运筹学第3版熊伟编著习题答案

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运筹学（第3版）习题答案
第1章线性规划 P36
第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105
第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304
第12章多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页
第1章线性规划
1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23
产品资源 A B C 资源限量材料(kg) 1.5 1.2 4 2500 设备(台时) 3 1.6 1.2 1400 利润(元/件)
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为
1231231
23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400
150250260310120130,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表1－24所示：
表1－24 窗架所需材料规格及数量
型号A 型号B 每套窗架需要
材料
长度（m ）数量(根)
长度(m) 数量(根)
A 1：2 2
B 1：2.5 2 A 2：1.5
3 B 2：2
3
需要量（套）
300
400
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．【解】第一步：求下料方案，见下表。

方案一二三四五六七八九十需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A2
1.5
1
2
0 2 3 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0
1
0.5
第二步：建立线性规划数学模型
设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为
10
1
12342567368947910
min 2800212002600223900
0,1,2,,10
j
j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为
2345681012342567368947910
min 0.50.50.52800
212002*********
0,1,2,,10
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩
1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

表1－25
月份
1 2 3 4 5 6 产品成本(元/件) 销售价格(元/件) 300 330 320 360 360 300 350 340 350 420 410 340 （1）1～6月份产品A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
1122334
45566
1
112
11223
1122334
112233445
11223344556
max300350330340320350360
420360410300340
800
800
800
800
800
Z x y x y x y x y x y x y
x
x y x
x y x y x
x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x y x
=-+-+-+-+ -+-+
≤
-+≤
-+-+≤
-+-+-+≤
-+-+-+-+≤
-+-+-+-+-+≤
11
1122
112233
11223344
1122334455
112233445566
800
200
200
200
200
200
200
,0;1,2,,6
j j
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y j
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
-+≤
⎨
⎪-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+-+-+≤
⎪
⎪≥=
⎩
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。

1.4某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
【解】是设x ij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下
项目一项目二项目三项目四
第1年第2年第3年x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
1121311223341112112123122131341223
34max 0.20.20.20.50.60.3300001.230000
1.5 1.2300002000015000100000,1,,3;1,4
ij Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++⎧+≤⎪
-++≤⎪⎪--++≤⎪⎪
≤⎨⎪≤⎪⎪≤⎪≥==⎪⎩
最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z ＝84720
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。

表1－26
成品油
高级汽油一般汽油航空煤油一般煤油半成品油
中石脑油重整汽油裂化汽油
中石脑油重整汽油裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1调合而成
辛烷值 ≥94 ≥84
蒸汽压：公斤／平方厘米
≤1 利润(元/桶)
5 4.2 3
1.5
半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。

表1－27
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。

解设x ij 为第i （i ＝1,2,3,4）种成品油配第j (j =1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。

总利润：
11121321222334353637444546475() 4.2()3() 1.5()
Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
111213212223
111213212223
801151058011510594,8494x x x x x x x x x x x x ++++≥≤≤++++
航空煤油蒸气压约束
34353637
34353637
1.50.60.051x x x x x x x x ++≤++＋＋
一般煤油比例约束
44454647:::10:4:3:1x x x x =
半成品油
1中石脑油 2重整汽油 3裂化汽油 4轻油 5裂化油 6重油 7残油
辛烷值 80 115 105 蒸汽压：公斤／
平方厘米 1.0 1.5 0.6
0.05 每天供应数量
(桶)
2000 1000 1500 1200 1000 1000
800
即
4546444546471043,,431
x x x x x x === 半成品油供应量约束
1121122213233444354536463747200010001500120010001000800
x x x x x x x x x x x x x x +≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤ 整理后得到
111213212223343536374445464711121321222321222335363744
45
4546464max 555 4.2 4.2 4.23333 1.5 1.5 1.5 1.5142111014211104312100.50.40.9504100
3403Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++-++≥-++≤-++≥--≤-=-=-711211222
1323344435453646374702000100015001200100010008000;1,2,3,4;1,2,,7
ij x x x x x x x x x x x x x x x i j ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
=⎪⎪
+≤⎨⎪+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪≥==⎪⎩
1.6图解下列线性规划并指出解的形式：
(1) 12
121212max 5228
35,0
Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（3，2）；最优值Z=19
(2)
12 12
12
12
12
max4
45
32
24
,0
Z x x x x
x x
x x
x x
=+
+≤
⎧
⎪+≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥
⎩
【解】有多重解。

最优解X（1）＝（0，5/4）；X（2）＝（3，1/2）最优值
Z=5
(3)
12 12
12
12
12
12
min32
211
410 27
31
,0
Z x x x x
x x
x x
x x
x x
=-+
+≤
⎧
⎪-+≤
⎪⎪
-≤
⎨
⎪-≤
⎪
⎪≥
⎩
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解
(4)
12 12
12
2
12
min46
28
8
3
0,0
Z x x x x
x x
x
x x
=+
+≥
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≤
⎪
⎪≥≥
⎩
【解】最优解X＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解
(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≥≥-+=0
,6322max 2121212
1x x x x x x x x Z
【解】无界解。

