历年数列高考题及答案(2)(最新整理)

16. （湖北卷）
解：（1）：当 n 1时, a1 S1 2; 当n 2时, an Sn Sn1 2n2 2(n 1)2 4n 2,
故{an}的通项公式为 an 4n 2,即{an}是a1 2,公差d 4 的等差数列.
q, 则b1qd 设{bn}的通项公式为
b1, d
4, q
1. 4
bn
故
b1q n1
2
1 4 n1
,即{bn }的通项公式为bn
2 4 n1
.
cn
an bn
4n 2 2
(2n 1)4n1,
（II）
4 n 1
Tn c1 c2 cn [1 3 41 5 42 (2n 1)4n1 ], 4Tn [1 4 3 42 5 43 (2n 3)4n1 (2n 1)4n ]
1 3 an （n≥2），得 an1
4 3
an
（n≥2），又a2=
1 3
，所以an=
1 (4)n2 33
(n≥2),
1
∴
an 数列{an}的通项公式为
1 3
(
4 3
)n2
n 1
n≥2
；
（II）由（I）可知
a2
,
a4
,,
a2n
是首项为
1 3
，公比为
(
4 3
)2
项数为n的
等比数
列，∴
a2 a4 a6 a2n =
n
当
2时, Sn
bn
S n1
(n 1)(n 2
2)
0.
故 Sn bn .
q
若
1 2
,
则S
n
2n
n(n 1) ( 1) 22
n2 9n .
4
n
当
2时, Sn
bn
S n1
(n 1)(n 10) , 4
故对于 n N ,当2 n 9时, Sn bn ;当n 10时, Sn bn ;当n 11时, Sn bn .
11. （天津卷）2600
1 1 1 11 12.（北京卷）解：（I）a2＝a1+ 4 =a+ 4 ，a3= 2 a2= 2 a+ 8 ；
11 3
1 13
（II）∵ a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 , 所以a5= 2 a4= 4 a+ 16 ,
11
11 1
11 1
所以b1=a1－ 4 =a－ 4 , b2=a3－ 4 = 2 (a－ 4 ), b3=a5－ 4 = 4 (a－ 4 ),
11. （天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 an2 an 1 (1)n (n N ) ，
则 S100 =
___.
12.（北京卷）设数列{an}的首项a1=a≠
1 4
，且
an1
1
2
an
an 1
4
n Ϊ ż Êý
n Ϊ ÆæÊý
,
bn
记
a2n1
1 4
，n＝＝l，2，3，…·．
( A ) 33
( B ) 72
( C ) 84
( D )189
4. (全国卷II) 如果数列an 是等差数列，则( )
(A) a1 a8 a4 a5 (B) a1 a8 a4 a5 (C) a1 a8 a4 a5 (D) a1a8 a4a5
5. (全国卷II) 11如果 a1, a2 ,, a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则( )
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
13.（北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
an1
1 3
Sn
，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （II） a2 a4 a6 a2n 的值.
Tn
。
20.
(全国卷Ⅰ)
设等比数列
a
n
的公比为
q
，前n项和
S
n
0
(n 1,2,) 。
（Ⅰ）求 q 的取值范围；
bn
（Ⅱ）设
an2
3 2 an1 ，记
bn
的前n项和为 Tn ，试比较 Sn 与 Tn 的大小。
21.
(全 国 卷 II)
已知
an
是各项为不同的正数的等差数列，
lg a1
、
lg a2
1,2, 3 , 5 ,;当a 1 时,得到有穷数列 : 1 ,1,0.
到无穷数列： 2 3
2
2
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,
bn+1=
bn
1
1
(n
N
)
，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有
穷数列{an}；
（Ⅲ）若
3 2
an
2(n
4) ，求a的取值范围.
1
1
(
4 3
)
2n
3 [( 4)2n
1]
3 1 (4)2 7 3
3
14．（福建卷）解：（Ⅰ）由题设 2a3 a1 a2 ,即2a1q 2 a1 a1q, a1 0, 2q 2 q 1 0.
q 1或 1 . 2
q
（Ⅱ）若
1,则Sn
2n
n(n 1) 2
1
n2
3n . 2
15.
a1
（福建卷）（I）解法一：
a, an1
1
1 an
,
a2
1 1 a1
1
1 a
a 1 a , a3
1
1 a2
2a 1 a 1
a4
1
1 a3
3a 2a
2 1
.故当a
2 3
时a4
0.
解法二 : a4
0,1
1 a3
0, a3
1.
a3
1
1 a2
, a2
1 2
.
a
2
1
1 a
, a
2 .故当a 3
(Ⅰ)求A与B的值; (Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式
5amn
am an
1对任何正整数m、n都成立
.
19.
(全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 an
a1
的首项
1 2
，前n项和为 Sn
，且 210 S30
(210
1) S 20
S10
0。
（Ⅰ）求 an 的通项；
（Ⅱ）求
nS
n
的前n项和
（Ⅰ）求数列{an }的通项公式；
1 1 1 1.
（Ⅱ）证明 a2 a1 a3 a2
an1 an
18. （江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 Sn ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 (5n 8)Sn1 (5n 2)Sn An B , n 1,2,3,, 其中A,B为常数.
