齐次线性方程组基础解

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求齐次线性方程组基础解系的初等变换法

Ｐ＝ＢＡ
・９・
定理１设Ａ是方程组（）系数矩阵，秩Ａ＝ｒ若１的且，
初行更ｆｒ女１等变ｃ１ｍ０Ｄ… Ｊ
．
其中ｃ为阶梯形矩阵，且秩Ｃ＝．Ｄｒ则中的ｎｒ — 个行向量，ｚ… ，ｎ就是方程组（）０，Ｏ＿【￣ｚ１的一个
证明由引理１存在ｒ阶可逆矩阵Ｐ，得，ｌ使
Ｐ；，三言）ｃ＝：Ａ（
一
．
．
ｃ４
由分块矩阵的乘法有
Ｃｒｍ
＝
…
）
（５
）
的行向量Ｏ（＝１２，，ｔｉ， … ｎ—ｒ线性无关・（）ｉ）将６
Ａ三２０二２：三Ｉ一Ｉ１ — 一［２］０］Ｌ一１ｊ一［ —３１／２Ｊ一１＋３ＬＩｌ１］０一ｆ－＋一。Ｊ－一ｌ。０Ｌ１１０－ — ｌ一一０１］ — ［ — ＪＩ
１
，Ｌ
、，
１主要结论
定义１若矩阵Ｃ满足下列两个条件
１）Ｃ的非零行全在Ｃ的上方，行全在Ｃ的下方；零２）非零行的第一个非零元素（为首非零元）称的列标随行标的增大而严格增大；称Ｃ为阶梯形矩则阵．定义２设Ｄ为阶梯形矩阵，矩阵Ｄ满足下列两个条件若１）Ｄ的非零行的首非零元均为１；２）首非零元所在列的其余元素均为零；称矩阵Ｄ为行简化阶梯形矩阵．则引理１－设Ａ是ｒｎ ¨３ｎ矩阵，ｘ若矩阵Ａ经若干次初等行变换化为矩阵Ｂ则存在ｍ阶可逆矩阵Ｐ使，，

齐次和非齐次线性方程组的解法

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。

其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ；令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ；令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。

(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。

此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二：因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ），不能够用队列式的方法来判断），进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注：此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ；令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ；令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个基础解系为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的通解为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。

齐次方程组的基础解系和通解

矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 11Biblioteka 03 04
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量，对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r

线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)

x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，

具有非零解的齐次线性方程组基础解系

我们断定，上述 n − r 个解构成方程组(1)的基础解系(i)
η1 ,η2 , … ,ηn − r 线性无关.
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (ii) 任意取一个解 η = ⎜ cr ⎟ . ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
一方面，由
η1 ,η2 , … ,ηn − r 是方程组 (1) 的解知
将(3)看成 x1 , x2 ,
a1r ⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ a rr ⎠ − a1n xn , − a2 n xn ,, − arn xn ,
显然 C 的秩为 r, 从而其行列式不为零.将(2)变形，得
+ a1r xr = − a1r +1 xr +1 − + a2 r xr = − a2 r +1 xr +1 − + arr xr = − arr +1 xr +1 −
这说明该方程组存在基础解系且基础解系中含元素的个数加上该方程系数矩阵的秩等于该方程组未知数的个数
具有非零解的齐次线性方程组基础解系存在性的证明
定理具有非零解的齐次线性方程组必有基础解系.若该齐次线性方程组系数矩阵的秩为 r , 则它的基础解系中含元素个数为 n − r. (以下将看到， n − r 也就是自由未知量的个数). 证明由于方程组有非零解，故 r < n. （ I ）当 r = 0 时，方程组变为 0 = 0. 此时，任意 n 维列向量均为方程组的解，此时
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎛ xr +1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ r +2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ 为，， …， ⎜ cr ⎟ 为（2）的解，从而是（1）的一个解. 于是，分别令 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组基础解线性方程组解法是数学中一个重要的方面，它主要是用来解决一类特殊的方程及其特征。