(6)
12 12
12
12
min25
26
2
,0
Z x x x x
x x
x x
=-
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
【解】无可行解。

1.7 将下列线性规划化为标准形式 (1)123123123123123min 631557432103650,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≥⎧⎪-+≤⎪⎨
++≥-⎪⎪≥≥⎩无限制
【解】（1）令654''3'33,,,x x x x x x -=为松驰变量，则标准形式为 '''1233
'''12334'''
12335'''
12336'''1233456max 63315574432103665
,,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--+-⎧++--=⎪-+-+=⎪⎨---++=⎪⎪≥⎩ (2) 123
123112123min 935|674|205880,0,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++-≤⎧⎪
≥⎪⎨
+=-⎪⎪≥≥≥⎩
【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
1231234123516
12
123456max 9356742067420
588
,,,,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=⎧⎪--++=⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩ (3)121121
2max 2315
10,0
Z x x x x x x x =+≤≤⎧⎪
-+=-⎨⎪≥≥⎩
【解】方法1：
12
1314
121234max 231
5
1,,,0
Z x x x x x x x x x x x x =+-=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪≥⎩ 方法2：令1
11111,1,514x x x x x '''=-+≤-=有＝ 1
21
1
212
max 2(1)34(1)1,0Z x x x x x x x '=++'≤⎧⎪
'-++=-⎨⎪≥⎩
则标准型为
121
31
2123
max 22340,,0Z x x x x x x x x x '=++'+=⎧⎪
'-+=⎨⎪'≥⎩
(4) 12123123123123123max min(34,)
2304215965,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪
-+≥⎪⎨
++≥-⎪⎪≥⎩
无约束、
【解】令1212311
134,,y x x y x x x x x x '''≤+≤++=-，线性规划模型变为
1
12112311231
12311231
123max 3()42304()2159()65,,0Z y
y x x x y x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x ='''≤-+⎧⎪'''≤-++⎪⎪'''-++≤⎪⎨
'''--+≥⎪⎪'''-++≥-⎪'''≥⎪⎩、标准型为
1
124112351123611237112381
12345678max 33400
230442159965,,,,,,,,0Z y
y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ='''-+-+=⎧⎪'''-+--+=⎪⎪'''-+++=⎪⎨
'''--+-=⎪⎪'''-+--+=⎪'''≥⎪⎩
1.8 设线性规划
12123124
max 522240
42600,1,,4j
Z x x x x x x x x x j =+⎧++=⎪
-+=⎨⎪≥=⎩ 取基1221204021B B ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦、＝，分别指出B B 12和对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明B B 12、是不是可行基．
【解】B 1：x 1、x 3为基变量，x 2、x 4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T ，B 1是可行基。

B 2：x 2、x 4是基变量，x 1、x 3为非基变量，基本解X =（0，20，0，100）T ，B 2是可行基。

1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
(1)12
121212
max 322
2312,0Z x x x x x x x x =+-+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
【解】图解法
单纯形法：
C(j) 1
3 0 0 b Ratio C(i) Basis X1 X2 X3 X
4 0 X3 -2 [1] 1 0 2 2 0 X4 2 3 0 1 12 4
C(j)-Z(j) 1 3 0 0 0
3 X2 -2 1 1 0 2 M 0 X
4 [8] 0 -3 1 6 0.75
C(j)-Z(j)
7 0 -3 0 6
3 X2 0 1 0.25 0.25 7/2 1 X1
1 0 -0.375 0.125 3/4 C(j)-Z(j)
-0.375
-0.875
45/4
对应的顶点：
基可行解可行域的顶点 X (1)=（0，0，2，12）、
X (2)=（0，2，0，6，）、
X (3)=（
)0,0,27
,43、（0，0）（0，2）
)2
7,43( 最优解4
45
),27,43(==Z X
(2)
12 12
12
12
12
min35
26
410
4
0,0
Z x x x x
x x
x x
x x
=--
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥≥
⎩
【解】图解法
单纯形法：
C(j) -3 -5 0 0 0
b Ratio
Basis C(i)X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 1 2 1 0 0 6 3 X4 0 1 [4] 0 1 0 10 2.5 X5 0 1 1 0 0 1 4 4 C(j)-Z(j) -3 -5 0 0 0 0 X3 0 [0.5] 0 1 -0.5 0 1 2 X2 -5 0.25 1 0 0.25 0 2.5 10 X5 0 0.75 0 0 -0.25 1 1.5 2 C(j)-Z(j) -1.75 0 0 1.25 0 -12.5 X1 -3 1 0 2 -1 0 2 M X2 -5 0 1 -0.5 0.5 0 2 4 X5 0 0 0 -1.5 [0.5] 1 0 0 C(j)-Z(j) 0 0 3.5 -0.5 0 -16 X1 -3 1 0 -1 0 2 2
X2 -5 0 1 1 0 -1 2
X4 0 0 0 -3 1 2 0 C(j)-Z(j) 0 0 2 0 1 -16
对应的顶点：
基可行解可行域的顶点
X(1)=（0，0，6，10，4）、X(2)=（0，2.5，1，0，1.5，）、X(3)=（2，2，0，0，0）X(4)=（2，2，0，0，0）
（0，0）（0，2.5）(2，2) （2，2）
最优解：X=（2，2，0，0，0）；最优值Z＝－16
该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。

