等比数列的求和公式PPT优秀课件
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等比数列求和公式PPT教学课件
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和ppt课件
等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2
等比数列求和公式的推导与应用PPT
公比对等比数列求和有影响 当公比为1时，等比数列为常数列，其和等于首项与末项之差 等比数列求和公式推导 利用错位相减法，将等比数列的和表示为无穷级数，然后通过数学运算进 行化简得到 应用公比调整等比数列和 根据实际问题，适当调整公比，可以更准确地计算等比数列的和
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
等比数列的求和公式课件
+a99 ? 60
34
[例 4] 已知 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且 a1，a2， a3，…，an 成等差数列(n 为正偶数)．又 f(1)＝n2，f(－1) ＝n，试比较 f(12)与 3 的大小．
请同学们考虑如何求出这个和？
32814 73701 = 103 2
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 ? 2(1? 即2S64 ? 2 ? 22
2
?
? 22
23 ?
?
23
?
?
263
是?错26位3 )相.
? 2减64法. !
(2)
? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2那2如么?果这213些0?0麦02粒粒4麦的? 粒总重质?为量24就603是克? ，264)
根据统计资料显示全世界小麦的年产量约为6亿吨就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦国王无论如何是不能实现发明者的要求的
1
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an?1 an
?
q（常数）（ q ? 0, n ? N ? ）
2.通项公式：
a a q an ? a1 ?q n?1 ,
m? n
?g
m
n
3.等比数列的主要性质：
a1 1? q2n 1? q2
,
? S偶 ? a2 ? q. S奇 a1
等比数列前n项和的性质四：
如果?an ?为公比为q的等比数列，对? m、p ? N ?有：
Sm? p ? Sm ? qmSp
29
30
例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数 列的公比和项数.
等比数列的求和公式第一课时ppt
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 （ 2）
1 1 2n 1 2
×
a a （3）a
n个
例1、已知 a n 是等比数列，求出下列各量
1 1 （1）已知 a1 2 , q 2 , n 5 ，求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时， S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时，等比数列an an 0 为一个常数 列，前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
（ 1） 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中， 2 1
S 3 4 ，求 a 1 2
思考：
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中，a1 an 66 ， • a2 an1 128 且 sn 126 ，求项数 • n 和公比 q
等比数列求和ppt
sn 1 2 3 n sn n n 1 n 2 1
2sn (n 1) (n 1) (n 1)
n(n 1)
n(n 1) sn 2
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
ak q(k 2) ak 1
得到s30 1 2 4 229 230 1 错位相减法
等 比 数 列 求 和
在等比数列an 中，sn a1 a2 an1 an
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转 化为等比数列求和的问题.
因式分解下列式子:
(1).1 x (1 x)(1 x) 1 x x(1 x) 2 2 2 3 (2).1 x (1 x)(1 x x ) 1 x x x(1 x x )
ak q ak 1 ak q ak 1 0
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · n · ·+a 即：Sn=a1+a1q+a1q2+··+a1qn-2+a1qn-1 ·· ·· qSn= a1q+a1q2+a1q3+··+ a1qn-1+a1qn ·· ··
错 位 相 减 法
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
a1 (1 q n ) a1 an q 当q 1时，sn 1 q 1 q
当q 1时，sn na1
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
an a2 a3 q (q 1) a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1
等比数列的求和公式ppt 人教课标版
等比数列的求和公式
a n 1 1等比数列的定义： q an
2通项公式： a a q n 1
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到：
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结：
(1)等比数列前 n项和的推导方法：
错位相销法；比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为： q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得：
S6=189
a n 1 1等比数列的定义： q an
2通项公式： a a q n 1
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到：
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结：
(1)等比数列前 n项和的推导方法：
错位相销法；比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为： q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得：
S6=189
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
等比数列前n项和公式ppt
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，
让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
第10页/共15页
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
第3页/共15页
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
第9页/共15页
拓展训练 、深化认识
求数列1
1, 2
2
1, 4
3
1, 8
4
1 , 16
的前n项的和.
