《物理光学》菲涅耳衍射

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惠更斯菲涅耳衍射课件

生物医学成像
X射线成像
X射线在穿过人体组织时发生衍射，通过分析衍射产生的图像可以诊断疾病。
超声成像
超声波在遇到人体组织时发生衍射，通过分析衍射产生的回波可以生成人体内部结构的图像。
光学显微镜
光学显微镜利用光的衍射和干涉现象来观察细胞和组织的结构。
04 实验演示
单缝衍射实验
总结词
通过单缝衍射实验，观察光通过单缝产生的衍射现象，了解衍射的基本原理。
的变化引起的，而物理衍射是由于波动性质引起的。
按光强分布分类
02
根据光强分布的不同，衍射可以分为会聚衍射、发散衍射和干
涉衍射等类型。
按波长与障碍物尺寸关系分类
03
根据波长与障碍物或孔缝尺寸的关系，衍射可以分为小孔衍射
、大孔衍射和多缝衍射等类型。
0动现象的基本方程，其形式为$frac{partial^2 Phi}{partial t^2} = c^2 nabla^2 Phi$，其中$Phi$是波动场，$c$是波速。
透镜制造
在制造透镜时，需要考虑到材料的衍射特性，以消除或减少像差。
干涉仪
干涉仪利用衍射原理来测量波长和相干长度。
雷达 and sonar
目标识别
雷达和声纳通过分析衍射产生的回波来识别目标。
距离测量
通过测量衍射回波的时间差，可以计算出目标与探测器之间的距离。
速度测量
通过分析衍射回波的多普勒频移，可以测量目标的速度。
实现更高效的衍射器件
利用衍射现象，可以设计出各种光学器件，如光束整形器、光束分束器等。未来可以通过优化设计，提高这些器件的效率和稳定性。
探索其他物理场的衍射现象
除了光学领域，其他物理场如电磁波、声波等也存在衍射现象。未来可以进一步探索这些物理场的衍射现象及其应用。

大学物理菲涅耳原理-单缝衍射

(k 1,2,) 暗纹
a
A . .. A1. . . C A 2. A 3.θ
B
θ
x P
.
f
菲涅耳 a 半波带
K
L2
O
a sin 0
中央明纹中心
小结：分成偶数个半波带为暗纹。分成奇数个半波带为明纹。
R
A
A1 A2

C
L
P
BC a sin Q
o
k
2
B
a sin 0
1.4㎜ O f
b sin k 分析：b sin (2k 1) 2
(k 1,2,) 暗纹 (k 1,2,) 明纹
解： )依题意，P点符合 (1 2 OP 且 sin tg f b sin ( 2k 1)

1.4㎜ O
f
可见光在真空中的波长约为760～400nm
（七）单缝夫琅和费衍射图样的特征
I
3 2 b b

b
o

b
2

b
3

b
sin
1、各级明、暗条纹对称的分布于中央明纹的两侧其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。 2、绝大部分的光能量都落在中央明纹上。对于其它各级明纹，光强随衍射角的增大而很快减小。
（八）单缝衍射图样的动态讨论
2bOP 4.2 106 所以 m (2k 1) f 2k 1
可见光范围内，k 3, 600nm和k 4, ' 467nm b sin ( 2)明纹半波带的条数为N 2k 1 2
对于 600nm的光，为 7个半波带；对于 467nm的光，为 9个半波带。

大学物理菲涅耳原理-单缝衍射

相邻两个半波带在 P 点引起的光振动相互抵消
半波带法
R
A
a
A
A1

C
L
P
Q
B
缝长
o
L
B
A
R
/2
a
A
A1 A2
C

P
Q
B
o
/2
B
a
A . .. . C A1.
A 2. θ B
θ
缝边缘两条光线之间的光程差为
AC a sin
x P
.
f
半波带的条数为 a sin N 2
三个半波带
平面波
二、惠更斯—菲涅耳原理
• 同一波前上的各点发出的都是相干次波；
• 各次波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。设波面 Q 初相为0 ，其上面元ds 在P 点引起的振动为
n
Q
ds

——倾斜因子
1
r
P
s k ( )
π2
0

P 点的振动
三、衍射的分类菲涅尔衍射夫琅禾费衍射缝
1.4㎜ O f
b sin k 分析：b sin (2k 1) 2
(k 1,2,) 暗纹 (k 1,2,) 明纹
解： )依题意，P点符合 (1 2 OP 且 sin tg f b sin ( 2k 1)