1.10用单纯形法求解下列线性规划
(1)
123 123
123
max34
234
223
0,1,2,3
j
Z x x x
x x x
x x x
x j
=++⎧++≤
⎪
++≤
⎨
⎪≥=
⎩
【解】单纯形表：
C(j)34100
R. H. S.Ratio Basis C(i)X1X2X3X4X5
X402[3]11044/3 X501220133/2 C(j)-Z(j)341000
X24[2/3]11/31/304/32 X50-1/304/3-2/311/3M C(j)-Z(j)1/30-1/3-4/30－16/3
X1313/21/21/202
X5001/23/2-1/211
C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-6
最优解：X=（2，0，0，0，1）；最优值Z＝6
(2)
1234 1234
1234
1234
max235
53730 310 26420
0,1,,4
j
Z x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x j
=+-+
++-≤
⎧
⎪-++≤
⎪
⎨--+≤
⎪
⎪≥=
⎩
【解】单纯形表：
C(j)21-35000
R. H. S.Ratio Basis C(i)X1X2X3X4X5X6X7
X50153-710030M X603-1[1]10101010 X702-6-1[4]001205
C(j)-Z(j) 2 1 -3 5 0 0 0
X5 0 9/2
-11/2 5/4
1 0
7/4 65
M
X6 0 5/2 [1/2] 5/4 0 0 1 -1/4
5 10 X4 5
1/2 -3/2 -1/4 1 0 0
1/4 5 M C(j)-Z(j) -1/2 17/2 -7/4 0 0 0 -5/4 X5 0 32 0 15 0 1 11 -1 120 M X2 1 5 1 5/2 0 0 2 -1/2 10 10 X4 5 8 0 7/2 1 0 3 -1/2 20 M C(j)-Z(j)
-43
-23 0
-17 3
因为λ7＝3>0并且a i 7<0(i =1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。

(3)1123812313123123max 32234421238410,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x =+--++≤⎧⎪-≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩
【解】
C(j) 3 2 -0.125 0 0 0 R. H. S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X4 0 -1 2 3 1 0 0 4 M X5 0 [4] 0 -2 0 1 0 12 3 X6 0
3 8
4 0 0 1 10 10/3
C(j)-Z(j) 3 2 -1/8 0 0 0 0
X4 0 0 2 5/2 1 1/4 0 7 3.5 X1 3 1 0 -1/2 0 1/4 0 3 M X6 0 0 [8] 11/2 0 -3/4 1 1 1/8
C(j)-Z(j) 0 2 11/8 0 -3/4 0 9
X4 0 0 0 9/8 1 7/16 -1/4 27/4 6 X1 3 1 0 -1/2 0 1/4 0 3 M
X2
2 0
1
[11/16]
0 -3/32 1/8 1/8
0.181818
C(j)-Z(j) 0 0 0
0 -9/16 -1/4 37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。

C(j) 3 2 -0.125 0 0 0 R. H. S. Ratio Basis X1 X2 X3 X4 X5 X6 X4 0 0 -18/11 0 1 13/22 -5/11 72/11 6 X1 3
1 8/11 0 0 2/11 1/11 34/11 M X3
-0.125
0 16/11 1 0 -3/22 2/11 2/11 0.1818
C(j)-Z(j) 0
-9/16
-1/4
37/4
原问题具有多重解。

