第3章2 流体动力学基础伯努利方程的应用
第三章 流体力学
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
伯努利方程的应用及注意事项
百科知识 2019.04 C伯努利方程的应用及注意事项董 珊伯努利方程是工程类大学课程较重要的一个知识点，它应用于工业的方方面面。
在工业生产中，伯努利方程应用于反应间的设计位置、管路泄露位置的查找、高位槽的安装位置、管道直径的设计、流体流量的测量以及飞机机翼的设计等。
同时我们又可以利用它来解释生活中的各种现象，如飞机可以起飞的原因、某些不需要电能便可以工作的器械原理等。
《化工原理》是化工类专业非常重要的学科，它涉及到化工设备的生产与制造、化工过程的设计与理论以及一些与生活相关的现象解释说明。
初接触《化工原理》这门科目，是从单元操作和流体的性质入手，由浅到深的学习，经由流体动力学到了本科目第一个高峰即伯努利方程。
它可以帮助我们理解很多现象，如飞机的起飞，高中我们理解有关飞机可以飞行的原理时是单从流速来讲解，而到了大学，我们更加系统地学习了基本原理：zg+0.5u2+p/ρ+w=常数zg—比位能0.5u2—1kg流体所具有的动能p/ρ—1kg流体所具有的静压能……w—功当空气流经飞机的机翼时，由于上表面面积大，所以经过上表面的空气速度就快于下表面，根据伯努利的守恒原理，下表面的压强便大于上表面，所以飞机便可以起飞。
除了这个例子之外，该方程在我们生活中的应用还有很多，最令我印象深刻的例子是洗澡神器的应用。
洗澡神器是一种不利用电能便能自动混合冷热水的工具，具体的工作原理是这样的：神器有两个接水口，一个是热水，一个是凉水，凉水端需要接自来水管，而热水端接热水即可。
也就是说，虽然神器不用电维持，但它是通过凉水的动能来运作的。
这样根据伯努利方程我们可以得知在热水与凉水的会接处，由于凉水的动能u大，所以此处的压力便小，因此热水便可以被吸入从而达到了混合的目的。
但是在实际生活中由于不同季节的温度不同，同时混合产生的温度便也不同。
也就是说冬天的时候你得用更多热水。
…刚刚谈到了冷热混合，那冷热混合是不是又用到了我们所学的传热中直接混合传热的知识，那两者混合时的温度是不是两者的平均值呢？这就要分情况看待了。
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程是流体力学中的重要原理之一，描述了沿着流体流动方向的速度、压力和高度之间的关系。
该方程是瑞士科学家丹尼尔·伯努利在18世纪中叶所提出的，并以他的名字命名。
伯努利方程原理基于流体的连续性和能量守恒定律，可以用来解决许多与流动相关的问题。
其基本形式可以表示为：P + 1/2ρv^2 + ρgh =常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，h表示流体的高度，g表示重力加速度。
此方程表明，在沿着流体流动方向的区域中，压力、速度和高度之间存在一种平衡关系，当一方发生变化时，其他两方也会随之发生相应的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将介绍其在多个领域中的具体应用。
1.液体流动伯努利方程可以应用于液体在管道和河流中的流动问题。
例如，在水力工程中，可以根据伯努利方程来计算水的压力和速度，从而确定水流是否顺畅。
此外，伯努利方程还可以应用于液体泵抽水的计算和涡轮机工作原理的分析，以及血液在动脉和静脉中的流动研究等。
2.汽车空气动力学伯努利方程在汽车设计中有重要的应用。
例如，在高速行驶时，汽车前进方向上的气流速度会增加，根据伯努利方程，气流速度增加就意味着压力降低。
这就解释了为什么汽车行驶时，车顶、车窗等地方的压力较低，从而产生了吸力，有利于汽车行驶稳定。
3.飞行器气动力学伯努利方程在飞行器气动力学中的应用非常重要。
在飞行过程中，飞机可以通过改变机翼形状和改变进气口的面积来调节气流速度和压力的分布，从而实现升力和稳定性的控制。
伯努利方程提供了一种描述飞行器气动表现的重要工具。
4.涡旋产生与气旋的形成伯努利方程也可以解释涡旋的产生和气旋的形成。
当流体经过结构物表面或物体尖部时，流体速度会增加，从而使压力降低。
这种速度增加和压力降低导致了涡旋产生。
类似地，大气中气流速度和气压的变化也会导致气旋的形成。
伯努利方程的应用还远不止于上述几个领域，例如喷射器的工作原理、风力发电工程中的风能转换等。
第3章2 流体动力学基础-伯努利方程的应用
30
2
4
V2 A2 V1 A1
V12 p 1 0.198 H 2 1 1.5 2.72 4.22m水柱 2g V12 5.26m水柱 2g
列断面0-0和真空室断面1-1的能量方程
p0
V12 H1 H 2 2g p1