1.4㎜ O
f
可见光在真空中的波长约为760～400nm
薄膜干涉
2 2 2d n2 n1 s in2 i
反 2 射光
垂直入射
2dn2

2
n2 n1

菲涅耳原理菲涅耳衍射

菲涅耳衍射
光源—障碍物 —接收屏
距离为有限远。
光源
障碍物
夫琅和费衍射
光源—障碍物
—接收屏
S
距离为无限远。光源
障碍物
接收屏接收屏
§2.2惠更斯——菲涅耳原理
一.惠更斯原理：1678年荷兰物理学家惠更斯的主要贡献是提出次波源和次波的要领：在某时刻，波阵面（等相面）上每点，可看作次级波源，各自发射球面次波，这些次波面的包络面，就构成在该时刻新的波阵面。
光的衍射主要内容
１．光的衍射现象：近场衍射远场衍射衍射的实质惠更斯-菲涅耳原理
２．菲涅耳衍射：圆孔衍射园屏衍射波带片菲涅耳衍射的分析与计算
３．夫琅禾费圆孔衍射与助视光学仪器的分辨本领圆孔衍射的原理实验装置爱里斑分析放大镜显微镜望远镜等助视光学仪器的分辨本领
４．夫琅禾费单缝衍射：单缝衍射的实验原理装置衍射的规律特点单缝衍射方程式衍射光强的分析和计算
⑴所有次波都有相同的初相位
∵波面是等位相面，∴波面上各点发射的球面次波，具有相同的初位相，各次波彼此是相干的，衍射的本质即次波的干涉。
⑵波阵面面元 ds 发射的次波在空间p点产生的光振动的元振幅dA与面元ds成正比，与面元ds 到P点的距离r成反比
⑶波阵面每一面元发射的球面次波的元振幅在各个方向是不同的，dA还与倾斜因子K（θ）有关。倾角θ越大，次波元振幅越小，元振幅dA与K（θ)有关。
r
E

dE

c
K
(
) A(
r
)
cos(kr
t )ds
惠——菲原理的数学表达式重点理解它的物理意

《物理光学》第5章_光的衍射

e ikr ~ ~ E P C E Q K d r （1）c 没有具体形式。
（2） K ( )
的出现没有理论依据。
既然 d是次波源,发出球面波, 以
d
为中心的 =1 因该成
任意方向上波动的性质是相同的.亦即, K ( )
立,但实验证明
K ( ) 1,这就需要找到它的具体形式。
e ikr e ikr ~ ~ ~ E P C E Q K d C E Q K d 1 2 r r ~ ~ ~ E P E1 P E 2 P
互补屏单独产生的衍射场复振幅之和，等于没有屏时的复
振幅。
在复振幅为0的点，互补屏分别产生的场位相差为，强度

e
ikz1
e
ik 2 2 x y 2z
i z

E , e
ik 2 2 2z
e
ik 2 x1 2 y 2 z1
d d
衍射图：
x, y 2 E x, y E * x, y L x, y E
涉影响显著。
1 1 cos ~ E P ir 2

~ E Q e ikr d
三、巴俾涅(Babinet)原理互补屏原理： 1、开圆孔的无穷大不透明屏； 2、大小与圆孔相同的不透明屏； ~ ~ E1 ( P ) E 2 ( P ) 互补屏单独放置时p点的复振幅。 ~ E ( P ) 没有屏时，p点的复振幅。
§5-2 基尔霍夫衍射理论
一、亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理： 2~ 2~ Ek E 0 光波电磁场复振幅：标量场的衍射理论：

