH，①BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH，①四边形CDBG为正方形，①DCG=45°，①①HCE=12①EH①BF，①CE，即CH =， ①BC = FC +2CH =FC，故①不正确；①①BCD =45°，①CDB =90°，①BC，①BC = FC，①FC)CE CD +，①FC=，故①正确．故答案为：①①①【点睛】本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当辅助线是解题关键．20．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片①ABC ，把纸片①ADC 沿AC 的方向平移得到①A′D′C′，连A′B ，D′B ，D′C ，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．【答案】平行四边形【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．【详解】解：（1）如图2中，①A ′D ′=BC ，A ′D ′①BC ，①四边形A ′BCD ′是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =2，①ABC =90°，①AC AB①BJ ①AC ，①AJ =JC ，①BJ =12AC ①①BJC =①JCH =①H =90°，①四边形BHCJ 是矩形，①BJ =CJ ，①四边形BHCJ 是正方形，①BH =CH在Rt ①BHC ″中，BH HC ，①BC ''==①四边形A ′BCD ′是平行四边形，①A ′B =CD ′，①A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，①A ′B +BD①A ′B +D ′B 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题21．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．【答案】（1）34，（2）证明见教师，（3）【分析】（1）作CF ①DB 于F ，根据勾股定理求出CF 和BF 即可；（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，可证点M 在BD 上，再证①FCM 是等腰直角三角形即可；（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，得出①GAC ①①HAF ，当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作CF ①DB 于F ，①90DCE ∠=︒，CE =CDE △都是等腰直角三角形，①20DE ，10DF CF EF ===，①点B 落在直线DE 上，26AC BC ==①24BF =，①34BE EF FB =+=；BE 的长为34．（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，由（1）得，①CDB =①CEA ，①点M 在BD 上，CF =CM ，①FCM =90°，EF =DM ，FM =，①FM DM DF EF DF =+=+；EF DF =+．（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，①ACB △是等腰直角三角形，①①ACF =45°，①AC =AF ，①①GAH =①CAF =90°，①①GAC =①HAF ，①AG =AH ，①①GAC ①①HAF ，①CG =FH ，①当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，如图所示，①①GCA =①AFC =45°，①①GCI =90°，①8AC =，4CD =， ①IC =CG =IG =【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．22．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究证明]阅读并补全证明已知：如图2，在ABC和DEF中，①B＝①E，AC＝DF，①C+①F＝180°（①C＜①F）．求证：AB＝DE．证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．①AG＝AC，①①C＝．又①①C+①F＝180°，而①AGC+①AGB＝180°，①①AGB＝．①AC＝DF，①AG＝又①①ABC①DEF（AAS）．①AB＝DE．（3）[拓展应用]在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．①过点D 作DH①BC 交直线BC 于点H ，若BC ＝4，CF ＝1，则BH ＝（直接写出答案）．【答案】（1）不一定；（2）①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①见详解；①1或3【分析】（1）根据SSA 可知两个三角形不一定全等；（2）在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ，根据AAS 证明ABG ①DEF ，即可得到结论；（3）①过点D 作DG ①AC ，证明DGF ECF ≌，即可得到结论；①分两种情况：当点D 在线段AB 上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ；当点D 在BA 的延长线上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ，分别证明DHB EOC ≌，DHF EOF ≌，进而即可求解．【详解】解：（1）通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，故答案是：不一定；（2）证明：在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ．①AG ＝AC ，①①C ＝ ①AGC ．又①①C +①F ＝180°，而①AGC +①AGB ＝180°，①①AGB ＝ ①F ．①AC ＝DF ，①AG ＝ DF又①①B ＝①E ①ABG ①DEF （AAS ）．①AB ＝DE ．故答案是：①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①过点D 作DG ①AC ，。

2021上海初三数学一模试题分类整理(填空压轴题)

2021上海初三数学一模试题分类整理（填空压轴题）1.（杨浦）如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C 1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么1BDB D的值为.2．（徐汇）如图，在ABC∆中，︒=∠120ABC，12=AB，点D在边AC上，点E在边BC上，54sin=∠ADE，5=ED，如果ECD∆的面积是6，那么BC的长是_______．3．（松江）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF．如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为________________.4．（普陀）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果:3:2BE EC=，那么:AF FG的值等于．5．（浦东）如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD∶CD=2∶1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．6．（闵行）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =3，1tan 2B =．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF =．7.（静安）在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A’，点B 落在点B’，A’B’与边BC 相交于点D ，那么CD A'D 的值为．8.（嘉定）已知在△ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，sin 5B =，把△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转α︒（0360α<<），将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果AA C '△为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为.9．（黄浦）已知一个矩形的两邻边长之比为1∶2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．10．（虹口）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8．D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B'处，线段B'D 交边AB 于点F ，联结AB'．当△AB'F 是直角三角形时，BE 的长为．11．（奉贤）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt△ABC绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．12．（崇明）在△ABC 中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到A DE '△．连结AA '，当A E AC '⊥时，则线段AA '的长为．13.（宝山）等腰△ABC 中，BC AC =，∠ACB=90°，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点.已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP .如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=.14.（金山）已知在ABC Rt ∆中，90=∠C ，1=BC ，2=AC ，以点C 为直角顶点的DCE Rt ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若21tan =∠CED ，GE CE =，那么BD 的长等于．A C B。

