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2023届重庆市高三上学期11月期中调研考试 数学 试题(含答案)

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2023_2024学年重庆市江北区高三上册11月月考数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年重庆市江北区高三上册11月月考数学模拟测试卷(附答案)

是第 Ri 位， yi 在yn | n 1, 2,, N中的排名是第 Si 位， i 1, 2,, N ．定义变量 x 和变量 y 的
“斯皮尔曼相关系数”（记为 ）为变量 x 的排名和变量 y 的排名的样本相关系数．
1
（i）记 di Ri Si ， i 1, 2,, N ．证明：
N
2023_2024 学年重庆市江北区高三上册 11 月月考数学 模拟测试卷
一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．如图，已知矩形U 表示全集， A ， B 是U 的两个子集，则阴影部分表示不正确的为 （）
A． ðU A B
B． ðU A B
z 11 2．已知 1 i i ，则
75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 yi 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是 x 75 ，知识竞赛成绩的平均值是 y 90 ，并且
20
20
20
xi x 2 6464 yi y 2 149450 xi x yi y 21650
4
a4,i104i 1331
B． i1
C． S9 34
D．该景点入场码为13311
12．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，定点 M a, 4和动点 A ， B 都在抛物线 C 上，
且△MOF （其中 O 为坐标原点）的面积为 3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为 y2 8x
学生编号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 xi
100 99 96 93 90 88 85 83 80 77

