初三奥赛数学难题汇总(附答案)

如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．28、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。

为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。

（1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。

若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。

（2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的54，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。

（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。

现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。

25．解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ……………………1分∴OD =3， D(0，-3) ………………………………………………2分（2）由B (-3，0)，C (33，0)，D (0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2上， (3)分得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333231c b a ………………………………5分x∴3332312--=x x y …………………………………………………………6分 （3）连结AP ，在Rt △APM 中，∠PMA==30º，AP=23 ∴AM =43， M (53，0) …………………………7分5333530tan =⋅=︒⋅=MO ON ∴N (0，-5) ……………………………………………8分 直线MN 解析式为：533-=x y 抛物线顶点坐标为(3，-4) ………………………………9分∵45333533-=-⨯=-x ∴抛物线顶点在直线MN 上． ……………………………10分28、解：（1）m x %)201()300(+⋅-，mx 54.1，mx m x y 54.1%)201)(300(++-=（2）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯>⨯≥+-mmx m m x 3002154.130054%)201(0300(解得773197＜x ≤100。

注：写97.5＜x ≤100或97.4＜x ≤100均视为正确 ∵x 为整数 ∴x 只能取98、99、100。

故共有三种调配方案：①202人继续生产A 种产品，调98人生产B 种产品； ②201人继续生产A 种产品，调99人生产B 种产品； ③200人继续生产A 种产品，调100人生产B 种产品；又mx m x y 54.1%)201)(300(++-=＝m mx 36034.0+，由于m 34.0＞0，函数y 随x 的增大而增大。

