反比例函数的图像及性质

反比例函数的图像及性质
人教版数学九年级下册
《反比例函数的图象和性质》教学设计
一.内容和内容解析
1.内容
反比例函数的图象和性质
2.内容解析
本节课是人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数的内容，本节分为三课时，这是第二课时的新授课.是在学生已经经历了一次函数、二次函数的研究过程的基础上，在得到反比例函数的概念之后，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质.
教学过程中首先引导学生用“描点法”画出反比例函数的图象，使反比例函数的解析式表示的函数关系直观化；然后分类观察图象，体现“分类”的思想，首先研究k>0的情况，从特殊k=4,k=6,k=8,k=12的图象观察，进而推广到一般，得出k>0时的反比例函数的图象的特征及反比例函数的特性，体现“从特殊到一般”的思想，然后教师再引导学生从解析式的角度分析图象特征，在整个教学过程中始终贯穿由“数”到“形”再由“形”到“数”的相互转化，让学生体会“数形结合”的数学思想和反比例函数的本质属性所在，对于k<0的研究，完全类比k>0的研究过程，体现“类比”的思想.
反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数中的最后一种，是继一次函数学习之后，知识的一次扩展，图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连
续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是学习函数的一般方法和规律的再次强化，也是后续构建反比例函数模型的基础，起着承上启下的作用.
本节课学生的学习重点是：用描点法画反比例函数的图象，并根
据图象理解反比例函数的性质．
学习难点是：对x≠0的理解及图象特征的分析．
二．目标和目标解析
1.目标
（1）能画出反比例函数的图象，探索并理解图象的变化情况.
（2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“类比”、“分类讨论”、“从特殊到一般”以及“数形结合”的数学思想.
（3）通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质，发展探究、归纳及概括的能力.
2.目标解析
（1）首先运用描点法画出反比例函数的图象，然后根据图象，通过观察、分析、归纳得出反比例函数的性质，因此正确画出反比例函数图象是前提条件，虽然学生之前用描点法经历过画一次函数、二次函数图象的经验，但是由于反比例函数图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此，能用“描点法”画出反比例函数图象并根据图象探究其性质仍是本节课的目标.
（2）类比正比例函数的研究方法，通过分类讨论的方式首先研究k>0的情况，在研究过程中从图象和解析式两个角度分析，体现了数形结合的思想，通过类比研究k<0的情况，同样体现从特殊到一般的数学思想.
（3）在探究反比例函数的性质的过程中，教师利用几何画板给出一系列函数图
象，通过对图象的观察、分析，利用数形结合的数学思想，归纳概括反比例函数的图像和性质，所以整个性质的探索过程发展了分析概括的能力.
三．教学问题诊断分析
学生已经学习了一次函数、二次函数的图象和性质，反比例函数的解析式，已具有描点法画函数图象的初步经验，但是由于反比例函数的图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此在画反比函数的图象这
个环节，可能遇到的问题有：
1.在列表时没注意到自变量的取值范围是x≠0,或者对自变量x的取值只取正或只取负.
2.由于列表时只取了有限的几个点，因此在连线时学生容易只把这几点连线，只画出图象的一部分，有明显端点，没有画出双曲线的延伸趋势.
3.学生在画双曲线的延伸趋势时可能出现错误，这是因为学生仅仅是通过描点得出图象，并没有深入从解析式的角度分析问题，教师可以引导学生尝试分析理解.
在学习一次函数、二次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象和表达式探索性质，从使用的方法上不会存在障碍，但是双曲线的特殊性使学生在探究反比例函数增减性时可能会出现问题，教学中教师应该强调从“数”、“形”两方面统一分析.
四．教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用几何画板，快速、准确的绘制反比例函数图象，另外通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，进而探索反比例函数的性质.
五．教学过程分析
（一）创设情境
多媒体课件展示华罗庚先生的关于“数形结合”的一首词.
设计意图：采用名人名言欣赏的方式进行情景引入，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.
（二）知识链接
1.已经学习了哪些函数？
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质是什么？
3.反比例函数的定义是什么？
4.描点法画图象的步骤是什么？
师：了解了反比例函数的解析式，也就是从“数”的角度了解了反比例函数，那么对应的反比例函数的“形”的方面，也就是图象是什么呢？函数性质又是怎样的呢？
设计意图：通过复习正比例函数的知识，为学习画反比例函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.
（三）探究图象
分以下5个环节完成.
1.试一试：学生独立画出6
y
=的图象.
x
2.议一议：小组讨论所画作品，选出他们认为画的最好的作品．
3.看一看：展示学生选出的作品，进行问题分析.然后教师示范正确画图过程.