2020-2021学年上海初三数学一模汇编-专题15 几何综合(解答题25题压轴题)教师版

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AEBE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494；（2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584，过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ，则CD=x=2或x=22-（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<<；（3）AD =【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可．【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD =点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果．【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ；（2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，6，3，∠DE=AB-BD-3)=6-（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =，设,CF a = 再设DH x =，利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==，设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒， 90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒，,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴=9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===，设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,ECEH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG ycoc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF ycoc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y yx x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩ 经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）4、8-．【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+，再证明AFE BDE由AF AE DB BE =即)4444x yxx --=-+x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB中，AD=AB 142ADBSDB AC ∴=⋅=12ADBSAB DH =⋅DH ∴AH==1tan 3DH DAB AH ∴∠==；（2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EHx x EH=--． ∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFEBDE ．∠AF AE DB BE=即)4444x yx x --=-+()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得 4 或- 4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+ ②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为4、8-【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2（3BP <<【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tanAC B BC ===∠B=30，30DPC∠=︒，计算tan 30CDCP ︒===BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE EDCD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD 'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB =，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC 中，tan3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒，∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CDCP ︒===，BP BC CP ∴=-=当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒， ∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQDCDP ∴，QE EDCD CP∴=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒，∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 604QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，1DE CE CD =-=-，134t -∴=，6t ∴=或6t =（舍去），综上，BP（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，∠PC=tan 60CD =︒，∠BP =BP <<．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35．【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可；（3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90° ∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC 当DN=NC 时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN ∴∠NDP=∠NCP ∴D 、C 、N 、P 四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC ∴△CPQ ∽△CNM ∴PQ CPMN CN= 在Rt △CPN 中，CP CN =cos ∠MCN=cos ∠ACB=35 ∴不会发生变化35PQ MN =【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE ∠BD ，sin∠MAN =35， AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，∠BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+．【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ．（3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC =，∠EB DFEC BC=，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4=．．AD=4．（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x-<<+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可．（3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠， ∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ ED AP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD ==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD ∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDF BDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ =，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =， 2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）x =或x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠；（2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x y x x-=+-，故可求解；（3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠= ∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+，（3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =，EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△ ∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AE EG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠，若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AE DH AE CH=+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =或x =EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一：作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二：连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=；（2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆ P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠，CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠，即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EO DH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =， ∠2CD AC AD DE PE DP ===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC AB BE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形．综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=；（2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3cot 61x ADG x -∠=-；（3）92-．【分析】（1）证明ADF ABE △∽△，根据相似的性质即可求解；（2）作GH CF ⊥于点H ，得到13GH FH FG CE FC FE ===，进而得到33x GH -=，313x FH +=，613x DH DF FH -=-=，根据余切定义即可求解；（3）根据FGD AFE ∠=∠，得到 FAD ADG ∠=∠，进而得到1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，根据（2）结论得到关于x 方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 为矩形，∠∠B=∠ADF=∠BAD=90°，∠∠BAE+∠EAD=90°，∠AE∠AF ，∠∠EAD+∠FAD=90°，∠∠BAE=∠DAF ，∠ADF ABE △∽△，AD DF AB BE∴=；（2）由（1）可得3DF x =，作GH CF ⊥于点H ，∠GH∠EC ，∠∠FGH∠∠FEC ， ∠13GH FH FG CE FC FE ===，33x GH -∴=，313x FH +=，613x DH DF FH -=-=， 3cot cot 61GH x ADG HGD DH x -∴∠=∠==-；（3）如图，∠FGD AFE ∠=∠，∠AF∠GD ，∠ FAD ADG ∠=∠，∠1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，由（2）得3cot 16x ADG x-∠=-，1316x x x -∴=-，解得1x =（大于3．舍去）2x =，BE ∴．【点睛】本题考查了相似三角形，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，根据题意证明ADF ABE △∽△，理解余切的定义，并构造方程是解题关键．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（1）FB =（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）94AD =或32或78．【分析】29)(944x x ++【详解】（1）Rt △ABD 中，AD=1，AB=3，∴，∵//AM BC ，∴△ADF ∽△CBF ，∴F AD CB DF B ==14，∴BF=4DF ，∴FB =（2）∵△ADF ∽△CBF ，∴4DF BF AF AD x CF CB ===，∵=，∴，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴，∴AF=54x x+，∵AM ∥BC ，∴∠CAD=∠C ， ∵DBE C ∠=∠，∴∠CAD=∠DBE ，∵∠AFD=∠BFG ，∴△ADF ∽△BGF ， ∴F GBF A DF F =，∴AF FG BF DF ⋅=⋅，∵FG y =，∴54x y x ⋅=+，∴()243604520x y x x +=<<+；（3）∵△ADF ∽△BGF ，∴D G BG A DF F =，∴42054BG x x=++，∴BG =AM ∥BC ，∴∠DBE=∠C ，∠DEB=∠CBG ，∴△BDE ∽△CGB ，∴BE CG BC BD ⋅=⋅，∴4xBE =-，∴GE=BE -BG=(45(4)x x +-AM ∥BC ，∴△DEG ∽△HBG ，∴DE BG BH EG ⋅=⋅， ∴BH=29)(944x x ++，分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++78x =； ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ，∴29)24(94x x x ++=，解得x=32；③当BH=DH 时，过H 作HP ⊥BD 于P ，此时BP=122BD = ∵∠ABD+∠PBH=∠ABD+∠ADB=90︒，∴∠ADB=∠PBH ，∵∠BAD=∠BPH=90︒,∴△ABD ∽△PHB ，∴BP BD BH AD ⋅=⋅，∴229)92(449x x x =+++，解得x=94，综上，线段AD 的长为94或32或78．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点．14.（2021宝山一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出△DEC ∽△CEB ，进而得出结论；（2）由△DEC ∽△CEB 得BC=BE ，再由△DEC ∽△DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证△BDC ∽△EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FD MF=y ，然后结合已知条件得出结果．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵∠DCE=45°，∴∠B=∠DCE ，∵∠DEC=∠CEB ，∴△DEC ∽△CEB ，∴EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ；（2）由题意得△DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由△DEC ∽△CEB 得BC=BE ，同理可得△DEC ∽△DCA ，AD=AC ，∵BC=AC ，∴BE=AD=BC=AC ，∵AC=3，∴在Rt △ABC 中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，AD=2BD ，∴BD=AB -AD=AB -3，6，3，∴DE=AB -BD -3)=6-（3）连接EF ，由三角形相似可得∠FED=∠DBC ，∴EF ∥BC ，∴∠EFD=∠BCD ，∵∠EDF=∠BDC ，∴△BDC ∽△EDF ，∴FD DE CD BD =，∴tan ∠FMD=y ，∴FD MF=y ，在Rt △MFC 中，∠MCF=45°，∴MF=CF ，∴FD FD CF MF ==y ，∵BD x BC=，BE=BC ， ∴BD BD x BE BC ==，∵,FD BD y x CF BE ==，∴DE=1x BD x -，CD=1y FD x-，∴FD DE CD BD =，11y x y x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y -xy=x -xy ，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3 【分析】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可．（2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出BF 的长，再利用勾股定理可求出CF ，从而得到AF ．再利用ADE ABC 和DEF GCF 结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，BE x =，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设BE x =，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据题意，tan 2AH ABC BH∠==，∴AH =2x ，在Rt ABH 中，222AB AH BH =+，∴222(2)x x =+解得x =5．∴BH = 5．又∵ABC 是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∴BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABCS AH BC BF AC=⨯⨯=⨯⨯，即1010BF⨯=⨯BF=∴CF===，AF AC CF=-==作//DE BC交AC于点E，∴ADE ABC，得到：DE AEBC AC=，即10DE=．DEF GCF，得到：DE EFCG CF=．又∵EF AF AE AE=-=∴4DE=，由104DEDE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3DE=，2AE=∵//DE BC，ABC是等腰三角形，∴ADE也是等腰三角形，∴AD AE==．（3）∵90BQE QBE∠+∠=︒，90C QBE∠+∠=︒，∴BQE C∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∴C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设BE x =，∵tan tan tan tan 2ABC C BQE DQP ∠=∠=∠=∠=,∴2x QE =，∴BQ x ===，∴QF BF BQ x =-=，∵12QP PF QF x ===，∵tan 2DQP ∠=,∴5104DQ x ==-， ∴531010424x DE DQ QE x x =+=-+=-，∵tan 2DE ABC BE ∠==，即31042x x-=，解得x =4011，经检验是原方程的解，即4011BE =．∴BD ==．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设BE x =，同理2x QE =，BQ x =，QF x =，∵ tan tan 2OQF BQE ∠=∠=,∴142OQ x ==-，∴28DQ OQ x ==-，∴8822x x DE DQ QE x =+=-+=+，同理∵tan 2DE ABC BE ∠==，即822x x+=，解得165x =，经检验是原方程的解，165BE =．∴BD == ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.证明：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE. ∵1tan 2EAD ∠=，3tan 4CBF ∠=，∴1tan 2AFH ∠=，3tan 4BFH ∠=. 在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由3tan 4BFH ∠=易得FH =4k . ······································· 1分在Rt △AFH 中，由FH =4k ，1tan 2AFH ∠=易得AH =2k ，AF = ························ 1分又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得65k =. ············································································· 1分∴125AH =，AF = ······················································································ 1分（2）方法1.如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠,ADDECG CE = ······························································· 1分在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，1tan 2EAD ∠=，8AD =，∴tan 4DE AD EAD =⋅∠=，642CE CD DE =-=-=.·········································· 1分 ∴842CG =.解得4CG = ····························································································· 1分又∵1=42CF BC =，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠. ················································· 1分 ∴∠CFE =∠DAE. ·········································································································· 1分（3）方法1.如图13-1，联结BD 交AE 于P ，类似（1）可求AP = ··················· 1分∵AB CD ∥，∴DP AB BP DE =.将6AB =，4DE =代入，得32DP BP =. 又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴DPE DEP ∠=∠. ··············································· 1分又∵180-180-APD DPE CEF DEP ∠=︒∠∠=︒∠，，∴APD CEF ∠=∠ ·························· 1分又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ·············································································· 1分 ∴AP DP EF CE=.将AP ==4DP 、=-=2CE CD DE 代入，得EF = ··································· 1分。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（二）（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣10B．﹣12C．﹣14D．﹣16【答案】D【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明⊥AOB⊥⊥BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【详解】解：⊥当x=0时，y=2x+8=8，⊥A（0，8），⊥OA=8；⊥当y=0时，y=2x+8=0，⊥x=-4，⊥B（-4，0），⊥OB=4；过点C作CE⊥x轴于E，⊥四边形ABCD矩形，⊥⊥ABC=90°，⊥⊥CBE+⊥ABO=90°，⊥BAO+⊥ABO=90°，⊥⊥CBE=⊥BAO．⊥⊥BEC=⊥AOB=90°，⊥⊥AOB⊥⊥BEC，⊥CE BE BC OB OA AB==，⊥AB=2BC，⊥1482CE BE ==， ⊥OE =2，BE =4，⊥C 点坐标为（-8，2），⊥点C 在反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上， ⊥k =-8×2=-16．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数教师式、矩形的性质，以及三角形相似的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．2．如图，在等腰AOB 中，AO AB =，点A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图象上的一点，点B 在x 轴正半轴上，过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，若BCD △的面积为2，则k 的值为（）A ．20B ．503C ．16D ．403【答案】A【分析】过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，利用等腰三角形性质可得12OF FB OB ==，再由//AF BC ，可得ADE BDC ∆∆∽，2BC EF =，设OF a =，则2=OB a ，可得24AF BC EF ==，3AE EF =，应用相似三角形性质及三角形面积可由BCD ∆的面积为2，求得AOF ∆的面积，应用||k 的几何意义求k ．【详解】解：如图，过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，OA AB =，AF OB ⊥，12OF FB OB ∴==， BC OB ⊥，//AF BC ∴，ADE BDC ∴∆∆∽，12OE EF OF OC BC OB ===， 2BC EF ∴=，设OF a =，则2=OB a ，(,)k A a a∴，(2,)2k C a a ， k AF a ∴=，2k BC a=， 24AF BC EF ∴==，3AE AF EF EF =-=，ADE BDC ∆∆∽， ∴3322DE AE EF DC BC EF ===， ∴29()4ADE BDC S AE S BC ∆∆==， BCD ∆的面积为2，92ADE S ∆∴=， ∴35DE EC =， 12OE OC =， EC OE ∴=， ∴35DE OE =， ∴35ADE AOE S S ∆∆=， 152AOE S ∆∴=， 4433AF EF AE EF ==， ∴43AOF AOE S AF S AE ∆∆==，441510332AOF AOE S S ∆∆∴==⨯=， ∴1102k =， 0k >，20k ∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、三角形面积以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和相似三角形的性质． 3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝10，在BC 边上取一点E ，连接AE 、DE ，使得DE ＝AD ，H 为AE 中点，连接DH ，在DE 上取一点F ，连接AF ，将⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，且GF⊥AD 于M ，连接GD ，若AE ＝F 到直线DG 的距离为（）A ．BCD 【答案】B【分析】根据三线合一得出DH AE ⊥，根据矩形的性质及同角的余角相等易证ABE DHA △△，然后根据相似三角形的性质即可求得BE 的值，根据勾股定理可求得AB 的值；过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形，易证DMF DPE △△，再根据相似三角形的性质可设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x ，根据折叠的性质可得105GF EF x ==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-，然后根据勾股定理即可求得x 的值，最后根据面积公式即可得出答案．【详解】解：AD DE =，H 是AE 的中点DH AE ∴⊥四边形ABCD 为矩形90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADH ∠+∠=︒BAE HDA ∴∠=∠90B AHD ∠=∠=︒ABE DHA ∴△△BE AE HA AD∴= 111022AD AH AE ===⨯=，AE =4BE ∴=8AB ∴==，1046EC BC BE =-=-=过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形8PE AB ∴==，6PD EC ==GF AD ⊥90DMF DPE ∴∠=∠=︒MDF PDE ∠=∠DMF DPE ∴△△6384DM PD MF PE ∴=== 设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，105GF EF x ∴==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-在Rt AMG 中，222AM MG AG +=即()()(222103109x x -+-=解得：2x =（舍去）或23x = 32MD x ∴==，201053GF x =-=，1094MG x =-=GD ∴=设F 到GD 的距离是h ，根据面积公式得S ⊥GFD =1122GF MD GD h ⋅=⋅ 12012232∴⨯⨯=⨯h ∴=故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键．4．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，0），D 为AO 上一点，连接BD ，CD ，OB ，CD 与OB 相交于点E ，取EC 的三等分点F （EF ＞FC ），连接OF 并延长，交BC 于点G ，已知S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点，则k 的值为（）A ．25BCD 【答案】A【分析】过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，设CN =a ，GN =b ，根据相似三角形的性质表示出D 点坐标，根据反比例性质列方程，求出a 、b 值即可．【详解】解：过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，⊥S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，⊥OD :BC =2:3，⊥OA ⊥BC ，⊥⊥ODE ⊥⊥BCE ，⊥AOC =⊥GCN ， ⊥23DE OD EC BC ==， ⊥OC =BC =3，⊥OD =2，⊥EC 的三等分点为点F （EF ＞FC ）， ⊥14FC DF =，同理，14GC OD =，CG =12 ⊥⊥AOC =⊥GCN ，⊥DMO =⊥GNC =90°，⊥⊥ODM ⊥⊥CGN ， ⊥14GN GC CN DM OD OM ===，设CN =a ，GN =b ，则OM =4a ，DM =4b ，⊥反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点， ⊥4a ×4b =(a +3)b ，解得，15a =，GN =则k 的值为：1(3)5+，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是通过设参数，根据相似三角形性质表示点的坐标，依据反比例函数性质列方程．5．如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且12AF FB =，CE⊥DF ，垂足为点M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝12BC ，连接CM ．有如下结论：⊥AE＝BF ；⊥AN；⊥⊥ADF ＝⊥GMF ；⊥S ⊥ANF ＝19S ⊥ABC ，上述结论中，正确的是（）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥【答案】C【分析】 ⊥正确．证明⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），即可判断．⊥正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．⊥正确．作GH ⊥CE 于H ，设AF ＝DE ＝a ，BF ＝2a ，则AB ＝CD ＝BC ＝3a ，ECa ，通过计算证明MH ＝CH 即可解决问题．⊥错误．设⊥ANF的面积为m ，由AF ⊥CD ，推出13AF FN CD DN ==，⊥AFN ⊥⊥CDN ，推出⊥ADN 的面积为3m ，⊥DCN 的面积为9m ，推出⊥ADC 的面积＝⊥ABC 的面积＝12m ，由此即可判断．【详解】⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ＝CD ＝BC ，⊥CDE ＝⊥DAF ＝90°，⊥CE ⊥DF ，⊥⊥DCE +⊥CDF ＝⊥ADF +⊥CDF ＝90°，⊥⊥ADF ＝⊥DCE ，在⊥ADF 与⊥DCE 中，DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），⊥DE ＝AF ，⊥AD ﹣DE ＝BC ﹣AF ，即AE ＝BF ，故⊥正确；⊥AB ⊥CD ，⊥AF AN CD CN=，⊥AF：FB＝1：2，⊥AF：AB＝AF：CD＝1：3，⊥13 ANCN=，⊥14 ANAC=，⊥AC，⊥AN＝4AD；故⊥正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC a，由⊥CMD⊥⊥CDE，可得CM，由⊥GHC⊥⊥CDE，可得CH，⊥CH＝MH＝12CM，⊥GH⊥CM，⊥GM＝GC，⊥⊥GMH＝⊥GCH，⊥⊥FMG+⊥GMH＝90°，⊥DCE+⊥GCM＝90°，⊥⊥FMG＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥GMF；故⊥正确，设⊥ANF的面积为m，⊥AF⊥CD，⊥13AF FNCD DN==，⊥AFN⊥⊥CDN，⊥⊥ADN的面积为3m，⊥DCN的面积为9m，⊥⊥ADC的面积＝⊥ABC的面积＝12m，⊥S⊥ANF：S⊥ABC＝1：12，故⊥错误，故选：C．【点睛】本题是一个综合性的题目，综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识．6．勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图⊥所示的图形验证了勾股定理，把图⊥放入矩形内得到图⊥，⊥ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则MNMP的值为（）A．911B．910C．45D．34【答案】A【分析】如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB，可得AB＝BG＝FG＝AF，再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示,MN MP，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC ＝2AC ＝2a ，由题意可知，AC ＝CD ＝DE ＝AE ＝a ，BH ＝HI ＝CI ＝BC ＝2a ，由勾股定理可得，AB， ⊥AB ＝BG ＝FG ＝AF，⊥⊥AKI ＝⊥ACB ＝90°，⊥CAB ＝⊥IAK ， ⊥⊥AKI ⊥⊥ACB ， ⊥AI IK AK AB BC AC==， ⊥IK＝2AI AC CI BC BC a AB AB +⨯=⨯=， ⊥MP ＝MJ +JP ＝IK +AF,= ⊥AK＝AI AC CI AC AC a AB AB +⨯=⨯=，同理可得：⊥AEJ ⊥⊥BAC ， ⊥AJ AE BC BA=， ⊥AJ＝AE CB BA ⨯=，同理可得：⊥ABC ⊥⊥HIN ， ⊥BC IN AB IH=，⊥2BC IN IH a AB =⨯==， ⊥MN ＝MI +IN ＝AJ +AK +IN=，⊥911MN MP =，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握利用相似三角形的性质寻求边与边之间的关系是解题的关键．