基本最优解(1)
(2)1273427237(3,,0,,0)(,0,,,0);841111114
T X
X Z ===及,最优解的通解可表
示为)2()1()1(X a aX X -+=即
3411227272
(
,,,,0),(01)1111811111111
T X a a a a a =---≤≤
（4）123
123123max 3254625863240,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩
【解】单纯形表：
C(j)
3 2 1 0 0 R. H. S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 X
4 X
5 X4 0 5 4
6 1 0 25 5 X5 0
[8] 6 3 0 1 24 3
C(j)-Z(j) 3 2 1 0 0 0 X4 0 0 1/4
33/8 1 -5/8 10 X1
3 1
3/4 3/8
0 1/8 3 C(j)-Z(j) 0 -1/4
-1/8 0
-3/8
9
最优解：X=（3，0，0，10，0）；最优值Z ＝9
1.11 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划：
(1) 123
123123max 1055310510150,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =-+⎧++=⎪
-+-≤⎨⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123512351234max 1055310510150,1,2,,5j
Z x x x Mx x x x x x x x x x j =-+-⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=⎩
C(j) 10 -5 1 0 -M R. H. S. Ratio Basis C(i) X1 X2
X3 X4 X5 X5 -M 5 3 1 0 1 10 2 X4 0
-5 1 -10 1 0 15 M
C(j)-Z(j) 10 -5 1 0 0 0 * Big M 5 3 1 0 0
0 X1 10 1 3/5 1/5
0 1/5 2 X4 0 0 4 -9 1 1 25 C(j)-Z(j) 0 -11 -1 0 -2 20 * Big M
0 0
-1
最优解X ＝(2,0,0)；Z=20 两阶段法。

第一阶段：数学模型为
5
12351234min 5310
510150,1,2,,5j
w x x x x x x x x x x j =⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=⎩ C(j) 0 0 0 0 1 R. H. S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X5 1 [5] 3 1 0 1 10 2 X4 0
-5 1 -10 1 0 15
M
C(j)-Z(j) -5 -3 -1 0 0
X1 0 1 3/5 1/5
0 1/5 2 X4 0 0 4 -9 1 1 25 C(j)-Z(j)
0 0 0 0
1
第二阶段
C(j) 10 -5 1 0 R. H. S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X1 10 1 3/5 1/5 0 2 2 X4 0 0 4
-9
1 25
M
C(j)-Z(j)
-11 -1
最优解X=(2,0,0)；Z=20
(2) 123
123123123min 567531556102050,1,2,3j Z x x x x x x x x x x x x x j =--+-≥⎧⎪
-+≤⎪⎨
++=⎪⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123131231112321233min 56753155610205Z x x x MA MA x x x S A x x x S x x x A =--+++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪⎩所有变量非负
C(j) 5 -6 -7 0 0 M M R.H.S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 S1 S2 A1 A3 A1 M 1 [5] -3 -1 0 1 0 15 3 S2 0 5 -6 10 0 1 0 0 20 M A3 M 1 1 1 0 0 0 1 5
5
C(j)-Z(j) 5 -6
-7
* Big M -2 -6 2 1 0 0 0
X2 -6 1/5 1 -3/5 -1/5 0 1/5 0 3 M S2 0 31/5 0 32/5 -6/5 1 6/5 0 38 95/16 A3 M
4/5 0 [8/5] 1/5 0 -1/5 1 2 5/4
C(j)-Z(j) 31/5 0 -53/5 -6/5 0 6/5 0
* Big M -4/5 0 -8/5 -1/5 0 6/5 0 X2 -6 1/2 1 0 -1/8 0 1/8 3/8 15/4 S2 0 3 0 0 -2 1 2 -4 30 X3
-7 1/2
0 1 1/8 0 -1/8 5/8 5/4
C(j)-Z(j) 23/2 0
0 1/8 0 -1/8 53/8
* Big M 0 0
1
1
两阶段法。

第一阶段：数学模型为
13
123111232
1233min 5315561020
5w A A x x x S A x x x S x x x A =++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪⎩所有变量非负
C(j) 0 0 0 0 0 1 1 R.H.S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 S1 S2 A1 A3 A1 1 1 [5] -3 -1 0 1 0 15 3 S2 0 5 -6 10 0 1 0 0 20 M A3 1 1 1 1 0 0 0 1 5
5
C(j)-Z(j) -2 -6 2 1 0 0 0
X2 0 1/5 1 -3/5 -1/5 0 1/5 0 3 M S2 0 31/5 0 32/5 -6/5 1 6/5 0 38 95/16 A3 1 4/5 0 [8/5] 1/5 0 -1/5 1 2 5/4
C(j)-Z(j) -4/5 0 -8/5 -1/5 0 6/5 0
X2 0 1/2 1 0 -1/8 0 1/8 3/8 15/4 S2 0 3 0 0 -2 1 2 -4 30 X3 0 1/2 0 1 1/8 0 -1/8 5/8 5/4 C(j)-Z(j) 0 0 0
1
1
第二阶段：
C(j) 5 -6 -7 0 0 R.H.S. Ratio Basis C(i) X1 X2 X3 S1 S2 X2 -6 1/2 1 0 -1/8 0 15/4 3 S2 0 3 0 0 -2 1 30 M X3 -7
1/2
1 1/8 0 5/4
5
C(j)-Z(j) 23/2 0 0
1/8
最优解：155125(0,
,),444
T X Z ==-
(3)12121212123max 10155395615250
Z x x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩、、
【解】大M 法。

