概率论知识点整理及习题答案

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概率论·课后答案(绝对详解)

i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

概率大题专题及答案

概率大题专题及答案引言本文档旨在提供有关概率大题的专题知识和详细答案，帮助读者更好地理解和应对这类问题。

概率是数学中一个重要的分支，研究随机事件发生的可能性和规律。

掌握概率的基本理论和解题方法对于解决概率相关问题至关重要。

专题一：概率基础知识概率的基础知识是理解和应用概率的前提。

以下是相关概念的简要解释：1. 样本空间（S）：指一个随机试验中所有可能结果的集合。

样本空间（S）：指一个随机试验中所有可能结果的集合。

2. 随机事件（A）：是指样本空间中的一个子集，表示试验结果的某种属性。

随机事件（A）：是指样本空间中的一个子集，表示试验结果的某种属性。

3. 概率（P）：是对随机事件发生的可能性进行度量的数值，范围在0到1之间。

其中，P(A)表示事件A发生的概率。

概率（P）：是对随机事件发生的可能性进行度量的数值，范围在0到1之间。

其中，P(A)表示事件A发生的概率。

4. 互斥事件：两个事件A和B不可能同时发生，即A和B的交集为空集。

互斥事件：两个事件A和B不可能同时发生，即A 和B的交集为空集。

5. 独立事件：事件A的发生与事件B的发生无关，事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

独立事件：事件A 的发生与事件B的发生无关，事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

专题二：概率计算方法正确计算概率是解决概率问题的关键。

以下是常见的概率计算方法：1. 等可能概率计算：当样本空间中的所有结果是等可能发生的时候，计算概率是简单直接的。

对于事件A的概率，可以用事件A 中有利结果的个数除以样本空间中所有结果的个数来计算。

等可能概率计算：当样本空间中的所有结果是等可能发生的时候，计算概率是简单直接的。

对于事件A的概率，可以用事件A中有利结果的个数除以样本空间中所有结果的个数来计算。

2. 互斥事件的概率计算：对于互斥事件A和B，它们的概率可以通过各自概率之和来计算。

互斥事件的概率计算：对于互斥事件A和B，它们的概率可以通过各自概率之和来计算。

公共课必考概率论单项知识点精讲及习题解析

公共课必考概率论单项知识点精讲及习题解析随着社会科技的飞速发展，人们对于数字化技术所带来的便利逐渐熟悉并接受，然而，这一便利的背后是大量的数学理论支撑，而概率论则是其中一个重要的分支。

在2023年的公共课考试中，概率论将成为必考内容之一。

本文将对概率论的单项知识点进行深入解析，同时提供相应的习题解析，以期对广大考生有所帮助。

一、概率基本概念概率是指某个事件发生的可能性。

在日常生活中，人们经常会涉及到概率的概念，比如抽奖、投资等。

而在概率论中，我们通常将一个问题转化成一个数学模型，通过数学方法进行分析和求解。

1、样本空间和事件样本空间是指一个试验中所有可能出现的结果的集合。

例如，一次掷骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是指样本空间中的一个或多个元素所组成的集合。

例如，掷骰子出现的点数为偶数，这个事件可以表示为{2, 4, 6}。

2、事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

通常用P(A)表示事件A的概率，计算公式为：P(A) = 事件A发生的次数 / 总试验次数即，事件A发生的次数除以总试验次数，其中总试验次数指的是在相同的条件下，试验重复进行的次数。

二、概率的性质1、非负性对于任何事件A来说，其概率P(A)都是非负数，即P(A)≥0。

2、规范性对于样本空间Ω中的所有事件A，有0≤P(A)≤1。

3、完备性对于样本空间Ω来说，必有P(Ω)=1。

4、可减性对于任何事件A、B来说，有P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，A∪B表示事件A和事件B的并集，即事件A或B发生的情况；A∩B表示事件A和事件B的交集，即事件A和B同时发生的情况。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