7．如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM 、MD 对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：⊥150AMD ∠=︒；⊥2MA MN MC =⋅；⊥ADM BMC S S =△△，其中正确的结论有（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】⊥根据等边三角形得⊥CMB ＝60°，再根据等腰三角形的性质得⊥AMB ＝⊥CMD ＝75°，最后根据周角的定义即可得出结论；⊥证明⊥MND ⊥⊥MDC ，列比例式即可得出结论；⊥过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC 、AG 、BG 的长，根据面积公式计算即可得出结论．【详解】解：⊥⊥MBC 是等边三角形，⊥⊥MBC ＝⊥MCB ＝⊥CMB ＝60°，BM ＝BC ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥ABC ＝⊥BCD ＝⊥BAD ＝⊥ADC ＝90°，AB ＝BC ， ⊥⊥ABM ＝⊥DCM ＝30°， ⊥AB ＝BM ，⊥⊥AMB ＝⊥BAM ＝12×（180°−30°）＝75°，同理：⊥CMD ＝⊥CDM ＝75°， ⊥⊥AMD ＝360°−75°−75°−60°＝150°；故⊥正确；⊥四边形ABCD 是正方形， ⊥⊥BDC ＝45°，⊥⊥MDN ＝⊥CDM −⊥BDC ＝75°−45°＝30°， ⊥⊥CMD ＝⊥CMD ，⊥MDN ＝⊥DCM ＝30°， ⊥⊥MND ⊥⊥MDC ， ⊥MN DMDM MC=， ⊥DM 2＝MN •MC ，⊥⊥BAD ＝⊥ADC ，⊥BAM ＝⊥CDM ， ⊥⊥MAD ＝⊥MDA ， ⊥MA ＝DM ， ⊥MA 2＝MN •MC ，故⊥正确；过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，Rt ⊥BGM 中，⊥GBM ＝30°， ⊥BM ＝BC ＝AB ＝2x ，BG， ⊥AG ＝2x，⊥1212ADM BMCAD AGAG BG BC BG S S⋅===⋅故⊥错误．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键． 8．如图，在Rt⊥ABC 中，∠BAC=90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连结KN 交AG 于点M ，若S 1-S 2=2，AC=4，则AB 的长为（）A ．2 BC．D ．73【答案】A 【分析】先证ABC ⊥FCN △，根据全等三角形的性质可得AB =FN ；再证⊥BCK ⊥⊥ACB ，根据相似三角形的性质可得214KC BC =；设五边形ACFNM 的面积为S ，可得S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK ==()2CK NF =+，设AB =x ，BC =y ，可得方程组22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解方程组即可求解．【详解】⊥⊥ACB +⊥CAN =90°，⊥FCN +⊥CAN =90°， ⊥⊥ACB =⊥FCN ，在⊥ABC 和⊥FCN 中，90BAC NFC AC CFBCA NCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥ABC ⊥FCN △， ⊥AB =FN ；⊥⊥BAC =⊥KBC =90°， ⊥⊥BCK ⊥⊥ACB ， ⊥AC BCBC KC=， ⊥214KC BC =；设五边形ACFNM 的面积为S ，⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=2，设AB =x ，BC =y ，由勾股定理可得，2216x y +=，⊥S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK =()()()114222CK NF CF CK NF CK NF +⋅=+⨯=+，S 1-S 2=2， ⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=16-()2CK NF +=16-2124y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，⊥22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩⊥x 、y 都为正数，⊥2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即AB =2，BC= 故选A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．9．如图平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在x 轴负半轴上，边CD 与x 轴交于点E ，连接,//AE AE y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点A 及AD 边上一点,4F AF FD =，若,2DA DE OB ==，则k 的值为（）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】C根据题意得到ADE ∆和ABE ∆是等腰直角三角形，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====，即可得到(2,)A y y -，进而通过三角形相似对得出F 点的坐标为7(25y -，3)5y ，即可得到73(2)(2)55k y y y y =-=-，解方程即可求得k 的值．【详解】解：作DM AE ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90ADE BCD ∠=∠=︒， DA DE =，ADE ∴∆是等腰直角三角形，45DAE AED ∴∠=∠=︒，M 是AE 的中点，12DM AM EM AE ∴===，45BAE ∠=︒， //AE y 轴，90AEB ∴∠=︒，ABE ∴∆是等腰直角三角形， BE AE ∴=，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====， 2OB =，2OE y ∴=-， (2,)A y y ∴-， //FN DM ， ANF AMD ∴∆∆∽，∴AN NF AFAM DM AD==， 4AF FD =，∴411522AN FN y y ==， 25AN NF y ∴==， 2355EN y y y ∴=-=， 7(25F y ∴-，3)5y ，反比例函数(0)ky k x=>的图象经过点A 、F ， 73(2)(2)55k y y y y ∴=-=-，解得5y =或0y =（舍去），(2)15k y y ∴=-=，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A 、F 的坐标是解题的关键．10．如图所示，G 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且AG CE =，AE EF ⊥，AE EF =，现有如下结论：⊥BE DH =；⊥AGE ECF △≌△；⊥45FCD ∠=︒；⊥AGE CHF △∽△．其中，正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】由⊥BEG ＝45°知⊥BEA ＞45°，结合⊥AEF ＝90°得⊥HEC ＜45°，据此知 HC ＜EC ，即可判断⊥；求出⊥GAE +⊥AEG ＝45°，推出⊥GAE ＝⊥FEC ，根据 SAS 推出⊥GAE ⊥⊥CEF ，即可判断⊥；求出⊥AGE ＝⊥ECF ＝135°，即可判断⊥；求出⊥FEC ＜45°，根据相似三角形的判定得出⊥GBE 和⊥ECH 不相似，即可判断⊥．【详解】解：⊥四边形 ABCD 是正方形， ⊥AB ＝BC ＝CD ，⊥AG＝GE，⊥BG＝BE，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥BEA＞45°，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥HEC＜45°，⊥HC＜EC，⊥CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故⊥错误；⊥BG＝BE，⊥B＝90°，⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥⊥AGE＝135°，⊥⊥GAE+⊥AEG＝45°，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥GAE＝⊥FEC，在⊥GAE 和⊥CEF 中，⊥AG=CE，⊥GAE=⊥CEF,AE=EF,⊥⊥GAE⊥⊥CEF（SAS））,⊥⊥正确；⊥⊥AGE＝⊥ECF＝135°，⊥⊥FCD＝135°﹣90°＝45°，⊥⊥正确；⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥FEC＜45°，∴∠=︒+∠＜135︒,FHC FEC90∴∠≠∠FHC AGE,△不相似，⊥AGE和FCH⊥⊥错误；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．二、填空题11．如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，将⊥ABC 沿AB 翻折得⊥ABC′，过点C′作CA 的垂线，交CA 延长线于点F 点D 为边BC′上一点，过点D 作DE⊥BC ，垂足为点E ，连接CD ，交AB 于点M ，若DC 平分⊥EDC′，CE ＝CF ＝6，C′F ＝4，则AM ＝_____．【分析】延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．首先证明四边形ECFR 是正方形，利用全等三角形的性质证明DE DT =，4FC C T '='=，再想办法求出JC ，AJ ，证明JM JC =，可得结论．【详解】解：延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．90REC CFR ECF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFR 是矩形，CE CF =，∴四边形ECFR 是正方形，CD 平分EDC ∠'，CE DE ⊥，CT EC ⊥'，CDE CDT ∴∠=∠，90CED CTD ∠=∠=︒，CD CD =，()CDE CDT AAS ∴∆≅∆，CE CT ∴=．DE DT =，90CTC F ∠'=∠=︒，CF CE CT ==，CC CC '='， Rt ∴⊥CC T Rt '≅⊥()CC F HL '，4FC C T ∴'='=，在Rt CFC '△中，CC ' 由翻折的性质可知，CJ JC ='=ACJ FCC ∠=∠'，90CJA F ∠=∠=︒，CJA CFC ∴∆∆'∽，∴CJ AJCF FC ='，∴4AJ =，AJ ∴=DCE DCT ∠=∠，C CT C CF ∠'=∠'， 45JCM ∴∠=︒，JM CJ ∴=AM JM AJ ∴=+．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是想添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，边长为3的等边三角形ABC 中，点M 在直线BC 上，点N 在直线AC 上，且⊥BAM ＝⊥CBN ，当BM ＝1时，AN =___．【答案】2或4或92或94【分析】先根据等边三角形的性质可得60,3ABC ACB AB BC AC ∠=∠=︒===，再分⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上四种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：ABC 是边长为3的等边三角形，60,3ABC ACB AB BC AC ∴∠=∠=︒===，由题意，分以下四种情况：⊥如图，当点M 在边BC 上，点N 在边AC 上时，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，312AN AC CN ∴=-=-=；⊥当点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 延长线于点D ，60D ABM ∴∠=∠=︒，60DCN ACB ∠=∠=︒，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，在ABM 和BDN 中，BAM DBN ABM D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABM BDN ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB ++∴===，即313DN DN +=，解得32DN =， 32CN ∴=， 39322AN AC CN ∴=+=+=； ⊥当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 于点D ，60CDN ABC ACB ∴∠=∠=︒=∠，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，60CDN ABC ∠=∠=︒，120BDN ABM ∴∠=∠=︒，在BDN 和ABM 中，DBN BAM BDN ABM ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， BDN ABM ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB --∴===，即313DN DN -=，解得34DN =， 34CN ∴=， 39344AN AC CN ∴=-=-=；⊥如图，当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上时，60ABC ACB ∠=∠=︒，120ABM BCN ∴∠=∠=︒，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，314AN AC CN ∴=+=+=；综上，AN 的值为2或4或92或94，故答案为：2或4或92或94．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且()0,630B OAB ∠=︒,，C 为线段AB 上一点，:1:2BC CA =，若M 为y 轴上一点，且:1:2OM OB =，设直线AM 与直线OC 相交于点N ，则ON 的长为________．或【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，证明⊥ACD ⊥⊥ABO ，得到CD AD AC BO AO AB==，求出CD 和AD ，得到点C 坐标，求出直线OC 的教师式，再求出点M 的坐标，分两种情况，联立教师式，求出点N 坐标，利用勾股定理得到ON 的长．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则⊥ADC =⊥AOB =90°，又⊥⊥CAD =⊥BAO ，⊥⊥ACD ⊥⊥ABO ， ⊥CD AD AC BO AO AB==， ⊥B （0，6），⊥OB =6，⊥⊥OAB =30°，⊥AB =2OB =12，⊥AO⊥BC ：CA =1：2，⊥AC =2812AB ⨯=+， ⊥BC =AB -AC =4，⊥8612CD =，解得：CD =4，AD=⊥OD =OA -AD=⊥C（4），设直线OC 的教师式为y =kx ，将C 代入，则4=，解得：k = ⊥直线OC的教师式为y =， ⊥OM ：OB =1：2，OB =6，⊥OM =3，⊥M 的坐标为（3，0）或（-3，0），当M （3，0）时，记为点M ′，设直线AM ′的教师式为y =ax +b ，则03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩⊥直线AM ′的教师式为3y =+，联立直线AM ′和直线OC的教师式得3y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ⊥N，125）， ⊥ON当M （-3，0）时，同理求得直线AM的教师式为3y =-，联立得3y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：4x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ⊥N（--4），⊥ON综上：ON或或【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥DAB ＝60°，AB ＝3，点E 在边AD 上，且DE ＝1，点F 为线段AB 上一动点（不与点A 重合），将菱形沿直线EF 折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF 的长为___．【答案】2或5【分析】分两种情况进行讨论：⊥当点A ′在BD 上时，可以证明⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′，对应边成比例，可求出AF 的长；⊥当点A ′在AC 上时，可得⊥EAF 是等边三角形，进而可求AF 的长．【详解】解：⊥当点A ′在BD 上时，如图，由折叠可知：⊥EA ′F ＝⊥DAB ＝60°，⊥⊥DA ′E +⊥F A ′B ＝120°，⊥⊥A ＝60°，AB ＝AD ，⊥⊥ADB 是等边三角形，⊥⊥DBA ＝⊥ADB ＝60°，⊥⊥A ′FB +⊥BA ′F ＝120°，⊥⊥DA ′E ＝⊥BF A ′，⊥⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′， ⊥DE DA EA A B FB FA ''==''， ⊥AB ＝AD ＝DB ＝3，DE ＝1，⊥EA ′＝EA ＝AD -DE ＝2，设F A ′＝F A ＝x ，DA ′＝y ，则BA ′＝3-y ，BF ＝3-x ， ⊥3123y y x x-==-，解得x ＝5⊥当点A ′在AC 上时，如图：由折叠可知：EF 垂直平分AA ′，⊥⊥AOF ＝90°，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥DAB ＝60°，⊥⊥DAC ＝⊥BAC ＝30°，⊥⊥AFE ＝60°，⊥⊥EAF 是等边三角形，⊥AF ＝AE ＝AD -DE ＝2．综上所述：AF ＝52．故答案为：2或5【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．15．如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：⊥ABF DBE ∠=∠；⊥ABF DBE ∽；⊥AF BD ⊥；⊥22BG BH BD =；⊥若:1:3CE DE =，则:17:16BH DH =，你认为其中正确是_____（填写序号）【答案】⊥⊥⊥⊥【分析】⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，得⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，根据等式的基本性质确定出ABF DBE ∠=∠；⊥倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；⊥根据两角相等的两个三角形相似得到⊥EBH ⊥⊥DBE ，从而得到比例式，根据BE ，代换即可作出判断；⊥由相似三角形对应角相等得到⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，可得出AF 在正方形ABCD 对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，结合BE 2＝BH •BD ，求出BH ，DH ，即可判断．【详解】解：⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，又⊥⊥ABF ＝45°−⊥DBF ，⊥DBE ＝45°−⊥DBF ，⊥ABF DBE ∠=∠，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，⊥AD ＝AB ，BF ＝BE ，⊥BD，，⊥BD BE AB BF== 又⊥ABF DBE ∠=∠，⊥ABF DBE ∽，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥BEH ＝⊥BDE ＝45°，又⊥⊥EBH ＝⊥DBE ，⊥⊥EBH ⊥⊥DBE ， ⊥BD BE BE BH= ，即BE 2＝BH •BD ，又⊥BE ，⊥22BG BH BD =，⊥选项⊥确；⊥由⊥知：ABF DBE ∽，又⊥四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，⊥⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，⊥AF 在正方形另外一条对角线上，⊥AF ⊥BD ，⊥⊥正确，⊥⊥:1:3CE DE =，⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，⊥BE ==，BD =⊥BE 2＝BH •BD ，⊥228BE BH x BD ===，⊥DH =BD -BH =x x =, ⊥:17:15BH DH =，故⊥错误，综上所述：⊥⊥⊥⊥正确，故答案是：⊥⊥⊥⊥．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．16．如图，已知Rt AOB ，90∠=︒ABO ，点(15,0)A ，反比例函数(0)k y x x =>经过点B ，交AB 于点C ，若:3:2BC OB =，则k 的值是______．【答案】18【分析】过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，易证⊥BOD ⊥⊥CBE ，可得32BE EC BC OD BD OB ===，设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ．易得四边形EDFC 为矩形，则FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ，得到B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）．由待定系数法可得：k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），等量代换可得：4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），整理得到：b ＝2a ．于是得到BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ；易证⊥BEC ⊥⊥CF A ，可得12CF BE FA EC ==，求出F A ＝2a ，从而OA ＝OD ＋FD ＋F A ＝10a ，由点A （15，0），可得OA ＝15，a 的值可求，B 点坐标可得，用待定系数法k 值可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作C E ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，如图，⊥⊥ABO ＝90°，⊥⊥OBD ＋⊥EBC ＝90°．⊥BD ⊥OD ，⊥⊥OBD ＋⊥BOD ＝90°．⊥⊥BOD ＝⊥EBC ．⊥⊥ODB ＝⊥BEC ＝90°，⊥⊥BOD ⊥⊥CBE ． ⊥32BE EC BC OD BD OB ===， ⊥设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ． ⊥BD ⊥DF ，CE ⊥BD ，CF ⊥AD ，⊥四边形EDFC 为矩形．⊥FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ． ⊥B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）．将B ，C 坐标分别代入教师式(0)k y x x=>中得： k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）． ⊥4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）．整理得到：b ＝−12a （不合题意，舍去）或b ＝2a ． ⊥BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ．⊥EC ⊥AD ，⊥⊥BCE ＝⊥A ．⊥⊥BEC ＝⊥CF A ＝90°，⊥⊥BEC ⊥⊥CF A ． ⊥12CF BE FA EC ==， ⊥F A ＝2CF ＝2a ．⊥点A （15，0），⊥OA ＝15．⊥OD ＋FD ＋F A ＝15．⊥10a ＝15．解得：a ＝32． ⊥OD ＝3，BD ＝6．⊥B （3，6）．⊥k ＝3×6＝18．故答案为：18．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，待定系数法确定函数的教师式．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．17．如图，点A 是边长为2的正方形DEFG 的中心，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，//DG BC ，点P 为正方形边上的一动点，在BP 的右侧作90PBH ∠=°且2BH PB =，则AH 的最大值为______．【答案】【分析】连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=，易得DPB D HB '△△，由此可得当点P 在DG 上运动时，点H 在过点D '且垂直于BC 的线段D G '' 上运动，且D G ''=-4，仿此，可得点H 在以点C 为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P 与点F 重合时，AH 取得最大值，在Rt ⊥AEF '' 中，利用勾股定理即可求得AH 的长．【详解】如图，当点P 在线段DG 上时，连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=⊥BC ⊥DG ，⊥ABC =90°⊥AB ⊥DG⊥四边形DEFG 是正方形，且A 为正方形的中心，AB =DG =2⊥AB 、DG 相互垂直平分⊥BD =BG ，⊥DBG =90°⊥2BD BD '=⊥BH =2PB ⊥2BD BH BD PB'== ⊥⊥DBG =⊥PBH =90°⊥DBP D BH '∠=∠⊥⊥DBP D BH '△△⊥BDG BD H '∠=∠，2D H DP '=⊥⊥BDG =⊥BGD =45°，⊥DGF =90°⊥⊥45FGD '=︒，45BDG BD H '∠=∠=︒⊥FG ⊥D H '⊥DG ⊥FG⊥DG ⊥D H '故当点P 在边DG 上运动时，点H 则在线段D G ''上运动，且2D G ''=DG =4由此可得，当点P 在四边形DEFG 上运动时，点H 在以C 为中心的正方形D E F G ''''上运动，且其边长为4当点P 与点F 重合，点H 与点 F '重合时，AH 最长，此时连接AD '，则AD '=2⊥6AE AD D E ''''=+=在Rt AE F ''中，由勾股定理得：AH AF '===故答案为：【点睛】本题是动点问题，求线段的最大值，它考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，关键和难点是确定动点H 的运动路径．18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】13232【分析】（1）由题意，证明⊥ABP ⊥⊥EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度；（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x ,在Rt ⊥BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AHP′⊥⊥E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5．【详解】解：（1）由题意，⊥,AB BC MN BC ⊥⊥，⊥90ABP EDP ∠=∠=︒，⊥从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．⊥APB EPD ∠=∠，⊥⊥ABP ⊥⊥EDP ， ⊥AB BP ED DP =，即6.548ED =， ⊥13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x , 在Rt ⊥BDN 中，⊥BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 13=，⊥⊥AHB =⊥ABD =⊥E′FN =⊥BDD′=90°，⊥⊥ABH +⊥DBD′=⊥DBD′+⊥DD′B =FE D ''∠+⊥E′D′F ,⊥⊥ABH =⊥BD′D =⊥E′D′F ,⊥⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F , ⊥AB AH BH BD BD DD ==''，E D E F FD BD BD DD ''''==''， ⊥6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==， ⊥=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==， ⊥从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AP H E P F '''∠=∠，⊥⊥AHP′⊥⊥E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +，⊥AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232．【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，利用相似三角形的性质构造方程6 6.560+1225591313x x =+-是解题关键． 19．如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n个正方形的边长．【详解】解：点1B在直线1:2l y x=上，点1B的横坐标为2，∴点1B纵坐标为1．1OB∴=分别过1B，14,,C C⋅⋅⋅作x轴的垂线，分别交于14,,,D D D⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DAC DB B OD A B D∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n nn nC AB D B AC AOD OB C A C A+====⋅⋅⋅=，不妨设第1个至第n个正方形的边长分别用：12,,,nl l l⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OBl==121123322ll l C A=+==，2232233322ll l C A⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322nnn n n nll l C A----⎛⎫=+= ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n个正方形1n n n nA B B C+132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n个正方形边长的方法与技巧．20．如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，且3AD BD=，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若45ACD BED∠=∠=︒，且CD=AB的长为__________．【答案】【分析】延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，由45ACD BED∠=∠=︒可得此时CEF△为等腰直角三角形，E为CD的中点且CD=CE DE==Rt CEF中，根据勾股定理求得CF，EF长度，由BF DG⊥可得EDG ECF△≌△,即EG EF=，由BF AC⊥，BF DG⊥可得AC DG∥，即BDG BAF△∽△，13BG BDFG AD==∴,求得，4AB BD==∴【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，⊥45ACD BED∠=∠=︒，=45BED CEF∠=︒∠，⊥90EFC=∠，BF AC⊥，CEF△为等腰Rt CEF．由题意可得E为CD的中点，且CD=⊥CE DE==在等腰Rt CEF中，32CE，3CF EF ==∴，又⊥BF DG ⊥，在ECF EDG △和△中，90CFE DGE CEF DEG CE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥EDG ECF △≌△（AAS ）⊥3EF EG ==，⊥BF AC ⊥，BF DG ⊥，⊥//AC DG ， ⊥13BG BD FG AD == 6FG EF EG =+=，⊥2BG =，BD4AB BD ==∴故答案为：【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，直线4y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且34OB OA =．（1）求直线AB 的教师式；（2）点(),0P t 是x 轴正半轴上一点，连接BP ，将射线PO 沿BP 翻折，与过点B 垂直于BP 的直线交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，射线BD 交射线CP 于点Q ，若56BCD DCQ S S =△△，求P 点坐标．【答案】（1）334y x =+；（2）6；（3）P ⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据直线4y kx k =+与x 轴，y 轴的交求得A ，继而求得OA ，OB ，再求得点B ，最后根据待定系数法求教师式；（2）根据翻折性质可得BPC BPE ∠=∠，继而易证⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），可得BC BE =，继而证得OB 是⊥CDE 的中位线，即可求解；（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，设5OD OE BM m ===，6NQ m =，求得185DN =，根据tan DP NQ DCP CD CN ∠==，求得154m DP =，继而求得CP ，在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，解得m ，继而即可求解．【详解】（1）令x ＝0，得4y k =,则（0，4k ），令0y =得40kx k +=，解得：4x =-，则()4,0A -⊥4OA =， ⊥34OB OA = ⊥3OB =，即()0,3B ，⊥043k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥直线AB 的教师式334y x =+．（2）由翻折可知BPC BPE ∠=∠，又PB CE ⊥，即⊥PBC ＝⊥PBE ＝90°，又BP ＝BP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），⊥BC BE =．⊥CD x ⊥轴于点D ，⊥//OB CD ，⊥OB 是⊥CDE 的中位线，⊥26CD OB ==．（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，由56BCD DCQ S S =△△，即151262CD OD CD NQ ⋅=⨯⋅， 5,6OD NQ ∴= ⊥BM ⊥DE ⊥NQ ，12BM DE OD OE ===,DM ＝OB ＝3， ⊥⊥BDM ⊥⊥QDN ， ⊥DM BM DN NQ=, 设5OD OE BM m ===，6NQ m =，即356m DN m=, 解得：185DN =， tan DP NQ DCP CD CN ∠==， 6,18665DP m ∴=+ 解得：154m DP =， ⊥15551044m CP PE DP DE m m ==+=+=．在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，即2221555644m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m =⊥1535355444OP OD DP m m m =+=+===，⊥P ⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一次函数的综合题，涉及到勾股定理，相似三角形的判定及其性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学在求得关键线段和坐标，综合性较强，需认真审题． 22．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：⊥AE DF=_____；⊥直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______．【答案】（130°；（2 【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF =BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠===，如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，30；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠，又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，。