数学模型为
1261231241256max 1015539
5615250,1,2,,6j Z x x Mx x x x x x x x x x x x j =+-++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=⎩
C(j) 10 15 0 0 0 -M R. H. S. Ratio
Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X6
X3 0 [5] 3 1 0 0 0 9 1.8 X4 0 -5 6 0 1 0 0 15 M X6
-M
2 1 0 0 -1 1 5 2.5
C(j)-Z(j) 10 15 0 0 0 0 0 * Big M 2 1 0 0 -1 0 0 X1 10 1 3/5 1/5 0 0 0 9/5 X4 0 0 9 1 1 0 0 24 X6
-M
0 -1/5 -2/5 0 -1 1 7/5 C(j)-Z(j)
9 -2 0 0 0 18 * Big M 0
-1/5 -2/5 0 -1
因为X6>0,原问题无可行解。

两阶段法
第一阶段：数学模型为
6
123124
1256min 5395615
250,1,2,,6j Z x x x x x x x x x x x x j =++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=⎩ C(j) 0 0 0 0 0 1 R. H. S. Ratio
Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X6
X3 0 [5] 3 1 0 0 0 9 1.8 X4 0 -5 6 0 1 0 0 15 M X6 1 2 1 0 0 -1 1 5 2.5 C(j)-Z(j)
-2 -1 0 0 1 0 5 14
X1 0 1 3/5 1/5 0 0 0 9/5 X4
9 1 1 0
24
X610-1/5-2/50-117/5
C(j)-Z(j)01/52/5010
因为X6>0,原问题无可行解。

图解法如下：
(4)
123
123
123
123
max425
6410
3358
220
0,1,2,3
j
Z x x x
x x x
x x x
x x x
x j
=++
-+≤
⎧
⎪--≤
⎪
⎨++≥
⎪
⎪≥=
⎩
【解】大M法。

X7是人工变量，数学模型为
123
1234
1235
12
7
7
36
max425M
6410
3358
2220
0,1,2,,7
j
Z x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x j
=++-
-++=
⎧
⎪--+=
⎪
⎨++-+=
⎪
⎪≥=
⎩
C j 4 2 5 0 0 0 －M R.H.S. Ratio
C B X B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
0 X4 6-14110
0 X5 3-3-518
－M X7 1[2]1－112010
C(j)-Z(j) 425
* Big M M2M M－1
0 X4 13/2 [9/2] 1
-1/2 1/2 20 0 X5 9/2 -7/2 1 -3/2 3/2 38 2
X2
1/2 1 1/2 -1/2 1/2 10
C(j)-Z(j) 3
4
1
-1
* Big M
-1
5 X3 13/9 1 2/9 -1/9 1/9 40/9 0 X5 86/9 7/9 1 -17/9 17/9 482/9 2
X2
-2/9 1 -1/9 -4/9
4/9 70/9
C(j)-Z(j) -25/9
-8/9
13/9 -13/9
* Big M
-1
无界解。

两阶段法。

第一阶段：
12341235
126737
min 64103358
2200,1,2,,7j Z x x x x x x x x x x x x x j x x =-++=⎧⎪--+=⎪⎨
++-+=⎪⎪≥=⎩
C j 0 0 0 1 R.H.S. Ratio C B X B X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0 X4 6 -1 4 1
10 0 X5 3 -3 -5 1
8 1
X7
1 [2]
1 －1
1 20
10
C(j)-Z(j) －1 －2 －1
1
0 X4 13/2 [9/2] 1 -1/2 1/2 20 0 X5 9/2 -7/2 1 -3/2 3/2 38 2
X2
1/2
1 1/2
-1/2
1/2 10
C(j)-Z(j)
1
第二阶段：
C j 4 2 5 0 0 0 R.H.S. Ratio C B X B X1
X2
X3
X4
X5
X6
0 X4 13/2 [9/2] 1
-1/2 20 0 X5 9/2 -7/2
1 -3/
2 38 1
X2
1/2
1 1/2
-1/2
10
C(j)-Z(j) 7/2 9/2
1/2
0 X3 13/9 1 2/9
-1/9 40/9 0 X5 86/9
7/9 1 -17/9 482/9 2
X2
-2/9 1 -1/9 -4/9 70/9 C(j)-Z(j)
-3
-1
1
原问题无界解。

1.12在第1.9题中，对于基B =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥2140,求所有变量的检验数λj j (,,)=14 ,并判断B 是不
是最优基．
【解】1
1044,112B B -⎡
⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
,
11022104(5,2,0,0)(5,0)14201125595
(5,2,0,0)(5,,0,)(0,,0,)
2424
B C C B A
λ-=-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=--=-
9
5(0,,0,),24
λ=- B 不是最优基，可以证明B 是可行基。