故当x ＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。

（3）当m ＝2时，最大总利润为788万元。

根据题意，可投资开发产品F 、H 或C 、D 、E 或C 、D 、G 或C 、F 、G 。

x如图，二次函数m x mx y +++=)14(412（m <4）的图象与x 轴相交于点A 、B 两点． （1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数xy 9=的图象相交于点C ，且 ∠BAC 的余弦值为54，求这个二次函数的解析式．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o ，∠C ＝60°，AD ＝3cm ，BC ＝9cm ．⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿折线A —D —C 以1cm/s 的速度向点C 运动，⊙O 2的圆心O 2从点B 开始沿BA 边以3cm/s 的速度向点A 运动，⊙O 1半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、O 2分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为t s （1）请求出⊙O 2与腰CD 相切时t 的值；（2）在0s ＜t ≤3s 范围内，当t 为何值时，⊙O 1与⊙O 2外切？24．解：（1）当时0=y ，0)14(412=+++m x mx ，…………………………（1分） 04)4(2=+++m x m x ，m x x -=-=21,4．…………………………（2分）∵4<m ，∴A （–4，0），B （m -，0）…………………………（4分） （2） 过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ， cos ∠BAC 54==AC AD ,设AD =4k ,AC =5k , 则CD =3k . ………………（5分） ∵OA =4,∴OD =4k –4, 点C (4k –4,3k ) . ……………………………（6分）（第26题）∵点C 在反比例函数x y 9=的图象上，∴4493-=k k . ……………（7分） ,03442=--k k 23),(2121=-=k k 舍去. …………………………（8分）∴C (2，29).……………………（1分） ∵点C 在二次函数的图象上，∴m m+++⨯=)14(2241292，………（1分） ∴,1=m ……………(10分) ∴二次函数的解析式为145412++=x x y . ……………………………（12分）26．解：（1）如图所示，设点O 2运动到点E 处时，⊙O 2与腰CD 相切． 过点E 作EF ⊥DC ，垂足为F ，则EF ＝4cm ．………………1分 方法一，作EG ∥BC ，交DC 于G ，作GH ⊥BC ，垂足为H ． 通过解直角三角形，求得EB ＝GH ＝3)3389(⨯-cm ．………………4分 所以t ＝（3389-）秒．………………6分 方法二，延长EA 、FD 交于点P ．通过相似三角形，也可求出EB 长． 方法三，连结ED 、EC ，根据面积关系，列出含有t 的方程，直接求t ． （2）由于0s<t ≤3s ，所以，点O 1在边AD 上．………………7分 如图所示，连结O 1O 2，则O 1O 2＝6cm ．………………8分 由勾股定理得，2226)336(=-+t t，即01892=+-t t ．……………10分解得t 1＝3，t 2＝6（不合题意，舍去）．………………12分 所以，经过3秒，⊙O 1与⊙O 2外切．………………14分BB（第26正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上一动点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，设PB =x ,△ADQ 的面积为y .（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（3）画出这个函数的图象.（4）点P 是否存在这样的位置，使△APB 的面积是△ADQ 的面积的32，若存在，求出BP 的长，若不存在，说明理由.23．（14分）函数y =-43x -12的图象分别交x 轴，y 轴于A ,C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标.（2）在x 轴上找出点B ，使△ACB~△AOC ，若抛物线经过A 、B 、C 三点，求出抛物线的解析式.（3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同的速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，设AP=m ，是否存在m 值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由.25．解:（1）画出图形，设QC =z ，由Rt △ABP ~Rt △PCQ ，x -44=z x ， z =4)4(x x -，①y =21×4×（4-z ）,② 第25题图（1）把①代入② y=21x 2-2x +8（0＜x ＜4）. （2）y=21x 2-2x +8=21(x -2)2+6.∴对称轴为x =2,顶点坐标为（2，6）.(3)如图所示 第25题图（2） (4)存在，由S △APB ＝32S △ADQ ，可得y ＝3x ， ∴21x 2—2x +8＝3x ， ∴x ＝2，x ＝8(舍去)，∴当P 为BC 的中点时，△PAB 的面积等于△ADQ 的面积的32.23．（1）A （-16，0） C （0，-12） ········································ 2分 （2）过C 作CB ⊥AC ，交x 轴于点B ，显然，点B 为所求， ········ 3分 则OC2=OA ×OB 此时OB=9，可求得B （9，0） ······················· 5分 此时经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为：y=121x2+127x-12 ·································································· 8分（3）当PQ ∥BC 时，△APQ ~△ACB ······································· 9分得AC AP =AB AQ ······································································ 10分 ∴20m =2525m -解得m=9100 ·················································· 11分当PQ ⊥AB 时，△APQ ~△ACB ·············································· 12分得：AC AQ =AB AP ···································································· 13分 ∴2025m -=25m 解得m=9125 ··············································· 14分已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，以A 点为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于点E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CF ，∠CBD 的平分线交CE 于点H. （1）求证：BE=HE ；（2）若AH ⊥CE ，Q 为 BF ⌒上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连结BQ 并延长交y 轴于G ，求AT •AG 的值；（3）如图2, P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 两点重合)，连结PD 交y 轴于点M ，过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ，设⊙O 1的半径为R ，当k=34 时，给出下列两个结论：①MN 的长度不变；②MNR 的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.24．（本题满分12分）QO HG FEDC BAxy T如图15，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且P4AB =．（1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是P 的切线；（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．30、证明：(1)∵AE ⊥BD ，∴BE ⌒ =DE ⌒，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH ，∠BHE=∠ECB+∠CBH ，∠HBE=∠DBH+∠EBD ，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.解： (2)连结QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ，∴ΔABG ∽ΔATB ，∴AB 2=AG •AT ，∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴BE=12 EC ，∴ΔBEO ∽ΔCBE ，∴OE BO =BE EC=12. 设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2=BO 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT •AG=AB 2=25.(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔBAG ∽ΔTAD) (3)答：②MNR的值不变.证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、BM ，则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ， ∴MN R =2NK O 1N =2sin ∠NO 1K=2sin ∠NPM ， 由直线y=34 x+3 得 OB=OD=4，OM ⊥BD ， ∴∠BMO=∠DMO ，又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∵∠ABM=∠PNM ，∴∠MPN=∠BAM=∠NO 1K ，MN R =2sin ∠BAM=2×BO AB = 85 ， 所以MN R 的值不变，其值为 85 .24、解：（1）如图4，连结CAOP AB ∵⊥ 2OB OA ==∴ ····················································································· 1分 222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP =······················································· 2分图15BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴（也可用勾股定理求得下面的结论）CP BP =∵，OB OA = 22AC OP ==∴ ································································· 3分 (20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（写错一个不扣分） ···························································· 4分 （2）2yx b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴ ··························································· 5分 ∵当0y =时，3x =- (30)D -，∴ ∴1AD = ···························································· 6分 21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠=DAC POB ∴△≌△D C A A BC ∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=∵90DCA ACB ∠+∠=∴（也可用勾股定理逆定理证明）····················································· 7分DC ∴是P 的切线 ········································································································ 8分 （3）2(1)6yx a x =-+++∵过(20)B ，点 202(1)26a =-++⨯+∴ 2a =-∴ ····· 9分 26y x x =--+∴ ········································································································ 10分已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由23．（本题满分11分）如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ． （1） 求OA 、OC 的长； （2） 求证：DF 为⊙O ′的切线；（3） 小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分．．说明理由． 解：24、解：（1）由已知条件，得：n 2－1=0 解这个方程，n 1=1 ，n 2=－1；当n=1时，得y=x 2+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x 2－3x ，此抛物线的顶点在第四象限；∴所求的函数关系式为y=x 2－3x …… (4分) (2)由y=x 2－3x ，令y=0，得x 2－3x=0，解得x 1=0 ，x 2=3； ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0） ∴它的顶点为（49,23-），对称轴为直线x=23 ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=()11321=-⨯∴B （1，0） ∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x 2－3x 上， ∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2。