菲涅耳和光的衍射

对波旁王朝的忠诚，涅耳加入王室部队，菲并参加了阻止拿破仑进军巴黎的战役。在拿破仑执政的那段时间里，丢掉了公职，来无事，他闲就搞些光学研究。１１８５年６月，破仑第二次被废黜。涅尔也就恢拿菲
底大区的布罗意。他父亲是名建筑师。他十六岁进入巴黎工业大学．两年后进入道路桥梁学院，８９１０年毕业后成了一名工程师。１１８５年春，破仑从厄拿
的解释，人们不得不相信光是一种传播的波。使
—
煮
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献．去世的前几天．获得了英国皇家学会颁发的在他
伦福德勋章
ｇ．０。；？
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差点上当
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儿子ｉ爸爸， “ 络我角铁Ｕ～ｌ ”
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¨ １．
囊趣旅悦读篇
繇和的涅光寸衍
菲涅耳
１０８３年，托马斯・提出了光的于涉效应。但是杨并没有得到物理学界的普遍承认而菲涅耳在ｌｌ８５
尔巴岛同到法国．开始了百日王朝时期。为了表示
的奠基者、菲涅耳于１８７８年５月１日出生于法国诺曼Ｏ
菲涅耳在ｌｌ８５年底第一次向法兰西科学院报

《物理光学》§5-4-7-8矩孔和单缝的夫琅和费衍射

r - cos n , 2

l d
cos n , 1 ~ Aexp ikl c , E , K i l

r - cos n , 2

l

正是表示孔径内各点发出的子波在方向余弦
和w代表的方向上的叠加，叠加的结果取决于各点发出的子波和参考点C点发出的子波的位相差。由于透镜的作用，和w代表的方向上的子波聚焦在透镜焦面上的P点。
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
3.另一个重要意义： x c x 2 y 2 ~ y ~ E x1 , y1 exp ik x1 y1 dx1dy1 E x, y exp ik f f f 2 f f 令
b b a a x ： ~ , y1： ~ 取矩孔中心作为坐标原点：1 2 2 2 2
则
观察屏上的P点的复振幅为
~ E x1 , y1 exp ik lx1 wy1 1 dy1 dx a b
2 2 a 2 b 2
x2 y2 c ~ E exp ikf exp ik f 2f
：
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 E x, y E x1 , y1 exp 2z1 x x1 y y1 dx1dy1 iz1

§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
x 2 y 2 xx1 yy1 4、夫琅和费近似： r z1 2 z1 z1
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射

物理光学23、24 第二十三、四次课、菲涅耳衍射

λ
2 = Mr0λ − 2r0h (略去二阶小量h2、M 2λ 2 )
11
ε 2 = Mr0 λ − 2 r0 h
又 ε
2
= R − (R − h) ⇒ h =
2 2
ε2
2R
由以上两式可得
讨论：
ε2 1 1 M = ( + ) R λ r0
恰好分成M个半波带时 ▲ 对P点，若S恰好分成个半波带时：点恰好分成个半波带时：
(10) (11)
EN = (−1) N −1 K ' πλ qN
K '=[ 2j
(5) E1 = ( −1)1−1 K ' πλ q1 = πλ
π
λ exp( jkr0 )]K =
2
π
exp( jkr0 )
(12)
10
(3)、M与孔径半径ε间的关系
D M个完整菲涅
图示O为点光源，DD'为光阑，其上有一半径为ε的圆孔，S为通过圆孔的波面— —球冠(其高为h)，P为圆孔对称由上任意一点。
球冠S的面积为 S = 2 π R ⋅ R (1 − co s ϕ ) 球冠的面积为
S R h N
ϕ
R 2 sin 2 ϕ 1 根据图示的几何关系有：根据图示的几何关系有： + r0 = R cos ϕ + rN (1 − R )2 2 rN rN π R (r 2 − r02 ) r 2 − r02 S= 1 − cos ϕ = R + r0 2 R ( R + r0 ) r0 P dS 2π RdrN dS 2π Rdr = = rN R + r0 r R + r0 ∆SN π Rλ = 无关，与N无关，可见，每个半波带对点无关可见，每个半波带对P点 5 rN R + r0 的贡献仅与倾斜因子q 有关。的贡献仅与倾斜因子有关。