1.13已知线性规划
123412341234max 5874233220
3542300,1,,4j
z x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≤⎪
+++≤⎨⎪≥=⎩ 的最优基为B =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥2325，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)单纯形乘子；
(3)N N 13及；(4)λλ13和。

【解】
1425344
,(,)(4,8,),1122B B C c c -⎡⎤
-⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
则 (1)1
425
5(,)(,5)(0,5,0,),502
2
T
T
T
B X x x B b X Z -=====,最优解 (2))1,1(1
==-B C B π
(3)
1
111
335312444113122253334441141222N B P N B P --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
(4)
111333145(4,8)550
12347(4,8)770
12B B c C N c C N λλ⎡⎤
⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
注：该题有多重解：
X (1)=(0，5，0，5/2)
X (2)=(0，10/3，10/3，0)
X (3)=(10，0，0，0)，x 2是基变量，X (3)是退化基本可行解 Z ＝50
1.14已知某线性规划的单纯形表1－28, 求价值系数向量C 及目标函数值Z ．
表1－28
C j c 1
c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 b C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 3 x 4 0 1 2 1 －3 0 2 4 4 x 1 1 0 －1 0 2 0 －1 0 0
x 6
0 －1 4 0 －4 1 2 3/2 λj
－1
－1
1
－2
【解】由j j i ij
i
c c a
λ=-
∑有j j i ij
i
c c a
λ=+
∑
c 2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2 c 3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1 c 5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0 c 7＝-2＋（3×2＋4×(－1)＋0×2）＝0 则C ＝(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=C B X B =12
1.15 已知线性规划
332211max x c x c x c Z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0,,3
2123232221211313212111x x x b x a x a x a b x a x a x a 的最优单纯形表如表1－29所示，求原线性规划矩阵C 、A 、及b ，最优基B 及B -1
．
表1－29 C j
c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 b C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 c 1 x 1 1 0 4 1/6 1/15 6 c 2
x 2
0 1 －3 0 1/5 2 λj
－1
－2
－3
【解】由111
1162615(),10505B B B ---⎡⎤⎢⎥-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，得到c 4＝c 5＝0，由公式j j i ij i
c c a λ=-∑得
41211162(,)2/60120c c c c c ⎡⎤
=-+=-+=⇒=⎢⎥⎣⎦
5221153(12,)01115c c c ⎡⎤
=-+=⇒=⎢⎥
⎣⎦
341(12,11)143c ⎡⎤
=--+=⎢⎥-⎣⎦
由 1A B A -=
得 621046230050130515A BA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由 1
b B b -=
得 6263205210b Bb -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1.16思考与简答
（1）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化。

（2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路。

（3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化。

（4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化。

(5)在单纯形法中，为什么说当00(1,2,,)k ik a i m λ>≤=并且时线性规划具有无界解。

(6)选择出基变量为什么要遵循最小比值规则，如果不遵循最小比值规则会是什么结果。

（7）简述大M 法计算的基本思路，说明在什么情形下线性规划无可行解。

（8）设X (1)、X (2)、X (3)是线性规划的3个最优解，试说明
(1)(2)(3)123123123(,,01)X X X X λλλλλλλλλ=++≥++=其中并且
也是线性规划的最优解。

（9）什么是基本解、可行解、基本可行解、基本最优解，这四个解之间有何关系。

（10）简述线性规划问题检验数的定义及其经济含义。

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第2章线性规划的对偶理论
2.1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．
表2-22
含量食物
营养成分
一二三四五六需要量 A 13 25 14 40 8 11 ≥80 B 24 9 30 25 12 15 ≥150 C
18 7 21 34 10 0 ≥180 食物单价（元/100g ）
0.5
0.4
0.8
0.9
0.3
0.2
【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=0
1801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、
（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为
1231231
231231231
23
12123max 801501801324180.525970.4
1430210.84025340.9812100.3
11150.2,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪
++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪
≥⎩
2.2写出下列线性规划的对偶问题
（1）
123
123
123
123
min32
3510
24
,,0
x x x
x x x
x x x
x x x
=++
++≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≥
⎩
【解】
12
12
12
12
12
max104
21
33
52
,0
w y y
y y
y y
y y
y y
=+
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
-≤
⎪
⎪≥
⎩
（2）
123
123
123
123
max2
2415
310
,0,
Z x x x
x x x
x x x
x x x
=++
+-=
⎧
⎪
--+≤
⎨
⎪≥
⎩无约束
【解】
12
12
12
12
12
min1510
2
231
41
w y y
y y
y y
y y
y y
=+
-≥
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
-+=
⎪
⎪≥
⎩无约束；
（3）
1234
1234
1234
1234
1234
max243
10414
762520
486
,0,0
Z x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
=++
+--≥
⎧
⎪+--≤
⎪
⎨
-++
⎪
⎪≥≤
⎩
－
＝9
无约束，
【解】
123
123
123
123
123
123
min14209
10742
681
264
453
0,
w y y y
y y y
y y y
y y y
y y y
y y y
=++
++≥
⎧
⎪+-≥
⎪⎪
--+=-
⎨
⎪--+≤
⎪
≤≥
⎪⎩0,无约束
（4）
1234
1234
134
1234
1
1234
max267
32612
656
222
820
0,,
Z x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
=+-+
-+-≤
⎧
⎪+-≥
⎪⎪
-+-+≤-
⎨
⎪≤≤
⎪
≥
⎪⎩，无约束
【解】
1234
1234
134
1234
1
1
1234
max267
32612
656
222
8
20
0,,
Z x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x
x x x x
=+-+
-+-≤
⎧
⎪+-≥
⎪
⎪-+-+≤-
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≤
⎪
≥
⎪⎩，无约束
对偶问题为：
12345 12345
13
123
123
12345 min1262+820 362
221
56
627
0,000 w y y y y y
y y y y y
y y
y y y
y y y
y y y y y
=+-+
+-++≥
⎧
⎪-+=
⎪⎪
+-=-
⎨
⎪--+=
⎪
≥≤≥≤≥⎪⎩0,，，，
2.3考虑线性规划
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥+≥+≥++=0
,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；
(3)利用公式C B B －
1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解．【解】(1)原问题的对偶问题为
123123123max 427212453200,1,2,3j
w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪
++≤⎨⎪≥=⎩
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。