通常用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B 发生的概率。

概率论重点及课后题答案1

第1章随机事件与概率一、大纲要求（1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.（2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质.（3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率.二、重点知识结构图三、基础知识1.随机试验的特征（1）试验可以在相同的条件下重复地进行.（2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个.2.样本空间在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果.3.随机事件在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之.4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件.5.事件的蕴含与包含若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ⊂.6.事件的相等若A 与B 互相蕴含，即A B ⊂且B A ⊂，则称事件A 与B 相等，记为A B =.7.事件的互斥(或称互不相容)若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的.若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的.8.事件的对立（或称逆）互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A .9.事件的并（或称和）对给定的事件A 、B ，定义一个称为并或和的事件，以A B 记之.A B ={A 发生或B 发生}={A 、B 至少有一个发生}10.事件的交（或称积）对给定的事件A 、B ，定义一个称为交或积的事件，以AB 记之.AB ={A 发生且B 发生}={A 、B 同时发生}11.事件的差两个事件A 、B 之差，记为A B -.其定义是：A B -={A 发生但B 不发生}={A 发生且B 发生}从定义可看出：A B -=AB .12．事件域定义称样本空间Ω的一些子集所组成的集合F 为事件域.如果满足以下3个条件：①Ω∈F ；②若A ∈F ,则A ∈F ③若i A ∈F （1,2,i = ）,则1nii A =∈ F ;称F a 中的元素为事件. 13.概率的统计定义定义若事件A 在n 次试验中出现了r 次，则称比值/r n 为事件A 在n 次试验中出现的频率记作()n f A ，即()n r f A n= 式中r 称为事件A 在n 次试验中出现的频数.概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件A 出现的频率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数p 附近波动，并且稳定于p ，则称p 为事件A 的概率，记为()P A .即()P A p =14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中，如果基本事件的总数为n （n 为有限数），事件A 所包含的样本点个数为r （r n ≤），则定义事件A 的概率()P A 为/r n .即()r A P A n ==中包含的样本点个数基本事件总数15.概率的公理化定义定义设Ω是样本空间，A 是随机事件，即A 是Ω上事件域F a 中的一个元素，()P A 是A 的实值函数，且满足下列3条公理，则称函数()P A 为事件A 的概率. 公理1对于任意事件A ，有0()1P A ≤≤.公理2()1P Ω=.公理3若12,,,,n A A A 两两互斥，则11()()i i i i P A P A ∞∞===∑∑（可列可加性）.四、典型例题例1设A 、B 是两个随机事件，若()0P AB =，则下列命题中正确的是（）.（A ）A 和B 互不相容（互斥）（B ）AB 是不可能事件（C ）AB 不一定是不可能事件（D ）()0()0P A P B ==或解一个事件的概率为0，这个事件未必是不可能事件；因此C 项正确.反例如下：随机地向[0,1]区间内投点，令x 表示点的坐标，设{01/2},{1/21}A x B x =≤≤=≤≤，则{1/2}A B x ==，由几何概率可知，()0P AB =，由此例子还可得出A 项和B 项是不对的.D 项也是错误的，反例如下：掷一枚均匀的硬币，设A 表示出现正面，B 表示出现反面，则()()1/2P A P B ==，但AB φ=，从而()0P AB =.例2 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 比发生，则下列式子正确的是（）.（A ）()()()1P C P A P B ≤+-（B ）()()()1P C P A P B ≥+-（C ）()()P C P AB =（C ）()()P C P A B =解已知AB C ⊂，则()()P C P AB ≥，又因为()()()()()()1P AB P A P B P A B P A P B =+-≥+-所有B 项正确，而A 项、C 项和D 项显然是错误的.例3 袋子里有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.解样本空间所包含的样本点总数为28n C =.设事件{}A =取出的两个球都是白球，则事件A 包含的样本点总数为25k C =，故2528()0.357k C P A n C ==≈ 例4 一批产品工200个，其中有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个废品的概率；（3）任取3个全是废品的概率.解样本空间所包含的样本点的总数为3200n C =. 设事件{3}1,3i A i i ==取出的个产品中有个废品（）；{}B =事件这批产品的废品率.若取出的3个产品中有i 个废品，则这i 个废品必是从6个废品中获得的，而另3i -个合格品必是从194个合格品中获得的，从而事件i A 所包含的样本点数为36194(1,3)i i i k C C i -==，故6()0.03200P B == 121619413200()0.086k C C P A n C ==≈ 33613200()0.00002k C P A n C ==≈ 例5 袋子里装有6个球，其中4个白球，2个红球.从袋中取球两次，每次任取一个，试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况，求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解设事件{}A =两个球都是白球；事件{}B =两个球都是红球；事件{}C =两个球中至少有一个是白球.第一种情况：不放回抽样样本空间的基本事件总数为116530n C C ==.事件A 的基本事件数为11434312A k C C ==⨯=.事件B 基本事件数为1121212B k C C ==⨯=.（1）122()305A k P A n === （2）由于21()3015B k P B n ===，且AB =∅，因此 217()()()51515P A B P A P B =+=+= （3）114()1()11515P C P B =-=-= 第二种情况：放回抽样第一次从袋中取球有6个球可供抽取，第二次也有6个球可供抽取，由乘法原理，共有66⨯种取法，即样本空间的基本事件总数为66⨯.对事件A 而言，第一次有4个白球可供抽取，第二次也有4个球可供抽取，由乘法原理，共有44⨯种取法，即A 中包含44⨯个基本事件.同理，B 中包含22⨯个基本事件.（1）444()669P A ⨯==⨯ （2）由于221()669P B ⨯==⨯，且AB =∅，因此 415()()()999P A B P A P B =+=+= （3）18()()1()199P C P B P B ==-=-= 例6 从n 双不同型号的鞋子中任取2(2)k k n <只，试求下列事件的概率：（1）A ={没有成对的鞋子}；（2）B ={恰有一对鞋子} .解样本空间包含22k n C 个样本点.