菲涅耳衍射

~ A exp ikR exp ikr dE P cK dS R r

二、惠更斯－菲涅尔原理
K(θ)表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角θ的变化。（θ称为衍射角）菲涅耳假设：当θ=0 时，倾斜因子K有最大值，随着θ增加， K(θ) 减小，当θ≥π/2时，K=0。从而解决了惠更斯原理存在的倒退波的问题。 c为一常数, r =QP。对P点产生作用的将是波面∑’中界于z z’范围内的波面∑上的面元发出的子波。即
第5章：光的衍射
5.1 衍射的基本原理及分类 5.1.1 衍射概述
5.1.2 惠更斯－菲涅尔原理
5.1.1衍射概述
一、衍射现象
光的衍射：当光波遇到障碍物时，它将偏离直线
传播，这种现象叫做光波的衍射。索末菲（A. Sommerfeld）的定义：“不能用反射、折射来解释的光线对直线光路的任何偏离。” 衍射：是光传播过程中的一个基本现象，对干涉、衍射与偏振等现象的研究，构成了波动光学的主要内容。
则，P点的复振幅可表示为：
r
S
P
Σ＇
Z＇
~ ~ exp ikr E P c E Q K dS r
二、惠更斯－菲涅尔原理
但是，菲涅耳的波动理论遭到了光的粒子说者的反对，评奖委员会的成员泊松运用菲涅耳的方程推导出关于圆盘衍射的一个奇怪的结论：如果这些方程是正确的，那么当把一个小圆盘放在光束中时，就会在小圆盘后面一定距离处的屏幕上盘影的中心点出现一个亮斑；泊松认为这当然是十分荒谬的，所以他宣称已经驳倒了波动理论。菲涅耳和阿拉戈接受了这个挑战，立即用实验检验了这个理论预言，非常精彩地证实了这个理论的结论，影子中心的确出现了一个亮斑（后来被称为泊松亮斑）。在托马斯· 杨的双缝干涉和泊松亮斑的事实的确证下，光的粒子说开始崩溃了。

物理光学-第3章光的衍射

f x = ρ cos φ
f y = ρ sin
dx0 dy 0 = r0 dr0 dα 0
( x0 , y 0 ) = A
α0
0 ~ 2π
r0
0~a
24
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 + y12 ) + ∞ i 2π ( f x x0 + f y y0 ) u ( x, y ) = e u ( x 0 y 0 )e dxo dy 0 ∫ ∫∞ λz
4
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射 ②圆孔衍射
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
12
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 + y 0 k ( x0 + y 0 ) max ≈0 z >> 2 z 2 2 2 2 2 1 ( x1 x0 ) + ( y1 y 0 ) 1 x12 + y12 1 x0 + y 0 x1 x0 + y1 y 0 r ≈ z 1 + = z 1 + 2 z 2 + 2 z 2 2 z2 2 z k [( x x ) + ( y y ) ] i i ikz u ( x1 y1 ) = e ∫∫ u ( x 0 y 0 )e 2 Z dx 0 dy 0 λz k 2 2 2 2

光学惠更斯-菲涅耳原理

电子显微镜的分辨率>>光学显微镜的分辨率。
▲ 世界上最大的光学望远镜： D = 8 m 建在夏威夷山顶，1999 年建成
▲世界上最大的射电望远镜： D = 305 m
建在波多黎各岛的Arecibo，能探测射到整个地球表面仅
10 -12W的功率，也可探测引力波。
波多黎各射电望远镜
人眼瞳孔 D = 3 mm ，视觉波长 λ= 550 nm，问：
是一种较好的近似.
光强分布: 中央:Im; 1级明纹: I1= 4.72% Im;
2级明纹: I2= 1.65% Im;
3级明纹: I2= 0.80% Im;
……. 衍射中绝大部分能量主要集中在中央明纹内。
15.8.4 光学仪器的分辨本领 1. 圆孔的夫琅禾费衍射
A
·P0
艾里斑
B f
2. 艾里斑由第一暗环所包围的中央亮斑.
2
中央明纹中心: 0
asin 0
k 0
半波带数目为非整数时，该点的光强介于明暗之间.
➢说明 (1) 得到的暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似.
(2) 随着衍射角的增大，明条纹的强度减少.
A
A
每份半波带的
分成的2
能量就愈少
份数愈多
B
asin
B asin
3. 单缝衍射明纹角宽度和线宽度角宽度：相邻暗纹对应的衍射角之差. 线宽度：观察屏上相邻暗纹的距离.
解 (1) 单缝衍射暗纹条件
asin k
asin1 1
asin2 22 重合，即 1 2
1 22
(2) 单缝衍射暗纹条件
重合，即
asin k asin1 k11 asin2 k22 1 2 1 22

