概率论与数理统计1.3节条件概率
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概率论与数理统计课件-条件概率
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
概率论与数理统计浙大第四版
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.3.1) 条件概率与乘法公式
卜里耶罐子模型常常被用作描述传染病的数学模型.
条件概率P(•|B)满足概率的三条公理： （1）非负性 P(A|B)0，AF （2）正规性 P(Ω|B)=1 （3）可列可加性 若AnF，n=1,2,…，且两两
互斥，则
P( An Байду номын сангаас B) P An | B
n1
n1
• 例：盒中10个元件(4只次品6只正品)，从中 不放回地任取2只，已知第一只是正品，求 第二只也是正品的概率。
• 解：设事件A表示第二只是正品，事件B表示 第一只是正品。求P(A|B)。显然
P(B) 6 , P(AB) 10
C62 C120
1 ,因此 3
P(A | B) P(AB) 1/ 3 5 . P(B) 6 /10 9
例: 已知一罐子中盛有k个白球，r个红球.每次随机地取出
一个，记下它的颜色立即放回，同时加进与被取球的同色 球c个.试求如接连取球三次，三次均为红球的概率. 解 设A={三次取出的均为红球}
Ai={第i次取出的是红球} ，i=1，2，3,则P(A)=?
A A1A2 A3 P( A) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
r r c r 2c r k r k c r k 2c
概率论与数理统计
条件概率与乘法公式
条件概率
例：一个家庭有两个小孩，假定男、女出生 率一样，令A={这两个小孩一男一女}， 所以 P(A)=1/2。
令B={两个小孩中至少有一女孩}。若已知B发 生了，即该家庭至少有一女孩，再考虑A发 生的概率时，样本空间就缩减为Ω={（男， 女），（女，男），（女，女）}，总数=3， 而有利基本事件数=2，从而P(A|B)=2/3。
条件概率P(•|B)满足概率的三条公理： （1）非负性 P(A|B)0，AF （2）正规性 P(Ω|B)=1 （3）可列可加性 若AnF，n=1,2,…，且两两
互斥，则
P( An Байду номын сангаас B) P An | B
n1
n1
• 例：盒中10个元件(4只次品6只正品)，从中 不放回地任取2只，已知第一只是正品，求 第二只也是正品的概率。
• 解：设事件A表示第二只是正品，事件B表示 第一只是正品。求P(A|B)。显然
P(B) 6 , P(AB) 10
C62 C120
1 ,因此 3
P(A | B) P(AB) 1/ 3 5 . P(B) 6 /10 9
例: 已知一罐子中盛有k个白球，r个红球.每次随机地取出
一个，记下它的颜色立即放回，同时加进与被取球的同色 球c个.试求如接连取球三次，三次均为红球的概率. 解 设A={三次取出的均为红球}
Ai={第i次取出的是红球} ，i=1，2，3,则P(A)=?
A A1A2 A3 P( A) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
r r c r 2c r k r k c r k 2c
概率论与数理统计
条件概率与乘法公式
条件概率
例：一个家庭有两个小孩，假定男、女出生 率一样，令A={这两个小孩一男一女}， 所以 P(A)=1/2。
令B={两个小孩中至少有一女孩}。若已知B发 生了，即该家庭至少有一女孩，再考虑A发 生的概率时，样本空间就缩减为Ω={（男， 女），（女，男），（女，女）}，总数=3， 而有利基本事件数=2，从而P(A|B)=2/3。
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
概率论与数理统计：c1_3 条件概率
=B1∪B2 ∪ … ∪ Bn
从而有 A = A∩ A（ B1∪B2 ∪ … ∪ Bn ）
n
吸收( A律Bi ) i=1
分配律
2021/3/5
6
条件概率
又因为 (ABi) ∩ (ABj) = A ∩(BiBj) = A = , i ≠ j
由概率的有限可加性
n
n
P(A) P( ABi ) ∑ P(ABi )
我们把已知事件B发生的条件下,事件A发生的可
能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B)。
例如：
抽签试验
2021/3/5
1
条件概率
条件概率 PA B 与无条件概率 PA 之间没有确定
的大小关系。 对条件概率P(A|B)的理解：
1) 条件概率与积事件的概率有别。 条件概率有先后次序之分,积事件无先后次序之分.