2023上海各区中考一模数学压轴题

中考模拟数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝33.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:25.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）1.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（）。

（结果保留根号）|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2.已知△ABC，若有|sinA−12是。

三、解答题3．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

1.如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C，在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2根号3，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称。

2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版

例 2022年上海市宝山区第25题如图1，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果13DPCF=，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果22AF AB=，求n的值．图1满分解答（1）如图2，过点F作DC的平行线交EC于点M，所以∠FME＝∠DCE．已知CE⊥BP，DF⊥BP，所以CE//DF．所以四边形CDFM是平行四边形．所以FM＝DC＝CB．根据同角的余角相等，得∠DCE＝∠CBE．所以∠FME＝∠CBE．于是根据“AAS”，可证得△FME≌△CBE．所以EF＝EC．图2 图3 图4 （2）如图3，设BP与AD交于点G．设∠ABP＝α．在等腰三角形ABP中，AB＝AP，所以∠APB＝α．在Rt△ABG和Rt△DFG中，根据内角和相等，得∠ADF＝α．在等腰三角形ADP中，∠ADP＝∠APD．所以∠ADP－α＝∠APD－α．所以∠FDP＝∠FPD．所以FD＝FP．所以△FDP和△ECF都是等腰直角三角形，DP//CE（如图4所示）．如图4，延长CD交BP的延长线于点N．那么∠N＝α．如果13DPCF=，那么1236PF mFE m==，13NPNF=．所以122NP mPF m==．在Rt△NEC中，tan∠N＝62623CE mNE m m m==++．所以tan∠ABP＝23．（3）第一步，点F是一个关键点．如图5，根据“边边边”，可以证得△AFD≌△AFP．所以AF平分∠DAP，∠AFD＝∠AFP＝135°．所以∠AFB＝45°．所以∠AFC＝90°，△AFC始终是直角三角形（如图6所示）．第二步，计算说理．如图6，因为22AB AC=，如果22AF AB=，那么12AF AC=．所以∠ACF＝30°，∠F AC＝60°．所以∠F AD＝60°－45°＝15°．所以n°＝2∠F AD＝30°，n＝30．图5 图6例 2022年上海市崇明区第25题如图1，正方形ABCD 的边长为1，在射线AB 上取一点E ，联结DE ，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，点E 落在点F 处，联结EF ，直线EF 与对角线BD 所在直线交于点M ，与射线DC 交于点N ．（1）当13AE =时，求tan ∠EDB 的值；（2）当点E 在线段AB 上，如果AE ＝x ，FM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值．图1满分解答（1）如图2，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，所以BD ＝2，∠ABD ＝45°．在等腰直角三角形△BEH 中，BE ＝AB －AE ＝23，所以BH ＝EH ＝23．在Rt △DEH 中，DH ＝BD －BH ＝223-＝223，所以tan ∠EDB ＝EH DH ＝12．图2 图3 （2）如图3，在Rt △BEF 中，BE ＝1－x ，BF ＝1＋x ，由勾股定理，得222EF x =+ 过点F 作BF 的垂线交BD 的延长线于点Q ，那么△BFQ 是等腰直角三角形．由QF //BE ，得11FM QF x EM BE x+==-．所以11(1)(1)2FM x x EF x x ++==++-． 21222x x +=+．所以2(1)22x x y ++．定义域是0≤x ≤1．（3）按照点G 的位置，分两种情况讨论：①如图4，点G 在BC 上．由13BM BG DM AD ==，得43BD DM =．所以33244DM BD =如图5，由∠DEF＝∠DBA＝45°，∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以2332242DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝31122-=．所以AE＝22．图4 图5 ②如图6，点G在CB的延长线上．由13BM BGDM AD==，得23BDDM=．所以33222DM BD==．如图7，由∠DEF＝∠DBA＝45°，根据等角的补角相等，得∠DEM＝∠DBE．又因为∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以232232DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝3－1＝2．所以AE＝2．图6 图7例 2022年上海市奉贤区第25题如图1，已知锐角△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，延长AD 至G ，使DG ＝FD ，联结BG 、CG ．（1）求证：BD ∙AC ＝AD ∙BG ；（2）如果BC ＝10，设tan ∠ABC ＝m ．①如图2，当∠ABG ＝90°时，用含m 的代数式表示△BFG 的面积；②当AB ＝8，且四边形BGCE 是梯形时，求m 的值．图1 图2满分解答（1）如图3，在Rt △ADC 和Rt △BEC 中，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2．因为BD 垂直平分FG ，所以BF ＝BG ．根据等腰三角形的“三线合一”，得∠2＝∠3．所以∠1＝∠3．由cos ∠1＝cos ∠3，得AD BD AC BG=．所以BD ∙AC ＝AD ∙BG ．图3 图4（2）①如图4，如果∠ABG ＝90°，那么∠3＝∠4．所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4．．根据“ASA ”，可证△ADB ≌△ADC ．所以BD ＝CD ＝5．由△ABC ∽△BFG ，根据相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，得()222tan ABC BFG S AD ABC m S BD ⎛⎫==∠= ⎪⎝⎭△△．所以S △BFG ＝21m S △ABC ．而S △ABC ＝225AD BC AD BC m BC⋅=⋅=，所以S △BFG ＝21m S △ABC ＝25m ． ②分两种情况讨论梯形BGCE ．情况一：如图5，当CG ∥BE 时，∠2＝∠5．又因为∠2＝∠3，所以∠3＝∠5．所以GB ＝GC ．根据等腰三角形的“三线合一”，可知GD 垂直平分BC ．所以BD ＝CD ＝5．在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝5，所以AD＝39，m＝tan∠ABC＝395ADBD=．情况二：如图6，当BG∥CE时，∠3＝∠6．又因为∠1＝∠3，所以∠1＝∠6，△ADC是等腰直角三角形．设BD＝x，那么AD＝DC＝10－x．由BD2＋AD2＝AB2，得(10－x)2＋x2＝82．解得x1＝57-，x2＝57+（此时△ABC是钝角三角形，舍去）．当x＝57-，m＝tan∠ABC＝10571657957AD xBD x-++===-．图5 图6例 2022年上海市虹口区第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan B ＝34，点D 是边BC 延长线上的一点，在射线AB 上取一点E ，使得∠ADE ＝∠ABC ．过点A 作AF ⊥DE 于点F ．（1）当点E 在线段AB 上时，求证：AF DE AC BD=；（2）在（1）题的条件下，设CD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）记DE 交射线AC 于点G ，当△AEF 与△AGF 相似时，求CD 的长．图1满分解答（1）如图2，已知∠ADE ＝∠ABC ，∠BAD 是公共角，所以△ADE ∽△ABD ．如图3，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得AF DE AC BD=．图2 图3 图4（2）在Rt △ABC 中，由AB ＝10，tan B ＝34，可得AC ＝6，BC ＝8．如图4，在Rt △ACD 中，CD ＝x ，AC ＝6，所以AD ＝236x +．在Rt △ADF 中，sin ∠ADF ＝sin ∠B ＝35，所以AF ＝35AD ＝23365x +．由（1），得AF DE AC BD=．所以2336568x y x +=+．整理，得21(8)3610y x x =++．x 的取值范围是0＜x ≤8．当x ＝8时，E 、B 两点重合．（3）△AEF 和△AGF 有公共的直角边AF ，分两种情况讨论相似．①如图5，AE 和AG 在AF 的两侧．此时AF 垂直平分EG ，∠GDC ＝∠GAF ＝∠EAF ＝α．设AF 的延长线与BC 交于点M ，那么点M 到∠BAC 两边的距离相等，等于MC ．由S △ABC ＝12BC AC ⋅＝1()2MC AB AC ⋅+，得863106BC AC MC AB AC ⋅⨯===++．图5 再由∠AMD ＝∠ABC ＋α，∠ADM ＝∠ADE ＋α，∠ABC ＝∠ADE ，得∠AMD ＝∠ADM ．所以AM ＝AD ．根据等腰三角形的“三线合一”，得CD ＝MC ＝3．②如图6，AE 和AG 在AF 的同侧．此时∠GDC ＝∠GAF ＝∠E ＝α．所以BE ＝BD ＝8＋x ．如图7，由△ABD ∽△ADE ，得AB AD AD AE=．所以AD 2＝AB ·AE ．所以x 2＋36＝10×(10＋8＋x )．整理，得x 2－10x －144＝0．解得x ＝18，或x ＝－8（舍去）．图6 图7例 2022年上海市黄浦区第25题如图1，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠ACB ＝∠DAB ＝90°，AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF ．（1）求证：AE ＝AC ；（2）设BC ＝x ，=AE y EF，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）当△ABC 和△DEF 相似时，求边BC 的长．图1满分解答（1）如图2，因为AB 2＝BC ∙BD ，所以=AB BD BC AB．所以Rt △ACB ∽Rt △DAB ．所以∠4＝∠2．因为AE ⊥BD ，所以∠4＋∠3＝90°．又因为∠1＋∠3＝90°，所以∠4＝∠1．所以∠1＝∠2．根据“AAS ”，可证得△AEB ≌△ACB ．所以AE ＝AC ．图2 图3（2）已知AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，BC ＝BE ＝x ，所以9BD x=．设M 为Rt △ABD 的斜边BD 的中点，那么MB ＝MA ＝MD ．所以∠MAB ＝∠MBA ．又因为∠MBA ＝∠CBA ，所以∠MAB ＝∠CBA ．所以MA //FC ．所以229192222x BD BE AE ME x x y EF BE BE x x ---=====．定义域是0＜x 32 （3）如图4，因为△ABC ∽△ABE ≌△DAE ，若△ABC 与△DEF 相似，我们灵活运用相似三角形的传递性，分两种情况讨论．①如图4，当∠1＝∠5时，AB //DF ．所以BE AEyED EF==．所以229292x xxxx-=-．整理，得x2＝3．解得x＝±3．所以BC＝3．②如图5，当∠1＝∠6时，等量代换，得∠4＝∠6．此时AE＝EF．所以229212-==xyx．整理，得x2＝94．解得x＝±32．所以BC＝32．图4 图5例 2022年上海市嘉定区第25题在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD 垂直，34ABAC=，四边形ABCD的周长是16，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F是在边AB上一点，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果BF∶FA＝1∶2，求△CDE的面积．图1 图2 备用图满分解答（1）如图3，过点D向直线AB作垂线，垂足为H，那么四边形ACDH是矩形．由AB＝DC，DC＝HA，得HA＝AB．所以BH＝2AB．在Rt△DBH中，cot∠AFD＝233242 BH ABDH AC==⨯=．图3 图4（2）如图3，在Rt△ABC中，34ABAC=，设AB＝3m，AC＝4m，那么BC＝5m．已知平行四边形ABCD的周长为16，所以2(3m＋5m)＝16．解得m＝1．所以AB＝3，AC＝4，BC＝5．如图4，由DC//AB，得∠EDC＝∠F AD，∠CDF＝∠DF A＝α．又已知∠CDF＝∠CED＝α，所以∠CED＝∠DF A＝α．所以△EDC∽△F AD．所以35 DE DCAF AD==．所以5335xy-=-．整理，得53433y x=-+．定义域是5＜x≤345．当E、D两点重合时，x＝5．当F、B两点重合时，53435y x=-+=，解得x＝345．（3）如图5，由△CDE∽△DAF，得2239525 CDEDAFS CDS DA⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．而S△DAF＝12AF DH⋅＝142AF⨯＝2AF，所以S△CDE＝925S△DAF＝9225AF⨯＝1825AF．分两种情况讨论BF∶FA＝1∶2．①如图5，当点F在AB上时，AF＝23AB＝2．此时S△CDE＝1825AF＝18225⨯＝3625．②如图6，当点F在AB的延长线上时，AF＝2AB＝6．此时S△CDE＝1825AF＝18625⨯＝10825．图5 图6例 2022年上海市金山区第25题如图1，AD ⊥直线MN ，垂足为D ，AD ＝8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC 交射线DN 于点C ，∠ABC 的平分线分别与AD 、AC 相交于点E 、F ．（1）求证：△ABE ∽△CBF ；（2）如果AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结DF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长．图1满分解答（1）如图2，∠ACD 和∠BAD 都是∠ABC 的余角，所以∠ACD ＝∠BAD ．又因为BF 平分∠ABC ，所以∠1＝∠2．所以△ABE ∽△CBF ．（2）如图3，由∠1＝∠2，∠BAF ＝∠BDE ，得△BAF ∽△BDE ．所以=AF BF DE BE ．所以∠AFB ＝∠BED ＝∠AEF ．所以AF ＝AE ．已知AE ＝x ，所以AF ＝x ，ED ＝AD －AE ＝8－x ．由（1），得△ABE ∽△CBF ．所以=CF BF AE BE．等量代换，得=CF AF AE DE ．所以8=-y x x x．整理，得28=-x y x ．图2 图3 （3）如图4，因为△ABE ∽△CBF ，如果△DEF 与△BCF 相似，那么△DEF 与 △ABE 也相似．因为∠AEB ＝∠DEF ，分两种情况讨论．①如图4，如果∠3＝∠4，那么△AEB ∽△FED ．所以EA EB EF ED=．又因为∠AEF ＝∠BED ，所以△AEF ∽△AED ．所以∠AFE ＝∠BDE ＝90°，不符合题意，舍去．②如图5，若∠3＝∠1，那么DF //AB ．所以=FD DE AB AE ，=FD CF AB CA ．等量代换，得=CF DE CA AE．所以8-=+y x y x x ．代入28=-x y x，整理，得x 2＋8x －64＝0．解得x 1＝445-+x 2＝445--．所以AE ＝445-+图4 图5例 2022年上海市静安区第25题如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB ＝9，AE ＝6，AE 2＝AB ∙AD ，且DC //AE ．（1）求证：DE 2＝AE ∙DC ；（2）如果BE ＝9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设BE ＝x ，EF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 图2满分解答（1）如图3，如图4，因为AE 平分∠BAD ，所以∠1＝∠2＝α．因为AE 2＝AB ∙AD ，所以=AB AE AE AB．所以△ABE ∽△AED ．所以∠3＝∠4＝β，∠5＝∠6＝θ．因为DC //AE ，所以∠4＝∠7＝β，∠9＝∠5＝θ．所以∠9＝∠6＝θ．所以△AED ∽△EDC ．所以=AE DE DE DC．所以DE 2＝AE ∙DC ．图3 图4（2）如图5所示，如果BE ＝BA ＝9，那么α＝θ．此时△ABE 、△AED 、△DEC 是两两相似的等腰三角形．所以AE ＝ED ＝DC ＝6．因为AD //BC ，所以四边形ABCD 是梯形，四边形AECD 是平行四边形．由966AD=，得EC ＝AD ＝4．如图6，作DH ⊥EC 于H ，那么EH ＝HC ＝2．在Rt △DHC 中，DC ＝6，HC ＝2，由勾股定理，得364DH -42所以S 梯形ABCD ＝1()2+⋅AD BC DH ＝1(494)422++⋅＝342图5 图6（3）如图，由△ADE ∽△AEB ，得AE DE AB BE =．所以69DE x =．解得DE ＝23x ．由△EDC ∽△ABE ，得DE DC EC AB BE AE==．所以2396x DC EC x ==．解得DC ＝2227x ，EC ＝49x ，则CF ＝49y x -．由DC //AE ，得DC CF AE EF=．所以2242796x y x y -=．整理，得23681x y x=-．定义域为0＜x ＜9．。

2024届上海初三一模数学各区25题解答压轴题

图11上海市2024届初三一模数学分类汇编—25题解答压轴题【2024届·宝山区·初三一模·第25题】1.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知ABC 中，1AB AC ，D 是边AC 上一点，且BD AD ，过点C 作//CE AB ，并截取CE AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：2AF DF BF ；（2）设AD x ，DF y ，求y 与x 的函数关系式；（3）如果ADF 是直角三角形，求DF 的长．第25题图2备用图第25题图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知Rt ABC 中，90ACB ，3AC ，5AB ，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足CDF A ，过点C 作CE CD 交DF 的延长线于E ．（1）如图1，当//CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设AD x ，BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．图122图121 3.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ，6AD ，4AB ，BC AD ，ADC 的平分线交边BC 于点E ，点F 在线段DE 上，射线CF 与梯形ABCD 的边相交于点G ．（1）如图121 ，当4tan 3BCD 时，求BE 的长；（2）如图122 ，如果点G 在边AD 上，联结BG ，当4DG ，且CGB BAG ∽时，求sin BCD的值；（3）当F 是DE 中点，且1AG 时，求CD 的长．图14①图14②备用图4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分5分，第（2）②小题满分5分）如图14①，在Rt ABC 中，90ACB ，4tan 3ABC，点D 在边BC 的延长线上，联结AD ，点E 在线段AD 上，EBD DAC ．（1）求证：DBA DEC ∽；（2）点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图14②）．①如果2AC AF ，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC的值；②如果2DE CD，3EM ，:5:3FM DM ，求AF 的长．第25题图（本题满分4分）5.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，O 是Rt ABC 斜边AB 的中点，BH CO 交AC 于D ，垂足为H ，联结OD ．（1）求证：2BC AC CD ；（2）如果ODH 与ABC 相似，求其相似比；（3）如果:4:1BH DH ，求ADO 的大小．图11图12备用图6.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）①小题5分，第（2）②小题6分）如图11，在ABC 和ACD 中，90ACB CAD ，16BC ，15CD ，9DA ．（1）求证：B ACD ；（2）已知点M 为边BC 上一点（与点B 不重合），且MAN BAC ，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E ．①如图12，设BM x ，CE y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当CEN 是等腰三角形时，求BM 的长．第25题图7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，CAD ABC ，DC AC ，AD 与边BC 相交于点P ．（1）求证：212AB AD BC；（2）如果4sin 5ABC ，求:BP PC 的值；（3）如果BCD 是直角三角形，求ABC 的正切值．第25题图1第25题图2备用图8.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第25题图1第25题图2备用图9.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，以AC 、BC 为边在ABC 外部作等边三角形ACE 和等边三角形BCF ，且联结EF ．（1）如图1，联结AF 、EB ，求证：ECB ACF ≌；（2）如图2，延长AC 交线段EF 于点M ．①当点M 为线段EF 中点时，求ACBC的值；②请用直尺和圆规在直线AB 上方作等边三角形ABD （不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M 在ABD 的内部时，求ACBC的取值范围．第25题图备用图备用图10.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．图1311.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图13，在矩形ABCD 中，2AB ，4BC ，E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BM DE ，垂足为点M ，联结CM ，设CE a （01a ）．（1）求证：DCE BME ∽；（2）CME 的大小是否是一个确定的值？如果是，求出CME 的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示CME 的正切值；（3）P 是边AD 上一动点（不与点A 、D 重合），联结PB 、PM ．随着点P 位置的变化，在PBM中除BPM 外的两个内角是否会有与CME 相等的角？如果有，请用含字母a 的代数式表示此时线段AP 的长；如果没有，请说明理由．第25题（1）图第25题（2）图第25题（3）图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ．点D 、E 分别在边AB 、BC 上，联结ED ，将线段ED ，绕点E 按顺时针方向旋转90 得到线段EF ．（1）如图，当点E 与点C 重合，ED AB 时，AF 与ED 相交于点O ，求:AO OF 的值；（2）如果5AB BD （如图），当点A 、E 、F 在一条直线上时，求BE 的长；（3）如图，当DA DB ，2CE 时，联结AF ，求AFE 的正切值．第25题图第25题备用图13.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC 中，AC BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB ．（1）如图，如果点D 在AC 的延长线上．①求证：DE BD ；②联结CE ，如果//CE BD ，2CE ，求EF 的长．（2）如果:1:2DF DE ，求:AE EB 的值．第25题图备用图14.（本题满分14分）如图，在Rt ABC 中，90BAC，AB AC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点B 重合），以CD 为斜边在直线BC 上方作等腰直角三角形DEC ．（1）当点D 是边AB 的中点时，求sin DCB 的值；（2）联结AE ，点D 在边AB 上运动的过程中，EAC 的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出EAC 的大小；（3）设DE 与AC 的交点为G ，点P 是边BC 上的一点，且CPD CGD ，如果点P 到直线CD 的距离等于线段GE 的长度，求CDE 的面积．第25题图备用图15.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE AB ，延长BE 交CD 于点F ．（1）求证：135BED ；（2）联结CE ．①当CE BF 时，求BP PC的值；②如果CEF 是以CE 为腰的等腰三角形，求FBC 的正切值．第25题图1备用图备用图16.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知ABC 中，2ABC C ，BG 平分ABC ，8AB ，163AG，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE ，求:BF GF 的值；（3）如果ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 的长．。

上海市初三数学一、二模考24.25压轴题收集

（1）求m的值；（2）求∠CDE的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得
△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）
如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC= 6，BO⊥AC，垂足为点O．过点A作射线AE//BC，点P是边BC上任意一点，联结PO并延长与射线AE相交于点Q，设B、P两点间的距离为x．
（1）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；
（2）当△CEF是等腰直角三角形时,求线段BE的长；
（3）设BE=x,CF=y，试求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域.
(图8) （图9）
静安24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A（3，3），一次函数的图像经过点A和点B（6，0）．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
宝山24．(本题满分12分，共3小题，每小题满分各4分）
如图8，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线上．
（1）求、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形
使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，
求所有满足条件的⊙P的半径.
虹口24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分3分）
已知等腰在平面直角坐标系中的位置如图9，点坐标为，点坐标为．
（1）若将沿轴向左平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；

