等比数列的求和公式PPT优秀课件

例2：求和
（x 1)(x2 1 )...(xn 1 )
y
y2
yn
(x 0,x 1, y 1)
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x y 1)(x 2y 1 2).. .(x ny 1 n)
(x x 2.. .x n )(y 1y 1 2.. .y 1 n)
总销售量达到30000台（保留到个位） 分析：销售量与间 年的 份关 之系如下
y1 500;0y2 5000500010%
y 3 5( 1 0 1 % 0 0 5 0 ( 1 0 ) 1 % 0 0 1 % 0 0 5 ) ( 1 0 1 % 0 2 0
y4 500(1010%3); ..... yn 500(1010%n)1
q sn
a1 anq 1q
证法三： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公 q 1 时 比 S n ， n1a
Sn a1(11qqn) (q 1) na1(q 1)

x(1 x n ) 1 x
1 y
(1

1 yn
)
1 1
y
x 1x nx1ynyn1 1yn
练 :求 习下式的和
（ 23 5 )(43 52)(63 53)..(.2n3 5n)
例3：设正项等比 n项 数和 列 8为 0， 前其中最大 一项5为 4；前 2n项的和 65为 6， 0 若该数列a的 1 与公q比 均为正数，求首 该项 数 a1与列公的 q比 .
① 2 得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较.
S64=1+2+4+8+…+262+263
2S64=2+4+8+16…+263+264
① ② ① ②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an 公比为q： 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …①
的等比数列。故有
两边取对数：
nlg1.1lg1.6,即 nlg1.60.20 lg1.1 0.04
用计算器算得
nlg1.6 0.20（ 5 年） lg1.1 0.041
练习：
某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均 每年的产量比上一年增加10%，那么从第 一年起，约几年内可使总产量达到30万吨 （保留到个位）？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n)3,0 整理 1.1n 得 1.6 11.1
1q
11/2
Sn 1
1 28
课堂练习
1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn
(1)a1=3，q=2，n=6.
(2)a1=8，q
=
1 2
，an=
1 2
.
(3)等比数列{ an=3 }
S6=189 S5=31/2 Sn=3n
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和； S6=1008
等比数列的求和公式
来自百度文库
一、知识回顾：
1等比数列的a定 n 1 义 q ： an
2通项公式： an a1qn1
3等比中项：
a ,G ,b 成 等 G 2 a 比 b G a
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
证明 ： S3,S9,S6成等差数列
S3S6 2S9
当 q 1 时 S 3 3 a 1 , S 6 ， 6 a 1 , S 9 9 a 1 S 3 S 6 2 S 9 q 1
由 S3S62S9得
a1(1q3 ） a1(1q6） 2a1(1q9）
qn81 q 1
a10,q1 {an}是递增数列
an 54 a1qn154aq1qn54
a1
2q由 a1(181 )80 得：
3
1q
a12,q3
例4：已S知n是等比数 {an列 }的前 n项和， S3,S9,S6成等差数列，
求证a：,a ,a 成等差数列。 285
解 S ： n 8,S 0 2 n656 q 0 1


Sn S2n
a1(1 qn) 1 q
a1(1 q2n 1 q
80 ) 6560
(1) (2)
(2) (1)得：1 q 2n 82
1 qn
1q2n 1qn
821qn
82
解：根据题意，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中 a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000, 于是得到:
5000(1.1n) 30000. 11.1
整理后，得
1.1n=1.6
两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn …②
① - ②得：
Sn-qSn=a1-a1qn
sn
a1 1qn 1q
证法二：
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2a3an q a1a2an1
Sn a1 Sn an
1q 1q
1q
q 3q 6q 9 1q 32 q6
qq42q7
a 1 (q q 4 ) 2 a 1 q 7
a 2a 52 a 8
a ,a ,a 成等差数列。 285
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使
ana1qn1
Sn

a11aqnq (q
1) .
na1(q 1)
Sna1(11qqn)(q1)或 Sna11aqnq(q1).
n1a(q1)
n1a(q1)
例 1：求等 1， 1， 比 1．数 ．列 8 ． 项的 的 248
解 S n： aa11 (11 2,qqn)1 2,1n/ 2(811 28)