解:
Sn
11 2
21 4
31 8
4 1 16
(n
1 2n
)
反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(
1 2
1 4
1 8
第8页/共15页
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
（1）已知
a1
4
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q sn
a1 anq 1q
证法三： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1qq(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公 q 1 时 比 S n ， n1a
Sn a1(11qqn) (q 1) na1(q 1)
ana1qn1
Sn
a11aqnq (q
1) .
na1(q 1)
Sna1(11qqn)(q1)或 Sna11aqnq(q1).
n1a(q1)
n1a(q1)
例 1：求等 1， 1， 比 1．数 ．列 8 ． 项的 的 248
解 S n： aa11 (11 2,qqn)1 2,1n/ 2(811 28)
的等比数列。故有
两边取对数：
nlg1.1lg1.6,即 nlg1.60.20 lg1.1 0.04
解：根据题意，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中 a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000, 于是得到:
5000(1.1n) 30000. 11.1
整理后，得
1.1n=1.6
两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6
总销售量达到30000台（保留到个位） 分析：销售量与间 年的 份关 之系如下
y1 500;0y2 5000500010%
y 3 5( 1 0 1 % 0 0 5 0 ( 1 0 ) 1 % 0 0 1 % 0 0 5 ) ( 1 0 1 % 0 2 0
y4 500(1010%3); ..... yn 500(1010%n)1
解 S ： n 8,S 0 2 n656 q 0 1
Sn S2n
a1(1 qn) 1 q
a1(1 q2n 1 q
80 ) 6560
(1) (2)
(2) (1)得：1 q 2n 82
1 qn
1q2n 1qn
821qn
82
1q 1q
1q
q 3q 6q 9 1q 32 q6
qq42q7
a 1 (q q 4 ) 2 a 1 q 7
a 2a 52 a 8
a ,a ,a 成等差数列。 285
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使
证明 ： S3,S9,S6成等差数列
S3S6 2S9
当 q 1 时 S 3 3 a 1 , S 6 ， 6 a 1 , S 9 9 a 1 S 3 S 6 2 S 9 q 1
由 S3S62S9得
a1(1q3 ） a1(1q6） 2a1(1q9）
qn81 q 1
a10,q1 {an}是递增数列
an 54 a1qn154aq1qn54
a1
2q由 a1(181 )80 得：
3
1q
a12,q3
例4：已S知n是等比数 {an列 }的前 n项和， S3,S9,S6成等差数列，
求证a：,a ,a 成等差数列。 285
x(1 x n ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x 1x nx1ynyn1 1yn
练 :求 习下式的和
（ 23 5 )(43 52)(63 53)..(.2n3 5n)
例3：设正项等比 n项 数和 列 8为 0， 前其中最大 一项5为 4；前 2n项的和 65为 6， 0 若该数列a的 1 与公q比 均为正数，求首 该项 数 a1与列公的 q比 .
例2：求和
（x 1)(x2 1 )...(xn 1 )
y
y2
yn
(x 0,x 1, y 1)
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x y 1)(x 2y 1 2).. .(x ny 1 n)
(x x 2.. .x n )(y 1y 1 2.. .y 1 n)
等比数列的求和公式
一、知识回顾：
1等比数列的a定 n 1 义 q ： an
2通项公式： an a1qn1
3等比中项：
a ,G ,b 成 等 G 2 a 比 b G a
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
① 2 得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较.
S64=1+2+4+8+…+262+263
2S64=2+4+8+16…+263+264
① ② ① ②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an 公比为q： 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …①
1q
11/2
Sn 1
1 28
课堂练习
1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn
(1)a1=3，q=2，n=6.
(2)a1=8，q
=
1 2
，an=
1 2
.
(3)等比数列{ an=3 }
S6=189 S5=31/2 Sn=3n
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和； S6=1008
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn …②
① - ②得：
Sn-qSn=a1-a1qn
sn
a1 1qn 1q
证法二：
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2a3an q a1a2an1
Sn a1 Sn an
用计算器算得
nlg1.6 0.20（ 5 年） lg1.1 0.041
练习：
某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均 每年的产量比上一年增加10%，那么从第 一年起，约几年内可使总产量达到30万吨 （保留到个位）？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n)3,0 整理 1.1n 得 1.6 11.1