重庆市学校2025届高三上学期11月月考数学试题含答案

重庆市学校2025届高三上学期11月月考数学试题含答案

重庆2024—2025学年度（上）高2025届11月半月考数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选题项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.[]2,0- D.[]22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2.“22ac bc >”，是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3.若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4.已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（）A.()sin sin sin αβαβ+<+B.()sin cos cos αβαβ+<+C.()cos sin sin αβαβ+<+D.()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos302αβ+=︒=，62sin154︒===，sin sin sin15sin152αβ+=︒+︒=，22>，C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5.已知23a =，ln 3b =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c b a>>【答案】A【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得.【详解】因为23a =，所以ln 2ln 3a =，即ln 3ln 2a =，又ln1ln 2ln e ＜＜，即ln 210＜＜，又ln 3ln e=1＞，所以ln 3ln 3ln 2a =＞，所以1a b ＞＞；因为4πc =，所以22πc =，所以22log πc =，所以2221log πlog log 12c ===所以a b c ＞＞.故选：A.6.已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A.9B.3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ或3tan 3θ=-（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7.已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（）A.3 B.2.5C.2D.1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.8.武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（）种A.114B.120C.126D.132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C,根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()N P NM P P M =，即()()()N P NM P P M =，所以M 与N 相互独立，故D 正确；故选：ABD.10.已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B.令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C.函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D.函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincos sin 2sin (0)2223x x x f x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ，[)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，∈0,π，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点，故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.故D 正确；故选：ABD.11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B.若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C.存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()322000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()232000066231y x ax x x xax =--+-+，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()32322000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()222000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02ax ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数=的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.()62112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】50【解析】【分析】根据()66622111122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ =+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分别根据二项式定理求解61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项与2x -项即可【详解】因为()66622111122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ =+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项与2x -项.由通项公式161C rr n r r T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6216C r r r T x -+=，故当3r =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项为36C 20=，当4r =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中2x -的项系数为46C 15=，故()62112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2021550+⨯=故答案为：5013.已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14.掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】①.1327②.13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于2102321112113C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2π3cos sin 34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得3tan 3θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.【小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到3tan 3θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2π3cos sin 34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭21cos (sin cos224θθθθ=⋅+⋅+21sin 2cos 424θθ=-+131cos 23sin 24224θθ+=-⋅+1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足31nn S n =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()211n n b n a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1231n n a -=⨯+（2）23nn ⨯【解析】【分析】（1）应用1n n n a S S -=-求出通项公式；（2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解.【小问1详解】当1n =时，113a S ==.当2n ≥时，由31n n S n =+-，得1132n n S n --=+-，则111331231n n n n n n a S S ---=-=-+=⨯+.因为013231a ==⨯+，所以1231n n a -=⨯+.【小问2详解】方法一：由（1）可得()()112123423n n n b n n --=+⨯⨯=+⨯.则()012163103143423n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，①则()123363103143423n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，②①-②，得()()21264333423n nn T n --=+⨯+++-+⨯ ()33644234313nn n n n -=+⨯-+⨯=-⨯-，从而23n n T n =⨯.方法二：由（1）可得()22133n n b n =+⋅，令()()213n f n n =+⋅，则()2.3n b f n =令()1n n f n C C +=-，且()3n n C An B =+⋅，则()()()1133213n n n A n B An B n +⎡⎤++⋅-+⋅=+⋅⎣⎦，整理得23221An A B n ++=+，则22,321,A A B =⎧⎨+=⎩解得1,1,A B =⎧⎨=-⎩故()1113,3n n n n C n C n ++=-⋅=⋅.12n nT b b b =+++ ()()()2123f f f n ⎡⎤=+++⎣⎦ ()2132123n n C C C C C C +=-+-++- 11222333n n C C n +=-=⨯.17.