V12 H1 H 2 2.72 5.26 1.5 1.04m 2g 上述计算中没有考虑管道中的能量损失，而实际上若要用 射流泵产生上述真空，水箱应？ p1
p1
p真
0.2 13.6 2.72m水柱
出水口通大气，水池液面通大气，p2=p0=0。 对断面1-1、2-2列能量方程：
p1
V12 p2 V22 H2 2g 2g
A d 50 V22 V12 1 V12 1 V12 0.198V12 A2 d 2 75
27
A 2 p A pC V A 1 2 g AC
2 A
因为AA>AC，上式左端为正值，即PC<PA，而AC越小则PC值越 低。当PC比大气压还要低时，若在C处把管子开一小孔，管内 液体并不会漏出来，而外面的空气却反而会被大气压压进管子。 若在小孔上接一根管子，其下端浸在液箱中，则管内液面在大 气压的作用下会上升。 当
现取水流进入喷嘴前的A断面和水流流出喷嘴时的C断面列能 量方程（暂时不考虑能量损失）
pA
2 VA pC VC2 2g 2g
移项
p A pC
VC2 VA2 2g
p A pC
VA2 AA 1 2 g AC
流体的稳定流动伯努利方程
无热传导
理想流体假设中，流体被 视为无热传导的，即流体 的温度在整个流场中保持 一致。
流体的能量守恒原理
能量守恒
流体的能量守恒原理指出，在封闭系 统中，流体的总能量（包括动能和势 能）在流动过程中保持不变。
动能与势能转换
在流体的流动过程中，动能和势能之 间可以相互转换，但总能量保持不变 。
伯努利方程的推导过程
伯努利方程的重要性
01
描述流体稳定流动的规律
伯努利方程是流体力学中的基本方程，用于描述流体在稳定流动状态下
的压力、速度和密度等物理量的关系。
02 03
解决实际问题
在实际生产和生活中，许多问题都涉及到流体的流动，如管道输送、流 体机械、航空航天等。通过应用伯努利方程，可以解决这些实际问题， 提高生产效率和生活品质。
伯努利方程是流体力学中的基本方程，用于描述流体在稳 定流动状态下的压力、速度和位势之间的关系，是理解和 预测流体运动的关键。
广泛应用领域
伯努利方程在多个领域中都有应用，如航空航天、流体机 械、管道输送、气象学等，对于指导工程设计和优化流体 系统性能具有重要意义。
理论基石
作为流体力学的基础理论之一，伯努利方程为后续深入研 究流体动力学、湍流理论等提供了重要的理论支撑。
详细描述
流体静压强的计算公式为 P = ρgh，其中ρ为流体密度，g为重 力加速度，h为流体高度。该公式适用于计算液体在容器中的静 压强。
流体动压强的计算
总结词
流体动压强是指流体在运动状态下对物体表面产生的压力。
详细描述
流体动压强的计算公式为 P = ρv²/2，其中ρ为流体密度，v为流体速度。该公式适用于计算气体或液体在管道或 容器中的动压强。
流体力学--伯努利方程
对于实际流体，如果粘滞性很小，如：水、空气、酒精等，可应用伯 努利方程解决实际问题；
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造 船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的应用
水平流管的伯努利方程：
1 2 p 恒量 2
在水平流动的流体中，流速大的地方压强小；流速 小的地方压强大。 在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性原理，管：水流抽气机、喷雾器、内燃机的汽化器的基本 原理都基于此；
稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1
a2处：S2，2，h2, p2
经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
伯努利方程的应用伯努利方程的应用飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空气掠过机翼向后时流经机翼上部的空气要通过的路程大于流经机翼下部的空气通过的路程因此上部空气流速大于下部空气的流速上部空气对机翼向下的压力就会小于下部空气对机翼向上的压力从而产生升力
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
应用实例2.汾丘里流量计
汾丘里管：特制的玻璃管，两端较粗，中间较细，在较粗和较细 的部位连通着两个竖直细管。
汾丘里管水平接在液体管道中可以测定液体的流量；
1 2 p v 恒量 2
S 恒量
2 S1
2p1 p 2 2 p1 p 2 gH S1 S2 2
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
伯努利方程的应用概述