(2)对偶问题最优单纯形表为
C(j) 4 2 7 0 0 R. H. S. Basis C(i) y1 y2 y3 y4 y5 y3 7 0 -1/5 1 4/5 -1/5
28/5
y1 4
1
7/5
-3/5
2/5
4/5
C(j)-Z(j)
0 -11/5 0 -16/5 -1/5
w =42.4
对偶问题的最优解Y ＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z ＝42.4
（3）C B =(7,4),1
41553255B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,4155(7,4)(16/5,1/5)3255X ⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
(4)由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式
121244
237
x x x x +=⎧⎨
+=⎩ 得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。

2.4证明下列线性规划问题无最优解
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+-=-+--=无约束
32
1321321321,0,2323
2222min x x x x x x x x x x x x Z 证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为
121212
1221max 322122
2320,w y y y y y y y y y y =++≤⎧⎪-≤-⎪⎨
-+=-⎪⎪≥⎩无约束
由约束条件①②知y 1≤0，由约束条件③当y 2≥0知y 1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题
也无最优解(无界解)。

2.5已知线性规划
123123123123123max 152055556631070,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥⎩无约束
的最优解1
19(,0,
)44
T
X =，求对偶问题的最优解．【解】其对偶问题是：
123123123
123123min 5675315561020
5,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨
++=⎪⎪≥⎩ 由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零(30s x ≠)，x 1、x 3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于3
0s x ≠知y 3＝0；解方程
1212515
5
y y y y +=⎧⎨
+=⎩ 得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w ＝55/2＝27.5 2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
123123123123
1
min 3462310
2212,,0Z x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪
++≥⎨⎪≥⎩（）
【解】将模型化为
12312341235min 3462310
22120,1,2,3,4,5j
Z x x x x x x x x x x x x j =++⎧---+=-⎪
---+=-⎨⎪≥=⎩ 对偶单纯形表：
c j
3 4 6 0 0
C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b
0 0
X 4 X 5 －1 [－2] －2 －2 －3 －1 1 0 0 1 －10 －12 C(j)-Z(j) 3 4 6 0 0 0 0 3
X 4 X 1 0 1 [－1] 1 －5/2 1/2 1 0 －1/2 －1/2 －4 6 C(j)-Z(j) 0 1 9/2 0 3/2 －18 5 3
X 2 X 1 0 1 1 0 5/2 －2 －1 1 1/2 －1 4 2 C(j)-Z(j)
2
1
1
－22
b 列全为非负，最优解为x ＝(2，4，0)；Z ＝22
1212121
22min 546220,0
Z x x x x x x x x =++≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩（）
【解】将模型化为
12123124
min 546220,1,2,3,4j
Z x x x x x x x x x j =+⎧--+=-⎪
++=⎨⎪≥=⎩
5 4 0 0 b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 3 0 [-1] -1 1 0 -
6 X 4 0
2 1 0 1 2 Cj －Zj
3
4 0 0 X 1 3 1 1 -1 0 6 X 4 0 0 [-1] 2 1 -10 Cj －Zj 0 1 3 0 X 1 3 1 0 1 1 -4 X 2 4 0 1 -2 -1 10 Cj －Zj
5
1
出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。

