求传递函数

u1
Y1(s) = G1(s) U1(s)
Y2(s) = G2(s) U2(s) = G2(s) G1(s) U1(s) G(s) = G2(s) G1(s)（注意矩阵次序）
15
u1
y1 = u2 G1 x1(t) G2
y2 2 = [ A2 , B2 , C2 ]
1 = [ A1 , B1 , C1] x ( t) = x1(t) A1 0
6
1.7.2
传递函数阵的求法：
1.由微分方程的拉氏变式求传递矩阵. 例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入：F1, F2 输出：y1, y2 求传递矩阵。 解：写微分方程
d 2 y1 d ( y1 y2 ) m1 2 f k1 y1 F1 dt dt d 2 y2 d ( y2 y1 ) m2 f k2 y2 F2 2 dt dt
例： U1
U2 G1 G2 Y
9
U2 U1 G1 G2 Y
Y G1G2 G11 U1 1 G1G2
Y ( s ) G11 U1 G12 U 2
Y G2 G12 U 2 1 G1G2
G(s) G11 G12
10
1.7.3
Hale Waihona Puke Baidu
由状态空间表达式求传递函数阵 Ax Bu x y Cx Du
Y2 ( s) G21 ( s)U1 ( s) G22 ( s)U2 ( s)
Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。 表示成矩阵形式：
Y1 ( s) G11 ( s) G12 ( s) U1 ( s) Y ( s) G ( s) G ( s) U ( s) 2 21 22 2
Y ( s ) G( s ) U ( s )
21 22 21
传递函数阵或称传递矩阵
4
对于多输入、多输出线性定常系统，也可把传 递函数阵的概念如上推广。 设系统有r个输入变量，m个输出变量。 则传递矩阵的形式为：
G11 ( s ) G1r ( s ) G ( s) Gm1 ( s ) Gmr ( s ) mr
1
G11 G1r C adj ( sI A) B D sI A G ( s) s n a1 s n 1 an Gm1 Gmr
可见 sI A 是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统 的特征多项式，故A的特征值就是 G(s)的极点。
x2(t) x 1 ( t)
x 2( t)
x2(t)
=
B2C1 A2 C2 ] x1(t) x2(t)
+
B1 0
u1
y(t) = [ 0
16
2. 子系统并联
u
G1
y1
y
G2 Y1(s) = G1(s) U(s)
Y2(s) = G2(s) U(s)
y2
Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = [ G1(s) + G2(s) ] U(s) G(s) = G1(s) + G2(s)（矩阵维数一致）
CP P sP P AP
1
CP P


1
1
sI AP
1

1
P 1B D
1
P 1B D
CP P 1 ( sI A)1 P P 1B D
C sI A B D G(s)
14
1.7.5 子系统串并联与闭环传递函数矩阵 1. 子系统串联 y1 = u2 G1 G2 y2
5
若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为 对角形，称为传递矩阵的解耦形式。
0 G11 ( s ) G ( s ) 22 G ( s) 0 G ( s ) mm
可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第 i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。
2
对于双输入—双输出系统(见下图)。按输入的 叠加性，将输出分别用两个方程表示出。如： u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。
u1
G11 (s)
G21 (s)

y1
G12 (s)
u2
G22 (s)


y2
3
Y1 (s) G11 (s)U1 (s) G12 (s)U 2 (s)
7
2 m s 1 fs k1 Y1 ( s) fsY2 ( s) F1 ( s) 2 m s 1 fs k2 Y2 ( s) fsY1 ( s) F2 ( s)
m1s 2 fs1 k1 Y1 ( s) F1 ( s) fs 2 Y ( s ) F ( s ) fs m2 s fs1 k2 2 2
17
G1 u x ( t) =
y1
y
x1(t)
x2(t) x1(t)
G2
0 B1
y2
x 1( t ) x 2( t )
=
A1
0
A2
x 1( t ) x 2( t )
x2(t)
+
B2
u
y(t) = [C1 C2 ]
18
3. 具有输出反馈的闭环系统 u e G H Y(s) = G(s) E(s) E(s) = U(s) H(s)Y(s) [1 + G(s)H(s)]Y(s) = G(s) U(s) y
s) BU ( s) sX (s ) AX ( DU ( s) Y (s) CX (s )
X (s) sI A BU ( s)
1
Y (s) CsI A B D U (s)
1


G( s) CsI A B D
1
11
adj( sI A) adj( sI A) [ sI A] n det(sI A) s a1s n1 an
12
例：已知标量系统： 1 5 1 x1 2 x u x 2 3 1 x2 5 x1 y 1 2 x2 求传递函数。 1 1 2 s 5 1 解： G ( s ) C sI A B 1 2 5 3 s 1 s 1 1 3 2 s 5 12s 59 1 2 2 s 6 s 8 5 ( s 2)(s 4)
m1 s fs k1 G ( s) fs
2
fs m2 s 2 fs k2
1
8
2.由系统结构图求传递函数阵： 1) 求出每个输出与各个输入的传递函数 2) 将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传 递形式. 3) 按图中输入—输出关系写传递矩阵.
现代控制理论基础
1
1.7 多变量系统的传递函数阵 1.7.1 传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单输 入单输出线性定常系统输入—输出间的传递特性。 其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比。 即
G( s) Y ( s) , U (s)
或
Y (s) G(s)U (s)
13
1.7.4 传递矩阵的性质：
定理：状态变换不改变系统的传递矩阵。 证明：设原系统的传递矩阵为： G(s) = C( sI A ) 1B + D ~ ~ ~ ~ 1 1 取线性变换P： A P AP, B P B, C CP, D D ~ ~ ~ 1 ~ ~ G ( s) C sI A B D
(s) = [1 + G(s)H(s)] 1 G(s)
19
结 束
20