实际中的例子有很多：设备维修，计算机诊病等 等。
例如：
病情诊断试验
2021/3/5
10
条件概率
例1 100件产品中有5件不合格，其中3 件是次品，2 件 是废品，现从中任取一件，试求
（1）抽得废品的概率p1; （2）已知抽得不合格品，它是废品的概率p2。
解：令A={抽得废品}，B={抽得不合格品}。
2021/3/5
12
乘法公式
例3 两架飞机进行空战，甲机首先开火，击落乙机的 概率为0.2，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的 概率为0.3，若甲机又未被击落，它再次向乙机开火， 并击落它的概率为0.4。试求这几个回合中
（1）甲机被击落的概率p1； （2）乙机被击落的概率p2。 解：设A={甲机首次攻击击落乙机}
2) 条件概率可通过原来的概率计算得到。
概率论与数理统计课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，在高等工科学校教学计划中是一门基础理论课。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：知识目标通过本课程的学习，学生系统掌握随机变量及其分布、参数估计与假设检验等重要知识。
课程目标2：技能目标通过本课程的基本概念、基本理论和基本方法的讲授及学生的练习，培养学生的数学推理，数理逻辑，演绎归纳，数据分析，假设论证能力。
课程目标3：素质培养(1) 通过本课程的教学，培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收能力，以及围绕教学内容阅读参考资料，自我扩充知识领域的能力。
(2) 通过作业和课堂讨论，培养学生口头表达能力，做到思路清晰，层次分明。
(3)通过作业，培养学生独立思考，深入钻研问题的习惯以及一题多解，举一反三的能力，应用数学的意识以及运用数学知识分析问题的良好品质。
(4)具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章随机事件及其概率1.教学目标理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件之间的关系与基本运算。
理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。
知道概率的公理化定义；理解古典概率的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质；会应用这些性质进行概率计算。
理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。
理解事件独立性的概念；会应用事件的独立性进行概率计算。
2.教学重难点本节是基础知识，在高中阶段大部分已经学过，都是重点内容。
教学的重难点在于事件的三种关系：互斥，独立和包含，事件概率的两个公式：加法公式和乘法公式，以及全概率和贝叶斯公式的应用。
概率论与数理统计 第三节 条件概率与独立性
一、条件概率
4. 条件概率的计算
P ( AB ) 1) 用定义计算 P ( A | B ) P( B)
2)用缩减的样本空间计算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 掷骰子
1 P(A|B) = 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
一、条件概率
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
一、条件概率
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 P ( AB ) (1) P( A | B) P( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此 点必属于AB. 由于我们已经知 道B已发生, 故B变成了新的样 本空间 , 于是有(1).
A={取到一等品}， B={取到正品} P(A ) =3/10，
3 10 P ( AB ) 3 P(A|B) 7 10 P( B) 7
一、条件概率
A={取到一等品}， B={取到正品}
P(A)=3/10， P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件 产品中一等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上 “事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
故抓阄与次序无关.
二、乘法公式
练习3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下 打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落 下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的 概率.
概率论与数理统计 第一章第三节条件概率及相关公式
率的公理化定义中的三个条件:
1.非负性:对任一事件A,有0 PA B 1
2.规范性:P B 1
3.可列可加性:对可列无限多个互不相容
的事件A1, A2 ,
An ,
有
P
k 1
Ak
B
P
k 1
Ak B
注:由于条件概率满足概率定义的三个条
件,所以,概率的所有性质均适用于条
件概率.
例如: 对于任意事件A1, A2有
PC 0.005 P C 0.995
由贝叶斯公式 :
PC
A
PCPA C
PCPA C PCPA
C
0.087
结果表明:虽然PA C , P A C 比较大,但试
验呈阳性的人确患癌症的可能性还是不大.