例如，当某类线性方程组有无穷多个解时，它们可以求出该方程组的基础解，即齐次线性方程组的基础解。

齐次线性方程组是一种比较特殊的线性方程，它要求所有变量的系数都相等，并且右边的常数项也相等。

这种形式的线性方程组是直接可以解出基本解的，且求出的解是无穷多个。

定义：若给定方程组为a1x1+a2x2+...+anxn=b (1)其中a1=a2=...=an=a 且 b=0,称方程组(1)为齐次线性方程组。

解齐次线性方程组时，容易发现系数a1, a2,, an是相等的，这意味着齐次线性方程组的变量x1, x2,, xn都是按照一定比例变化的，即有以下解：x1=k1x2=k1x2……xn=k1xn其中k1为任意实数，x1, x2,, xn则是它们之间的比例参数。

所以对于齐次线性方程组，解可以用如下形式表示：X=(k1,k2k1,…,knk1)即齐次线性方程组一共有无穷多个基础解，它们是以k1为基本解，其中k1为任意实数而定义的。

除此以外，还可以通过矩阵乘法的方法求解齐次线性方程组。

例如：a1x1+a2x2+...+anxn=b (2)将方程组(2)变换为矩阵形式[a1,a2,...,an][x1,x2,...,xn]T=[b]T即可以得到[x1,x2,...,xn]T=1/a[b]T从而求得基础解[x1,x2,...,xn]T，也就是齐次线性方程组的基础解。

综上所述，齐次线性方程组的基础解具有如下特点：1.系数要求相等；2.变量之间要求有一定比例；3.有无穷多个解；4.可以用矩阵乘法的方式求解齐次线性方程组的基础解。

齐次线性方程组的基础解，在实际的解决工程问题中，可以节省计算机的开销，减少计算量，提高问题的解决速度。

此外，其解可以用于求解决策问题、分析复杂的数据关系，为经济管理决策提供有力的支持。

总之，在计算机科学及现代统计学中，齐次线性方程组基础解是一种极其重要的概念，它不仅能够简化线性方程组的求解，而且解的结果能够更好地映射到实际的世界中，因此非常有用。

线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法

二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r

0 1
b 11 br1

b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1

5.2+第五章+线性方程组+第二节++齐次线性方程组的解空间与基础解系(图片+动画版)

（4）由 A2 还原出最简方程组，自由未知数个数为n r ，
构造基础解系 , , ，得到通解（生成 n r维解空间）
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
nr
c c c X
11
22
nr nr
A 3、常用结论：若 m×n B = O
→
则矩阵B的每一列都是齐次线性方程组 Am×n X = 0 的解向量，
所以B的秩不超过方程组解空间的维数.
R( A)
=
R(1
2
) n
=r ＜ n
R( A)
=
R(1
2
) n
=r=n
A 2、基本方法：线性方程组求解基本步骤 X m×n = 0
A （1）系数矩阵 A 行变换行阶梯阵从上向下 1
（2）判断解的状态：
A1的非零行数= r
r n r n
——唯一解（零解） ——无穷多解（零解及非零解）
A A （3）无穷多解时 1 行变换从下向上行最简形 2
又如果 R( A) r n，则 R(B) n r
因此 R(A) R(B) n .
第二节齐次线性方程组的解空间与基础解系
一、齐次线性方程组(Ⅰ)的解空间
二、齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系
总结: 1、基本关系
齐次线性方程组
A X 0 mn
→
x11 + x2 2 + + xn n = 0
无穷多解（非零解）
唯一解（零解）
1,2, ,n 线性相关
1,2, ,n 线性无关

齐次线性方程组的解的结构

(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)