已知椭圆()222210,0:x y a b a C b+=>>的离心率为22，其左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且2OP = ，1234PF PF ⋅= ，其中O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的垂直平分线在x 轴上截距的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）212【解析】【分析】(1)设(),P m n ,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a 和b 的值,得到椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB 的垂直平分线方程,令y =0,求得x ,再利用基本不等式即可得解.【详解】(1)由题知22212c e a ==,222a c ∴=,设(),P m n ,又()1,0F c -,()2,0F c 22274OP m n ∴=+= ,()()222123,,4PF PF c m n c m n m c n ⋅=---⋅--=-+= ,21c ∴=,从而22a =,21b =,故椭圆C 的方程为2212x y +=;(2)设直线l 的方程为13y kx =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立方程:221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y 得:()2241621039k x kx +--=,显然0∆>,又()1224321k x x k +=+,()12216921x x k =-+,()()()2121222242233321321k y y k x x k k -∴+=+-=-=++,则AB 的中点坐标为()()2221,321321k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,当AB 的斜率k 为零时,AB 的垂直平分线为y 轴,横截距为0;当0k ≠时,AB 垂直平分线的方程为:()()22112321321k y x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭,令0y =,()211133212k x k k k==⋅++当0k <时,()20321k x k =<+,当0k >时,12k k +≥那么11213122x k k=⋅≤+,当且仅当12k k =,即22k =时等号成立,所以当2k =时,弦AB 的垂直平分线在x 轴上的截距有最大值,为12.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题.在直线与圆锥曲线的综合题中,常用基本不等式,二次函数或对勾函数的性质等求最值.18.驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为1516，科目二：平均通过的概率为45，科目三平均通过的概率为45．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X ，求X 的分布列和数学期望及方差；（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）0.9975≈，lg 20.3010≈【答案】（1）分布列见解析，()125E X =，()2425D X =（2）6【解析】【分析】（1）根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，分步计算即可；（2）增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1215k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用用对数运算求解不等式.【小问1详解】1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为1544316555⨯⨯=，根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，X 的取值分别为0，1，2，3，4，()4043160C 15625P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()31433961C 155625P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()2224332162C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334332163C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()404433814C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X01234P 166259662521662521662581625()312455E X =⨯=，()3324415525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1322111555k k +⎛⎫⎛⎫--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，有1210.99755k +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，有120.00255k +⎛⎫< ⎪⎝⎭，有0.4log 0.00251k >-，又由0.4lg0.0025lg2542lg4422lg2220.3010log 0.0025 6.54lg0.4lg41lg4112lg2120.3010---++⨯====≈≈----⨯．可得 5.54k >，故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．19.已知函数()2ln 2x f x x ax =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）已知()f x 有两个极值点.（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）若()f x 的极小值小于ln23-，求()f x 的极大值的取值范围.【答案】（1）2230x y --=（2）（ⅰ）()2,+∞；（ⅱ）9,ln 28⎛⎫-∞--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于1x a x+=有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设1x a x +=有两个不同的正实数根1201x x <<<，根据单调性可知()f x 的极值点012,x x x =，结合零点代换可得()0002ln 12x f x x =--，构建()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，结合单调性分析可得22x >，则110x 2<<，即可得取值范围.【小问1详解】当1a =时，则()2ln 2x f x x x =+-，()11f x x x =+-'，可得()112f =-，()11f '=，即切点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线斜率1k =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=.【小问2详解】（ⅰ）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+，()211x ax f x x a x x-+=+-='，令()10f x x a x=+-='，可得1x a x +=，原题意等价于1x a x +=有两个不同的正实数根，因为12x x +≥，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，可知2a >，所以a 的取值范围()2,+∞；（ii ）由（i ）可知：1x a x+=有两个不同的正实数根1x ，2x ，不妨设1201x x <<<，可知121x x =，当12x x x <<时，()0f x '<；当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；可知()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，所以2x 为()f x 的极小值点，1x 为()f x 的极大值点，对于()f x 的极值点012,x x x =，则()()0001,0,11,a x x x =+∈+∞U ，可得()000000022000201ln ln ln 1222x x x f x x ax x x x x x ⎛⎫=+-+-+=-- ⎪⎝⎭=，设()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，则()211x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<；可知()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()2ln 1ln 2322x g x x g =--<-=，可知22x >，则110x 2<<，又因为()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()119ln 228f x g ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的极大值的取值范围是9,ln 28⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法（1）若求极值，则先求方程()0f x '=的根，再检查()f x '在方程根的左右函数值的符号；（2）若探究极值点个数，则探求方程()0f x '=在所给范围内实根的个数；（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()0f x '=根的大小或存在情况来求解；（4）求函数f (x )在闭区间[],a b 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值()f a ，()f b 与()f x 的各极值进行比较，从而得到函数的最值．。