菲涅耳衍射

2015/11/21
衍射区域的划分
光阑

近场区
远场区
几何投影区
菲涅耳衍射区
夫朗和费衍射区
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
4.泰伯效应(1836) 1830年泰伯发现：用单色平面波垂直照射一个周期性物体, 在物体后面周期性距离上出现物体的像的现象. 一维周期性物体的复振幅透过率：

—菲涅耳衍射公式该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射公式完全一样。
2015/11/21
由二项式近似可知，菲涅耳衍射成立的条件为
2 z 1 2 2 2 2 2 f x f y 1 8
因而
2 z 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 2 8 z z
r z 2 x y y0 2 z 1 2 z 2 z
----菲涅尔衍射近似条件由上述近似条件，得到菲涅尔衍射公式：
U x, y
2015/11/21
1
k 2 k 2 2 2 U x, y exp jkz exp[ j ( x y )]F{U x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} j z 2z 2z
幅度变换二次相位因子二次相位因子
1
观察平面上频率取值与坐标的关系：
x y fx , f y z z
zT 2d 2 / ---泰伯距离
泰伯效应：不用透镜对周期性物体实现成像的现象。
2015/11/21

《物理光学》§5-5-6圆孔的夫琅和费衍射

2 2
P点的强度
2
kωb sin 2 kωb 2
2
sinα sinβ = I0 β α kla kωb x y α= , β= , l = sin θx ≈ , ω = sin θ y ≈ 2 2 f f
2dsinγ = nλnb
§5－5 圆孔的夫琅和费衍射
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
一、圆孔的夫琅和费衍射公式：圆孔的夫琅和费衍射公式：与矩孔的夫琅和费衍射不同的是孔径的形状，由于是圆孔，故为计算方便，将夫琅和费衍射公式由直角坐标变换为极坐标即可得到圆孔的夫琅和费衍射公式： x1 = r cosψ1 x = rcosψ 1 y y1 = r si ψ1 n y = rsi ψ n 1 dσ = r dr dψ1 1 1 r x rcosψ Ψ = = θcosψ
2
五、双缝夫琅和费衍射
强度分布为：强度分布为：
~ E(P) = c'
d+ a 2
∫ exp(− iklx )dx ∫ exp(− ikωy )dy
1 1 1 − a 2 b 2 − b 2
a 2
b 2
1
+ c'
∫ exp(− iklx )dx ∫ exp(− ikωy )dy
1 1 1 d− a 2 − b 2
此即为夫琅和费矩孔衍射此即为夫琅和费矩孔衍射的强度分布公式。矩孔衍射的强度分布公式。
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
2、单缝衍射＞＞a 则x轴有强衍射效应单缝：b＞＞a 此时，衍射强度分布公式
sin α I = I0 α alk ka ka α= = sin θx = sin θ 2 2 2

大学物理第十七章波动光学(八)惠更斯-菲涅耳原理

-10
5
10
-10
-5
0
5
10
圆孔衍射现象
二.惠更斯-菲涅耳原理
1、惠更斯原理（解释光的绕射）
波面上的每一点均为发射
子波的波源，这些子波的包络面即新的波阵面
入射波衍射波
障碍物
成功：可解释衍射成因，用几何法作出新的波面，推导反射、折射定律
不足：不能定量说明衍射波的强度分布
2、菲涅耳原理
（1）对子波的振幅和相位作了定量描述
障碍物
有限距离
————
屏
（或二者之一有限远）
2.夫琅和费衍射（远场衍射）:
波源
无限远
————
障碍物
即平行光衍射
L1
无限远
————
屏
L2
信息光学（现代光学分支）
菲涅尔衍射
S
缝
P
夫琅禾费衍射缝
光源、屏与缝相距有限远光源、屏与缝相距无限远
在夫
实琅
验禾中费
S
L1
R
L2
P
实衍
现射
谢谢欣赏!
高等教育大学教学课件大学物理
同学们好！
§17－8 惠更斯－菲涅耳原理
一、光的衍射现象光在传播过程中遇到障碍物时，将偏离直线方向传播，绕过障碍物进入几何阴影区。并产生光强的重新分布（光强非均匀稳定分布）的现象，称为光的衍射现象
缝宽 a ~
10
10
5
5
0
0
-5 -5
-10
-10
-5
0
波面上各面元——子波源
S
P
r
各子波初相相同为0
n
子波在P点相位： t 2 r