线性代数 4-2 第4章2讲-齐次方程组(2)

c11 c22 cnrnr，其中1,2 , ,nr为基础解系.
推论2 n个未知量n 个方程的齐次线性方程组AX 0 有非零解的充要条件是 | A | 0.
3
齐次线性方程组的基础解系(2)
例1
如果五元线性方程组AX
0
的同解方程组是
x1 x2
3x2 ，则有r( A) 0
____ ，
自由未知量的个数为 ______ 个，AX 0 的基础解系有 ______ 个解向量.
0 1 1
(A)
2
1
1
(B)
2 0
0 1
1
1
(C)
1 0 2
0
1
1
(D)
4 0
2 1
2 1
解 n 3，k 2 r(A) n k 1
定理4.1
设A是m n矩阵，r(A) r n，则齐次线性方程组AX 0 的基础解系存在，且基础解系所含解向量的个数为n r.
A
5
齐次线性方程组的基础解系(2)
线性代数（慕课版）
第四章线性方程组
第二讲齐次线性方程组(2)
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本讲内容
01 引例 02 齐次线性方程组解的性质 03 齐次线性方程组的基础解系(1)
04 齐次线性方程组的基础解系(2)
齐次线性方程组的基础解系(2)
定义4.1 若齐次线性方程组AX 0 的有限个解1,2 , ,s 满足 (i) 1,2, ,s线性无关 (ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示则称1,2, ,s是AX 0 的一个基础解系.
10
齐次线性方程组的基础解系(2)
1 2 1 2
设A 0 1
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齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案

齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案一、教学目标1. 让学生理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 让学生掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 齐次线性方程组的定义与特点2. 基础解系的定义与性质3. 齐次线性方程组的求解方法4. 实际应用举例三、教学重点与难点1. 教学重点：齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 教学难点：齐次线性方程组的求解方法及实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 通过例题演示法引导学生掌握齐次线性方程组的求解过程。

3. 利用小组讨论法让学生探讨实际应用问题，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

2. 讲解齐次线性方程组的定义与特点，引导学生理解基础解系的概念。

3. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

4. 设计练习题，让学生巩固所学知识。

5. 组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。

教案示例：课题：齐次线性方程组基础解系讲课课型：新授课课时：1课时教学目标：1. 理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 学会运用数学知识解决实际问题。

教学重点：1. 齐次线性方程组的定义、特点。

2. 基础解系的概念及求解方法。

教学难点：1. 齐次线性方程组的求解方法。

2. 实际应用举例。

教学过程：一、导入新课回忆线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

二、新课讲解1. 讲解齐次线性方程组的定义与特点。

2. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

3. 讲解基础解系的概念及性质。

三、课堂练习设计练习题，让学生巩固所学知识。

四、小组讨论组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。

齐次线性方程组的基础解系及其应用

二次型与正定矩阵1．二次型及其标准形1．1二次型的矩阵表示n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式：212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n n a x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型，当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型.取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n nn nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n n ij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵.例1：二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=用矩阵可表示为X X x x x f T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020211011),,(321二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1中二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=的的秩是3. 1．2二次型的标准形对于二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n n f y y y λλλ=+++ ，称为二次型f 的标准形. 即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ x x =y y =y y λλλλλλ实二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所含项数（即二次型的秩）却是唯一的.定理（惯性定理）对任何实二次型，其标准形中系数为正的平方项个数和系数为负的平方项个数都是唯一确定的，不随可逆线性变换的不同而改变.在秩为r 的二次型的标准形中，正平方项的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数r p -称为二次型的负惯性指数，它们的差()2p r p p r --=-称为二次型的符号差.1．3矩阵的合同求二次型的标准形转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同.（1）合同是矩阵间的等价关系具有:反身性：对称性：和传递性：（2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵.2.化二次型为标准形2.1 配方法配方法就是应用中学代数中配平方的方法来逐次消去二次型中的交叉项，使得最后只剩下平方项，从而将二次型化为标准形.下面通过例子说明这种方法.例2 化二次型121323262f x x x x x x =-+为标准形，并求所用的变换矩阵.解由于f 中不含平方项，不能直接配方，但含有乘积项12x x ，故令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入可得221213232248f y y y y y y =---.再依次关于12,y y 配方，得222132332()2(2)6f y y y y y =--++.再令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩即112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.代入后即得f 的标准形222123226f z z z =-+.所用的变换矩阵为110101111110012113,001001001C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（||20C =-≠）.2.2正交变换法对任何实对称矩阵A ，总有正交阵P ，使1P AP P AP-'==Λ为对角矩阵，于是有定理:任给二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑（ij ji a a =），总有正交变换P x =y ，将f 化为标准形2221122n n f y y y =+++ λλλ，其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的n 个特征值.例3设二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（1）求a 的值；（2）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；【分析】（1）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（2）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；.【详解】（I ）二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得a=0.（II ）这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α 由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +3.正定二次型3.1正定二次型的概念定义设实二次型f A '=x x ，若对任何12(,,,)n x x x '=≠0 x ，都有(1)()0f >x ，则称f 为正定二次型，称f 的矩阵A 为正定矩阵；(2)()0f <x ，则称f 为负定二次型，称f 的矩阵A 为负定矩阵；(3)()0f ≥x ，则称f 为半正定二次型，称f 的矩阵A 为半正定矩阵；(4)()0f ≥x ，则称f 为半负定二次型，称f 的矩阵A 为半负定矩阵(5)如果f 既不是半正定又不是半负定，则称f 为不定的.3.2正定二次型的判别法正定二次型的判别法1--用定义判定例4. 设A 是n m ⨯的实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知A A E B T +=λ，证明当0>λ时，B 为正定矩阵。