伯努利方程的应用概述伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，它描述了流体在非粘性、定常、不可压缩条件下的运动。
该方程以瑞士科学家伯努利的名字命名，它是由动能项、重力势能项和压力项组成的一个总能量方程。
伯努利方程的应用非常广泛，涉及到众多领域，如航空、水利、土木工程等。
下面我将对伯努利方程的应用进行一概述。
1.流体力学中的伯努利方程应用：伯努利方程可以应用于气体、液体以及浆体等不可压缩流体的运动分析。
在管道、管路中，通过应用伯努利方程可以计算出流体在管道中的流速、压力、位能等重要物理量。
在涡街流量计、毛细管压力计等仪器中，也可以利用伯努利方程进行测量。
2.航空航天中的应用：伯努利方程的应用在航空航天工程中尤为重要。
例如，在飞机机翼和喷气引擎中，通过应用伯努利方程可以解释大气压力差所产生的升力。
同时，伯努利方程也可以用来研究流体在飞行器周围的流动，以及飞行器上部分区域的压力变化。
3.汽车工程中的应用：在汽车运动中，伯努利方程可以帮助我们理解气流对于汽车行驶的影响。
例如，通过应用伯努利方程可以研究汽车的风阻问题，从而优化汽车的车身设计，减少气流阻力，提高汽车的驾驶性能。
4.水利工程中的应用：伯努利方程在水利工程中的应用非常广泛。
例如，在水坝中，通过应用伯努利方程可以计算出水流的速度和压力，帮助我们理解水流的运动规律，并根据需要进行设计和维护。
另外，伯努利方程也可以应用于水力发电厂的设计和运行过程中，对水流能量的转化及损耗进行估算和优化。
5.土木工程中的应用：在土木工程中，伯努利方程可以用来分析液体或气体在管道、水泵以及水塔等结构中的运动。
通过应用伯努利方程，可以计算出管道中的流速和压力，帮助我们设计和维护城市的供水和污水处理系统。
6.海洋工程中的应用：伯努利方程可以应用于海洋工程领域的水流分析和水动力学特性研究。
例如，在海岸工程中，通过应用伯努利方程可以预测海浪的高度和速度，以及对于海岸线的冲击力。
同时，伯努利方程还可以帮助我们理解和控制河道和港口中的水流行为。
伯努利方程的原理和应用是
伯努利方程的原理和应用1. 什么是伯努利方程伯努利方程是流体力学中的一条基本定律，它描述了沿着定常流体流动的路径上液体或气体的功率守恒。
该定理反映了动能、势能和压力在流体流动中的相互转换关系，是流体静力学和动力学联系的重要桥梁。
2. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理基于下面几个假设：1.流体是不可压缩的，即密度在整个流动过程中保持不变。
2.流体是无黏的，即忽略粘度导致的能量损失。
3.流体是理想气体或液体，即无相变和化学反应。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：$$ P_1 + \\frac{1}{2} \\rho v_1^2 + \\rho gh_1 = P_2 + \\frac{1}{2} \\rho v_2^2 + \\rho gh_2 $$其中，$ P_1 $ 和 $ P_2 $ 是流体在不同位置的压力，$ v_1 $ 和 $ v_2 $ 是流体在不同位置的速度，$ \rho $ 是流体的密度，$ g $ 是重力加速度，$ h_1 $ 和 $ h_2 $ 是流体在不同位置的高度。
3. 伯努利方程的应用伯努利方程在工程和物理学中有着广泛的应用，下面是几个常见的应用实例：3.1 引擎燃烧室燃烧室是内燃机中的一个重要部分，伯努利方程可以用来分析燃烧室中的流动过程。
通过应用伯努利方程，可以计算出燃料和空气的流动速度和压力变化，从而优化燃烧室的设计，提高燃烧效率。
3.2 飞机翼飞机的机翼上存在着气流的不对称性，应用伯努利方程可以帮助分析气流对机翼的压力分布和升力的影响。
通过合理地设计机翼的形状和角度，可以实现更好的升力和阻力平衡，提高飞机的飞行性能。
3.3 风力发电机风力发电机是利用风能转化为电能的装置，伯努利方程可以用来分析风力发电机叶片中的气流流动。
通过合理地设计叶片的形状和角度，可以最大程度地捕捉风能，提高风力发电机的发电效率。
3.4 水力发电站水力发电站利用水流转化为电能的原理，伯努利方程可以应用于分析水流在发电站中的流动过程。
大学物理伯努利方程及其应用
即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流
速大小相等。
虹吸管
左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。
B A
hA
hB
虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。