1212121212(3)
min 242324210318,0
Z x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩
【解】将模型化为
12123124
125min 242324
210
3180,1,2,3,4,5j Z x x x x x x x x x x x x j =+++=⎧⎪--+=-⎪⎨
--+=-⎪⎪≥=⎩
c j 2 4 0 0 0 b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 0 2 3 1 0 0 24 X 4 0 -1 -2 0 1 0 -10 X 5
-1 [-3] 0 0 1 -18 Cj －Zj 2 4 0 0 0 X 3 0 1 0 1 0 1 6 X 4 0 -1/3 0 0 1 －2/3 2 X 2
4 1/3 1 0 0 －1/3 6 Cj －Zj
2/3
4/3
最优解X=(0，6)；Z ＝24
1234123412344min 23562322330,1,,4j
Z x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≥⎪
-+-+≤-⎨⎪≥=⎩（）
【解】将模型化为
12341234512346min 2356232
2330,1,,6j
Z x x x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧----+=-⎪
-+-++=-⎨⎪≥=⎩ Cj 2 3 5 6 0 0 b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 5 0 -1 [-2] -3 -4 1 0 -2 X 6
-2 1 -1 3 0 1 -3 Cj －Zj 2 3 5 6 0 0 X 2
3 1/2
1
3/2 2
-1/2
1
X 6
0 -5/2 0 [-5/2] 1 1/2 1 -4 Cj －Zj 1/2 0 1/2 0 3/2 0 X 2 3 [-1] 1 0 13/5 -1/5 3/5 -7/5 X 3
5 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5
Cj －Zj 0 0 0 1/5 8/5 1/5
X 1 2 1 -1 0 -13/5 1/5 -3/5 7/5 X 3
5 0 [1] 1 11/5 -2/5 1/5 1/5
Cj －Zj 0 0 0 1/5 8/5 1/5
X 1 2 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5 X 2
3
0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5
Cj －Zj
1/5
8/5
1/5
原问题有多重解：X (1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X (2)＝(8/5，1/5，0)；Z ＝19/5 如果第一张表X 6出基，则有
Cj 2 3 5 6 0 0 b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 5 0 -1 -2 -3 -4 1 0 -2 X 6
[-2] 1 -1 3 0 1 -3 Cj －Zj 2 3 5 6 0 0 X 5 0 0 [-5/2] -5/2 -11/2 1 -1/2 -1/2 X 1
2 1 -1/2 1/2 -3/2 0 -1/2 3/2 Cj －Zj 0 4 4 9 0 1 X 2
3 0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5 X 1
2 1 0 1 -7/5 -1/5 -2/5 8/5
Cj －Zj
1/5
8/5
1/5
2．7某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见表2-23．
表2-23
产品
材料消耗
原材料
A B C 每月可供原材料
（Kg ）
甲乙丙
2 1 1 200 1 2
3 500 2 2 1 600 每件产品利润
4
1
3
（1）怎样安排生产，使利润最大．
（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少．
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg ，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A 和C 两种产品．
（6）由于市场的变化，产品B 、C 的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划．（7）工厂计划生产新产品D ，每件产品D 消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg ，2kg 及1kg ，每件产品D 应获利多少时才有利于投产．【解】（1）设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为
产
品材料消耗材料
123123123123123max 43212002350026000,0,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥≥⎩ 最优单纯形表：
C(j) 4 1 3 0 0 0 R.H.S. Ratio
X B C B X1
X2 X3 X4 X5 X6 X1 4 1 1/5 0 3/5 -1/5 0 20
X3 3 0 3/5 1 -1/5 2/5 0 160 X6
0 0 0 -1 0 1 400 C(j)-Z(j)
-8/5
-9/5
-2/5
Z=560
最优解X=（20，0，160），Z=560。

工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。

（2）由最优表可知，影子价格为12392
,,055
y y y =
==,故增加利润1.8元。

（3）因为y 2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。

（4）依据最优表计算得
1231238
32,,19
5
13
[1,6],(,],[2,12]
5
c c c c c c -≤∆≤∆≤-≤∆≤∈∈-∞∈
（5）依据最优表计算得
123123100
400,400100,4003500[,600],[100,600],[200,).
3b b b b b b -
≤∆≤-≤∆≤-≤∆∈∈∈+∞ （6）变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。

故x 2进基x 1出基,得到最最优解X=(0,200,0)，即只生产产品B200件,总利润为600元。

C(j) 4 3 2 0 0 0 R.H.S. Ratio X B C B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 4 1 [1/5] 0 3/5 -1/5 0 20 100 X3 2 0 3/5 1 -1/5 2/5 0 160 800/3 X6 0 0 0 0 -1 0 1 400 M
C(j)-Z(j)
0 1 0 -2 0 0 560 X2 2 5 1 0 3 -1 0 100 M
X3 3 -3 0 1 -2 [1] 0 100 100 X6 0 0 0 0 -1 0 1 400
M
C(j)-Z(j) -5 0 0 -5 1 0
X2 2 2 1 1 1 0 0 200 X4
-3
1
-2
1
100。