苏教版七年级下册数学知识点

第一章整式的运算【第一节整式】一、整式的有关概念：（1）单项式的定义：像1.5V，78n2,13a2h等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式.注：①单独一个数与一个字母也是单项式.②形如x+12形式的代数式不是单项式.（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式.②多项式中不含字母的项叫做常数项．（4）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（5）整式的概念：单项式和多项式统称为整式．二、定义的补充：（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．（2）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．【第二节整式的加减】一、整式加减运算的一般步骤：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后在合并同类项.整式的加减运算实质上就是去括号和合并同类项.说明：（1）去括号是要依据去括号法则，特别是括号前是“-”时更应注意，合并同类项依据合并同类项法则，不要漏项.（2）整式加减后的次数比原整式的次数小或不变.二、整式的化简求值：给出整式中字母的值时，应将原式先化简，再代入所给字母的值，化简的过程就是去括号合并同类项的过程.说明：化简基本运用分配律、去括号和合并同类项，有时反复运用，有时也要“整体”合并同类项.【第三节同底数幂的乘法】一、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即a m∙a n=a m+n(m,n都是正整数).说明：（1）使用公式时，底数必须相同，底数不同的几个幂相乘，不能运用此法则，如32×23≠32+3≠22+3.（2）此公式可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，例如：a m∙a n∙a p= a m+n+p(m,n,p为正整数).二、同底数幂的乘法法则的逆用a m+n=a m∙a n（m,n都是正整数）.说明：同底数幂的乘法法则的逆用可以有多种表达形式，一定要灵活运用.如：37=32×35=31×36=33×34等.【第四节幂的乘方与积的乘方】乘法法则：(a m)n=a mn(m,n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.说明：（1）乘方公式可以推广，如[(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数).（2）公式中底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）幂的乘方运算法则可以逆用.乘方法则：（ab ）m=a n ∙a m (m 为正整数)，即积的乘方等于每一个因式乘方的积.说明：（1）三个或三个以上因式的积的乘方也具有这样的性质，如（abc)n =a n b n c n (n 为正整数).（2）公式中底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）注意积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，不能漏项，并且积的乘方运算法则同样可以逆用.【第五节 同底数幂的除法】同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m ÷a n =a m−n (a ≠0，m,n 都是正整数，且m>n).说明：（1）底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了.（2）公式成立的条件“a ≠0，m,n 都是正整数，并且m>n ”是此法则的一部分，不要漏掉.（3）公式中的a 可以是数，也可以是整式，如(a −3b)5÷(a −3b)2=(a −3b)5−2=(a −3b)3.（4）该除法法则可以推广到三个或三个以上的情况，如m a ÷m b ÷m c =m a−b−c (m ≠0，a,b,c 为正整数，且a>b+c).（5）单独一个字母，某指数为1，而不是0.零指数幂：a 0=1(a ≠0),即任何不等于0的数0次幂都等于1.说明：①a 0不能理解成0个a 相乘.②a 0=1(a ≠0)只是一种规定，规定的合理性可运用乘除法的逆运算关系来说明：a m ∙a 0=a m+0=a m ,所以a 0=a m ÷a m =1(a ≠0,m 为正整数).③指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂以后，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则仍然适用.④零的零次幂无意义，当底数的值不确定时，要注意讨论.负整数指数幂：a−p=1（a≠0，p为正整数）.a p必须满足a≠0，零的负整数指数幂是无意义的.说明：①a−p=1a p②同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则对负整数指数幂仍然适用.【第六节整式的乘法】一、单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2、系数相乘时，注意符号.3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加.4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式.5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式.6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用.二、单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加.即：m(a+b+c)=ma+mb+mc.2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号.3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果.三、多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏.相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项.在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”.4、运算结果中有同类项的要合并同类项.5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab.【第七节 平方差公式】1、（a+b ）(a-b)=a 2-b 2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差.2、平方差公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式.3、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b).4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b ）•(a-b)的形式，然后看a 2与b 2是否容易计算.【第八节 完全平方公式】1、即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.2、公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式.3、掌握理解完全平方公式的变形公式：（1）（2）（3）4、完全平方式：我们把形如:的二次三项式称作完全平方式.5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算.222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+2214[()()]ab a b a b =+--22222,2,a ab b a ab b ++-+6、完全平方公式可以逆用，即：【第九节 整式的除法】一、单项式除以单项式的法则1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑.二、多项式除以单项式的法则1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.用字母表示为：2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号.第二章 平行线与相交线【第一节 余角与补角】1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角.2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角.3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关.4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）则(同角的余角（或补角）相等).2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=23∠=∠（2）且则(等角的余角（或补角）相等).6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法.7、对顶角（1）两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角.（2）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.（3）对顶角的性质：对顶角相等.（4）对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁.（5）对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角.【第二节 探索直线平行的条件】一、同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角.2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角.3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角.5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系.二、六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的.2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关.3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关.00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=14,∠=∠23∠=∠4、对顶角既有数量关系，又有位置关系.三、平行线的判定方法1、同位角相等，两直线平行.2、内错角相等，两直线平行.3、同旁内角互补，两直线平行.4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行.【第三节平行线的特征】1、两直线平行，同位角相等.2、两直线平行，内错角相等.3、两直线平行，同旁内角互补.