水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可
C
知
hc
v A，所0 以此例实质为小孔流速问题
v 2g(hA hC )
如果hA－hB＜0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮
选d 点所在平面为参考平面，对a 、d 两
h1 ab
h2
点应用伯努力方程，有
d
g (h2
h1 )
1 2
vd2
解得
vd 2gh2 h1
因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以
由连续性原理，有：
对于a、b 两点，有 对于a、c 两点，有
得：
vb vc vd 2gh2 h1
pb p0
S2
A2 F2v2t P2S2v2t P2V Δt
P1
h2
由功能原理 ： A Ek E p 即
S1
h1
( P1
PP12)12Vv1212(vg22h1
v12 )V
P2
1 2
g(h2 h1)V
v22 gh2
或 P 1 v 2 gh C
2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速; （3）管1、4中的压强差.
2
v2
1
v1
4
v4
3
v3
解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1
伯努利方程的几种形式的应用
伯努利方程的几种形式的应用
1.流体在管道中的应用：伯努利方程可以用于研究管道流动中的压力
变化。
在理想情况下，管道中的液体或气体流动时，其速度增加，而压力
降低。
通过伯努利方程，可以计算出不同位置的压力以及液体或气体通过
管道的流量。
2.飞机飞行的应用：伯努利方程适用于研究飞机的气动原理。
当飞机
飞行时，空气在飞机的机翼上面流动速度增加，而在下面流动速度减低，
根据伯努利方程，飞机上下表面的压强就会产生差异，从而产生升力和重
力之间的平衡。
3.喷射器和涡轮机的应用：伯努利方程可以用于分析流体在喷射器和
涡轮机中的运动。
喷射器中的高速流体喷出，通过伯努利方程可以计算出
流体的速度和压力。
涡轮机则是利用流体的速度对转子产生动力，通过伯
努利方程可以计算出转子的输出功率。
4.水平管道的应用：伯努利方程可以用于研究水平管道中的流动情况。
在水平管道中，流体的速度减慢，而压力增加。
根据伯努利方程，可以计
算出不同位置的压力和流体的速度。
5.车辆行驶的应用：伯努利方程适用于研究车辆行驶时的空气动力学
原理。
当车辆高速行驶时，车辆前部的气流速度增加，而车辆后部的气流
速度减低，根据伯努利方程，车辆前后部的压强就会产生差异，从而产生
阻力和驱动力之间的平衡。
以上仅是伯努利方程几种形式的应用的一些例子，实际上伯努利方程
在流体力学和流体工程学的应用非常广泛。
它是研究流体力学问题的基础
方程之一，通过对伯努利方程的研究和应用，可以更好地理解和解决与流体力学相关的问题。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程 发展和原理 应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z 1+g p ρ1+g v 2121α=z 2+gp ρ2+g v 2222α+h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；gpρ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；g2v 2α----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw ----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
血液的流动之理想流体的稳定流动
四、掌握伯努利方程的应用 水平管 粗细均匀管
1 2 P v 常量 2
P gh 常量
利用伯努利方程解题
1、注意伯努利方程的条件，选好流管
2、连续性方程和伯努利方程联合使用
3、分析各点状态，确定最简单两点列方程
A:最简单两点：多已知量和少未知量
B:选择合适参考面（确定h）
C:不熟悉特殊形势，可列出完整形式
小 毛 动 细 脉 血 管
静 脉
四、伯努利方程
丹尼尔.伯努利(Daniel,公 元1700—1782年)
出生于荷兰的格罗宁根,1716年 16岁时获艺术硕士学位；1721年 又获医学博士学位, 1725年,25 岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数 学教授 ,1734年,丹尼尔荣获巴 黎科学院奖金,以后又10次获得 该奖金.
