高三第一轮复习数学---直线的方程

高三第一轮复习数学---直线的方程
一、 教学目标：
1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由点和斜率导出
直线方程和方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，确定一条直线需要两个独立的已知量，并能根据条件熟练地求出直线方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。

2、 在运用直线的斜率解题时，注意不要遗漏斜率不存在的情形。

二、教学重点：
（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；
（2）确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k ∈[-1,1],则θ∈⎪⎭⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ
π,434,0
（3）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程；
⑷ 直线方程的五种形式之间的熟练转化。

三、教学过程：
（一）主要知识：
（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和
直线重合时所转的最小正角。

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。

故倾斜角的范围是[0，π）。

（2）斜率：不是900
的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan α。

（3）过两点P(x 1,y 1),P(x 2,y 2),(x 1≠x 2)的直线的斜率公式——k=tan α=1
212x x y y --
（4）直线方程的几种形式：
注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

（二）例题分析：
例1、直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是_________。

解:直线地斜率3333cos 33≤≤-⇒-
=k k α,⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴πππα,656,0
练习: 直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(－3,2)的线段相交,则a 的取值范围是( ) A.[－1,2] B.[2,+∞]∪（－∞,－1） C. [－2,1] D. [1,+∞]∪（－∞,－2） 解：直线ax+y+1=0过定点C(0,－1),当直线处在AC 与BC 之间时,必与线段AB 相交,应满足213+≥
-a 或3
1
2-+≤-a 即2-≤a 或1≥a .选D 。

【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定
例2、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：
(1) BC 所在直线的方程; (2) BC 边上中线AD 所在直线的方程; (3) BC 边的垂直平分线DE 的方程. 解：（1）042=-++y x ;
（2）由已知得BC 中点D(0,2),BC 边的中线AD 过点A(－3,0), D(0,2)两点,由截距式易得AD 所在直线方程为2x －3y+6=0;
(3)∵2
1
-
=BC k ,∴BC 的垂直平分线DE 的斜率2=DE k ，故由点斜式得DE 所在的直线方程为y=2x+2。

【思维点拨】合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度. 例3、过点P(2,1)作直线l 分别交x,y 的正半轴于A,B 两点求 （1）△ABO 面积的最小值，及相应的直线方程 （2）若︱OA ︱+︱OB ︱取最小值时，求直线的方程 （3）若︱PA ︱·︱PB ︱取最小值时，求直线的方程
解法一：显然直线效率存在。

设直线方程为y-1=k(x-2) (k<0) 得点A(0,1
2k
-), B(0,1-2k)
（1） S △ABO =
21
︱OA ︱·︱OB ︱=21 (k 12-) (1-2k)=2+(-2k-k
21)
∵k<0 ∴S △ABO ≥4,此时2
1
-=k 即直线为x+2y-4=0
（2）︱OA ︱+︱OB ︱=(k 12-)+ (1-2k) ≥223+ 此时2
2-=k 即直线为x+0222=-y
（3）︱PA ︱·︱PB ︱=414822≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++k k , 此时1-=k 即直线为x+y-3=0 解法二：设直线方程为
)0,0(1>>=+b a b y a x 。

a b ab b
a +=⇒=+∴211
2 (1)8222≥⇒≥+=ab ab a b ab S △ABO =2
1
ab 的最小为8当且仅当
a=4,b=2时成立.即得直线为x+2y-4=0
θ
(2)22332
2
)2(2+≥+-+-=-+=+a a a a a b a 此时直线为x+0222=-y 解法三：设∠OAB=θ(θ∈(0°,90°),则︱OA ︱=1+θ
tan 2
,︱OB ︱=2+tan θ,
︱PA ︱=θsin 2,︱PB ︱=θ
cos 1
类似法一可求.
练习: 一条直线被两直线1l ：4x+y+6=0,2l ：3x －5y －6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点,求这条直线的方程.
解法一：由题意可设所求直线方程为y=kx,分别与1l ,2l 的方程联立得两交点的横坐标分别为
46+-k 与k 536-,令46+-k +k 536-=0得6
1
-=k .从而所求直线方程为x+6y=0. 解法二：设所求直线与1l ,2l 的交点分别为A,B.设),(00y x A ,∵AB 关于原点对称,∴),(00y x B --,又∵A,B 分别在直线1l ,2l 上,∴4x 0+y 0+6=0且－3x 0+5y 0－6=0,两式相加得x 0+6y 0=0.即点A 在直线x+6y=0上,又直线x+6y=0过原点,故所求的直线方程为x+6y=0. 【思维点拨】“设点而不求”是简化计算的一种十分重要的方法。

练习2、过点P(2,1)作直线l 分别与x,y 轴相交，围成三角形面积为3、4、5的直线分别有几条。

答案：3时2条。

4时3条。

5时4条
例4、已知△ABC 中，B(1,2),BC 边上的高线AD 方程为x-2y+1=0 ,j 角A 平分线y=0,求AC,BC 边所在直线方程。

解：()0,10012-⇒⎩
⎨
⎧==+-A y y x 1)1(10
2=---=
∴AB k 得1-=∴AC k AC:y= - (x+1) 由BC ⊥AD,所以2
1
=
AD k 2-=⇒BC k BC 方程为 ()12--=-∴x y 例5、某房地产公司要在荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问
如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m 2
） 解：在线段AB 上任取一点p ，作垂线CD 、DE ，则AB 的方程为
12030=+y x ，设p(x,20-x 32),则S=(100-x)[80-(20-x 3
2)] (0≤x ≤30) 得60003
20
322++
-=x x s (0≤x ≤30) 配方得：x=5，y=3
50
时S 取最大值6017平方米
（三）巩固练习：
求满足下列条件的直线l 的方程。

（1） 在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。

（2）与直线240x y -+=的夹角为0
45，且焦点在x 轴上。

解：（1）设直线的方程为
13
x y
a +=-，由题意得1362a -=，4a ∴=±。

当4a =时，直线l 的方程为143x y
+=-即34120x y --=。

当4a =-时，直线l 的方程为
143
x y +=--即34120x y ++=。

（2）直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+。

由两直线夹角公式有02tan 4512k
k
-=
+，13k ∴=
或3k =-。

∴l 的方程为1
(2)3
y x =+或3(2)y x =-+，即320x y -+=或360x y ++=。

注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。

四、小结：
（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；
(2)确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉， (3)灵活地设直线方程各形式，求解直线方程； (4)直线方程的五种形式之间的熟练转化。

(注意)几种特定题型的解法
五、作业：。