重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题

重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题

重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，112i z =+，则z =（）A ．15B ．13CD2．已知集合{}0,1,2,3,4,5M =，()(){}130N x x x =+-≤，则M N = （）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知a b >，0c d <<，则（）A ．a c b d +>+B ．22a c b d +>+C ．ac bd >D ．22ac bd >4．已知数列{}n a 满足：13a =，1111n n a a ++=，则6a =（）A ．32B ．23C ．2D ．35．已知平面上的两个非零向量a ，b 满足()()22a b a b a b b -⋅+=⋅= ，则,a b = （）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．已知实数0a >，且1a ≠，若函数()log x a f x a x =+在()1,2上存在零点，则（）A ．2log 20a a +<B ．22log 0a a -<C ．4log 20a a +>D ．log 20a a -<7．设ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin23B =，且2222690a ac c c -+-+=，则b =（）A．B ．4C．D8．已知实数a ，b ，c 满足：2229a b +=，223448b c +=，225651c a +=，则32a b c -+的最大值为（）A ．6B ．9C ．10D ．15二、多选题9．已知p ：“x ∀∈N ，21x +是奇数”，q ：“x ∃∈N ，31x +是偶数”，则（）A ．p ⌝：x ∀∈N ，21x +是偶数”B ．p ⌝：“x ∃∈N ，21x +是偶数”C ．q ⌝：“x ∃∈N ，31x +是奇数”D ．q ⌝：“x ∀∈N ，31x +是奇数”10．已知等比数列{}n a 的公比12q =-，其前n 项和记为n S ，且621S =，则（）A ．481a a =B ．2n a a ≥C ．21n S ≤D ．16n S ≥11．设a ∈R ，函数()32f x x x a =-+-，则（）A ．当0a <时，函数()f x 为单调递增函数B ．点()0,2-为函数()y f x =图象的对称中心C ．存在,a b ，使得函数()y f x =图象关于直线x b =对称D ．函数()f x 有三个零点的充要条件是3a >三、填空题12．已知平面直角坐标系中，向量()1,2a =- ，单位向量(),b x y = 满足a b a b +=- ，则x 的值可以是.（写出一个正确结果即可）13．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()1e 2x f x x +=+，则()1f =.14．已知函数()sin f x a x =，a ∈Z .若()()y f f x =的零点恰为()y f x =的零点，则a 的最大值是.四、解答题15．已知非零等差数列{}n a 满足：10982a a a =-，1670a a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.16．已知函数()22f x x x a =++.(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)若()f x 在()1,1-上具有单调性，求实数a 的取值范围.17．在ABC V 中，已知π3A B +>，2sin 2cos cos tan 2sin 2cos sin A B A B B A A -+=-+.(1)证明：1sin 1cos 2C C =+；(2)若2AB =，求ABC V 面积的最大值.18．已知函数()()ln f x x a x x =+-（a ∈R ）.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，确定函数()f x 零点的个数.19．已知x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，1=，[]1.52-=-.(1)若10a >，[]11n n a a +=，n +∈N ，且{}n a 是无穷数列，求1a 的取值范围；(2)记[]x x x =-.①若11a =，22a =，21n n n a a a ++=+，求505014422log log k k k a a a a +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑；②设1a =m +∈N ，[]1n n n a a a +=⋅，证明：k +∃∈N ，使得n k ≥时，0n a =.。