VB
C V C
流线
定常流动特点
• 任何两条流线不能相交
• 定常流动不一定是匀速流动
• 流线疏的地方平均流速小，反之平均流速大 • 流线（流管）形状保持不变
流量
1
S1
S
2
S2
v1Δt
流管
v2Δt
• 流量：单位时间内流过垂直流管的截面S的流体体 积。
Q vS
单位 米3/秒 （m3s-1）
三、定常流动的连续性方程
压强和高度的关系
条件：粗细均匀管
P gh 常量
即：流体在粗细均匀的管中流动时，高处 的压强小，低处的压强大。利用这一原理 可解释体位对血压测量的影响。
伯努力方程的应用
(1) 小孔流速
一个很大的开口容器,器壁上有一小孔,当容器内注入 液体后,液体从小孔流出.设小孔距液面的高度是h,求 液体从小孔流出的速度.
伯努利方程及其应用
《物理演示实验》结课论文题目：伯努利效应及其应用专业班级：土木1401学生姓名： ***学号：*********2015年7月4日伯努利方程及其应用程名君储运与建筑工程学院土木工程1401班摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的意义，在水利，造船，航空，等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展及其应用【正文部分】1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
概念解释：（1）理想流体：不可压缩，没有粘性；（一般情况下，密度不发生明显变化的气体，粘性小的流体均可以看作是理想流体。
）（2）定常流动：流体流动时，空间各点的流速不随时间而改变的流动。
（3）流线：用来描述流速而引入的线，流线密集则流速大；反之则小。
（4）流管：对于一个定常流动而言，流管的形状是不随着时间而改变的。
2.理想流体定常流动时的伯努利方程：可将其变形为：因此，伯努利方程在工程上的描述为：在同一流管内，任一截面上，压力头，速度头，位置头三者之和为一常量。
3.伯努利方程的几个现象：现象一：悬浮小球：根据流线密处速度大，p+1/2pv^2=常量，存在压力差。
（图一）结论：同一水平高度，流速大处压力小，流速小处压力大。
现象二：历史故事：1912年秋天的一天，当时世界上最大的远洋轮船---“奥林匹克”号正在大海上航行，在离他100米远的地方，有一艘比他小的多的铁甲巡航洋舰“豪客”号在与它平行地行驶着。
可是却发生了意见意外的事情：小船好像被大船吸过去似的，一点也不服从舵手的操纵，竟然一个劲儿的向“奥林匹克”号冲去，最后，一场海难，终未避免。
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度，右边的常数由流体的初始条件决定。
1.飞机的升力：伯努利方程原理解释了为什么飞机在飞行时能产生升力。
当飞机在飞行时，飞机的上表面与下表面之间的速度差产生了气流加速，根据伯努利原理，气流加速导致了气流压力的降低，使得飞机在上表面产生了较低的压力，从而产生了升力。
2.自动喷水器：自动喷水器利用了伯努利方程原理来提供流体的压力。
当自动喷水器中的水流通过一个细管喷出时，根据伯努利方程原理，水流的速度增加，压力降低，从而使得喷水器可以将水流喷出。
3.喷气发动机：喷气发动机的推力产生也可以通过伯努利方程原理来解释。
喷气发动机通过压缩空气并加热，在喷气管中将高速气体喷出。
根据伯努利方程原理，加热后的气体速度增加，压力降低，从而产生了向后的推力。
4.水下潜艇：潜艇运用了伯努利方程原理来调节深度。
潜艇通过控制舱内水的流动速度来调节潜艇的浮力和重力之间的平衡。
当在舱内增加水流速度时，水流速度增加，压力降低，从而使得潜艇升起；反之，如果减小水流速度，水流压力增加，潜艇下沉。
5.喷泉：喷泉运用了伯努利方程原理实现水柱的升起。
当喷泉底部喷水口速度增加时，压力降低，使得底部的压力小于水柱所受的大气压力，从而使得水柱升起。
总之，伯努利方程原理在很多实际生活中的情景中都有应用。
它的应用范围广泛，涵盖了从飞行器到喷泉等各个领域。
了解并应用伯努利方程原理，有助于我们更好地理解和解释一系列与流体动力学相关的现象和问题。
3流体动力学
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
12
工程流体力学
9
工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
17
工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
21
伯努利方程的应用
v z z
Z
1
p z
矢量
dv
F
1
p
dt
（4-2）
即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。
适用条件:
理想流体,即无论流动定常与否，
可压缩还是不可压缩均适用。
理想流体动力 学
§４-２ 拉格朗日积分式 ——欧拉方程的特解之一
假设条件： （1）理想不可压缩流体：ρ＝ const.