3.4 菲涅尔衍射

泊松亮点: 泊松亮点:1818年,巴黎科学院年巴黎科学院
举行了一次解释衍射的有奖竞赛, 举行了一次解释衍射的有奖竞赛评委中许多著名科学家,如毕奥如毕奥,拉评委中许多著名科学家如毕奥拉普拉斯,泊松等泊松等,都是光的微粒学说普拉斯泊松等都是光的微粒学说的忠实拥护者。的忠实拥护者。年轻的菲涅耳报告了“ 告了“应用子波叠加原理解释衍射现象”的论文。会后，现象”的论文。会后，泊松仔细审阅了菲涅耳的论文，导出了“ 阅了菲涅耳的论文，导出了“园屏衍射中心会出现一个亮点” 衍射中心会出现一个亮点”这一看似离奇的结论，似离奇的结论，使菲涅耳原理又面临新的考验。不久，临新的考验。不久，阿喇果在实验中果然观察到了这一惊人现象（中果然观察到了这一惊人现象（又阿喇果亮斑）称为阿喇果亮斑）。这一发现对光的波动学说提供了有力的支持。
振幅矢量加法
• 基本思想： –先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波带，然后将露出直边的各个条状波带在P点产生的光场复振幅进行矢量相加。 • 具体方法：
–先将直边屏MM’拿掉，如图3-32(a) 所示，以SM0P0为中线，将柱面波的波面分成许多直条状半波带。
波带特点 P点的振幅
• 各波带在P点的光场复振幅，当波带序数N的增大时，迅速下降； –波带面积减小、到P点的距离增大、倾角θ加大。 • 不能应用环形波带的有关公式进行讨论。如何做？ • 微积分思想： –将每个直条波带按相邻波带间相位差相等的原则，再分成若干个波带元。 –先求出每个波带元在P点的光场再合成求出整个波带在 P点的光场。
P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观点的振幅与P点的位置r 有关，察屏，点出现明暗交替变化；察屏，P点出现明暗交替变化；增大，减小，菲涅耳衍射效应显著；随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著；大到一定程度时， →∞，露出的波带数N 当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N 不变化，不变化，且为

光学菲涅耳衍射

sin u u
B'
dx
θ
b
x
B
θ
P0
P F
三、光强分布特点
sin 2 u 由 I P = I 0 2 可知 : 不同的θ对应着不同的观察点也对应着不同的光强值 , . u dI P d sin 2 u 2 sin u (u cos u sin u ) = 0 时, I P取得极值,即 : 2 = =0 当: 3 u du du u πb ① λ sin θ 0 = 0 u0 = 0 sin u = 0 uk = kπ πb sin θ = kπ ② 时取得极值. k λ tgu = u ③
决定，在居间位置，光强介于最大值和最小值之间。对线光源，整个花样为平行于缝、并以中央条纹为中心、对称展开的明暗相间的直线状条纹。 2 2、各级亮条纹（最大值）光强不等。中央亮条纹强度最强；其余亮条纹（次最大）光强远小于中央条纹，并随级数的增大而很快减小。
λ
P0
3、条纹宽度—角宽度θ
亮条纹宽度—相邻暗条纹间的间隔。
L2
MD N
dx
θ
b
x
B
θ
P0
P
dE 0 =
A0 dx cos ω t b
F
由惠—菲原理可知： BB‘上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形成了衍射花样。现取一束与原入射方向成θ角（称为衍射角）的光束，并作辅助平面BD垂直于衍射方向，则BD面上任一点到P点的光程相等。
∴ M , B 两点沿 θ 方向到 P 点的光程差 δ = M N = x sin θ 又 : N 点的振动表达式为 A dx 复数式为 : dE = 0 e b dE = A0 dx 2π x sin θ ω t cos b λ ~ A0 dx i , 复振幅 d E = e b