4.说一说：同桌互说一遍画图像时的注意事项，并修订已画图象.
5.练一练：画出反比例函数6
y
=-的图象.
x
设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，通过再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验，并且为后面归纳性质增加感性认识.
（四）探究性质
探究1. 探究反比例函数6y x =和6y x
=-的图象有什么共同特征以及不同点？学生活动：主要由学生观察发现，教师适时引导．
共同特征：
（1 ）它们都由两条曲线组成．反比例函数的图象属于双曲线.
（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴．
不同特点：
（1）位置不同
（2）增减性不同
教师追问：这些不同特点是由什么因素决定的？
生：k 的正负.
设计意图：培养学生的观察能力，让学生体会分类的必要性.
探究2．利用几何画板再准确作出k =4, k =8, k =12时的三个反比例函数图象．观察这一系列函数图象，思考下列问题：
（1）图象形状是什么？（2）图象位于哪几个象限？
（3）在每个象限内，y 随x 的变化如何变化?
学生活动：先由学生独立思考，然后小组讨论交流，小组代表发言，其他同学补充或质疑.
教师板书：
形状：双曲线
位置：一三象限
增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小
教师追问(1)：哪位同学能从解析式的角度解释第二个和第三个问题?
教师设问(2)：第三个问题，如果去掉在每个象限内这个条件，y 随x的变化情况还一致吗？为什么？
学生活动：学生尝试解释，教师及时点拨，并利用几何画板直观演示．
师：把刚才所研究的问题推广到一般，就得到了k >0时的函数图象和性质．设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.
探究3.观察下列函数图象特征，归纳k
=（k<0）性质.
y
x
学生活动：学生发言，教师板书.
形状：双曲线
位置：二四象限
增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大
设计意图：让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.
归纳: 反比例函数y =k x
（k 为常数，k ≠0）的图象和性质．
（1）反比例函数y=k x （k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线．（2）当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y ?值随x 值的增大而减小．
（3）当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y ?值随x 值的增大而增大．
设计意图：培养学生的分类讨论意识和归纳概括能力.
探究4.在同一坐标系中反比例函数6y x =与6y x =-的图象之间在位置上有什么对称关系？
学生活动：学生观察发现，教师动画演示.
师：同学们能再从解析式上分析一下它的对称关系吗？
结论：当k 互为相反数时，对应的反比例函数图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称.
设计意图：培养学生的观察能力及让学生感知反比例函数图象的对称性和数学美.
（五）目标检测
1.下列图象中，可以是反比例函数的图象的（）．
2.若反比例函数的图象经过（-3,4）则此函数的图象应在（）．
A ．第一、三象限
B .第一、二象限
C .第二、四象限
D .第三、四象限
3.已知点A (-2，a ）、B (-1,b ) 、C (3，c ）都在反比例函数y =1x
图象上，试比较a 、b 、c 的大小.
解：把点A (-2，a ）、B (-1，b ）、C (3，c ）分别带入1y x =中得：1a=-2,
b ＝-1,1
3c = 所以b
另解：因为k =1>0
所以在每个象限内，y 随x 的增大而减小
由图知，因为-2<-1<0,
所以b 0
所以b
学生活动：前两题由学生讲解、第三题由学生板书展示.
设计意图：通过三个题目巩固反比例函数图像和性质，渗透数形结合的思想方法.
（六）课堂小结
这节课你有什么收获？有什么疑惑？
学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．
师：回顾反比例函数的学习过程，我们首先学习了反比例函数的
解析式，以解析式为基础，运用数形结合的思想，画出了函数图象，进而研究函数的性质，体现了分类讨论的方法，这其实就是我们研究函数的一般方法.
师：同学们，有关反比例函数的知识，经过我们的整理，形成了一颗知识树，像这样让知识体系化，是我们学习数学的一种很好的方法，如果对已每一个知识点，同学们都能进行这样的梳理，那么你就会收获一片知识的森林.
设计意图：通过本环节，培养学生分类讨论的思想及归纳概括的能力，通过美丽的知识树，对学生进行了学习方法上的指导，给学生留下深刻印象. （七）分层作业
A、习题26.1 第3题
B、习题26.1 第8题
课外延伸：探究反比例函数k
=（k≠0）的图象关于直线y=x与y=-x的对
y
x
称性．
设计意图：根据分层教学和因材施教的原则，将作业分成A,B两类，让不同能力的学生在数学上都得到发展.课外延伸让学生带着问题走进课堂，再带着新的问题走出课堂.
六、板书设计。