（2）质量力具有势函数：
由连续性方程得:
U
Q
1 4
(D2
d
2
)
列立伯氏方程：
Ⅱ
0
p0
0
0
p
1 2g
16Q2 2(D2 d 2)2
Ｉ
汽化器的真空度为：
p0
p
8Q 2 2(D2
d
2
)2
理想流体动力 学
实例四 皮托管和联合测管（用于测流速）
ｐA＝γｈ′ ｐB＝γ（ｈ′＋ｈ）
动压力 总压力
实际上出流速度 Ｕ实际 ＝φＵ
流量 Q = Ｕσc
φ = 0.96～１
理想流体动力 学
收缩断面：颈缩现象
收缩系数
c
Q实际 U实际e 2gh
流量系数 μ＝φψ
Q实际 U实际e 2gh
μ由实验测定
理想流体动力 学
二、文德利管（一种流量计） Ⅰ和Ⅱ处的压力差由测压 管读出来，为已知量。
理想流体动力 学
取管轴为基准列伯努利方程:
p1
U12
p2
伯努利方程课件
在具体应用中，需要对伯努利方程的局限性进行分析和修正，以确保结果的准确性。
流动的稳定性和不稳定性
1
稳定流动
当流体以恒定速度均匀流动时，流动状态被认为是稳定的。
2
不稳定流动
当流体遇到干扰或速度剧烈变化时，流动状态可能变得不稳定，产生涡旋和湍流。
3
流体力学分析
对流动的稳定性和不稳定性进行研究可以帮助我们理解流体的行为和预测流体系 统的性能。
流速与压力的变化规律
1
速度增加
当流速增加时，根据伯努利方程，压力会降低。
2
速度减小
当流速减小时，根据伯努利方程，压力会增加。
3
压力差驱动
压力差是流体流动的驱动力，速度和压力的变化规律在流体力学中起着重要的作 用。
流体的连续性方程
流体的连续性方程描述了在不可压缩流体中，流体质点的流速和流体密度的 关系。它是伯努利方程的重要基础之一。
总结
伯努利方程
伯努利方程是流体力学中的重 要定律，描述了流体速度和压 力之间的关系。
应用广泛
伯努利方程在研究和应用领域 中有着广泛的应用，例如航空 航天、水利工程等。
限制与修正
伯努利方程的假设和局限性需 要在具体应用中进行考虑和修 正。
流量的定义和计算方法
定义
流量是单位时间内通过某一截面的流体体积，常用单位有升/秒、立方米/秒等。
计算方法
流量可以通过流速和截面积的乘积来计算，即 Q = Av。
应用
流量的计算对于设计水利工程、管道系统以及理解流体运动的特性具有重要意义。
流体的边界层与流阻
边界层
边界层是指在流体与固体表面接 触处形成的粘性流体区域，对流 动产生一定的影响。
伯努利方程的应用概述
伯努利方程的应用概述伯努利方程是流体力学中十分重要的方程之一，它描述了在不可压缩和不黏滞的流体中，沿着流线，流速增加时压力减小的现象。
这个方程被广泛应用于各种领域，包括流体力学、空气动力学、水力学、航空航天工程等。
本文将对伯努利方程的应用进行概述。
一、流体力学中的应用：1.流体力学实验：伯努利方程可以用来解释在流体力学实验中观察到的现象。
例如，在喷气装置中，当液体从小孔中喷射出来时，其速度增加，压力减小，这可以通过伯努利方程解释。
2.水力学：伯努利方程在研究液体流动、水流以及水力工程中具有广泛的应用。
例如，在水力发电站中，伯努利方程可以用来计算水流速度、水压力以及能量转换等。
3.管道流动：在管道中的流体流动中，伯努利方程可以用来分析不同位置的压力变化。
例如，在一个升压站或者消防设备中，伯努利方程可以用来计算流体的流速、压力以及流量等。
4.飞行器的气动性能：伯努利方程在航空航天工程中的应用是非常重要的。
例如，它可以用来计算飞机机翼产生的升力以及飞机的飞行性能。
二、空气动力学中的应用：1.喷气发动机：伯努利方程在喷气发动机中的应用是十分重要的。
