函数的奇偶性与周期性教学讲义

函数的奇偶性与周期性教学讲义

1．函数的奇偶性

偶函数

奇函数

定义

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x

都有__f (－x )＝f (x )__，那么函数f (x )是

偶函数

都有__f (－x )＝－f (x )__，那么函数f (x )

是奇函数 图象 特征 关于__y 轴__对称

关于__原点__对称

2．函数的周期性 (1)周期函数

对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫作f (x )的最小正周期．

1．奇(偶)函数定义的等价形式

(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；

(2)f (－x

)

＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．

2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系

(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b

2对称；

(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点(a ＋b

2

，0)对称．

1．(教材改编)函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1

x ＋|x |中，偶函数的个数是__2__.

2．(教材改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数．

3．(教材改编)已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x －1，则f (－2)＝ 1－ 2 . 4．(教材改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2019)＝__1__.

5．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (a )) C ．(－a ，－f (－a ))

D ．(a ，f (－a ))

[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．

6．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( B ) A ．－1

3

B ．1

3

C ．1

2

D ．－12

[解析] 由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (－x )＝f (x )得b ＝0，所以a ＋b ＝1

3.

7．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－5

2)＝( A )

A ．－1

2

B ．－1

4

C ．1

4

D ．12

[解析] ∵f (x )为周期函数且周期为2，∴f (－52)＝f (－12)，又f (x )为奇函数，∴f (－12)＝－f (1

2)＝

－2×12(1－12)＝－1

2

.

考点1 判断函数的奇偶性——自主练透

例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )

1－x

1＋x

； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；

(4)f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，

x 2－x ，x <0.

(5)f (x )＝1－x 2

|x ＋2|－2

；

(6)(理)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.

[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断． [解析] (1)由题意得1－x

1＋x ≥0且x ≠－1，

∴－1

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，

1－x 2

≥0

得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，

∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．

(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．

∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．

(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；

当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．

由⎩

⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x ≠0.

故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2

x ＋2－2

＝

1－x 2

x

，