量纲分析

v1最大
60º < θ < 75º
s1>> s2 备注
• 只讨论起航时的航向，是静态模型 只讨论起航时的航向， • 航行过程中终点 将不在正东方 航行过程中终点B将不在正东方
2.9量纲分析与无量纲化 量纲分析与无量纲化
量纲是物理学中的重要概念， 量纲是物理学中的重要概念，量纲分析是物理学中的 重要方法。物理量分为基本量 导出量, 基本量和 重要方法。物理量分为基本量和导出量, 基本量是通 过测量来定义的量; 过测量来定义的量; 导出量是通过基本概念或定律导 出的量。 不考虑数字因素时 出的量。在不考虑数字因素时, 表示一个量是由哪些 基本量导出的及如何导出的式子, 基本量导出的及如何导出的式子, 称为此量的量纲 或量纲式) (或量纲式)。把不存在任何联系的性质不同的量纲叫 做基本量纲; 做基本量纲; 把可以由基本量纲导出的量纲叫做导出 量纲。物理量Q 的量纲记为dimQ, 国际物理学界沿用 量纲。 的量纲记为dim 习惯记为[ 习惯记为[ Q ]
1 0 −2 y4 0 0
0
L
y
y3 + y4
M T
y2
y1 −2 y4
=LM T
0 0
wk.baidu.com
0
基本解
= ( y1, y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, −1, 1)
T
T
t l g = π F (π ) = 0
2 −1
(t = λ l / g )
量纲的特征
量纲具有如下特征: 量纲具有如下特征: (1)量纲指数可以是正数、负数或零, 也可以是整数或分 (1)量纲指数可以是正数、负数或零, 量纲指数可以是正数 如果某个量对基本量的量纲指数全部为零, 数。如果某个量对基本量的量纲指数全部为零, 则称 它为无量纲量 (2)量纲独立于单位 无量纲量可以有单位。例如, 量纲独立于单位, (2)量纲独立于单位,无量纲量可以有单位。例如,行星轨 道周期变短的频率的单位是秒 世纪, 道周期变短的频率的单位是秒/世纪, 两个时间单位 不能约掉而成为无量纲量, 但却有单位。此外 不能约掉而成为无量纲量, 但却有单位。 (3)部分物理常量也有量纲 的量纲。 (3)部分物理常量也有量纲 如万有引力恒量G的量纲。 注：超越函数符号(sin , cos , ln , e ⋯) 下的数 超越函数符号(sin 必定是无量纲的
2) ε=1/2 BωL2 (L2 + L1 ) (其中: ε─感生 (其中 其中: 电动势, 磁感应强度, 角速度, 电动势, B ─磁感应强度, ω─角速度, L1 、L2 长度) ─长度 v =ωL , ε= BvL sinθ （5）推知某些物理规律 当我们对所设问题有一定了解, 当我们对所设问题有一定了解, 就可在实验和经验的基础 上利用量纲分析来确定问题中各物理量之间的关系, 上利用量纲分析来确定问题中各物理量之间的关系, 推知 物理规律。虽然不是每一个问题都能得到完全的定量结果, 物理规律。虽然不是每一个问题都能得到完全的定量结果, 但往往与它只差一个无量纲的未知函数或未知系数, 但往往与它只差一个无量纲的未知函数或未知系数, 因此 说量纲分析法是一种十分有用的半定量分析方法
′ p1 = f (ax1, by1, cz1), p′ = f (ax2 , by2 , cz2 ) 2
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) = f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p1 p1′ = ′ p2 p2
α
f1 • θ w1 f2 v1 w2
w
α =θ /2 时 f1=w(1-cosθ)/2最大 最大
2) 令α =θ /2, v1=k1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ 求θ使v1最大（w=ks1, p=ks2） 最大（
模型求解
v1=k1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ =( k1w/2)[1-(1+2p/w)cosθ]cos θ
模型 建立
α
w1
• θ
船在正东方向速度分量v 船在正东方向速度分量 1=vcosθ
模型建立
v1=vcosθ = k1(f1-p1)cosθ f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ p2 p1 p v
模型求解
求θ,α ,使 v1最大 使
1) 当θ固定时求α使f1最大 f1=w[cos(θ-2α)-cosθ]/2
w=ks1, p=ks2
记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2
1 1 2 v1 = k2 (1 − t cosθ ) cosθ = k 2 t [ 2 − (cos θ − ) ] 4t 2t
1 2 s2 θ cos θ = (t = 1 + ), α = 2t s1 2
1< t < 2 1/4<cos θ<1/2
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] −2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
α1 = 0 α 2 + α3 = 0 − 2α = 1 3
α1 = 0 α 2 = 1/ 2 α = −1/ 2 3
l t =λ g
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
m1m2 f =k 2 r
量纲分析的基本原理主要是量纲和谐原理（即纲量齐次化原则） 量纲分析的基本原理主要是量纲和谐原理（即纲量齐次化原则） 和布金汉定理 (Buckingham) 。量纲和谐原理适用于比较简单的 问题, 定理是具有普遍性的方法 问题, 量纲和谐原理：有物理意义的代数表达式或完整的物理方程, 量纲和谐原理：有物理意义的代数表达式或完整的物理方程, 其各项的量纲必须是一致的, 或者说是齐次的, 其各项的量纲必须是一致的, 或者说是齐次的, 这称为量纲 和谐原理 其重要性包括: 其重要性包括: 一个方程在量纲上应是和谐的, 1) 一个方程在量纲上应是和谐的, 只有量纲相同的项才可以相 加减 2) 量纲和谐原理可用来确定物理公式中物理量的指数 可用来探求物理规律, 3) 可用来探求物理规律, 建立物理方程式的结构形式
量纲齐次原则
例：单摆运动
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 量纲分析 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 为待定系数，
Pi定理 (Buckingham) 定理