2020上海初三数学一模压轴题汇总各区23~25题

崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；（2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点N ．（（（△ B DEC G F （第24题图）（备用图）崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．金山23. （本题满分12分，每小题6分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD 是Rt △ABC 的高，E 是AC的中点，ED 的延长线与CB 的延长线相交于点F ．（1）求证：DF 是BF 和CF 的比例中项；（2）在AB 上取一点G ，如果AE ：AC=AG ：AD ，求证：EG ：CF=ED ：DF ．金山24. （本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线23y ax bx 与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OAOC ，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线1x ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值；（3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标．金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC 中，45,cos 5AB AC B ，P 是边AB 一点，以P 为圆心，PB 为半径的P 与边BC 的另一个交点为D ，联结PD 、AD ．（1）求△ABC 的面积；（2）设PB =x ，△APD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD 是直角三角形，求PB 的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD CA CE CB ⋅=⋅．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）若BE AB EC AC=，求证：AB AD AF AE ⋅=⋅．青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题43）小题5 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于点 A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A（第25题图1）A BC D F E B DF E C A （第25题图2）B D F EC A （第25题图3） A BDEF 图8关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．图9青浦25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ．（1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值；（2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．黄浦23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项. （1）求证：12CDE ABC ∠=∠ （2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ 黄浦24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.松江23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =⋅．（1）求证：AD ∥BC ；（2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =⋅．松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM图10 Q P D C B A 备用图 A B C D E DCB A是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．（1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E=∠C ．（1）求证：2AD AF AB =⋅；（2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．闵行24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点A （1-，0），B （32且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ．（1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上，联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .若存在，求出点E浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4 A C E F G （备用图） A B D C （第25题图） A B D C E F G （第24题图） A （第23题图） D E F B C题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ．（1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．虹口1、E 、F ，且EF⋅（1；（2=8 虹口1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标．虹口25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB =5，AD =4，AD ∥BM ，3cos 5B =（如图），点C 、E 分别为射线BM 上的动点（点C 、E 都不与点B 重合），联结AC 、AE ，使得∠DAE =∠BAC ，射线EA 交射线CD 于点F ．设BC =x ，AF y AC=．（1）如图1，当x =4时，求AF 的长；（2）当点E 在点C 的右侧时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD 交AE 于点P ，若△ADP 是等腰三角形，直接写出x 的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽；（2）··AB BC BD BE =．普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，图9AB与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠；（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF . 求证：CA CE AF ⋅=2.嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ，第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）图6在正方形ABCD中，8=AB，点P在边CD上，43tan=∠PBC，点Q是在射线BP 上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q在线段BP上，设xPQ=，yRM=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．静安6中，⊥作∠，交DB（1ABE；（2）如果56BCBD=，求BCEBDASS的值．静安24.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线253y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD中，090,,,BAD AD DC AB BC AC<∠≤==平分BAD∠．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），AFB ACB∠=∠，设AB长度是a（a实常数，且0a>），,AC x AF y==，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE是等腰三角形时，求AC的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，AC图8A图9A图10FEADE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆；（2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．长宁24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ， ∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ．（1）求证：AE =AF ；（2）若DF CF DE AE =,求证：四边形EBDF 是平行四边形．徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；备用图第24题图备用图备用图图1 D CB A DC B A F E PD C B A 第25题图（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =2，AB =4，BC =5，在射线BC 任取一点M ，联结DM ，作∠MDN =∠BDC ，∠MDN 的另一边DN 交直线BC 于点N （点N 在点M 的左侧）．（1）当BM 的长为10时，求证：BD ⊥DM ；（2）如图（1），当点N 在线段BC 上时，设BN =x ，BM =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN 是等腰三角形，求BN 的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC . （1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H . （1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长；（2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点， CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =．（1）求证：BD 平分⊥ABC ；（2）求证：··BE CF BC EF ＝．O x y 1 2 3 4 1 23 4 5 -1-2 -3-1 -2 -3 （第24题图）（备用图）（图1） A B C D N P M E （图2） A B C D NP M E （第25题图）A B CD （第23题图）A B C D F E奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C ，设CAEBAF Cy C =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、（满分12分，每小题各6分）如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G .（1）求证：AE EG AC CG=；（2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF的比例中项.宝山24、（满分12分，每小题各4分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。

多维度解析客观压轴题——2023年初三数学一模18题(一)

2023年初三数学一模18题解析
2024年一模临近，基于多年的教学经验以及2023年初三数学一模18题真题，从多个维度来解析客观压轴题，相信停笔于某一步的你一定能有所启发。

希望可以引导同学们更好地解答这个4分地拉分题，也欢迎各位及时有效地进行反馈。

（2023宝山一模）
点评：本题考查比较多，新颖之处在于条件以画图的形式隐形给出，这就需要同学们学会分析题目背后隐藏的信息。

所涉及到的知识点包括中垂线和相似三角形等。

（2023崇明一模）
点评：本题的难点主要在于作图。

考点包括翻折的性质和相似的性质及应用等。

（2023奉贤一模）
点评：本题主要抓住边长没有改变，属于新定义的题型，较为简单。

知识点包括矩形的面积
公式，平行四边形的面积公式和三角比的应用。

（2023虹口一模）
点评：本题属于新定义题，关键在于审题以及分类讨论。

知识点包括旋转的性质。

（2023黄浦一模）
点评：本题主要考查分类讨论思想。

知识点包括相似的性质。

（2023嘉定一模）
点评：本题关键在于作图和一线三直角模型的考查。

知识点包括相似的判定和性质。

（2023金山一模）
点评：本题主要是对范围求解的方法的理解，特别是极端情况的应用。

知识点包括中心的意义和相似的性质。

（2023静安一模）
2023年初三数学一模18题解析2023年初三数学一模18题解析
点评：本题属于新定义题，主要是观察和审题。

知识点包括二次函数的顶点式。

较简单。

2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-图形的翻折含详解

专题图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝45．点D、E分别在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE＝．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝45，E是BC上一点，把△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果PE∥AC，那么BE＝．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上一点，且BD＝3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B′，则sin∠CB′D＝．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，如果将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点D处，折痕为CM，那么cos∠DMA＝．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝35．D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE 翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是cm．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC 上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B 所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC 的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为．专题图形的翻折【历年真题】2．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 、E 分别在AC 边和AB 边上，沿着直线DE 翻折△ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果CF ＝1，则BE ＝724．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】过F 作FG ⊥AB 于点G ．先求出AB ＝3，BF ＝3﹣1＝2．则FG ＝GB ＝BF ，所以AG ＝AB﹣BG ＝﹣＝，设AE ＝x ，则EF ＝x ，EG ＝﹣x ，在Rt △EGF 中，EG 2+FG 2＝EF 2，利用勾股定理解列出（﹣x ）2+（）2＝x 2，解得x ＝524，即求出BE ．【解答】解：过F 作FG ⊥AB 于点G ．∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝3，CF ＝1，∴AB ＝，BF ＝3﹣1＝2．∴FG ＝GB ＝BF ＝，∴AG ＝AB ﹣BG ＝＝，设AE ＝x ，则EF ＝x ，EG ＝﹣x ，在Rt △EGF 中，EG 2+FG 2＝EF 2，即（﹣x ）2+）2＝x 2，解得x ＝524，∴BE ＝AB ﹣AE ＝﹣524＝724．故答案为：724．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝15，sin ∠A ＝45．点D 、E 分别在AB 和AC 边上，AD ＝2DB ，把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF ，如果射线EF ⊥BC ，那么AE ＝510-．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】先根据折叠得到DE 平分∠AEF ，根据角平分线过D 作∠AEF 两边垂线即可．【解答】过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BH ⊥AC 于H∵AB ＝AC ＝15，4sin 5A ∠=，AD ＝2DB ∴AD ＝10，DM ＝8，AM=6，BH=12，AH=9，∴CH ＝AC-CH=6∴22tan 2,5BHC BC BH CH CH∠===+过D 作DG ⊥EF 交EF 于N，交AC 于G∵把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF∴DE 平分∠AEF，∴DM＝DN＝8，EM＝EN，∵EF⊥BC 于点G，∴DH∥BC，∴23DG AD BC AB ==，∠C＝∠NHE，∴23DG BC ==∴8NG DG DN =-=-∵tan tan 2EN C NGE NG∠=∠==∴216EM EN NG ===∴10AE AM EM =+=故答案为：10-【点评】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC 中，AB＝AC＝10，sinB＝45，E 是BC 上一点，把△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，如果PE∥AC，那么BE＝2．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，设AP 交BC 于F ，根据AB ＝AC ＝10，sin B ＝45，AD ⊥BC ，可得AD ＝8，BD ＝CD ＝6，BC ＝12，由△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，即得∠P ＝∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠PAE ，而PE ∥AC ，有∠P ＝∠FAC ，可证得∠AEC ＝∠EAC ，CE ＝AC ＝10，即得BE ＝BC ﹣CE ＝2．【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AP 交BC 于F ，如图：∵AB ＝AC ＝10，sin B ＝45，AD ⊥BC ，∴4105AD AD AB ==，∴AD ＝8，∴BD ＝CD ＝6，∴BC ＝12，∵△ABE 沿直线AE 翻折后，点B 落在点P 处，∴∠P ＝∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠PAE ，∵PE ∥AC ，∴∠P ＝∠FAC ，∴∠B ＝∠FAC ，∴∠B +∠BAE ＝∠FAC +∠PAE ，即∠AEC ＝∠EAC ，∴CE ＝AC ＝10，∴BE ＝BC ﹣CE ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为395．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力．【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：根据题意如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA，∵∠AQP+∠A+∠APQ＝180°，∠AQP+∠PQC+∠CQB＝180°，∵∠CQB＝∠APQ，∴∠A＝∠AQP＝∠PQC，∴PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，∴S △ABC ＝12⨯AC •BC ＝12⨯AB •CD ，∴10CD ＝6×8，∴CD ＝245，∵CD ⊥AB ，PE ⊥AB ，∴PE ∥CD ，∴△APE ∽△ACD ，∴AP PE AC CD =，∴82485x PE -=，∴PE ＝35（8﹣x ），∴AE=45（8﹣x ），∴AQ ＝2AE ＝85（8﹣x ），∵∠PCQ ＝∠QCA ，∠PQC ＝∠A ∴△PCQ ∽△QCA ，∴CQ CP PQ AC CQ AQ==，∴CQ，88(8)5x x -=-，∴258x =，∴AQ ＝85（8﹣x ）＝395．故答案为：395．【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD ＝3CD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B ′，则sin ∠CB ′D ＝1010．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由折叠的性质得出AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，证出∠CB 'D ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，求出AD＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵将△ABD 沿直线AD 翻折，∴AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，∵AB ＝AC ，∴AC ＝AB '，∴∠AB 'C ＝∠ACB '，设∠B 'AC ＝x ，∠CB 'D ＝α，∠CAD ＝β，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝∠AB 'D ＝45°，∴2（α+45°）+x ＝180°，∴2α＝90°﹣x ，又∵∠B 'AD +∠BAD ＝∠B 'AC +∠CAB ，∴2（x +β）＝90°+x ，∴2β＝90°﹣x ，∴α＝β，∴∠CB 'D ＝∠CAD ，∵CD ⊥AB ，DE ⊥AB ，∴CA ∥DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，∵BE ＝DE ，∴13AE BE =，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，∴AD =，∴sin ∠CB ′D ＝sin ∠ADE ＝AE DE =＝10．故答案为：1010．【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，如果将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点D 处，折痕为CM ，那么cos ∠DMA ＝3132．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，证明△BCM ∽△BAC ，由相似三角形的性质得出CD BM CM AB BC AC==，求出BM 和AC 的长，过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，由勾股定理求出x ，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴CD BM CM AB BC AC ==，∴696BM =，∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC =，∴AC ＝152，∴AD ＝AC ﹣CD ＝152﹣6＝32，过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，∴22223((5)42x x +-=-，解得318x =，∴cos ∠DMA ＝31318432MN DM ==．故答案为：3132．【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明△BCM ∽△BAC 是解题的关键．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝35．D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为4．【考点】平行线分线段成比例；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，利用正弦的定义得到sin B＝35DGBD=，则设DG＝3x，BD＝5x，所以BG＝4x，再根据折叠的性质和平行线的性质得到∠H＝∠DBH，所以DH＝DB＝5x，接着根据平行线分线段成比例定理得到35GE DGBE DH==，则BE＝52x，然后证明△BDG∽△BAC，利用相似比得到BA＝252x，最后计算AE：BE的值．【解答】解：如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，∵FD⊥AB，∴∠DGB＝90°，∵sin B＝35DGBD=，∴设DG＝3x，BD＝5x，∴BG4x，∵△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，∴∠BDE＝∠FDE，∵DE∥BH，∴∠FDE＝∠H，∠BDE＝∠DBH，∴∠H＝∠DBH，∴DH＝DB＝5x，∵DE∥BH，∴35 GE DGBE DH==，∴BE＝58×4x＝52x，∵∠BGD＝∠C＝90°，∠DBG＝∠ABD，∴△BDG∽△BAC，∴BD BGBA BC=，即5410x xBA x=，∴BA＝252x，∴AE＝AB﹣BE＝252x﹣52x＝10x，∴AE：BE＝10x：52x＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了折叠的性质和解直角三角形．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为26．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝2，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝AM4=sin C sin60∠833，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝22，AE2242833AE＝3，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝3×226，∴AA′＝2AF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于655．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG ＝CG ，CE ⊥BD ，证明△CDF ∽△BCD 和△CDG ∽△BDC ，可计算CD 和CG 的长，再证明△EFD ∽△AED ，可得AE 的长．【解答】解：由折叠得：CE ⊥BD ，CG ＝EG ，∴∠DGF ＝90°，∴∠DFG +∠FDG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG +∠CDG ＝90°，∴∠CDG ＝∠DFG ，∵∠CDF ＝∠BCD ＝90°，∴△CDF ∽△BCD ，∴CD DF =BC CD，∵AB ＝4，DF ＝1，∴CD 1=4CD，∴CD ＝2，由勾股定理得：CF ＝221+2=5，BD 222+45，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG ＝455，∴CE＝2CG ＝85 5，∴EF＝CE﹣CF ＝855＝355，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE ，即15=AE2，∴AE【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或40 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22226810AC BC +=+=，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ，又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：BF ＝165，设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ，∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =，∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2．方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25，∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ，在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2，∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ，∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817，∴BE ＝4017．故答案为：2或4017．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为152+．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ，∴DC ＝DE ，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AF DEEF AE=，∴11x xx+=，解得x＝152+或x＝152（舍去），∴AE＝12．故答案为：15 2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC ＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝21 4，故答案为21 4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为24 7．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62=== PF BF155，∴PA＝27AF＝247，故答案为24 7．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是532cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE＝DF＝BE＝CF，求得四边形AEFD是矩形，得到EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，根据折叠的性质得到BN＝AB，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，于是得到EN＝32BN532到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝DF＝BE＝CF，∴四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，∴BN＝AB，∵BE＝12AB，∴BE＝12BN，∴∠BNE＝30°，∵AB＝5cm，∴EN ＝32BN∴EF≥EN时，点A恰好落在线段EF上，即AD∴边AD的长至少是【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB=；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为或4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝5或5．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF⊥AB于F，连接AA′．想办法求出AE，利用等腰直角三角形的性质求出AA′即可．【解答】解：如图，作DF⊥AB于F，连接AA′．在Rt△ACB中，BC＝6，∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，∴△AFD∽△ACB，∴DF AD AFBC AB AC==，∴46108DF AF==，∴DF＝125，AF＝165，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝125，∴AE＝A′E＝125+165＝285，∴AA′＝2825，如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝165﹣125＝45，AA AE＝425．故答案为2825或425．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为1 7．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD ．设BC ＝2a．∵四边形ABC 都是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2a ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△BDC 是等边三角形，∵DE ＝EC ＝a ，∴BE ⊥CD ，∴BE 22-3BC EC =a ，∵AB ∥CD ，BE ⊥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠EBF ＝90°，设AF ＝EF ＝x ，在Rt △EFB 中，则有x 2＝（2a ﹣x ）2+3a ）2，∴x ＝74a ，∴AF ＝EF ＝74a ，BF ＝AB ﹣AF ＝4a ，∴cos ∠EFB ＝14774a BF a EF ==，故答案为17．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

上海市2020届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)

【2020徐汇一模】
25．（本题满分14分）
如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点、重合），点在边的延长线上，，，与边交于点．
（1）求的值；
（2）当时，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变化，请求的值；如果变化，请说明理由．
（徐汇）25．解：（1）过点分别作、，垂足分别为．
∵ // ，∴ ．
由，，，
得，解得．（1分）
在中，，；
在中，，；
得；∴ ；
在中，，∴ ．
（2）以点为圆心长为半径作弧交于点，过点作于．
∴可设；
∴ ，又；
∴ ；∴ ；则；
在中，，∵ ，
即；
解得；即．
（3）点在边上运动过程中，的值不变，．
联结．
∵ ，∴ ；∴ ；
又，，
∴ ；∴ ；
∵ ，；∴ ∽ ；
（3）当动点运动时，直线与直线的夹角等于，请直接写出这时线段的长．
（普陀）25．解：（1）过点作，为垂足．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ // ．
∵ // ， ∴ ．（1分）
同理可得．（1分）
在Rt△ 中，，，∴ ．
∴ ．（1分）
∵ ，∴ ．（1分）
（2）延长、交于点．（1分）
（2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值．
25．（长宁金山）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