（1）为使事件A 发生，先将鞋子成对地放在一起，然后从n 双鞋子中取出2k 双，最后再从这2k 双鞋子中每双取出1只，故事件A 的概率为2122222222()2()k k k k n n k k n nC C C P A C C == （2）为使事件B 发生，先从n 双鞋子中取出1双，再从剩下的1n -双鞋子中任取22k -双，最后再从这22k -双鞋子中每双取出1只，故事件B 的概率为12212222221212222()2()k k k k n n n k k n nC C C n C P B C C ------== 例7随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点数在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解这是一个几何概型的概率计算问题.设{(,):02}S x y y x a =≤≤≤≤，在极坐标下可写为{(,):2cos ,0/2}S r r a θθθπ=≤≤≤设事件{(,):2cos ,0/4}A r r a θθθπ=≤≤<，故2221124()22a a A P A a B πππ+===+的面积的面积例8 将50个铆钉随地取来用在10个部件上，其中3个铆钉强度太弱，每个部件用3个铆钉，若将3个强度太弱的铆钉都装在同一个部件上，则这个部件的强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解设事件A ={发生一个部件强度太弱}，则A 所含的样本点数为1271047927!(3!)C C .将50个铆钉装在10个部件上的所有装法的全体看作样本空间，则所包含的样本点数为30501030!(3!)C ，故 1271047930501027!1(3!)()30!1960(3!)C C P A C ==例9 设A B 、为随机事件，()0.5,()0.2P A P A B =-=，求()P AB .解因为A B A AB -=-，且AB A ⊆，所以()()()P A B P A P AB -=-于是()()()0.50.20.3P AB P A P A B =--=-= 因此()1()0.7P AB P AB =-=例10 在（0,1）内任取三个数，求以为长度的三条线段围成一个三角形的概率.解设样本空间{(,,):0,,1}S a b c a b c =<<；所求事件{(,,):,,}A a b c a b c a c b b c a =+>+>+> 因此23111311132()112A OABCD P A S -⨯⨯⨯⨯====的面积六面体的体积的面积边长为的正方体体积五、课本习题全解1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.1-2 （1）A 为随机事件；B 为不可能事件；C 为随机事件；D 为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.1-3 （1）A ；（2）ABC ；（3）A B C ；（4）ABC ；（5）ABC ABC ABC . 1-4 （1）ABC ；（2）ABC ABC ABC ；（3）ABC ；（4）ABC A B C 或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或或ABC . 1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，ABC A = .1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有246376C C A 次.而在10个中取出7个共有710A 种取法.设A={测试7次}，故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有26C 种取法，故2611()15P A C == . 1-9 设A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有35125=种. 三个数字不同的取法有335360C A =种，故60()0.48125P A ==；三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327= 种取法，故27()0.216125P A ==；三个数字5出现两次，即有213412C C =种取法，故12()0.096125P C == . 1-12 设A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故3!8!1()10!15P A == 1-13 （1）21134339()416C C C P A ==；（2）341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.（1）设A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在610 之间还有地两个号码，即有25C 种方法，故253101()12C P A C == （2）设B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有24C 种方法，故243101()20C P B C == 1-15 （1）112211661()9C C P A C C ==；（2）1111244211664()9C C C C P B C C +== .1-16 （1）22261()15C P A C ==；（2）1124268()15C C P A C == . 1-17 （1）设A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则11844210056()825C C P A C ==；（2）设B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则1112421008()825C C P B C ==；（3）设C ={退货}，则2112496412210076()825C C C C P C C ++==；（4）设D ={该批货被接受}，则2118484122100749()825C C C PD C +==；（5）设E ={样品中有一套优质品}，则1184162100224()825C C P E C == . 1-18 (1)设A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==.六、自测题及答案1．事件A 与B 互不相容，且()0.8P A =，则()P AB =2. ()0.5,()0.2P A P B A =-=则()P AB =3．事件A 与B 互不相容，且A B =，则()P A =4．()()()1/4P A P B P C ===,()0P AB =,()()1/16P AC P BC ==,则事件A 、B 、C 全不发生的概率为5. 设A B 、是任意两事件，则()P A B -=（）(A) ()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-6. 设甲乙两人进行象棋比赛，设事件A ={甲胜乙负}，则A 为（）.(A){甲胜乙负} (B){甲乙平局}(C){甲负} (D) {甲负和平局}7．某单位招工需经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别是0.6，0.8，0.91，0.95，且各项考核都是独立的，每个应招者都要经过四项考核，只要有一项不通过即被淘汰，试求：（1）这项招工的淘汰率；（2）虽通过第一和第三项考核，但仍被淘汰的概率；（3）设考核按顺序进行，应试者一旦某项不合格即被淘汰，不参加后面项目的考核，求这种情况下的淘汰率.8.从1~9这九个数字中，又放回地抽取三次，每次任取一个，求所取的三个数之积能被10整除的概率.9. 在某城市中发行三种报纸A B C 、、，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有35%，订阅C 报的有30%，同时订阅A 报及B 报的有10%，同时订阅A 报及C 报的有8%，同时订阅B 报及C 报的有5%，同时订阅A B C 、、报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订A 报的；（2）只订A 报及B 报的；（3）只订一种报纸的；（4）正好订两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的.【答案】1.由()0,P AB =且()1()10.80.2P A P A =-=-=，得()()()0.200.2P AB P A P AB =-=-=2．由()()()0.2P B A P B P AB -=-=()0.5P A =得()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-+=--+=1()[()()]P A P B P AB ---=1-0.5-0.2=0.33．由于A B =，于是有AB A B ==，又由于A 与B 互不相容，所以有AB =∅，即A B =∅=，因此()0P A = .4事件A B C 、、全不发生表示为ABC 。

