微积分复习附解题技巧

《微积分》复习及解题技巧

第一章函数

一、据定义用代入法求函数值：

典型例题：《综合练习》第二大题之2

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合）

主要根据：

①分式函数：分母工0

②偶次根式函数：被开方式》0

③对数函数式：真数式〉0

④反正（余）弦函数式：自变量 < 1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1

1

补充：求y二J——-的定义域。（答案：2 x -）

Vi 2x 2

三、判断函数的奇偶性：

典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章极限与连续

求极限主要根据: 1、常见的极限:

1

lim 厂 °（

°）

x

X

2、利用连续函数：

lim f （x ） f （x °

）

X x °

初等函数在其定义域上都连续。 例：

1

阮1

3、求极限

的思路:

式（用罗彼塔法则）

sin x

lim 1

lim X

f

（x ）

°

lim f （x ） C

1

（C 1 °常数）

°

lim g （x ） C 2

（C

2

°常数）

可考虑以下9种可能：

①°型不定式（用罗彼塔法则） ° ④ C 1 二乂

°

②卫=°

C 2

③-=°

C 1

⑥——

=00

⑨—型不定

⑤C

特别注意：对于f (X)、g (X)都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则!

典型例题：《综合练习》第二大题之3、4;第三大题之1、3、5、

补充4:

lim1

X 1

(此题用了“罗彼塔法则”)7、

补充1：

2

sin (x 1)贝S a= - 2 , b= 1 ax

X 1?2x

77

补充2：lim

X lim

X

e2

补充3：

lim n (2n 1)(2 n 1)

lim1 1

n

1

2n 1 2n 1

2lim 1

n

1 2n 1

lim

X 1

In x

第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之12

二、求给定函数的导数或微分：

求导主要方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则：教材P110-111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）

6、求高阶导数（最高为二阶）

7、求微分：dy=y dx即可

典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、补充：设y= . x2 1 （arctgx）2，求dy.

解：T y - r—22x 2arctg^-^-y -=L=

2VTV 1 x 出x2

, / x 2arctgx、

二dy=y

dx （ ------- 2厂）dx

v'1 x 1 x 2arctgx 1 x2

第四章中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19 二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之 5 二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2

第五章不定积分

第六章定积分

I理论内容复习：

1、原函数：F (x) f (x)

则称F (X)为f (X)的一个原函数。

2、不定积分：

⑴概念：f (X)的所有的原函数称f (X)的不定积分。

f(x)dx F(x) C

注意以下几个基本事实：

f (x)dx f (x) f (x)dx f (x) C

d f (x)dx f (x)dx df (x) f (x) C

⑵性质： a f (x)dx a f (x)dx(注意a 0)

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

⑶基本的积分公式：教材P206

3、定积分：

⑴定义

⑵几何意义

⑶性质：教材P23— 235性质1 —3

⑷求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式

H习题复习：

一、关于积分的概念题：

典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14

二、求不定积分或定积分:

可供选用的方法有

⑴直接积分法： 直接使用积分基本公式

⑵换兀积分法： 包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法

典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一：

解：设 x — 3=t 2

, 即卩 x 3 =t ,

则 dx=2tdt.

2

...xdx = (t

3)小醴=2 J x 3 t 2 3 2 --------- 3

=一 t 6t C = 一(、x 3) 6 x 3 C

3 3

关于“换元积分法”的补充题三：

8 dx 0

1

3

x

解：设 x=t 3，即t ，则 dx=3t 2dt.

当 x=0 时，t=0; 当 x=8 时，t=2. 所以

dx 1 1 2x 1

2 2x 1

d(2x 1)

— I n2x 1 C

关于“换元积分法”的补充题二:

xdx

、x 3

1 2 1

t 2 1 6t C

2 1