上海初三数学一模压轴题汇总

如图，点E是正方形ABC以勺边BC延长线上一点,联结DE过顶点B作BF DE ,垂足为F, BF交边。

豚点G(1)求证：GD AB DF BG ;(2)联结CF求证：CFB 45 .(第23题图)崇明24 .(本题满分12分，每小题各4分)如图，抛物线y 4x2bx c过点A(3,0), B(0,2) . M(m, 0)为线段OA上一个动点3(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN!勺中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B, P, N为顶点的三角形与△ APM相似，求点M的坐标.(第24题图) (备用图)崇明25.(本题满分14分，第(1)小题4分,第⑵ 小题5分,第⑶ 小题5分)4如图，已知△ ABC中，ACB 90 , AC 8 , cosA - , D是AB边的中点，E是AC5边上一点，联结DE过点D作DF DE交BC边于点F,联结EF.(1)如图1,当DE AC时，求EF的长；(2)如图2,当点E在AC边上移动时，DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE的正切值；(3)如图3,联结C^ EF于点Q当△ CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长.(第25题图1)(第25题图2)(第25题图3)金山23.(本题满分12分，每小题6分)如图，已知在Rt△ ABC中，Z ACB=90 , AO BC, CD是Rt △ ABC的高，E是AC的中点，ED 的延长线与CB的延长线相交于点 F .(1)求证：DF是BF和CF的比例中项；(2)在AB 上取一点G，如果AE: AC=AG AD,求证：EG CF=ED DF.金山24.(本题满分12分，每小题4分)平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y = ax2+ bx+ 3与y轴相交于点C ,与x轴正半轴相交于点 A , OA= OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x= 1,顶点为P .(1)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求Z PMC勺正切值；(3)点Q在y轴上，且△ BCC^A CMFt目似，求点Q的坐标.金山25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）,一__ ___________ 4 ..........如图，已知在△ ABC中，AB= AC=5,cosB=—, P是边AB 一点，以P为圆心，PB 5为半径的e P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD .（1）求^ ABC的面积；（2）设PB =x, △ APD的面积为y ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△ APD是直角三角形，求PB的长.青浦23.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8,已知点 D E分别在△ ABC的边AC BC上，线段BD与AE交于点F,且CD CA CE CB .（1）求证：/ CAJ CBD..BE AB .（2）若一一，求证：AB AD AF AE.EC AC图8青浦24.(本题满分12分，第(1)小题3分，第(2)小题4分，第(3)小题5分)如图9,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c a 0与x轴相交于点A (-1 , 0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线x 1 .(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)联结AC BC若^ ABC勺面积为6,求此抛物线的表达式；(3)在第(2)小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C,点F与点A关于点Q 成中心对称，当△ CG国直角三角形时，求点Q的坐标.青浦25.(本题满分14分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4分)如图10,在边长为2的正方形ABC计，点P是边AD上的动点(点P不与点A点D重合)，点Q是边CD±一点，联结PB PQ且Z PBOZ BPQ(1)当Qt> QCM,求/ ABP的正切值；(2)设AP=x, CQy,求y关于x的函数解析式；(3)联结BQ在^ PBQ^是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由.图10备用图黄浦23、(本题满分12分)如图，BD是△ ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项1(1)求证：CDE - ABC2(2)求证：AD CD AB CE黄浦24、(本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x 1的抛物线y ax2bx 8过点2,0 .(1)求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；(2)现将此抛物线沿y方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B, 与x轴负半轴交于点 A ,过点B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC// BD ,试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、(本题满分14分)如图，线段AB 5 , AD 4 , A 90 , DP// AB，点C为射线DP上一点，BE平分ABC 交线段AD于点E (不与端点A、D重合).(1)当ABC为锐角，且tan ABC 2时，求四边形ABCD的面积；(2)当△ ABE与ABCE相似时，求线段CD的长；(3)设DC x , DE y ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域.松江23.(本题满分12分，每小题6分).已知四边形ABCg, / BAD=Z BDG90 , BD2AD BC(1)求证：AD// BC(2)过点A作AE// CD交BC于点E.请完善图形并求证：CD2BE BC .松江24.(本题满分12分，每小题4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bx c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t .(1)求点A的坐标和抛物线的表达式；(2)当AEEP=1:2时，求点E的坐标；(3)记抛物线的顶点为M与y轴的交点为C,当四边形CDE睡等腰梯形时，求t的值.松江25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ ABg, / ACB90 , AG=1, BG=2, C"分Z ACE^边A眄点D,P是射线CD 上一点，联结AP.（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且/ PA岳45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM PM若^ CM扇等腰三角形，求CP的长.闵行23.（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ ABg, / BAC=2/ B, AD平分Z BACDF AD2 AF AB AD BE gE AB y ax2bx 3(a 0) 1 3 EF 2 EFB DF .(1A 求证：B[U AC（2）联结A皇岁匕驾F BC EF .D（第25题图）（备侏）0（第24题图）浦东24.(本题满分12分，每小题4分)已知抛物线y= ax2+ bx+ 5与x轴交于点A(1 , 0)和点B(5 , 0),顶点为M点C在x 轴的负半轴上，且AO AB点D的坐标为(0 , 3),直线l经过点G D.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP且线段CP是线段CA CB的比例中项,求tan / CPA的值；(3)在(2)的条件下，联结AM BM在直线PM比是否存在点巳使得Z AEMZ AMB若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.y54321J5 - 4- 3 J2 - 1O ~1 ~23 4 5~*x1—2(第24题图)浦东25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ ABg, Z ACB=0 , BG=2, AG=4,点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E,过点E作EFL AB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G.（1）求证：△ EFC^A AEG（2）设FGx, △ EFG勺面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF,当^ EF昵等腰三角形时，请直接写出FG的长度.（第25题备用图）（第25题备用图）虹口23.（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分）如图，在△ ABC中，点 * E分别在边AB AC上，DE BC的延长线相交于点F,且EF DF BF CF .（1）求证AD AB AE AC;& ADE .（2）当AB=12, AC=9, AE=8时，求BD的长与 ---- 的值.、△ ECF虹口24.(本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A (-2,0 )、B (4,0 )，与y轴交于点C (0, -4 ), BC与抛物线的对称轴相交于点 D.(1)求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；(2)过点A作Ad AC交抛物线于点E,求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点F在射线AE上，若△ ADI^A ABC求点F的坐标.虹口25.（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）3 ....... ..............已知AB=5, AD=4, AD// BM cosB -（如图），点O E分别为射线B"的动点（点G E 5都不与点B重合），联结AC AE,使得Z DA=Z BAG射线E段射线CW点F.设BG=x,住y .AC （1）如图1,当x=4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P,若^ AD哩等腰三角形，直接写出x的值.普陀23.（本题满分12分）已知：如图9 ,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E , ______ ___ 2 _____ ____AD DC, DC DE DB .求证：（1） VBCEsVADE ；（2） AB BC BD BE .普陀24.(本题满分12分，每小题满分各4分)如图10,在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2 2ax c (其中a、c为常数，且a 0)与x轴交于点A,它的坐标是(3, 0),与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4 .(1)求该抛物线的表达式；(2)求CAB的正切值；(3)如果点P是抛物线上的一点，且ABPCAO，试直接写出点P的坐标.普陀25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11, BAC的余切值为2, AB 2龙，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧.联结BG，并延长BG，交射线EC于点P .（1）点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量（填序号）；① AF ;② FP ;③ BP ;④ BDG ;⑤ GAC ;⑥ BPA;（2）设正方形的边长为x,线段AP的长为y ,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；⑶如果VPFG与VAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.嘉定23.(本题满分12分，每小题6分)如图6,已知梯形ABCD中，AD // BC , AB CD ,点E在对角线AC上，且满足ADE BAC.(1)求证：CD AE DE BC ；(2)以点A为圆心，AB长为半径画弧交边求证：AF2 CE CA.BC于点F，联结AF .图6嘉定24.(本题满分12分，每小题4分)2 2已知在平面直角坐标系 xOy(如图7)中，已知抛物线y -x 23B(0,2).(1) 求该抛物线的表达式；(2) 设该抛物线的对称轴与 x 轴的交点为C, 第四象限内的点 D 在该抛物线的对称轴上，如果以点A 、C 、D 所组成的三角形与△ AOB 相似, 求点D 的坐标; (3)设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1, ■ 1联结 AE 、BE ,求 sin ABE.' 图7bx c 点经过 A (1，0)、yB 1 - A O 1x嘉定25.(满分14分，第(1)小题4分，第(2)、(3)小题各5分)3在正万形ABCD中，AB 8,点P在边CD上，tan PBC —,点Q是在射线BP 4 上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP 垂直.(1)如图8,当点R与点D重合时，求PQ的长；(2)如图9,试探索：业的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你MQ的理由；若没有变化，请求出它的比值；(3)如图10,若点Q在线段BP上，设PQ x , RM y ,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.图8图9 图10静安23.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)已知：如图，梯形ABCD中，DC//AB, AD BD,AD DB，点E是腰AD上一点,作EBC 45°，联结CE ,交DB于点F .(1)求证：VABE s VDBC ;(2)如果匹求§VB竺的值.BD 6 S VBDA静安24.(本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分)___ __ _____ _一，…一....... o 5在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y ax bx —经过点A( 1,0)、3B(5,0).(1)求此抛物线顶点C的坐标；(2)联结AC交y轴于点D，联结BD、BC ,过点C作CH BD，垂足为点H ,抛物线对称轴交x轴于点G ,联结HG ,求HG的长.静安25.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD中，0o BAD 90o, AD DC, AB BC, AC平分BAD .（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F （点F可与点D重合），AFB ACB,设AB长度是a （a实常数，且a 0）, AC x, AF y，求y 关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当VCGE是等腰三角形时，求AC的长.（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在ABg，点D在边BC上，联结AD Z ADB£ CDEDE交边AC于点E, DE交BA延长线于点F,且AD2DE DF .（1）求证：BFD s CAD；（2）求证：BF DE AB AD .第23题图长宁24.(本题满分12分，每小题4分)1 .................................................... ..............................在直角坐标平面内，直线y - x 2分别与x轴、y轴交于点A、C.抛物线21y -x2 bx c经过点A与点C,且与x轴的另一个交点为点B.点D在该抛物线上，2且位于直线AC的上方.(1)求上述抛物线的表达式；(2)联结BC BD且BD交AC于点E,如果ABE的面积与ABC勺面积之比为4:5, 求ZDBA勺余切值；(3)过点D作DFL AC垂足为点F,联结CD若CF由AOCffi似，求点D的坐标.第24题图备用图长宁25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABC[^, AB=2, AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PFL BD,交射线BC于点F.联结AP画Z FPE=Z BAP PE交BF于点E.设PD=x EF=y.（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；（2）如图1,当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC,若Z FPGZ BPE请直接写出PD的长.图1 备用图备用图第25题图徐汇23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ ABg, AB=AC 点D E、F分别在边BC AB AC上，且/ AD巨Z B, / ADF=Z C线段EF交线段AD于点G.（1）求证：AEAF；（2）若EL 史，求证：四边形EBDF＞平行四边形.DE AE徐汇24.(本题满分12分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx (k乒0)沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B (3,0 )，与y轴交于点C,抛物线y x2bx c过点B C且与x轴的另一个交点为A.(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D,求^ DBC勺面积；(3)如果点F在y轴上，且Z CDI=45° ,求点F的坐标.徐汇25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABC[^, AD// BC ZA=90° , AD=2, AB=4, BG5,在射线BC任取一点M 联结DM作Z MDNZ BDC / MDN勺另一边DNK直线BC于点N （点N在点M的左侧）.（1）当BM勺长为10时，求证：B皿DM（2）如图（1）,当点N在线段BC上时，设BN=x, BMy,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△ DM遑等腰三角形，求BN的长.杨浦23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABC畔，AD（ 1）求证：△ AEI^A CFE（2）当EF杨浦24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线yx 2 2mx m 2 m 1交y 轴于点为 A 顶点为D,对称轴与x 轴交于点H（1）求顶点D 的坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1, -2 ）,且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y x 2 2x 的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点 D 在第二象限时，如果/ ADHZ AHO 求m 的值.（第24题图）5 4 321-3 -2 -1O-1-2杨浦25.（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABC呻，AB=4, BC=3,点M N分别在边AB CD上，直线MNK矩形对角线AC 于点E,将^ AME甘直线M阑折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.如图1,当Ed BC时，求CN的长；如图2,当Ed AC时，求AM的长；请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN勺长.（第25题（1）（2）（3）奉贤23.(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图8 ,四边形ABCD, DCB 90 ,对角线B^ AD点E是边AB的中点, CE与BD相交于点F, BD2 ABBC.(1)求证：BD平分Z ABC(2)求证：BECF= BC EF .奉贤24.(本题满分12分，每小题满分各 4分)如图9,在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y 3 2—x bx c 与x 轴相交于点A( 2,0) 8和点B ,与y 轴相交于点C(0, 3),经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ,与抛物线的另一个交点为点F ,且理 1 .EF 3求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；求 FAB 的余切值；点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y P 的坐标. (1) (2) (3轴上一点，且 AFP DAB ,奉贤25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）已知：如图10,在梯形ABCD中，AB//CD, D 90o, AD CD 2，点E在边AD上（不与点A、D重合），CEB 45o,EB与对角线AC相交于点F ,设DE x.（1）用含x的代数式表示线段CF的长；C（2）如果把VCAE的周长记作C VCAE , VBAF的周长记作C VBAF ,设C* y ,求y关C V BAF于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE的正切值是3时，求AB的长.5宝山23、(满分12分，每小题各6分)如图，VABC中，AB AC,过点C作CF//AB交VABC的中位线DE的延长线F ,联结BF ,交AC丁点G.(1)求证：AE EG；(2)若AH平分BAC,交BF 丁H，求证：BH是HG和HF的比例中项.宝山24、(满分12分，每小题各4分)设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a x b的实数x的所有取值的全体叫做闭区问，表示为a,b，对丁一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m x n 时，有m y n,我们就此称此函数是闭区问m,n上的“闭函数”。

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

∴ 2x 2 y ， 2x 1 2 x
可得： y 2x2 2 （0＜x＜2）； 2x 1
（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝ 1 x2 ，EH＝ 1 ( y x)2 ，
∴ EG AE ，∴EG＝ AE EH ，
GH CH
AE CH
∵∠BEG＝∠DHE，
若△BEG 与△DHE 相似，则有两种情况，
【知识梳理】
专题二动点函数背景下的面积问题
【历年真题】
1．（2020 秋•静安区期末）已知∠MAN 是锐角，点 B、C 在边 AM 上，点 D 在边 AN 上，∠
EBD＝∠MAN，且 CE∥BD，sin∠MAN＝ 3 ，AB＝5，AC＝9． 5
（1）如图 1，当 CE 与边 AN 相交于点 F 时，求证：DF•CE＝BC•BE；（2）当点 E 在边 AN 上时，求 AD 的长；（3）当点 E 在∠MAN 外部时，设 AD＝x，△BCE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
⊙O 的半径为 5，tan∠OAC＝ 3 ． 4
（1）求弦 AC 的长．（2）当点 E 在线段 OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值．（3）当 OE＝1 时，求点 A 与点 D 之间的距离（直接写出答案）．
3．（2020 秋•黄浦区期末）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD＝4，CB＝CD＝3，∠ABC＝
4．（2020 秋•奉贤区期末）已知⊙O 的直径 AB＝4，点 P 为弧 AB 上一点，联结 PA、PO，点 C 为劣弧 AP 上一点（点 C 不与点 A、P 重合），联结 BC 交 PA、PO 于点 D、E．
（1）如图，当 cos∠CBO＝ 7 时，求 BC 的长； 8

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编第23题精选30道-相似三角形综合问题(练习版)

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（学生版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（）A．32 B C D2．如图，四边形ABCD 为菱形，BF △AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（）A ．△ABE △△ADE ；B ．△CBE ＝△CDF ；C ．DE ＝FE ；D ．S △BCE ：S 四边形ABFD ＝1：93．如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（）AB ．CD ．4．如图，正方形ABCD 边长为8，E 为AD 中点，线段PQ 在边DC 上从左向右以1个单位/秒的速度运动，3PQ =，从P 点与D 点重合时开始计时，到Q 点与C 点重合时停止，设运动时间为t 秒，连结BE EP BQ ､､，在运动过程中，下列4个结论：△当1t =时，BAE BCQ ≌；△只有当53t =时，以点E D P ､､构成的三角形与BCQ △相似；△四边形EPQB 的周长最小等于16+△四边形EPQB 的面积最大等于38．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（）A ．2B ．74CD ．36．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结论：△ABC S △当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△7．如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 上一动点，E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得EF ，连接DE ，DF ，CF ．下列结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△AEM FEC ∠=∠；△45BCM DCF ∠+∠=︒．其中结论正确的序号是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△ 8．如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122OCD k k S-=；△()21212DCP k k S k -=，其中正确的是（）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，正方形2021202120212020A B C C 的面积为（）A ．2021352⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2020954⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4040954⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4042352⎛⎫ ⎪⎝⎭10．如图，ABC 中，△C =90o ，BC ＝8，AC ＝6，点P 在AB 上，AP =3.6，点E 从点A 出发，沿AC 运动到点C ，连接PE ，作射线PF 垂直于PE ，交直线BC 于点F ，EF 的中点为Q ，则在整个运动过程中，线段PQ 扫过的面积为（）A ．8B ．6C ．94πD ．2516π二、填空题11．如图，菱形111OA B C 中，1160AOC ∠=︒，1B 坐标为()2,0，再以1B 为对称中心作菱形222OA B C ，再以2B 为对称中心作菱形333OA B C ，按此规律继续作下去，得到菱形n n n OA B C ，则n A 的坐标为_______．12．已知：如图，在Rt ABC 中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作2DE AC ⊥于点2E ，连接2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记11BD E ，22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S 设ABC 的面积为1，则n S =______（用含n 的代数式表示）.13．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；．．．按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为____________．14．如图，函数kyx=（k为常数，0k>）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若25MFMB=，则MDMA=________．15．如图在矩形ABCD中，点E是线段AB上一点，且满足5AE＝13BE，将AED沿ED所在直线翻折，点A恰好落在线段BC上点A'处，连接AC交线段A D'于点M，若AB的长为9，则A MC的面积为_______．16．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90︒得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．如果AB =2，PF 平分DFB ∠，则BF =_______．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原．如图，在正方形ABCD 中，点G 为边BC 延长线上一动点，连接AG 交对角线BD 于点H ，△ADH 的面积记为S 1，四边形DHCG 的面积记为S 2．如果点C 是线段BG 的黄金分割点，则12S S 的值为___．18．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分△BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且△ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：△EO △AC ；△S △AOD ＝S △OCF ；△AC △BD；△FB 2＝OF •DF 其中正确的是______．（填序号）19．如图，在ABC 与CDE △都是等边三角形，且点A ､C ､E 在同一条直线上，AD 与BE ､BC 分别交于点F ､M ，BE 与CD 交于点N ．有以下结论：△AM BN =；△ABF DNF ≌；△180FMC FNC ∠+∠=︒；△111AC MN CE=-．其中正确的是_______．（填序号）20．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：△当BG BM =时，AG =；△OH OF OM OC=；△当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；△222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．三、解答题21．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形，直接写出点Q 的坐标．22．如图，在直角ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==．D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，点P 从A 出发沿线段AD DE EB --以每秒3个单位长的速度向B 匀速运动；点Q 从点A 出发沿射线AB 以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P 与点B 重合时停止运动，点Q 也随之停止运动，设点P 、Q 运动时间是t 秒，（0t >）．（1）当t =______时，点P 到达终点B ；（2）当点P 运动到点D 时，求BPQ 的面积；（3）设BPQ 的面积为S ，求出点Q 在线段AB 上运动时，S 与t 的函数关系式； 23．如图，在直角坐标系中，直线BC 经过点B （﹣4，0）和点C （0，3），A 点坐标为（3，0），点P 为直线BC 上一点，连接AC 、AP ．（1）求直线BC 的教师式；（2）如图1，当点P 在线段BC 上，△APC ＝45°时，求P 点坐标；（3）如图2，当点P 在直线BC 上移动，将△APC 沿AC 翻折得到△AP ′C ，直线AP ′与直线BC 交于点D ，△DCA 的面积为7，求点D 坐标（直接写出结果）．24．问题背景：如图（1），已知△ABC △△ADE ，求证：△ABD △△ACE ；尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，△BAC ＝△DAE ＝90°，△ABC =△ADE =30°，AC与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD DF CF的值；拓展创新：如图（3），D 是△ABC 内一点，△BAD ＝△CBD ＝30°，△BDC =90°，AB ＝4，AC＝AD 的长．25．某艺术馆一扇窗户(矩形ABCD )上的窗花设计如图所示，已知AC ，BD 是矩形ABCD 的对角线，EF ，GH ，IJ ，KL 将矩形ABCD 分割成8块全等的小矩形，EF 与KL 相交于点N ，M 是KN 上一点，2MN KM ，ME 与AC 相交于点P ，这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到．设矩形ABCD 的面积为S ，则阴影部分的面积之和为______．(用含S 的代数式表示)．26．（阅读）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（理解）（1）如图1，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，△ACB ＝30°，试判断△ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（应用）（2）如图2，△ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ，AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是△ABD 的重心，求AB BC的值．（拓展）（3）如图3，a △b ，且直线a 与b 之间的距离为4，“准黄金”△ABC 的“金底”BC 在直线b 上，点A 在直线a 上，AB BC △ABC 是钝角，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，线段A ′C 交a 于点D ．当点B ′落在直线b 上时，求AD CD的值．27．如图，平面直角坐标系中()2,0A ，()0,1D ，过O 作OB AD ⊥于点E ，B 为第一象限的点，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接BC 、BA ．（1）求直线AD 的教师式；（2）若CD BC =，求证：OBC ADO ≌△△；（3）在第（2）问条件下，若点M 是直线AD 上的一个动点，在x 轴上存在另一个点N ，且以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，△OAC 是直角三角形，点A 坐标是（0，2），△OCA ＝30°，以线段OA 、OC 为邻边作矩形点ABCO ，D 是线段AC 上的一动点（不与A ，C重合），连结BD作DE△DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．（3）试判断DEDB的值是否为定值？若是定值，请求出DEDB的值；若不是定值，请说明理由．29．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上的一点，将ADM沿直线AM翻折，得ANM．连接BN．（1）当点B、M、N在同一直线时，求DM的长；（2）当DM=1时，求ANB的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．30．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D是BC上一点，BD＝AC，F是AC上一点，连接BF交AD于E．（1）如图1，若AC＝5，CD＝2，△CAD＝△CBF，求EF：DE的值；（2）如图2，若△DEB＝45°，求证：AF＝CD；（3）如图3，在（2）问条件下，过B作AD的垂线，交AD延长线于H，过C点作CG△AD垂足为G，若DH＝a，BH＝b，直接写出DGAE的值（用a，b的式子表示）。