【第四节用尺规作线段和角】1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图.3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长.4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；第三章生活中的数据1．科学记数法：对任意一个正数可能写成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是整数，这种记数的方法称为科学记数法.2．利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.3．统计工作包括：①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达与描述数据；⑤分析结果.第四章 概率一、事件发生的可能性：人们通常用1（或100）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性.二、游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同.三、摸到红球的概率：1、概率的意义P （摸到红球）={摸到红球可能出现的结果数摸出一球可能出现的结果数2、确定事件和不确定事件的概率：（1）必然事件发生的概率为1记作P （必然事件）=1（2）不可能事件发生的概率为0，P （不可能事件）=0（3）如果A 为不确定事件 ，那么0<P(A)<13、概率的求法：一 般 地，如 果 在 一 次 试 验 中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件A 发生的概率为P (A )=m n .第五章 三角形【第一节 认识三角形】一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角.二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a.2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形.3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800.2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. a b c a b -<<+（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形.3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质.6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系.四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线.2、三角形的角平分线：（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点.3、三角形的中线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点.4、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高.（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点.【第二节图形的全等】一、全等图形1、两个能够重合的图形称为全等图形.2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.3、全等图形的面积或周长均相等.4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可.5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等.6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等.二、全等分割1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割.2、对一个图形全等分割：（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成.【第三节全等三角形】1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”.2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等.这是今后证明边、角相等的重要依据.4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键.【第四节探索三角形全等的条件】1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”.4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.5、注意以下内容（1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等.（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等.（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等.6、熟练运用以下内容（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键.（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”.（3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”.（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”.7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 【第五节作三角形】1、作图题的一般步骤：（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）.2、熟练以下三种三角形的作法及依据.（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形.（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形.（3）已知三角形的三边，作三角形.【第六节利用三角形全等测距离】1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离.2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径.【第七节探索直角三角形全等的条件】1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”.2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样.第六章变量之间的关系一、理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量.自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量.2、能确定变量之间的关系式：相关公式：①路程=速度×时间，②长方形周长=2×（长＋宽），③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2，④本息和=本金＋利率×本金×时间，⑤总价=单价×总量，⑥平均速度=总路程÷总时间3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系.列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值.列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分.三、关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值.四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点.五、两种图像的区别平行于横轴的线段的含义1.V-t（速度与时间）说明：线段OA表示汽车正在加速行驶；线段AB表示汽车正在均速行驶（v不变）；线段BC表示汽车正在减速行驶；线段CD表示汽车停止了（v=0）.2.S-t(距离与时间)说明：线段OA表示汽车正在离开出发地；线段CD表示汽车已经回到出发地并停止了（S=0，v=0）.注意：理解平行于横轴的线段的不同含义（在这段时间内因变量不变）.六、变化速度的比较在相同的时间内因变量变化速度的比较：哪一只图像更陡一些，这只图像代表的因变量变化会快一些.1.增长速度甲图像更陡，所以甲增长的更快.2.下降速度甲图像更陡，所以甲下降的更快.七、编写实际背景结合图像的变化趋势，编写一段合情合理的实际背景，特别要注意的是编写内容必须紧扣“变化趋势”和“合情合理”既符合实际情况.八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x 的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.九、估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.第七章生活中的轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.可以说成：这两个图形关于某条直线对称.3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系.联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合.4、成轴对称的两个图形一定全等.5、全等的两个图形不一定成轴对称.6、对称轴是直线.7、角平分线的性质: (1)角平分线所在的直线是该角的对称轴.(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.8、线段的垂直平分线(1)垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线.(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.9、轴对称图形有：等腰三角形（1条或3条）、等腰梯形（1条）、长方形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）、线段（1条）、角（1条）、正五角星(5条).10、等腰三角形性质：①两个底角相等.②两个条边相等.③“三线合一”.④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴.11、①“等角对等边”∵∠B=∠C ∴AB=AC②“等边对等角”∵AB =AC ∴∠B=∠C12、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵OA平分∠CAD OE⊥AC,OF⊥AD ∴OE=OF13、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.∵OC垂直平分AB ∴AC=BC14、轴对称的性质(1)两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角.2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形.。