练习:
数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发 0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在 发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和 “不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收 为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发 的是0的概率是多少?
概率,是P Ak 的修正值,称为后验概率.
3) 贝叶斯公式适用于试验之后,求解导致某
事件发生的各种原因的概率.
例.某射击小组共有20名射手,其中一级射手 4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.
一,二,三,四级射手能通过选拔进入比赛的
概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2.现从该射击小组 任选一人,若此人已通过选拔进入比赛, 问:此人是一级射手的概率等于多少?
A1 B
P A1B PB
P A1 PB
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念
（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
概率论与数理统计第1.3节条件概率及独立性
练习 一个家庭中有若干个小孩，假定生
男生女是等可能的，令
A =“一个家庭中有男孩又有女孩”
B =“一个家庭最多有一个女孩”
（1）家庭中有两个小孩， （2）家庭中有三个小孩。
对上述2种情况，讨论事件
A, B 的独立性。
(1) {( B, B),( B, G),(G, B),(G, G)}
(2) {( B, B, B),( B, B, G),( B, G, B),(G, B, B), (G, G, B),(G, B, G),( B, G, G),(G, G, G)}
今任选一个袋子然后再从选到的袋子中任取一个球问取到红球的概率为多上述分析的实质是把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件再将概率的加法公式和乘法定理结合起来这就产生了全概率公式
课堂练习: 化简事件
( AB
AC
C ) AC
解 原式 AB C
AC ABC AC
( A B)C
AC BC AC
P ( AB ) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6 2)从加入条件后改变了的情况去算
1
掷骰子
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
问题 : 分别考虑
P ( A)与P A B 哪个大？
A B, B A, AB
条件概率是概率(P30)
首先，不难验证条三条公理：
(1) 非负性 P( A | B) 0 (2) 正规性 P( | B) 1
(3) 完全可加性 若A1, A2 ,, An ,两两互斥， P( B) 0, 则
由此得
P( An | B) P( An | B)
概率论与数理统计：条件概率
n
, i 1,2,, n.
明 例8 对以往数据分析结果表 , 当机器调整得 良好时, 产品的合格率为98% , 而当机器发生某 种故障时, 其合格率为55% . 每天早上机器开动 时 , 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日 早上第一件产品是合格 品时 , 机器调整得良好的 概率是多少?
第四节
一、引例
条件概率
二、条件概率的定义 三、条件概率的性质 四、乘法公式 五、全概率公式 六、贝叶斯公式 七、小结
一、引例
引例: 在标有0到9号码的10个球中任取一球，在 取到球的号码小于5的条件下，求取到球号码为2 的 概率有多大？ 古典概型 设 A 表示任取一球，取得号码小于5； B 表示任取一球，取得的号码为2.
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
j 1
第五节
事件的独立性与相关性
一、两个事件的独立性与相关性 二、有限个事件的独立性 三、相互独立事件的性质
四、Bernoulli概型
五、小结
一、两个事件的独立性与相关性
1.引例
盒中有5个球( 3绿 2红 ), 每次取出一个, 有放回 地取两次.记 A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球,
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
西北工业大学《概率论与数理统计》1-3 随机事件的概率
请同学们思考?
医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重 , 在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人
被这个消息吓得够呛时, 医生继续说“但你是幸运的。 因为你找到了我, 我已经看过九个病人了, 他们都死 于此病.”
医生的说法对吗?
二、概率的统计定义
1.定义1.2 nA 在随机试验中,若事件A出现的频率 随 n 着试验次数n的增加,趋于某一常数p ,0 p 1, 则定义事件A的概率为p ,记作P(A)=p . 2. 性质1.1 (概率统计定义的性质) (1) 对任一事件A ,有 0 P ( A) 1;
在N(n≤N)间房中的每一间中，试求下列各事件
的概率： (1) 某指定n间房中各有一人； (2) 恰有n间房，其中各有一人； (3) 某指定房中恰有m (m ≤n)人.