上海第一中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

上海第一中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC +ED 的最小值是．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A 、⊙B ，M 、N 分別是⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，试求PM +PN 的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC 长为3米，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°，联动杆DE 长为2米，联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，点G 恰好是DE 的中点，点F 可在边框BC 上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值并说明理由．2．已知函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++均为一次函数，m 为常数．（1）如图1，将直线AO 绕点()1,0A -逆时针旋转45°得到直线l ，直线l 交y 轴于点B ．若直线l 恰好是1221,(21)1y x m y m x =+-=++中某个函数的图象，请直接写出点B 坐标以及m 可能的值；（2）若存在实数b ，使得||(1)10m b b ---=成立，求函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++图象间的距离；（3）当1m 时，函数121y x m =+-图象分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点，(21)1y m x =++图象交x 轴于D 点，将函数11y y y =的图象最低点F 向上平移5621m +个单位后刚好落在一次函数121y x m =+-图象上，设12y y y =的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形面积为S ，试利用初中知识，探究S 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）3．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标．（3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．4．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．5．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．6．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．（1）求证：AB =AC ；（2）①证明：GE =EC ；②若BC =8，OG =1，求EF 的长．7．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．8．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）线段DE 的长用含m 的式子表示为；（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．9．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．10．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是，AP 与EC 的数量关系是．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 的面积为934，求线段AC 的长．11．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．12．如图1，与为等腰直角三角形，与重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2．（1）证明：；（2）当为何值时，是等腰三角形？13．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数；（2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）14．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA ≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．15．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．(1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG ⊥CG ，BG=32△OGC 的面积．16．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12MB 的最小值以及此时点M 的坐标.17．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值；(3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值．18．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与3y x =平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式；②直接写出N 点的运动轨迹长度为．19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，记∠ABC ＝α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ 的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD ＝43时，求证：PD ＝PQ ；（3）设BC ＝t ，当PD ＝PQ 时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示）20．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OM ON=，求点M的坐标；（3）如图2，直线CB与平移后的抛物线交于F．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以,,C F P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（152744；（3）4，理由见解析【解析】【分析】（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD5EC+ED5（2）作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE＝12DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H2234+，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF 与FG长度和的最小值为4．【详解】解：（1）如图①，作点C 关于AB 的对称点C '，连接DE ，与AB 交于点E ，连接CE ．∴CE ＝C 'E ，此时EC +ED ＝EC '+ED ＝C 'D 最短，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°，C 'B ＝CB ＝2∴∠C 'BA ＝45°，∴∠DBC '＝90°∵D 是BC 边的中点，∴DB ＝1，在Rt △DBC '中，C 'D 2＝12+22＝5，∴CD ＝5，∴EC +ED 的最小值是5，故答案为5；（2）如图②，作⊙A 关于x 轴的对称⊙A ′，连接BA ′分别交⊙A ′和⊙B '于M '、N ，交x 轴于P ，连接PA ，交⊙A 于M ．则此时PM +PN ＝PM '+PN ＝M 'N 最小，∵点A 坐标（﹣2，3），∴点A ′坐标（﹣2，﹣3），∵点B （3，4），∴A 'B ()()223243+++74∴M 'N ＝A ′B ﹣BN ﹣A ′M '741﹣374﹣4∴PM +PN 的最小值为＝74﹣4；（3）如图③，延长AD 、CE ，交于点H ，连接GH ．∵∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°∴∠DHE ＝90°，∵G 是DE 的中点，DE ＝2，∴GE ＝12DE ＝1， ∵联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，∴点G 在以H 为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A 关于BC 的对称点A '，连接A 'H ，与BC 交于点F ，与⊙H 交于点G ，此时AF +FG ＝A 'F +FG ＝A 'G 为最短，∵AB ＝2，AH ＝BC ＝3，A 'B ＝2，A 'A ＝4，∴A 'H 2234+，∴A 'G ＝A 'H ﹣GH ＝5﹣1＝4，所以该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值为4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到勾股定理、轴对称性质求最短值，综合性比较强，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．2．（1）（0,1）；1或0 （22（3）348131200010S << 【解析】【分析】（1）由题意，可得点B 坐标，进而求得直线l 的解析式，再分情况讨论即可解的m 值；（2）由非负性解得m 和b 的值，进而得到两个函数解析式，设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH ，证得四边形GPTH 是正方形，求出GP 即为距离；（3）先根据解析式，用m 表示出点C 、E 、D 的坐标以及y 关于x 的表达式为()221221421y y y m x m x m =⋅+++-=，得知y 是关于x 的二次函数且开口向上、最低点为其顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭,根据坐标平移规则，得到关于m 的方程，解出m 值，即可得知点D 、E 的坐标且抛物线过D 、E 点，观察图象，即可得出S 的大体范围，如：ODE S S<，较小的可为平行于DE 且与抛物线相切时围成的图形面积．【详解】解：（1）由题意可得点B 坐标为（0,1），设直线l 的表达式为y=kx+1，将点A （-1,0）代入得：k=1，所以直线l 的表达式为：y=x+1, 若直线l 恰好是121y x m =+-的图象，则2m-1=1,解得：m=1，若直线l 恰好是2(21)1y m x =++的图象，则2m+1=1,解得：m=0，综上，()0,1B ，1m =或者0m =（2）如图，()110m b b ---=()110m b b ∴+--=0m ≥，10b -≥0m ∴=，10b -=0m ∴=11y x ∴=-，21y x =+设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH1OG OH OP OT ====，PH GT ⊥∴四边形GPTH 是正方形//GH PT ∴，90HGP ∠=︒，即HG GP ⊥2HP =2GP ∴=（3）121y x m =+-，()2211y m x =++121y x m =+-分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点()12,0C m ∴-，()0,21E m -()2211y m x =++图象交x 轴于D 点1,021D m -∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22122121121421y y y x m m x m x m x m =⋅=+-++=+++-⎡⎤⎣⎦1m >210m ∴+>∴二次函数()2221421y m x m x m =+++-开口向上，它的图象最低点在顶点∴顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭ 抛物线顶点F 向上平移5621m +,刚好在一次函数121y x m =+-图象上 ()()2222156221212121m m m m m m -∴-+=-+-+++且1m2m ∴=2125163(3)(51)y y y x x x x =⋅=+=∴+++，∴13y x =+，251y x =+∴由13y x =+，251y x =+得到1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ，由25163y x x =++得到与x 轴，y 轴交点是()3,0-，1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3， ∴抛物线经过1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E 两点 12y y y ∴=⋅的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形是封闭图形，则S 即为该封闭图形的面积探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．探究过程：①观察大于S 的情况．很容易发现ODE S S < 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E 11332510ODE S =⨯⨯=，310S ∴< （若有S 小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）②观察小于S 的情况．选取小于S 的几个特殊值来估计更精确的S 的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：位置一：如图当直线MN 与DE 平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN 与x ，y 轴分别交于M ，N 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ∴直线:153DE y x =+ 设直线1:15MN y x b =+25163y x x =++21530x x b ∴++-=()1430b ∴∆=-⨯-=，15920b =∴直线59:1520MN y x =+∴点59,0300M ⎛⎫- ⎪⎝⎭15959348122030012000OMN S =⨯⨯=∴，348112000S ∴> 位置二：如图当直线DR 与抛物线有唯一交点时，直线DR 与y 轴交于点R设直线2:DR y kx b =+，1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线1:5DR y kx k =+ 25163y x x =++()21516305x k x k +-∴+-= ()211645305k k ⎛⎫∴∆=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭，14k =∴直线14:145DR y x =+∴点140,5R ⎛⎫ ⎪⎝⎭1141725525ODR S ∴=⨯⨯=，725S ∴> 位置三：如图当直线EQ 与抛物线有唯一交点时，直线EQ 与x 轴交于点Q设直线:3EQ y tx =+ 25163y x x =++()25160x t x +∴-=()2160t ∴∆=-=，16t = ∴直线:163EQ y x =+∴点3,016Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 139321632OEQ S =⨯⨯=∴，932S ∴> 348197120003225>> 我们发现：在曲线DE 两端位置时的三角形的面积远离S 的值，由此估计在曲线DE 靠近中间部分时取值越接近S 的值探究的结论：按上述方法可得一个取值范围348131200010S << （备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231-或CM =123+【解析】【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C 在抛物线上，∴103664b c =-⨯++，得到6=9b c +，又∵对称轴2x =，∴2122()4b b x a =-=-=⨯-，解得1b =，∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++；（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0），∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，整理得：213204x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32，点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴22(12)(50)m m --+--221634m m -+又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴22(14)(52)m m --+--221634m m -+∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时，把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．4．（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+，即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ），当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得：23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ，当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．5．（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC ′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ．得040c b b c =⎧⎨-++=⎩， ∴02c b =⎧⎨=⎩． ∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）．∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m．∴C′D=12O′P=12m．∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）．当点O′在y=12-x2+2x上．则−12m2+2m＝m．解得：12m=，20m=（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103，109），点B （2，2）． ∴点A′（83，89）． ∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：82839k =，解得：k=76． ∴直线OA″的解析式为y=76x ．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127， ∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）以及点B′的坐标是解题的关键．6．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，先证明OA ∥FC ，则有∠ACE=∠CAO ，由∠ABE=∠ACE ，然后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．【详解】解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，∵AF是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC，∴OA∥FC，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，∴∠AOB=∠AOC，∴AB=AC；（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE是直径，∵CD⊥AB，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，∵∠DAC=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠EGC=∠ECG，∴EG=EC；②作OM⊥CE于点M，如图：则四边形AOMF是矩形，∴AO=FM，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得222BE BC CE =+，∴222(2)8(1)r r =++，解得：=5r （负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．7．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492 【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ，同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．8．（1）211433=--y x x ， (0,4)C -；（2）4m -；（3）①m 的值为54；②存在；点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55--或42(,)55．【解析】【分析】（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可求出a 、b 的值，进而可得到抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+即可求出解析式的表达式，令x=m ，即可得到线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -；（3）①由点D 的横坐标为m ，且04m <<，可得OE m =，再根据四边形DEFG 是正方形求出点G 的坐标，代入函数解析式即可求出m 的值；② 利用①中的方法求出点D 的坐标、CF 、CD 的值，再分不同情况讨论，利用两点间距离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可.【详解】（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-中，得934016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解，得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的表达式为211433=--y x x ．将0x =代入，得4y =-，∴点(0,4)C -．（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点(4,0)B 、(0,4)C -代入可得，404k b b +=⎧⎨=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩， ∵直线BC 的表达式为4y x =-，当x=m 时，4y m =-，即线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -.故答案为：4m -；（3）①∵点D 的横坐标为m ，且04m <<，∴OE m =，∵四边形DEFG 是正方形，∴4DE EF FG m ===-，∴442OF EF OE m m m =-=--=-，∵点G 在第三象限，∴点G 的坐标为(24,4)m m --，∵点G 在抛物线211433=--y x x 上，∴211(24)(24)4433m m m ----=-，解14m =（不符合题意，舍去），254m =， ∴当矩形DEFG 成为正方形时，m 的值为54． ②存在；理由如下：由①可知FG=DE=4-m ，∵点O 是线段EF 的中点，∴点G 的坐标为（-m ，m -4），∵点G 在抛物线211433=--y x x 上， ∴211(24)(24)4433m m m ----=-，解10m =（不符合题意，舍去），22m =，∴点D 的坐标为（2，-2）， ∴222425CF =+=，22(20)(24)22CD =-+-+=，如图，设点的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：I 、当位于点P 时，可得PF=CD ，PC=CF ，∴22(2)25PF x y =++=22(4)22PC x y =++=解得1142x y =-⎧⎨=-⎩，224525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不合题意，舍去）， ∴点P 的坐标为(4,2)--；II 、当位于点P '时，方法同I 可得点P 的坐标为1422(,)55--；III 、当位于点P ''时，方法同I 可得点P 的坐标为42(,)55；综上，点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55--或42(,)55．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三角形的性质，解本题的关键是确定函数关系式．9．（1）点P 的坐标为12⎛⎝⎭；（2）①34O D t '=-，t 的取值范围是423t <<；②87S ≤≤．【解析】【分析】（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得1122OH OP ==，进而用勾股定理可得2HP ==，点P 的坐标即求出；（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-，又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423t <<； ②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22CQ DQ t ==-，4)CD t ==-,进而可得222''3124))47POQ CDQ S S S t t =-=-=-+，又已知t 的取值范围是13t ≤≤S ≤≤ 【详解】解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．90OAB ∠=︒，30B ∠=︒9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．在Rt OHP △中，1OP =， 1122OH OP =∴=，2232HP OP OH =-=． ∴点P 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，O P OP '∴=，O Q OQ '=．又OQ OP t ==，O P OP OQ O Q t ''∴====．∴四边形OQO P '为菱形．//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．点()2,0A ，2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．O D O Q QD ''=-，34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形，∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°， ∴11(34)22CQ DQ t ==-，334)CD DQ t ==-, ∴222''337312434))47POQ CDQ S S S t t =-=-=-+ ∵13t ≤≤，343S ≤≤。