§3齐次线性方程组解的结构

在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例2中，当把A用初等行变换变为矩阵
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让依次取，即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域上的元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域上的元齐次线性方程组在上的所有解向量构成的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组的解具有特定的结构，其中解向量是方程组解的重要组成部分。通过线性组合，可以得到方程组更多的解。而基础解系则是解集合中的一个极大线性无关组，它包含了方程组解组的系数矩阵进行初等行变换，化为标准阶梯形。然后，根据阶梯形矩阵确定自由未知量，并通过代入法求解得到基础解系。基础解系中的解向量个数等于未知量个数减去非零行数，即n-r。通过具体例子，可以清晰地展示求解齐次线性方程组基础解系的整个过程，包括系数矩阵的初等行变换、自由未知量的确定、基础解系的求解以及通解的表示。

由基础解系反求齐次方程组

任务名称：由基础解系反求齐次方程组概述在数学中，齐次方程组是指系数为常数的线性方程组，其中未知数的次数都是1，且齐次方程组总是有零解存在。

而基础解系是齐次方程组中的一组特解，可以通过组合得到齐次方程组的全部解。

本文将详细介绍如何通过基础解系反求齐次方程组。

二级标题1：齐次线性方程组与齐次方程组的定义三级标题1：齐次线性方程组•齐次线性方程组是指一组未知数的线性方程，其中所有等号右边的数都是零。

•齐次线性方程组可以表示为Ax=0的形式，其中x是未知数向量，A是系数矩阵。

三级标题2：齐次方程组•齐次方程组是指系数为常数的线性方程组，其等号右边的数都是零。

•齐次方程组可以表示为{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0 a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0 a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=0的形式，其中a ij是常数。

二级标题2：基础解系的定义与性质三级标题1：基础解系•基础解系是齐次方程组的特解，通过它可以得到齐次方程组的所有解。

•基础解系可以表示为一组线性无关的特解组成的向量集合。

三级标题2：线性无关性•基础解系中的向量之间必须是线性无关的，即不能由其他向量线性表出。

•若基础解系中的向量线性相关，则表示该基础解系不完备，需要再添加线性无关的向量。

二级标题3：基础解系反求齐次方程组的步骤三级标题1：确定系数矩阵首先需要确定齐次方程组的系数矩阵A。

三级标题2：求系数矩阵的行列式计算系数矩阵A的行列式|A|，若|A|≠0，则齐次方程组只有零解；若|A|=0，则齐次方程组有非零解。

三级标题3：将系数矩阵化为阶梯型矩阵通过初等行变换，将系数矩阵A化为阶梯型矩阵B。

三级标题4：确定基础解系通过变量的自由选择，确定基础解系的个数和各个向量的分量取值。

三级标题5：求齐次方程组的通解利用基础解系和自由变量，得到齐次方程组的通解。

三级标题6：检验求解结果将得到的通解代入齐次方程组进行检验，确保求解正确。