人口增长模型

一、 人口增长模型： 1. 问题

下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相

从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）

1.假设：人口增长率r 是常数.

2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ∆时间段人口的增量为：

)()

()(t rX t

t X t t X =∆-∆+

于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==X X rX dt dx

3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X )

(0t t r e

- （2）

表明：t ∞−→−

时，t X )0.(>∞−→−r . 4.模型的参数估计

要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：

x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1998]';

X=[ones(17,1),x]

Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]';

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析

b,bint,stats%输出这些值

rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间

z=b(1)+b(2)*x;

plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图

运行结果：

b =

1.0e+006 *

-2.8447

0.0015

bint =

1.0e+006 *

-2.9381 -2.7513

0.0014 0.0015

stats =

1.0e+005 *

0.0000 0.0455 0 1.9800

图1各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：

y=-2844700+1500x

从上图可用看出拟和得效果比较好。从拟和的结果我们得到在上图的拟和效果下：

101654,014.00==X r ，进而把它们代入式（2）我们计算得出如下表：这里用程序计算

程序：x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998];

y=101654.000*exp(0.014*(x-1982)); digits(7) ;

y1=vpa(y) %定义所求的值y1精确到小数点后7位；

模型结果分析：

指数增长模型在一定的社会发展下反映了人口的发展情况，马尔萨斯模型很好反映了人

口变化发展，人口增长趋势呈指数增长；但是由于资源及其其他因素的影响，人口增长不会一直按指数增长，所以人口的增长应该还受到其他因素的影响，这是指数模型无法反映和处理的,所以要更准确地预测1998的人口就必须对马尔萨斯模型进行改进。因此我们在马尔萨斯模型的基础上进行修改得到了模型二：阻滞增长模型（Logistic 模型） 模型二：阻滞增长模型（Logistic 模型） 1、模型假设：

人口的增长率不是常数，而是关于人口数量的线性递减函数 2、模型变量和函数的定义:

人口增长率r 为人口X(t)的函数r(x) （减函数），最简单假定：

0,)(>-=s sx r x r ，

r 叫做固有增长率；

环境所能容纳的最大人口数量X m 3、模型建立：

当X=X m 时，增长率应为0，即0)(=m X r ，于是m

X r

s =

，代入sx r x r -=)(，得： )1()(m

X X

r x r -

= （3） 将（3）代入（1）式得：⎪

⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(X X X X X r dt

dx m （4） 4、模型的求解： 解方程（4）得：)

(0

0)1(1)(t t r m m e X X

X t X m

---+=

（5）

根据方程（4）作出

曲线图x dt

dx

-，如图2，有该图可以看出人口增长率随人口增长的变化规律，根据结果（5）作出曲线t x -，如图3，由此图可以看出人口数随时间的变化规律：

5、模型的参数估计：

将r=0.014，X m =360000（万）代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1982—1998的人口见表2：这里用程序：

x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998];

y=360000./(1+2.54*exp(-0.014*(x-1982))); digits(7) y1=vpa(y) 运行结果： y1 =

[ 101694.9, 102719.6, 103750.4, 104787.3, 105830.4, 106879.5, 107934.5, 108995.5, 110062.4,

111135.1, 112213.5, 113297.7, 114387.4, 115482.8, 116583.7, 117690.0, 118801.7]