10. （上海）12、用 n 个不同的实数 a1, a2 ,, an 可得到 n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的数阵。 对第 i 行 ai1, ai2 ,, ain ，记 bi ai1 2ai2 3ai3 (1)n nain ， i 1,2,3,, n!。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， b1 b2 b6 12 2 12 3 12 24 ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， b1 b2 b120 =_______。
1 猜想：{bn}是公比为 2 的等比数列·
11 11
11
证明如下： 因为bn+1＝a2n+1－ 4 = 2 a2n－ 4 = 2 (a2n－1－ 4 )= 2 bn, (n∈N*)
1
1
所以{bn}是首项为a－ 4 , 公比为 2 的等比数列·
lnim(b1 b2
bn )
lim
b1
(1
1 2n
1. （福建卷）已知等差数列{an }中， a7 a9 16, a4 1,则a12 的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64
2.
（湖南卷）已知数列{an }满足 a1
0, an1
an 3 (n N *)
3an 1
，则 a20 = （
）
3
A．0
B． 3
C． 3
D． 2
3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
所以 log2 (an 1) 1 (n 1) n, 即 an 2n 1.
1 （II）证明因为 an1 an
1 a n1 2n
1 2n
，
1 1 1 1 1 1 1
所以 a2 a1 a3 a2
an1 an 21 22 23
2n
1 1 1
2 2n 2 1 1 1.
(A) a1a8 a4a5
(B) a1a8 a4a5
(C) a1 a8 a4 a5 (D) a1a8 a4a5
6. （山东卷）an 是首项 a1 =1，公差为 d =3的等差数列，如果 an =2005，则序号 n 等于( )
（A）667
（B）668
（C）669
（D）670
7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶 点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正 方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )
、
lg a4
成等差数列．又
bn
1 a2n
，
n 1, 2,3, ．
(Ⅰ) 证明bn 为等比数列；
7
(Ⅱ) 如果数列bn 前3项的和等于 24 ，求数列an 的首项 a1 和公差 d ．
数列（高考题）答案
1-7 A B C B B C C
8. （湖北卷）-2
9. (全国卷II) 216
10. （上海）-1080
两式相减得
3Tn
1 2(41
42
43
4n1 ) (2n 1)4n
1 [(6n 5)4n 3
5]
Tn
1 [(6n 9
5)4n
5].
17. （湖南卷）
（I）解：设等差数列{log 2 (an 1)}的公差为d.
由 a1 3, a3 9得2(log2 2 d ) log2 2 log2 8, 即d=1.
2 3
时a4
0.
(II )解法一 : b1
1, bn1
b bn
1
,
bn
1 bn1
1.
a取数列{bn}中的任一个数不妨设a bn .
a bn , a2
1
1 a1
1 1 bn
bn1.
a3
1 1 a2
1 1 bn1
bn2 .
an
1
1 an1
1 1 b2
b1
1.
an1 0.
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。
8. （ 湖 北 卷 ） 设 等 比 数 列 {an }的 公 比 为 q， 前 n项 和 为 Sn， 若 Sn+1,Sn， Sn+2成 等 差 数 列 ， 则 q的 值
为
.
8 27
9. (全国卷II) 在 3 和 2 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______
)
n 1 1
b1 1 1
2(a
1) 4
（III）
2
2
.
13.（北京卷）解：（I）由a1=1，
an1
1 3
Sn
，n=1，2，3，……，得
a2
1 3
S1
1 3
a1
1 3
，
a3
1 3
S2
1 3
(a1
a2 )
4 9
a4
，
1 3
S3
1 3 (a1
a2
a3 )
16 27
，
an1
由
an
1 3 (Sn
Sn 1 )
∴ an3 2an2 an1 0 ，
∴ an3 an2 an2 an1 a3 a2 5 ，又 a2 a1 5 ，
因此，数列an 是首项为1，公差为5的等差数列．
16. （湖北卷）设数列{an }的前n项和为Sn=2n2，{bn }为等比数列，且 a1 b1, b2 (a2 a1 ) b1.
（Ⅰ）求数列{an }和{bn }的通项公式；
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cn
（Ⅱ）设
an bn
，求数列{cn }的前n项和Tn.
17. （湖南卷）已知数列{log 2 (an 1)}n N * ) 为等差数列，且 a1 3, a3 9.
14．（福建卷）已知{ an }是公比为q的等比数列，且 a1, a3 , a2 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ bn }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明
理由.
1 15. （福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ an 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得
又 5(n 1)an2 8Sn2 2Sn1 20(n 1) 8 ． ②
②-①得， 5(n 1)an2 5nan1 8an2 2an1 20 ，即 (5n 3)an2 (5n 2)an1 20 ．
③
又 (5n 2)an3 (5n 7)an2 20 ．
④
④-③得， (5n 2)(an3 2an2 an1) 0 ，
1 1
2n
2
18. （江苏卷） 解：(Ⅰ)由 a1 1 ， a2 6 ， a3 11 ，得 S1 1 ， S2 2 ， S3 18 ．
A B 28, 把 n 1, 2 分别代入 (5n 8)Sn1 (5n 2)Sn An B ，得 2A B 48 解得， A 20 ， B 8 ． (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 5n(Sn1 Sn ) 8Sn1 2Sn 20n 8 ，即 5nan1 8Sn1 2Sn 20n 8 ， ①