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变化，且为
N
Nm
2 N
R
该波带数称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔衍射效应的很重要的参量。此后，随着r0的增大，P0点光强不再出现明暗交替的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小到一定程度时，可视光为直线传播。
(2) N对衍射现象的影响
R和r0一定时，圆孔对P0露出的波带数N与圆孔半径有关， N∝ρ2 N 。于是，孔大，露出的波带数多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。当孔趋于无限大时，
它的一个优点是，适应波段范围广。比如用金属薄片制作的波带片，由于透明环带没有任何材料，可以在从紫外到软X射线的波段内作透镜用，而普通的玻璃透镜只能在可见光区内使用。此外，还可制作成声波和微波的波带片。
4.5.1 菲涅耳半波带法
下图绘出了一个单色点光源S照射圆孔衍射的情况， P0是圆孔中垂线上的一点，在某时刻通过圆孔的波面为MOM′，半径为R。
M
S
R
P0
M‘
现在以P0为中心，以r1, r2, …, rN为半径，在波面上作圆，把MOM′分成N个环带，所选取的半径为：
r1
r0
2
r2
r0
2
这样，相邻2个半波带（2，3），（8，9），（14，15）对场点的贡献彼此抵消，只剩下1，7，13半波带，它们彼此的光程差为3λ，在场点相干叠加增强，形成一个焦点。菲涅耳波带片与普通透镜相比，还有另外一个差别：波带片的焦距与波长密切相关，其数值与波长成反比，这就使得波带片的色差比普通透镜大得多，色差较大是波带片的主要缺点。
4.5.2菲涅耳波带片
在利用菲涅耳波带法讨论菲涅耳圆孔衍射时已经知道，由于相邻波带的相位相反，它们对于观察点的作用相互抵消。因此，当只露出一个波带时，光轴上P0点的光强是波前未被阻挡时的四倍。对于一个露出 20 个波带的衍射孔，其作用结果是彼此抵消，P0为暗点。现在如果让其中的1、3、5、……、19 等 10 个奇数波带通光，而使 2、 4、 6、 ……、 20 等 10 个偶数波带不通光，则P0点的合振幅为
Nr0
N 22
4
将其代入式，
h rN2 r02
2(R r0)
可得
h
Nr0
N 22
4
2(R r0 )
所以，
2 N
Nr0
N 22
4
2r0
Nr0
N 22
4
2(R r0 )
NR
R r0
r0
N
4
一般情况下，均有r0>>Nλ，故
2 N
Nr0
R
R r0
平行光入射时，R→∞，
N r0N N 1
AN=a1+a3+a5+…+a19≈10a1
因波前完全不被遮住时P0点的合振幅为
A
a1 2
所以，挡住偶数带(或奇数带)后，P0点光强约为波前完全不被遮住时的 400 倍
这种将奇数波带或偶数波带挡住所制成的特殊光阑叫菲涅耳波带片。由于它类似于透镜，具有聚光作用，又称为菲涅耳透镜。
图给出了奇数波带和偶数波带被挡住(涂黑)的两种菲涅耳波带片。
aN 2
N为偶数时，
AN
a1 2
aN 1 2
aN
当N较大时，aN-1≈aN，故有
AN
a1 2
aN 2
N为偶数时，取负号； N为奇数是，取正号。
下面计算圆孔半径ρN和波带数N之间的关系
2 N
rN2
(r0
h)2
rN2
r02
2r0h
MN
R
θN
rN
因为
ρN
S
O’ O
r0
P
rN2
r0
N
2
2
r02
N
3. 菲涅耳波带片的焦距
聚光作用看，波带片与普通透镜相似。但是，普通透镜是利用光的折射原理实现聚光的，从物点发出的各光线到像点的光程相等，而波带片则是利用光的衍射原理实现聚光的，从物点发出的光波经波带片的各波带衍射，到达像点的相位差为 2π的整数倍，产生相干叠加，所以它们之间有实质性的差别。
2.
对于一个距离波带面为R的轴上点光源S照明波带片，有
经过变换可得
2 N
Nr0
R
R r0
1 R
1 r0
N
2 N
菲涅耳波带片
这个关系式与薄透镜成像公式很相似，可视为波带片对轴上物点的成像公式。
R相应于物距(物点与波带片之间的距离)，r0相应于像距(观察点与波带片之间的距离)，而焦距为