当高速气流通过喷射嘴时，嘴内速度增加，压力降低，通过伯努利方程可以计算出发动机喷气的动力和效率。
2.空气动力学实验：伯努利方程也可以用来解释空气动力学实验中的现象。
例如，在风洞实验中，通过空气通过不同形状的模型，可以通过伯努利方程计算流体的流速、压力以及飞机的气动性能。
三、航空航天工程中的应用：1.飞行器气动性能分析：伯努利方程可以用来分析飞行器在不同飞行状态下的气动性能，例如飞机的升力、阻力等。
通过伯努利方程，可以对飞行器的设计和改进提供重要的参数和数据支持。
2.火箭发动机推力计算：伯努利方程在火箭发动机的设计和性能分析中也具有重要的应用。
通过伯努利方程，可以计算火箭喷射气流的速度、压力以及推力等。
综上所述，伯努利方程在流体力学、空气动力学以及航空航天工程中的应用是广泛而重要的。
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【例3-3】有一喷水装置如
图所示。已知h1=0.3m， h2=1.0m，h3=2.5m， p0
为表压，求喷水出口流速及
水流喷射高度h(注：不计水
头损失)。
练习题
9
【解】
以3-3断面为基准面，列1-1、3-3两个断面的伯努利方
程：
z1p1
V 21g2 z3p3
V32 2g
其 中 ， z11 .02 .53 .5 m 、 p 10 、 V 10 ， z30 、 p 3p 0 、 V 30
气体
△h
1
2
D
1
2
d
13
因孔板在水平管路上，位置水头相等，列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
2g 2g
当孔眼断面积为A，流速为v时，根据连续性条件：
vA v1A 1v2A 2
v1
Av A1
v2
A A2
v
p1p2v22v1 2v2[(A)2(A)2]
2g 2g A 2 A 1
14
v
1
( A)2 ( A)2
2g
即，喷水出口流速为6.57m/s，喷射高度为2.2m。
11
2、节流式流量计
工业上常用的节流式流量计主要有三种类型，即孔板、喷嘴和 圆锥式（又叫文丘里管）。
节流式流量计 特点：装置中断面逐渐 收缩
12
基本原理：
当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处 流速增加，压强降低，使节流装置前后产生压差。在选择一定 的节流装置的情况下，液体流量越大，节流装置前后压差也越 大，因而可以通过测量压差来计算流量大小。
流体动力学基础
伯努利方程的应用 泵对液流能量的增加
1
伯努利方程的应用 1、一般的水力计算 2、节流式流量计 3、驻压强和测速管 4、流动吸力问题
2
1、一般的水力计算
【例3-1】从水池接一管路，如图所示。H=7m，管内 径D=100mm，压力表读数0.5 atm，从水池到压力表 之间的水头损失是1.5m，求流量。
住。
在分岔的流线上选择上游离开障碍很远的一点(p0、u0)，和A 点列伯努利方程，两点的高差为0，且A点速度uA=0。
其 中 ， zA 0 、 p A 2 a tm 2 0 2 6 5 0 P a zB 3 m 、 p B ?、 V B V A ， h A B 0 .5 m
可以求出 pB108350(Pa)
所以，水龙带出口速度为19.85m/s，该泵排量为 0.00623m3/s，B点的压力为108350Pa。
泵排量
VC 19.85(m/s)
Q V C A C = 1 9 .8 5 4 （ 0 .2 ） 2 0 .0 0 6 2 3 (m 3/s )
7
B点的压强可通过列A、B或B、C断面的伯努利方程求 解。例如，列A、B断面的伯努利方程：