《概率论与数理统计》习题及答案要点

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案

概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。

A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。

P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。

答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。

答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。

答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3，，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。

答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。

答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。

则分配方法有______种。

答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。

答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。

概率论知识点整理及习题答案

概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

概率论课后习题解答

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论参考答案

概率论参考答案概率论参考答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定性事件的发生概率。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的不确定性事件，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、购买彩票中奖的概率等等。

概率论的研究可以帮助我们理解这些事件的规律，从而做出更加明智的决策。

一、基本概念概率是描述事件发生可能性的一个数值，它的取值范围在0到1之间。

当事件发生的可能性为0时，我们称该事件为不可能事件；当事件发生的可能性为1时，我们称该事件为必然事件。

对于任意一个事件A，概率的计算公式为P(A) = N(A) / N(S)，其中N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总次数。

二、概率的性质1. 非负性：概率值始终为非负数，即P(A) ≥ 0。

2. 规范性：对于必然事件S，其概率为1，即P(S) = 1。

3. 可列可加性：对于两个互不相容的事件A和B，它们的并集事件的概率等于它们各自概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

条件概率的概念在实际问题中有着广泛的应用，比如在医学诊断中，根据某些症状出现的概率，可以推断出某种疾病的可能性。

四、独立性如果事件A和事件B的发生是相互独立的，那么它们的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)。

简单来说，事件A的发生与事件B的发生没有关系。

独立性是概率论中一个重要的概念，它在统计学和概率模型中有着广泛的应用。

五、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

贝叶斯定理的公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

《概率论》考试知识点解析汇总

《概率论》考试知识点解析汇总例5：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。

一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。

现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。

求：所用的枪是校准过的概率。

（课堂练习）解：设 A ={射击时中靶}，B 1={枪校准过}, B 2={枪未校准}，则 B 1,B 2 是Ω一个划分，由贝叶斯公式，得1111122(|)()(|)(|)()(|)()P A B P B P B A P A B P B P A B P B =+0.8(5/8)400.8(5/8)0.3(3/8)49⨯==⨯+⨯1.10 计算下列各题：(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ⋃B) = 0.6, 求P(AB); (2) 设P(A) = 0.8, P(A ⋃B) = 0.4, 求P(AB); (3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。

解：（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P （2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P7.0)(1)()()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于1.15 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ，5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃由于0)(=B B P ，故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。