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-24题含详解

m专题2020年上海各区分类汇编-24题专题一二次函数与角度问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．2．（2019秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．3．（2019秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；：S△BCD＝3：2，求tan∠DBC的值；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．4．（2019秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；＝10，求点F的（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．5、(2019秋•普陀区期末)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线28 ()3y ax a x c=+++ (a≠0)经过点A(-3，-2)，与y轴交干点B(0，-2)，抛物线的顶点为点C．对称轴与x轴交干点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD．求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位干y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．专题二二次函数与相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•崇明区期末）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．2．（2019秋•徐汇区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣43x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．专题三二次函数与等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•松江区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．专题四二次函数与线段【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．2．（2019秋•虹口区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为3．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．专题五二次函数与其他【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．2．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．3．（2019秋•青浦区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．4．（2019秋•宝山区期末）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．5．（2019秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．专题2020年上海各区分类汇编-24题专题一二次函数与角度问题【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可；（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值；（3）此问需分类讨论，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P（a，﹣a2+2a+3），由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得-1-b+c=0-9+3b+c=0⎧⎨⎩，解得，b＝2，c＝3，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°，∴BC OC＝如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠HAB＝∠HBA＝45°，∴△AHB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝2AB＝，∴CH＝BC﹣BH，∴在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝AH CH ＝＝2，即∠ACB 的正切值为2；（3）①如图2，当∠PAB ＝∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P （a ，﹣a 2+2a +3），则M （a ，0），由（1）知，tan ∠ACB ＝2，∴tan ∠PAM ＝2，∴PM AM＝2，∴2-a 23a+1a ++＝2，解得，a 1＝﹣1（舍去），a 2＝1，∴P 1（1，4）；②取点P （1，4）关于x 轴的对称点Q （1，﹣4），延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB ＝∠PAM ＝∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣1，0），Q （1，﹣4）代入，得，04k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得，k ＝﹣2，b ＝﹣2，∴y AQ ＝﹣2x ﹣2，联立，22223y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得，10x y =-⎧⎨=⎩或512x y =⎧⎨=-⎩，∴P 2（5，﹣12）；综上所述，点P 的坐标为（1，4）或（5，﹣12）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．2．（2019秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x ＝﹣2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO ＝∠BCO ，求点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】（1）设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将A ，B 的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B ，C 的坐标，直接在Rt △OBC 中，根据余切定义即可求出；（3）设点E 的坐标是（x ，0），求出点E 的坐标，再求出CE 的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将点C （0，2）、A （﹣3，0）、对称轴直线x ＝﹣2代入，得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得：23a =，83a =，∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++；（2）令y ＝0，那么2282033x x ++=，解得x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，∵点A 的坐标是（﹣3，0），∴点B 的坐标是（﹣1，0），∵C （0，2），∴OB ＝1，OC ＝2，在Rt △OBC 中，∠BOC ＝90°，∴OC cot BCO==2OB∠；（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE ＝|x |．∵∠CEO ＝∠BCO ，∴cot ∠CEO ＝cot ∠BCO ，在Rt △EOC 中，∴OE |x|cot CEO==2OC 2=∠，∴|x |＝4，∴点E 坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C 坐标是（0，2），∴CE l ：122y x =+或122y x =-+，∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）；∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E 坐标时需注意可在x 轴的正半轴，也可在负半轴．3．（2019秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数y ＝ax 2+bx +c（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象经过点A （0，﹣3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果S △ABD ：S △BCD ＝3：2，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力．【分析】（1）将A、B、C的坐标直接代入y＝ax2+bx+c即可；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，证∠OAC＝∠OCA＝45°，∠FAC＝∠OCA＝45°，推出∠BAO＝∠EAF，证△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF 的长，EG的长，即可写出点E的坐标．【解答】解：（1）将A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，得，3930ca b ca b c=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是y＝﹣x2+4x﹣3；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则132122ABDBCDAD hS ADS DCCD h∆∆===，又∵DH∥y轴，∴△CHD∽△COA，∴25CH DC DHOC AC OA===，∴CH＝DH＝25×3＝65，∴BH＝BC﹣CH＝2﹣65＝45，∴tan∠DBC＝32 DHBH=；（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵AF∥x轴，∴∠FAC＝∠OCA＝45°，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵∠BAO＝∠OAC﹣∠BAC，∠EAF＝∠FAC﹣∠EAC，∴∠BAO＝∠EAF，∵∠AOB＝∠AFE＝90°，∴△OAB∽△FEA，∴13 OB EFOA AF==，∵AF＝2，∴EF＝23，∴EG＝GF﹣EF＝AO﹣EF＝3﹣23＝73，∴E（2，﹣7 3）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形．4．（2019秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB＝10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；方程思想；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据抛物线解析式求得对称轴方程为x＝1，结合AB＝6求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；（2）如图1，联结OF，设F（t，﹣12t2+t+4），根据图形得到S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB，由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征求得点F的纵坐标；（3）如图2，设PF与y轴的交点为G．由tan∠EBO＝tan∠HFB＝12得到：∠EBO＝∠HFB．易推知∠PFB＝∠PBF．故PF＝PB．设P（a，0）．由两点间的距离公式求得相关线段的长度并列出方程，通过解方程求得点P的横坐标．【解答】解：（1）由y＝mx2﹣2mx+4＝m（x﹣1）2+4﹣m得到：抛物线对称轴为直线x＝1．∵AB＝6，∴A（﹣2，0），B（4，0）．将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m＝﹣1 2．故该抛物线解析式是：y＝﹣12x2+x+4；（2）如图1，联结OF，设F（t，﹣12t2+t+4），则S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB＝12×2t+12×4（﹣12t2+t+4）＝10．∴t1＝1，t2＝2．∴点F的坐标是（1，）或（2，4）；（3）由题意得，F（2，4），如图2，设PF与y轴的交点为G．，∵tan∠EBO＝24OEOB=＝12，tan∠HFB＝BHFH＝12，∴tan∠EBO＝tan∠HFB．∴∠EBO＝∠HFB．又∵∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，∴∠PFB＝∠PBF．∴PF＝PB．设P（a，0）．则PF＝PB，∴（a﹣4）2＝（a﹣2）2+42，解得a＝﹣1．∴P（﹣1，0）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5、(2019秋•普陀区期末)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线28 ()3y ax a x c=+++ (a≠0)经过点A(-3，-2)，与y轴交干点B(0，-2)，抛物线的顶点为点C．对称轴与x轴交干点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD．求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位干y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；方程思想；几何直观；运算能力．【分析】（1）将点A 、B 代入抛物线28()3y ax a x c =+++，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可．（2）如图1，连接AB ，交对称轴于点N ，则N （32-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH 的长，OE 的长，可写出点E 的坐标（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t 的代数式表示出点P 的坐标，可分别求出点P 的坐标【解答】解：（1）将点A (-3，-2)、B (0，-2)代入抛物线28(3y ax a x c =+++得8293()32a a x c c⎧-=-++⎪⎨⎪-=⎩解得，43a =-，2c =-∴2244342()5332y x x x =+-=+-∴抛物线的解析式是：24423y x x =+-，顶点C 的坐标为（32-，-5）（2）如图1，连接AB ，交对称轴于点N ，则N （32-，-2）在Rt△BCN 中，3BN 12tan BCN===EH 32∠∴1tan AED=2∠过点A 作AH⊥DE 于点H，则AH 21tan AED===EH EH 2∠∴EH=4，OE=1，∴E （1,0）（3）①如图2，当∠EAP=90°时，∵∠HEA+∠HAE=90°，∠MAP+∠HAE=90°∴∠HEA=∠MAP又∵∠AHE=∠PMA=90°∴△AHE ∽△PMA ，∴PM AH =AM HE设PM=t，则AM=2t，将P（t-3，-2-2t）代入24423y x x =+-得t 1=0（舍去），23t =2∴P 1（32-，-5）②如图3，当∠AEP=90°时，∵∠PEN +∠EPN=90°，∠AEG +∠PEN=90°∴∠EPN =∠AEG 又∵∠N=∠G=90°∴△AEG ∽△EPN ∴PN EG 1=EN 2AG =设PN=t ，则EN=2t ，将P （1-t ，2t ）代入24423y x x =+-得：1134t +=，2134t -=（舍）∴P 2（91294+-，131292）∴综上所述：P 1（32-，-5），P 2（32-，-5）专题二二次函数与相似三角形【历年真题】1．（2019秋•崇明区期末）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；分类讨论；函数的综合应用；运算能力；推理能力；模型思想．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B作BH⊥AC于点H，构造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝．∵∠BHA＝90°，∴∠HAB+∠HBA＝90°．∴∠HAB＝∠HBA＝45°．∵在直角△AHB中，AH2+BH2＝AB2，AB＝4．∴AH＝BH＝2．∴CH＝﹣．∵∠BHC＝90°，∴tan∠ACB＝2 BHCH==；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC时，△AOE∽△ABC，∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴2233x xx--+=-，解得x1＝1132-，x2＝1132+（舍去）∴D（1132，31332-）．②∠AOD＝∠ACB时，△AOE∽△ACB，∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴2232x xx--+=-，解得x13x2＝3（舍去）∴D3，3）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标是（1132-，3133233）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．（2019秋•徐汇区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣43x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；图形的相似；应用意识．【分析】（1）设点D 坐标（a ，b ），可得新抛物线解析式为：y ＝﹣43（x ﹣a ）2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；（2）通过证明△AOC ∽△CHD ，可得∠ACO ＝∠DCH ，可证EC ∥AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣43x 2+4的顶点为C ，∴点C （0，4）∴OC ＝4，∵tan B ＝4＝OC OB，∴OB ＝1，∴点B （1，0）设点D 坐标（a ，b ）∴新抛物线解析式为：y ＝﹣43（x ﹣a ）2+b ，且过点C （0，4），点B （1，0）∴2240=-(1)3443a b a b ⎧-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：13EF =125∴点D 坐标（﹣1，163）（2）如图1，过点D 作DH ⊥OC，∵点D 坐标（﹣1，163）当y＝0时，0＝﹣43（x+1）2+163，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），∴AO＝3，∴AO3= CO4，∵点D坐标（﹣1，163）∴DH＝1，HO＝163，∴CH＝OH﹣OC＝43，∴DH3=CH4，∴AO DH=CO CH，且∠AOC＝∠DHC＝90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO＝∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠ACO+∠ACE＝∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝180°∴∠ECO＝∠ECH＝90°＝∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4＝﹣43（x+1）2+163，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴点E（﹣2，4），（3）如图2，∵点E（﹣2，4），点C（0，4），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，16 3）∴DE＝DC＝53，AC＝5，AB＝3+1＝4，∴∠DEC＝∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEF和△ABC相似∴DE EF=AC AB或DE EF=AB AC，∴5EF3=54或5EF3=45∴EF＝43或2512∴点F（﹣23，4）或（112，4）∴4＝﹣43（﹣23+1﹣c）2+4或4＝﹣43（112+1﹣c）2+4，∴c1＝13，c2＝1312∴平移后解析式为：y＝﹣43（x+23）2+4或y＝﹣43（x﹣112）2+4，【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．专题三二次函数与等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•松江区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；分类讨论；方程思想；函数的综合应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；（2）根据点A、B的坐标得到直线AB解析式：y＝﹣x+3．设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．根据相似三角形△POB∽△QBP的性质列出比例式，通过比例式求得m的值，然后由两点间的距离公式求得PQ的长度；（3）利用两点间的距离公式求得BP 2、PQ 2、BQ 2的值．需要分三种情况解答：①BP ＝BQ ；②BP ＝PQ ；③PQ ＝BQ ，代入相关数值，列出方程，通过解方程求得m 的值．【解答】解：（1）将A （3，0），B （0，3）分别代入抛物线解析式，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩．解得23b c =⎧⎨=⎩．故该抛物线解析式是：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AB 的解析式是：y ＝kx +t （k ≠0），把A （3，0），B （0，3）分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩．解得k ＝﹣1，t ＝3．则该直线方程为：y ＝﹣x +3．故设P （m ，﹣m +3），Q （m ，﹣m 2+2m +3）．则BP m ，PQ ＝﹣m 2+3m ．∵OB ＝OA ＝3，∴∠BAO ＝45°．∵QM ⊥OA ，∴∠PMA ＝90°．∴∠AMP ＝45°．∴∠BPQ ＝∠APM ＝∠BAO ＝45°．又∵∠BOP ＝∠QBP ，∴△POB ∽△QBP ．于是BP OBPQ BP =，即23m m =-+．解得m 1＝95，m 2＝0（舍去）．∴PQ ＝﹣m 2+3m ＝；（3）由两点间的距离公式知，BP 2＝2m 2，PQ 2＝（﹣m 2+3m ）2，BQ 2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2．①若BP ＝BQ ，2m 2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2，解得m 1＝1，m 2＝3（舍去）．即m ＝1符合题意．②若BP ＝PQ ，2m 2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m 1＝3，m 2＝（舍去）．即m ＝3符合题意．③若PQ ＝BQ ，（﹣m 2+3m ）2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2，解得m ＝2．综上所述，m 的值为1或3或2．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．专题四二次函数与线段【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；应用意识．【分析】（1）用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C坐标；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；（3）利用平移的性质表示E和F的坐标，根据两点的距离公式和BE＝BF列方程可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），∴-3=4+20255b cb c+⎧⎨=++⎩解得：65bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点C坐标为（3，﹣4）；（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，∴点D的坐标（4，﹣3），∴OD＝5，如图1，过O作OG⊥BD于G，∵点B（5，0），∴OB＝OD，∴DG＝BG＝12BD＝12102=，∴OG＝，∴tan∠ODB＝102OGDG=＝3；（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，∴E（3，﹣4+t），F（5，t），∵BE＝BF，B（5，0），∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，t＝5 2．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、等腰三角形的性质、两点的距离、平移、三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会数形结合的思想，与方程相结合解决问题，属于中考常考题型2．（2019秋•虹口区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；数据分析观念．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝2，即可求解；（2）当α＝60°，∠DBA＝12βα=＝30°时，△ABD为直角三角形，即可求解；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，即可求解；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，则△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；点P（1，）；（2）由点A、P的坐标知，∠PAB＝60°，直线AP的表达式为：y x+1）…①，当α＝60°，∠DBA＝12βα=＝30°时，△ABD为直角三角形，由面积公式得：y D×AB＝AD•BD，即y D×4＝2×解得：y D，点D在AP上，故点D（0）；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，故点D （3，；综上，点D 的坐标为：（0）或（3，）；（3）∠CEF 为△ECF 的特征角，则△CEF 为等腰直角三角形，过点E 分别作x 轴、y 轴的垂线交于点M 、N ，则△CNE ≌△EMF （AAS ），则EN ＝EM ，即x ＝y ，x ＝y ＝﹣x 2+2x +3，解得：x ＝12+，故点E （1132，1132+）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、新定义等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．专题五二次函数与其他【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y ＝﹣x 2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y＝x2+n，将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，则原抛物线顶点是（﹣m，k），将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，由①、②解得111 4m k =⎧⎨=⎩，2221mk=-⎧⎨=⎩．所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac bPa a--、22224(,)24b ac bPa a--将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得221122224()244()24b ac b a na ab ac b a na a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩消去n得b12＝b22，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴21114(,)24b ac bPa a--、22224(,)24b ac bPa a--，∴P1、P2关于y轴对称．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．2．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得112625053m nm n =++⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC=BC==，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣3 2，∴y AB'＝﹣32x+5，联立235218533y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得，x1＝72，x2＝0（舍去），则F'（72，14-），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，61 41 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（72，14-）代入，得，b＝﹣154，∴y FF'＝x﹣154，联立2+53154y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，x＝214，y＝32，∴F（214，32），则FF'724 =．。

届上海初三数学各区一模压轴题汇总套全

2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24+25）共15套整理廖老师宝山区一模压轴题18（宝山）如图，D 为直角ABC D 的斜边AB 上一点，DE AB ^交AC 于E ，如果AED D 沿着DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果8AC =，1tan 2A =，那么:___________.CF DF = 24（宝山）如图，二次函数232(0)2y ax x a =-+?的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A -. （1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标.25（宝山）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发，点P 以1/cm s 的速度沿着折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。

设P Q 、同时出发t 秒时，BPQ D 的面积为2ycm ，已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）.（1）试根据图（2）求05t <?时，BPQ D 的面积y 关于t 的函数解析式；（2）求出线段BC BE ED 、、的长度；（3）当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE D 相似；（4）如图（3）过点E 作EF BC ^于F ，BEF D 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度，如果BEF D 中E F 、的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离.崇明县一模压轴题18（崇明）如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=o ，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD V 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为； 24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD = ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．25（崇明）在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，3cot 2A =，AC =，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F ，联结BD ．（1）求证：PC CE CD BC=；（2）若PE x =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长．奉贤区一模压轴题18（奉贤）如图3，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，点P 是边AD 上的一点，联结BP ，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果CG=2DG ，那么DP 的长是__ ____.24（奉贤）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC .（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标。

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如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；（2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第23题图）ABDECGF崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线24y xbx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点M N ．（（（（第24题图）（备用图）崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1） ABCD FE BD F ECA（第25题图2）BDFECA（第25题图3）金山23. （本题满分12分，每小题6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．金山24. （本题满分12分，每小题4分）y ax bx与y轴相交于点C，与平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线23x轴正半轴相交于点A，OA OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线1x，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC中，4 5,cos5AB AC B，P是边AB一点，以P为圆心，PB 为半径的P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．图8青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9青浦25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图10备用图黄浦23、（本题满分12分）如图，BD是ABC△的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE⋅=⋅黄浦24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.松江23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD 上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF 2AD AF AB =⋅AD BE DE AB ⋅=⋅2y ax =+证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A （第25题图）ABC E F G （第24题图）浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x 轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E（第24题图）浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ．（1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．（第25题备用图）A BC（第25题备用图）ABC虹口23．（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF BF CF⋅=⋅．（1）求证AD AB AE AC⋅=⋅；（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与△△ADE ECFSS的值．虹口24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．虹口25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB =5，AD =4，AD ∥BM ，3cos 5B =（如图），点C 、E 分别为射线BM 上的动点（点C 、E 都不与点B 重合），联结AC 、AE ，使得∠DAE =∠BAC ，射线EA 交射线CD 于点F ．设BC =x ，AFy AC=．（1）如图1，当x =4时，求AF 的长；（2）当点E 在点C 的右侧时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD 交AE 于点P ，若△ADP 是等腰三角形，直接写出x 的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽；（2）··AB BC BD BE =．普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2， AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠；（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF . 求证：CA CE AF ⋅=2.B图6嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ，第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长；（2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．A 图8A 图9A图10静安23. （本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）已知：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ．（1）求证：ABE ∽DBC ；（2）如果56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. （本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. （本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a （a 实常数，且0a >），,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆；（2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．第23题图长宁24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求 ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．图1备用图备用图第25题图徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD中，AD（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF（第23题图）杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.（第24题图）杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长；（2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（备用图）（图1）A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B CD奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点，CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把CAE 的周长记作CAE C ，BAF 的周长记作BAF C ，设CAE BAF Cy C =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、（满分12分，每小题各6分）如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G .（1）求证：AE EG AC CG=；（2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、（满分12分，每小题各4分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。

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