fN
2 N
S N 1
R
R r0
( N
1)r0
(N
1)2
2
4
两式相减，即得第N个波带的面积为
SN
SN
SN 1
R
R r0
r0
N
1 2
2
由此可见，波带面积随着序数N的增大而增加。但由于通常波长λ相对于R和r0很小，λ2项可以略去，因此可视各波带面积近似相等。
(2) 各波带到P0点的距离 rN
与上面的情况不同，如果用一个不透明的圆形板(或一切具有圆形投影的不透明障碍物)替代圆孔衍射屏，将会产生怎样的衍射图样?
如图所示，S为单色点光源，MM′为圆屏，P0为观察点。分析方法与前相同，仍然由P0对波面作波带，只是在圆屏的情况下，开头的N个波带被挡住，第(N+1)个以外的波带全部通
光。因此，P0点的合振幅为
由惠更斯—菲涅耳原理可知，各波带在P0点产生的振幅aN 主要由三个因素决定：波带的面积大小ΔSN；波带到P0点的距离 r-N；波带对P0点连线的倾斜因子D(θ)，且
aN
SN rN
D( )
(1) 波带面积ΔSN
在图中，设圆孔对P0点共露出N个波带，这N个波带相应的波面面积是：
SN 2Rh
θN
S
O’ O
P
式中，h为OO′长度。
h为OO′长度。
R
MN
θN
rN
ρN
S
O’ O
r0
P
2 N
R2
(R h)2
rN2
(r0
h)2
所以
h rN2 r02
2(R r0)
又由于rN=r0+Nλ/2，故有
代入两式，得
rN2
r02
Nr0
N 2
2
2
SN
R
R r0
Nr0
N2
2
4
同样也可以求得第(N-1)个波带所对应的波面面积为
则
f1
12
令m＝3，可确定第二焦距：
fm
1 m
N2 N
f3
1 3
12
1 3
f1
假设原来包含3个半波带，序号为1，3，5；当P0点移到f3时，由于距离下降，导致半波带数上升，变成：
1 1,2,3 3 7,8,9 4 13,14,15
1 1,2,3 3 7,8,9 4 13,14,15
这种差别表现在普通透镜中只有一个焦距，而波带片中则有多个焦距，即用一束平行光照射这种波带片时，除了上述P0 点(主焦点)为亮点外，还有一系列光强较小的(次焦点)亮点。相应各亮点(焦点)的焦距为
fm
1 m
N2 N
m＝(±1, ±3, ±5………)
如图所示。
解释如下：图
假设平行光入射，
N r0N N 1
AN
a1 2
aN 2
N为偶数时，取负号； N为奇数是，取正号。
由上式，当N为奇数时，对应是亮点；N为偶数时，对应是暗点。所以，当观察屏前后移动(r0变化)时， P0点的光强将明暗交替地变化，这是典型的菲涅耳衍射现象。
在ρN和R一定时，随着r0的增大，N减小，菲涅耳衍射效应很
显著。当r0大到一定程度时，可视r0→∞，露出的波带数N不再
A
aN 1
aN2
a
aN 1 2
aN 1 2
aN2
aN 3 2
aN 3 2
aN 4
aN 5 2
aN 1 2
这就是说，只要屏不十分大， (N+1)为不大的有限值，则P0点的振幅总是刚露出的第一个波带在P0点所产生的光场振幅的一半，即P0点永远是亮点，所不同的只是光的强弱有差别而已。如果圆屏较大，P0点离圆屏较近，N是一个很大的数目，则被挡住的波带就很多，P0点的光强近似为零，基本上是几何光学的结论：几何阴影处光强为零。
2
rN
r0
N
2
M
S
R
r3
r0
3
2
r2 r0
r1 r0 2
P0
M‘
r0
h
因此，相邻两个环带上的相应两点到P0点的光程差为半个波长，这样的环带叫菲涅耳半波带(或菲涅耳波带)。
设a1, a2, ……, aN分别为第1、 M
r3
r0
3 2
r2 r0
第2、……、第N个波带在P0 S R
r1 r0 2
由于整个装置是轴对称的，在观察屏上离P0点距离相同的 P点都应有同样的光强，因此菲涅耳圆孔衍射图样是一组亮暗相间的同心圆环条纹，中心可能是亮点，也可能是暗点。
应当指出，上述的讨论仅对点光源才成立，如果不是点光源，将因有限大小光源中的每一个点源都产生自己的一套衍射图样，导致干涉图形变得模糊。
3.
点产生光场振幅的绝对值，
P
则由惠更斯—菲涅耳原理，
M‘
r0
0
P0点的光场振幅应为各波带
在P0点产生光场振幅的叠加,

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