zAp AV 2A g 2zBp BV 2B g 2hAB
0p1V12 zhp2V22
2g
2g
h1(p1p2z)V 21g2V 22g2
由等压面a-a得压强关系
p1zp2Hgh p1p2zHgh 即压差计
所以， h V 22 g 2V 21 g 2 H g1 0.649m
读数为 649mm
18
3、驻压强和测速管
A点称为驻点， 表明流体在障 碍前要发生停
以2-2断面为基准面，列2-2、4-4两个断面的伯努利方
程：
z2
p2
V 22g2 z4p4
V42 2g
其 中 ， z20 、 p 2p 0 、 V 20 ， z40 .3 1 .01 .3 m 、 p 40 、 V 4?
10
【解】 联立以上两个方程，解得
喷射高度：
V4 6.57(m/s) h V42 2.2(m)
17
【解】 以0-0为基准面，列1-1、2-2两个断面的伯努利方程：
z1p1
V 21g2 z2p2
V22 2g
其 中 ， z 1 0 、 V 1 Q A 1 = ( 4 0 .1 )( 3 .1 4 0 .3 2 ) = 1 . 4 2 m / s z 2 z h 、 V 2 Q A 2 = ( 4 0 .1 )( 3 .1 4 0 .1 2 ) = 1 2 . 7 4 m / s
5
【例3-2】如图所示为一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位 置如图。泵出口A压力为2atm(表压)，泵排出管断面直径 50mm，喷嘴出口C直径20mm；水龙带水头损失为 0.5m；喷嘴水头损失0.1m。试求喷嘴出口流速、泵排量 和B点压强。
6
【解】 以A所在位置为基准面，列A、C两个断面的伯努利方程：
3
【解】
流量Q=VA，管径A已知，只需求出流速V。 基准面取在Βιβλιοθήκη 道处，取1-1和2-2两个断面，列伯努
利方程。
z1p 1V 21g2 z2p 2V 22 g2h12
1 1 断 面 ： z 1 H 7 m ， p 1 0 ， V 1 0 ； 2 2 断 面 ： z 2 0 ， p 2 0 .5 a tm 5 0 6 6 2 .5 P a ， V 2 ？ ， h 1 2 1 .5 m 。
A2
A1
2g p1 p2
Q 理 论 A v
A
流量
(A)2(A 系)2数
2gp1p2A2g压p1 差p2 水头
A 2 A 1
Qd2
4
2gp1p24 d2
2g p
15
对于液-气压差计
对于水-汞压差计
p h
p
Hg 水
1 h
16
【例3-4】如图所示，一U型水银压差计连接于一直角弯 管处。已知，水平段管径d1=300mm，垂直段管径d2 =100mm。管中的流量为Q=100L/s。试问：压差计∆h 读数等于多少？（不计水头损失）
代入伯努利方程
700050662.5V221.5 9800 2g
4
【解】
解出
V 2 2 * 9 .8 * ( 7 1 .5 5 .1 7 ) 2 .5 4 ( m /s )
流量
QV2AV2
*D22.54**(0.1)2
4
4
1.99102(m3/s)
即水管的流量为 1.99102(m3/s)
zAp AV 2A g 2zCp CV 2C g 2hAC
其 中 ， zA 0 、 p A 2 a tm 2 0 2 6 5 0 P a ， zC 3 .2 m 、 p C 0 ， h A C 0 .5 0 .1 0 .6 m
根据连续性方程
2
所以，解出
V AA A V C A C V A =A A C AV C d d C A V C0 .1 6 V C