概率论与数理统计例题和知识点总结

概率论与数理统计例题和知识点总结概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，它在自然科学、工程技术、经济管理、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。

下面将通过一些例题来帮助大家理解和掌握这门学科的重要知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。

例 1：抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。

解：因为硬币只有正反两面，且质地均匀，所以正面朝上的概率为1/2。

知识点：古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数。

例 2：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

解：袋子里一共有 8 个球，其中 5 个是红球，所以取出红球的概率为 5/8。

知识点：概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，P(∅）＝ 0。

二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

例 3：已知在某疾病的检测中，阳性结果中真正患病的概率为 09，而总体人群中患病的概率为 001。

如果一个人的检测结果为阳性，求他真正患病的概率。

解：设 A 表示患病，B 表示检测结果为阳性。

则 P(A) ＝ 001，P(B|A) ＝ 09，P(B|A'）＝ 1 P(B|A) ＝ 01。

根据全概率公式：P(B) ＝P(A)×P(B|A) ＋ P(A'）×P(B|A'）＝ 001×09 ＋099×01 ≈ 0108。

再根据贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(A)×P(B|A) ／ P(B) ＝ 001×09 ／0108 ≈ 0083。

知识点：条件概率公式：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)；乘法公式：P(AB) ＝ P(A)×P(B|A)。

三、独立性如果两个事件的发生与否互不影响，那么称它们是相互独立的事件。

高考概率知识点及答案

高考概率知识点及答案概率是数学中一个有趣而重要的概念，它可以帮助我们了解事物发展的趋势和规律。

在高考数学中，也会涉及到一些与概率有关的知识点。

在本文中，我们将分享一些高考概率的知识点，并给出相应的答案。

1. 相对频率和概率的关系相对频率是指某个事件发生的次数与总试验次数的比值。

概率则是对相对频率的一种理论上的估计。

简单来说，相对频率是通过实验得到的结果，而概率则是通过理论计算得到的结果。

例如，如果我们投掷一枚硬币，出现正面的次数为50次，总投掷次数为100次，那么正面出现的相对频率为0.5。

根据概率的定义，我们可以推断出正面朝上的概率为0.5。

2. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，常常用符号“∪”表示。

对立事件是指两个事件只能发生一个的情况，常常用符号“∩”表示。

例如，抛掷一枚硬币，出现正面和出现反面就是两个互斥事件。

而生男孩和生女孩则是两个对立事件，因为一个家庭同时不可能同时生男孩和女孩。

3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)计算得出。

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

通过条件概率，我们可以解决一些实际问题，例如生男孩的概率在一个家庭已经有两个孩子的条件下是多少。

4. 独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响的情况。

如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率的乘积等于它们分别的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

例如，抛掷一枚硬币和掷一个骰子，出现正面和出现一个偶数是独立事件。

5. 事件的并、交和余事件的并是指两个事件至少有一个发生的情况，用符号“∪”表示。

事件的交是指两个事件同时发生的情况，用符号“∩”表示。

事件的余是指某个事件不发生的情况，用符号“¬”或“C”表示。

(完整word版)概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。

解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。

解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。

3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。

解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。

4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。

解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。

5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。

解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。

6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

《概率统计》知识点归纳总结(含答案)