解 1º 先求样本空间所含的样本点总数.
分析
把n个人随机地分到N个房间中去, 每一 种分法就对应着一个样本点(基本事件)， 由于每个人都可以住进N间房中的任一 间，所以每一个人有N种分法, n个人共
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动,
且逐渐稳定于 0.5.
实验者
n
2048 4040 12000 24000
成 f n ( A).
2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1;
(2) f (Ω) 1, f ( ) 0;
概率论与数理统计第1.3节
(365)r
美国数学家伯格米尼曾经做过 一个别开生面的实验，在一个盛况 空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上， 他随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟发现 其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P(A)=1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为 0.476.
解 方法1 把a+b个球编上1至a+b号，将球一只一只 取出后排成一排，考虑取球的先后顺序，因此共有 (a+b)!种取法，由球的均匀性知每种取法机会都相 同，故属于古典概型，A发生可以先从a个红球中 任取一个放在第k个位置上，然后将剩下的a+b+1 个球随意排在另外a+b+1个位置上，
共有 Ca1(a b 1)! 种排法，故
（1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率；
（2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率；
（3）从中任取3件，求至少取得1件次品的概率。
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率； 解 （1）设A={取到3件次品}
由于此试验是不放回抽取3次，所以由乘法原理 3次取产品共有10×9×8=720种不同取法，
而3次取3件次品共有3×2×1=6种不同取法，所以
P( A) 6 1 0.0083 720 120
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率； 解 （2）设B={取到3件次品}
（1）事件A包含的基本事件个数是3！个，所以
P( A)
3! 33
2 9
美国数学家伯格米尼曾经做过 一个别开生面的实验，在一个盛况 空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上， 他随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟发现 其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P(A)=1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为 0.476.
解 方法1 把a+b个球编上1至a+b号，将球一只一只 取出后排成一排，考虑取球的先后顺序，因此共有 (a+b)!种取法，由球的均匀性知每种取法机会都相 同，故属于古典概型，A发生可以先从a个红球中 任取一个放在第k个位置上，然后将剩下的a+b+1 个球随意排在另外a+b+1个位置上，
共有 Ca1(a b 1)! 种排法，故
（1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率；
（2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率；
（3）从中任取3件，求至少取得1件次品的概率。
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率； 解 （1）设A={取到3件次品}
由于此试验是不放回抽取3次，所以由乘法原理 3次取产品共有10×9×8=720种不同取法，
而3次取3件次品共有3×2×1=6种不同取法，所以
P( A) 6 1 0.0083 720 120
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。 （2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率； 解 （2）设B={取到3件次品}
（1）事件A包含的基本事件个数是3！个，所以
P( A)
3! 33
2 9
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B表示“2 张中至少有1张假钞” A B
则所求概率是 PA B（ 而不是 PA ！）.
PAB
P(
A)
C
2 5
/
C
2 20
P
B
(C
2 5
C15C115 )
/
C
2 20
所以
PA B P(AB) / P(B)
C
2 5
/(C
2 20
C15C115 )
10
/
中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
解 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
已知 PA 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PA B
解 由 PB A P(B) P(AB) 即
Ch1-93
1 P( A)
0.85 0.93 P( AB) 0.08
P(AB) 0.862
故 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
Ch1-84
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P(A1A2 An ) P(A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
(P(A1A2 An1) 0)
Ch1-85
例1 ( 类似于教材P.28 例3)
AB2
A ABi
B2
n
n
i 1
( ABi )( ABj )
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
i1
i1
P(Bk
A)
P( ABk P( A)
)
P(Bk )P( A Bk )
n
P(Bi )P( A Bi )
i1
Bayes公式
Ch1-95
例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.
下面两种解法哪个正确？
解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
P A B 4 /19 0.2105.
Ch1-87
解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.