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律， 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为 ≤
[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1
n
j = 1,2,L, m
2.9.1 量纲齐次原则 物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2 对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)
国际单位制(SI)中的七个基本物理量: 长度、质量、 国际单位制(SI)中的七个基本物理量: 长度、质量、 (SI)中的七个基本物理量 时间、电流、热力学温度、物质的量、 时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的 量纲分别是L 、M、T、I 、Θ、N 和J 任一导出量 基本量纲的幂次之积, 的量纲可以表成基本量纲的幂次之积 的量纲可以表成基本量纲的幂次之积,利用量纲分析 可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系; 可 可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系; 以有效地应用它进行单位换算; 以有效地应用它进行单位换算; 可以用它来检查物 理公式、方程的正确与否; 理公式、方程的正确与否; 特别是我们可以通过量 纲分析来推知某些物理规律, 纲分析来推知某些物理规律, 为科学地组织实验过 程、整理实验成果提供理论指导。本课时在量纲概 整理实验成果提供理论指导。 念和量纲分析理论的基础上, 念和量纲分析理论的基础上, 通过实例对量纲分析 进行应用性研究。 进行应用性研究。
（4）检查答案的正确性 ） 根据量纲和谐原理分析物理方程计算后的量纲是否有误可 作为判断结论正确性的依据.如解题得到下列结果, 作为判断结论正确性的依据.如解题得到下列结果,试用量 纲检查法判断该结果是“一定错误” 还是“可能正确” 纲检查法判断该结果是“一定错误”, 还是“可能正确”? 1)
4 F = PV 2(其中F ─力, P ─密度, v─速度) 密度, 速度) 5
α
w1
模型 假设
• w与帆迎风面积 1成正比，p与船迎风面积 与帆迎风面积s 与帆迎风面积 成正比， 与船迎风面积 s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2， 成正比，
模型 假设
• w2与帆面平行，可忽略 与帆面平行， • f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 垂直于船身， • 航向速度 与力 1-p1成正比 航向速度v与力 与力f=f w=ks1, p=ks2 w1=wsin(θ-α) f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ v=k1(f1-p1) f1 f2 v1 v p1 p2 p w w2
p= f(x,y,z)的形式为 的形式为
f ( x, y , z ) = λx y z
α β
γ
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
f (t , m , l , g ) = 0
[t ] = L0 M 0T 1 [ m ] = L0 M 1T 0 1 0 0 [l ] = L M T [ g ] = L1 M 0T −2
y3 + y 4 = 0 y2 = 0 y − 2y = 0 4 1
t m l g =π
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数 π为无量纲量 为待定常数,
( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2
3
(L M T ) = L M T
l t = 2π g
t = λm l g
α1 α 2
α3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 的量纲单 位缩小a,b,c倍 位缩小a,b,c倍
的两组测量值x 对 x,y,z的两组测量值 1,y1,z1 和x2,y2,z2， 的两组测量值 p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
推力w的分解 推力 的分解
• 风(通过帆 对船的推力 通过帆)对船的推力 通过帆 对船的推力w • 风对船体部分的阻力 风对船体部分的阻力p p1 p2 p w w2
w=w1+w2 w1=f1+f2
f1~航行方向的推力 航行方向的推力 阻力p的分解 阻力 的分解 p=p1+p2 f1 • θ p1 ~航行方向的阻力 航行方向的阻力 f2
F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价 F未定 等价, 未定
量纲分析的应用
（1）定性的表示出导出量与基本量的关系（如前述） 定性的表示出导出量与基本量的关系（如前述） 例如, 速度和加速度, 其量纲都是长度与时 例如, 速度和加速度, 间两个基本物理量的组合, 间两个基本物理量的组合, 但…… （2）有效的进行单位换算 −1 例如, 已知速度量纲[ 例如, 已知速度量纲[ v ] = LT , 现将长度单 位米换成千米, 时间单位由秒换成小时…… 位米换成千米, 时间单位由秒换成小时 （3）检验方程的正确性 量纲比起单位来更基本, 量纲比起单位来更基本,它是检查方程是否正确 依据量纲和谐原理, 的基本手段 依据量纲和谐原理, 只有量纲相同 的量才能相加减或用等号相联接。 的量才能相加减或用等号相联接。例…… 若推出的公式不符合量纲法则, 该式必然是错误的 若推出的公式不符合量纲法则,
2.8 启帆远航
帆船在海面上乘风远航， 帆船在海面上乘风远航，确定 最佳的航行方向及帆的朝向
简化问题
海面上东风劲吹，设帆船 海面上东风劲吹， 帆船 要从A点驶向正东方的 点驶向正东方的B点 要从 点驶向正东方的 点， α 确定起航时的航向θ， 帆 以及帆的朝向α A
航向
北
风向 • B
θ •
模型分析
量纲矩阵记作 线性齐次方程组
A = { a ij } n × m ,
若 rank A = r
个基本解， Ay = 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
π s = ∏q j
j =1
m
ysj
个相互独立的无量纲量, 为m-r 个相互独立的无量纲量 且