11.3-用函数观点看方程(组)和不等式

课题：11.3 用函数观点看方程（组）与不等式

复习目标

1、理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。

2、理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题。

3、理解一次函数与二元一次方程组的关系,学习用函数的观点看待方程组的方法，会用图象法解二元一次方程组。重点理解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的。

复习指导

1．解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的函数值为0，•求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x•轴的交点的横坐标。

2．在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象。

3．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。

4．解关于x的不等式kx+b＞mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方。或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b 上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方。（不等号为“＜”时是同样的道理）

5．解关于x、y的方程组

y kx b

y mx n

=+

⎧

⎨

=+

⎩

，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量

为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y=kx+b与y=mx+n的交点坐标。

6．两条直线的交点坐标，•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。

练一练

例1：若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？

分析：

（1）一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值。（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得。解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B。

令y=0得x=-6

k

；令x=0得y=6。

∵A（-6

k

，0）、B（0，6）∴OA=|

6

k

|、OA=│6│=6

∵S=1

2

OA·OB=

1

2

|-

6

k

|×6=24 ∴│k│=

4

3

∴k=±

4

3

例2：用画图象的方法解不等式2x+1＞3x+4。

分析：

（1）可将不等式化为-x-3＞0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x 取何值时，图象上的点在x 轴上方？

或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x 的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？ 解：

方法（1）原不等式为：-x-3＞0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象（图1）。从图象可以看出，当x ＜-3时这条直线上的点在x 轴上方，即这时y=-x-3＞0，因此不等式的解集是x ＜-3。

方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x ＜-3时，对于同一个x 的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应点的上方，此时有2x+1＞3x+4，因此不等式的解集是x ＜-3。

（1） (2)

例3：在直角坐标系中有两条直线：L 1：y=35x+95和L 2：y=-3

2

x+6，它们的交点

为P ，•第一条直线L 与x 轴交于点A ，第二条直线L 与x 轴交于点B 。 （1）A 、B 两点的坐标；

（2）用图象法解方程组：359

3212

x y x y -=-⎧⎨+=⎩；

（3）求△PAB 的面积。

拓展探究

（1）由“直线上点的坐标与二元一次方程的解的关系”以及“直线与x 轴的交

点的纵坐标为0”确定A、B两点的坐标。

（2）方程组中的两个方程变形后正好是该题中的两个函数，交点P（2，3）•的坐标即方程组的解。

（3）AB=7，AB边上的高是P点纵坐标的绝对值，从而求出面积。

解：

复习反馈

一、选择题

1．直线y=3x+9与x轴的交点是（）。

A．（0，-3）B．（-3，0）C．（0，3）D．（0，-3）

2．直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）。

A．3B．2C．-2D．-3

3．已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b的值是（）。

A．1B．-1C．1

3

D．-

1

3

4．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是（-1，1），则直线y=x与直线AB的交点是（）。

A．（1，1）B．（-1，-1）C．（1，-1）D．（-1，1）

5．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）。

A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1

6．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k＜0•的解集是（）。

A．x＞-2B．x≥-2C．x＜-2D．x≤-2

7．已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（）。

A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）

8．如果直线y=3x+6与y=2x-4交点坐标为（a，b），则

x a

y b

=

⎧

⎨

=

⎩

是方程组_______

的解（）。

A．

36

24

y x

y x

-=

⎧

⎨

+=-

⎩

B．

36

24

y x

y x

-=

⎧

⎨

-=

⎩

C．

36

34

x y

x y

-=

⎧

⎨

-=

⎩

D．

36

24

X Y

X Y

-=-

⎧

⎨

-=-

⎩

9．已知y

1=-x+1和y

2

=-2x-1，当x＞-2时y

1

＞y

2

；当x＜-2时y

1

＜y

2

，则直线y

1

=-x+1

和直线y

2

=-2x-1的交点是（）。

A．（-2，3）B．（-2，-5）C．（3，-2）D．（-5，-2）

10．已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点是（）。A．（1，0）B．（1，3）C．（-1，-1）D．（-1，5）

二、填空题

1．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______。

2．已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______。•与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________。

3．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x•轴的交点坐标是________。

4．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x等于________时的函数值是8。

5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2的解集是________。

6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9＞12的解集是________。

7．已知关于x的不等式kx-2＞0（k≠0）的解集是x＞-3，则直线y=-kx+2与x 轴的交点是__________。

8．已知不等式-x+5＞3x-3的解集是x＜2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________。

9．已知函数y=mx-（4m-3）的图象过原点，则m应取值为__________。

10．直线y=2x-1与y=x+4的交点是（5，9），则当x_______时，直线y=2x-1上