Ch1-99
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的 哪个大？
i
0 12 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
P( A Bi ) 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
P(Bi A) 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
4
P( A) P(Bi )P( A Bi ) 0.814
i0
P(Bi
A)
P(Bi )P( A Bi ) P( A)
n
则 A Bi ,
i1
Bi Bj , i j,i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且
P(
A
Bi
)
C10 100i
C10 100
,
i 0,1,2,3,4
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P(Bi A), i 0,1,2,3,4
结果如下表所示
Ch1-97
,
i 0,1,2,3,4
Ch1-98
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正
本例中，i 较小时，P(Bi A) P(Bi ) i 较大时，P(Bi A) P(Bi )
某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
PB A P(AB) P(B) 0.4 1
P(A) P(A) 0.8 2
B A
Ch1-86
Ch1-79
§1.3 条件概率
条件概率与乘法公式
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？ 古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
解 设原发信号为“ • ” 为事件
B1 原收发到信号为““不清—””为事件 A
已知： A B1 B2 , B1B2
Ch1-100
P(B1) 0.6, P(B2 ) 0.4
P( A B1) 0.2, P( A B2 ) 0.1 P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
Ch1-80
所求的概率称为在事件A 发生的条件下
事件B 发生的条件概率。记为 PB A
解 列表
木球 塑球 小计
白球 4 3 7
红球 2 1 3
小计 6 4 10
PB A 4
7
kB A 4 kAB
n A 7 kA
P( AB) P( A)
Ch1-81
从而有
P B
A 4 kAB 7 kA
kAB n 4 /10
kA 7 /10
P(AB) P( A)
n
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
称 P( AB) / P( A)为事件 A 发生的条件下事
件 B 发生的条件概率，记为
PB A P(AB)
P( A)
Ch1-82
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
押到“完全不出现双六”有利. 但他本人 找不出原因. 后来请当时著名的法国数 学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 . 这问题是如何解决的呢?
Ch1-83
条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性 归一性 可列可加性
P(B A) 0
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
提问：第三次才取得一等品的概率, 是 P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3) ?
(3) P(A1 A2 A3) PA1PA2 A1PA3 A1 A2
213 1 5 4 3 10
Ch1-90
(4) P
A1
A2
P( A1A2 ) P( A2 ) P( A1A2 )
第一次取得的是二等品的概率.
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（1）
P( A1A2 ) P( A1)P( A2
A1 )
3 5
2 4
3 10
Ch1-89
（2）P(A2 ) P(A1A2 A1A2 ) P(A1A2 ) P(A1A2 )
2332 3 54 54 5
（2）直接解更简单 P(A2) 3/ 5
解法二
0.92 0.93 0.862 0.988
P A B P(A B ) P(A) P(B A)
P(A) 1 P(B A)
0.081 0.85 0.012
P(A B) 0.988
Ch1-94
全概率公式与Bayes 公式
n
B1
Bn Bi
i1
AB1 A
ABn
Bi Bj n
0.16
P(B1
A)
P(B1)P( A P( A)
B1 )
3, 4
P(B2
A)
P(B2 )P( A B2 ) P( A)
1 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
Ch1-101
作业 P 47 习题一 25 27 29 31 32
第三周 问题
Ch1-102
17世纪,法国的 Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌 注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注
P(A2 )
P(A2 )
3
1 10 0.5 3 5
一般地
Ch1-91
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系
若 BA
PB A P(AB) P(B) P(B)
P(A) P(A)
条件概率
无条件概率
Ch1-92
例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.
则所求概率是 PA B（ 而不是 PA ！）.
PAB
P(
A)
C
2 5
/
C
2 20
P
B
(C
2 5
C15C115 )
/
C
2 20
所以
PA B P(AB) / P(B)
C
2 5
/(C
2 20
C15C115 )
10
/
中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
解 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效
已知 PA 0.92 PB 0.93
PB A 0.85
求 PA B
解 由 PB A P(B) P(AB) 即
Ch1-93
1 P( A)
0.85 0.93 P( AB) 0.08
P(AB) 0.862
故 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
Ch1-84
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P(A1A2 An ) P(A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
(P(A1A2 An1) 0)
Ch1-85
例1 ( 类似于教材P.28 例3)
AB2
A ABi
B2
n
n
i 1
( ABi )( ABj )
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
i1
i1
P(Bk
A)
P( ABk P( A)
)
P(Bk )P( A Bk )
n
P(Bi )P( A Bi )
i1
Bayes公式
Ch1-95
例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.