《概率统计》知识点归纳总结1.加法公式结合独立性)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=+例如：7.0)(,6.0)(==B P A P88.07.0*6.07.06.0)()()()()(=-+=-+=+B P A P B P A P B A P2. 分布函数的性质P39(其中分布函数)(x F 不是连续函数,非严格意义的单调递增性)3.方差的性质，二项分布）（p n B X ,~,泊松分布）（λπ~Y 的方差2,3.0,4===λp n44.312*97.0*3.0*4*16916)3()4()34(D =+=+=+=-DY DX Y D X D Y X4. ),(~2nN X σμ),N(~X 2σμ正态总体，b]U[a,~X 均匀总体),N(~X 2σμ正态总体,n X D X E 2)(,)(σμ==b]U[a,~X 均匀总体,n a b X D b a X E 12)()(,2)(2-=+=5总体均值()E X 的无偏估计量(系数相加等于1)；P178:12(1)2121X 21X + ；5432151515151X 51X X X X ++++ 6加法公式结合独立性)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=⋃减法公式结合独立性)()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=-7.已知随机变量X 的分布律为记X 的分布函数为，则3F = 1 .8.平均值就是数学期望，P59:24; P117:11 9.置信区间10.假设检验中，犯第一类错误的概率就是显著性水平α犯第一类错误的概率，显著性水平α为 0.03，则在原假设 H 0成立的条件下，拒绝H 0的概率为___0.03________接受H 0的概率为______0.97_________ 11.A 和B 互斥（互不相容）,A 和B 对立事件，P9,性质v12.概率等于0的事件，不一定是不可能的事件13.离散型随机变量，联合分布能唯一确定边缘分布，反之不成立14随机变量P143:(3.8)，),1(~t 2n F15.显著性水平α是犯第I 类错误（弃真错误的概率）计算题： 16. 已知概率密度函数，利用概率密度函数求待定系数，分布函数，计算概率概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0)(3x x Ae x f x 求{}01P X <<17.联合分布求边缘分布，判断独立性，判断是否相关，P7518.已知概率密度求方差（用方差的性质先化简），概率密度用P58:21(2),计算)13(XD19已知离散型随机变量的分布律求参数的最大似然估计值；P176:4(1),答案P6620全概率公式，贝叶斯公式的应用3. 已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03.求（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．2、设A 表示合格品，A 表示次品，B 表示被检合格，则()0.95,()0.05,()1()0.98,()0.03P A P A P B A P B A P B A ===-== （1）由全概率公式，得()=()()()()=0.950.98+0.050.03=0.9325P B P A P B A P A P B A +⨯⨯（2）由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+=0.950.980.99840.950.980.050.03⨯=⨯+⨯3、某公司有甲、乙、丙三位秘书，让他们把公司文件的45%，40%，15% 进行归档，根据以往的经验，他们工作中出现错误的概率分别为0.01，0.02，0.05.现发现有一份文件归错档，试问该错误最有可能是谁犯的？解：设事件i A 表示“文件由第i 位秘书归档”()1,2,3i =，B 表示“文件归错档”. 依题意，()10.45P A =, ()20.4P A =, ()30.15P A =,()10.01P B A =, ()20.02P B A =,()30.05P B A =由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =++0.010.450.020.40.050.15=⨯+⨯+⨯0.02=()()()()1110.010.450.2250.02P B A P A P A B P B ⨯===()()()()2220.020.40.40.02P B A P A P A B P B ⨯===()()()()3330.050.150.3750.02P B A P A P A B P B ⨯===由此可见，这份文件由乙归错档的可能性最大.21. 正态分布计算概率；P59:28 答案P27。

概率论部分习题及答案

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(．另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：（1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．８二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率．解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ．解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2）任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：（1）保险公司亏本的可能性是多大？（2）保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈．即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。

概率论第二版习题答案

概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。

第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。

以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。

第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。

- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。

样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。

2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。

- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。

第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。

- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。

连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。

2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。

- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。

方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。

第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。

- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。

概率论复习题答案

概率论复习题答案1. 随机事件的概率值范围是什么？答：随机事件的概率值范围是0到1，包括0和1。

2. 如何理解概率的公理化定义？答：概率的公理化定义是基于三个公理：非负性、归一化和可加性。

非负性公理表明任何事件的概率都是非负的；归一化公理表明必然事件的概率为1；可加性公理表明互斥事件的概率可以相加。

3. 什么是条件概率？答：条件概率是在给定某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

4. 条件概率的公式是什么？答：条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

5. 什么是贝叶斯定理？答：贝叶斯定理是一种在已知某些条件概率的情况下，计算其他条件概率的方法。

其公式为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。

6. 什么是独立事件？答：如果两个事件A和B同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)，则称事件A和B是独立的。

7. 什么是互斥事件？答：如果两个事件A和B不能同时发生，即P(A∩B) = 0，则称事件A和B是互斥的。

8. 什么是随机变量？答：随机变量是一个函数，它将样本空间中的每个基本事件映射到实数轴上的一个数值。

9. 离散型随机变量的概率分布是什么？答：离散型随机变量的概率分布是描述随机变量取各个可能值的概率的集合。

10. 连续型随机变量的概率密度函数是什么？答：连续型随机变量的概率密度函数是一个描述随机变量取值在某个区间内的概率密度的函数。

11. 什么是期望值？答：期望值是随机变量的平均值，它反映了随机变量的中心趋势。

12. 期望值的计算公式是什么？答：期望值的计算公式是E(X) = Σ[xi * P(X = xi)]，对于离散型随机变量，或者E(X) = ∫x * f(x) dx，对于连续型随机变量，其中xi 是随机变量X的可能取值，P(X = xi)是X取xi的概率，f(x)是X的概率密度函数。