下面两种解法哪个正确？
解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞”
由缩减样本空间法得
P A B 4 /19 0.2105.
Ch1-87
解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.
Ch1-99
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的 哪个大？
i
0 12 3 4
P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
P( A Bi ) 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652
P(Bi A) 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
4
P( A) P(Bi )P( A Bi ) 0.814
i0
P(Bi
A)
P(Bi )P( A Bi ) P( A)
n
则 A Bi ,
i1
Bi Bj , i j,i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且
P(
A
Bi
)
C10 100i
C10 100
,
i 0,1,2,3,4
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P(Bi A), i 0,1,2,3,4
结果如下表所示
Ch1-97
,
i 0,1,2,3,4
Ch1-98
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正
本例中，i 较小时，P(Bi A) P(Bi ) i 较大时，P(Bi A) P(Bi )
某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
PB A P(AB) P(B) 0.4 1
P(A) P(A) 0.8 2
B A
Ch1-86
Ch1-79
§1.3 条件概率
条件概率与乘法公式
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？ 古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
解 设原发信号为“ • ” 为事件
B1 原收发到信号为““不清—””为事件 A
已知： A B1 B2 , B1B2
Ch1-100
P(B1) 0.6, P(B2 ) 0.4
P( A B1) 0.2, P( A B2 ) 0.1 P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
Ch1-80
所求的概率称为在事件A 发生的条件下
事件B 发生的条件概率。记为 PB A
解 列表
木球 塑球 小计
白球 4 3 7
红球 2 1 3
小计 6 4 10
PB A 4
7
kB A 4 kAB
n A 7 kA
P( AB) P( A)
Ch1-81
从而有
P B
A 4 kAB 7 kA
kAB n 4 /10
kA 7 /10
P(AB) P( A)
n
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
称 P( AB) / P( A)为事件 A 发生的条件下事
件 B 发生的条件概率，记为
PB A P(AB)
P( A)
Ch1-82
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
押到“完全不出现双六”有利. 但他本人 找不出原因. 后来请当时著名的法国数 学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 . 这问题是如何解决的呢?
Ch1-83
条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性 归一性 可列可加性
P(B A) 0
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
提问：第三次才取得一等品的概率, 是 P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3) ?
(3) P(A1 A2 A3) PA1PA2 A1PA3 A1 A2
213 1 5 4 3 10
Ch1-90
(4) P
A1
A2
P( A1A2 ) P( A2 ) P( A1A2 )
第一次取得的是二等品的概率.
解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（1）
P( A1A2 ) P( A1)P( A2
A1 )
3 5
2 4
3 10
Ch1-89
（2）P(A2 ) P(A1A2 A1A2 ) P(A1A2 ) P(A1A2 )
2332 3 54 54 5
（2）直接解更简单 P(A2) 3/ 5
解法二
0.92 0.93 0.862 0.988
P A B P(A B ) P(A) P(B A)
P(A) 1 P(B A)
0.081 0.85 0.012
P(A B) 0.988
Ch1-94
全概率公式与Bayes 公式
n
B1
Bn Bi
i1
AB1 A
ABn
Bi Bj n
0.16
P(B1
A)
P(B1)P( A P( A)
B1 )
3, 4
P(B2
A)
P(B2 )P( A B2 ) P( A)
1 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
Ch1-101
作业 P 47 习题一 25 27 29 31 32
第三周 问题
Ch1-102
17世纪,法国的 Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌 注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注
P(A2 )
P(A2 )
3
1 10 0.5 3 5
一般地
Ch1-91
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系
若 BA
PB A P(AB) P(B) P(B)
P(A) P(A)
条件概率
无条件概率
Ch1-92
例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.