2022-2023学年重庆市南开中学高三上学期11月期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市南开中学高三上学期11月期中考试数学试题(解析版)

2022—2023学年上期高2020级高三线上检测数学试题（考试时间：150分钟试卷满分：120分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1}A =，集合{1,1}B =-，则A ∩B （ ）A ．{2,3}B ．{1,0,2,3}-C ．{1,0,1}-D ．{1}2．数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，则“2k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件3．若i12i 1ia +=-++（a R ∈，i 为虚数单位），则i a -=（ ）A ．BC D4．已知2sin 55πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C ．1725 D ．1725-5．如图，矩形的对角线把矩形分成A 、B 、C 、D 四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？A ．260B ．180C ．240D ．1206．已知F 是椭圆的一个焦点，若存在直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎦7．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足()2*21N n n a S n -=∈.若不等式11(1)8(1)n n n n n a λ++⎡⎤⨯⨯-+⨯-⨯⎣⎦对任意的*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．77,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,15D ．7715,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数()21,241,2x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12 B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11010．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BCC B 内一点，则（ ） A ．当1113C P C B =时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分 D ．当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π11．已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是以π2为周期的周期函数 B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数．例如：[]3.54-=-，[]2.12=．则下列命题中正确的是（ ） A ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y +>+B ．若，()[]f x x =，()[]g x x x =-，则方程()()0f g x =的解集为RC ．对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件D ．设{}[]x x x =-，则函数(){}21h x x x x =--的所有零点之和为-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若命题“R x ∀∈，240x x a -+≠”为假命题，则实数a 的取值范围是______.14．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若4a c +=，则b 边的最小值为______.16．已知()2ln f x x ax x =-+，若()0f x >有且仅有三个整数解，则a 的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 是首项为4的单调递增数列，满足()221111682n n n n n n a a a a a a +++++=++(1)求证：14n n a a ++-= (2)设数列{}n b 满足πsin2n n n b a =，数列{}n b 前n 㑔和n S ，求20242024S 的值.18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C =+.(1)求A ；(2)若cos B =，求()sin 2B A +的值；(3)若ABC 的面积为，3a =，求ABC 的周长.19．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为12,,63m ，其中01m <<.(1)若23m =，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围.20．如图①所示，长方形ABCD 中，2AD =，3AB =，点M 是边CD 靠近点C 的三等分点，将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -.(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左､右顶点分别为M ，N ，点()1,1P -满足1PM PN ⋅=(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D .设直线MB ，MD 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值.22．已知函数2()ln()3f x x x x a b =+-++在0x =处取得极值0． (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的方程()()0R f x m m -=∈在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有2个不同的实数解，求m 的取值范围；(3)设函数e ()(R)xh x n n x=+∈，若11,22x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，21,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦总有()()12f x h x ≤成立，求n 的取值范围．高三线上测试数学参考答案单选：DABDAAAC5．由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有45A 120=种方法．第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有35C 种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A 、C 或B 、D ）涂同色，另两部分涂异色有12C 种选法；3种颜色涂上去有33A 种涂法，根据分步计数原理求得共313523C C A 120⋅⋅=种涂法．第三类，用两种颜色涂色．选颜色有25C 种选法，A 、C 用一种颜色，B 、D 涂一种颜色，有22A 种涂法，故共2252C A 20⋅=种涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260种， 故选：A ．6．解：连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由60AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，120FAF ∠='︒， 在三角形AFF '中，22222cos ()FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠'=-⋅'+，所以222()()2AF AF AF AF FF AF AF ++-=⋅''''，即223()4AF AF FF '+'，当且仅当AF AF '=时等号成立，又直线y kx =的斜率存在，故AF AF ≠'，即223444a c ⋅<，可得c e a =>，所以椭圆的离心率e ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 故选：A ．7．{}n a 是等差数列，则212121(21)()(21)2n nn n n a a a S n a ---+===-，又0n a ≠，所以21n a n =-， 不等式11(1)8(1)nn n n n a λ++⎡⎤⨯⨯-+⨯-⨯⎣⎦为1)(1)8(1)(21n n n n n λ+⎡⎤⨯⨯-+⨯-⎣⎦+⨯，n 是奇数时，不等式为(8)(21)n n n λ-≤++，(8)(21)8217n n n nnλ++-=++≤，0n >时，设8()217f x x x =++，28()2f x x '=-222(4)x x -=，02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x >时，()0f x '>，()f x 递增，又n 是正奇数，(21)7f =，77(3)3f =27<，所以8217n n ++的最小值是773， 773λ-≤，773λ≥-， n 是偶数时，不等式为(8)(21)n n n λ≤-+，(8)(21)8215n n n n nλ-+≤=--，0n >时，8215y n n =--是增函数，又n 取正偶数，所以8215n n --的最小值是82215152⨯--=-，所以15λ≤-，综上，77153λ-≤≤-． 8．设()()()123f x f x f x t ===，作出函数()f x 与y t =的图象如下图所示： 由图可知，当03t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点，由图可知，点()1,x t 、()2,x t 关于直线=1x -对称，则122x x +=-， 且函数()f x 在()2,+∞上为增函数，由()(]2333410,3f x x x =-+∈，因为32x >，解得322x <≤所以，(12332x x x x ++=-∈. 9．ABC甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为{}{}{}{},,,A B C D ，随机事件“若能得5分”中有基本事件{}{},C D ，故“能得5分”的概率为12，故A 正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件， 分别为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ，随机事件“能得10分”中有基本事件{},C D ，故“能得10分”的概率为16，故B 正确；丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A 、B 中的分析可知共有基本事件15种，分别为： 选择一项：{}{}{}{},,,A B C D ；选择两项：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ；选择三项或全选：{}{}{}{},,,,,,,,,,,A B C A B D A C D B C D ，{},,,A B C D ， 随机事件“能得分”中有基本事件{}{}{},,,C D C D ， 故“能得分”的概率为31=155，故C 正确； 丁同学随机至少选择两个选项，由C 的分析可知：共有基本事件11个， 随机事件“能得分”中有基本事件{},C D ，故“能得分”的概率为111，故D 错； 故选：ABC. 10．BCDA 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切值；B 选项，证明线面平行，进而得到，四面体1D ACP 的体积为定值；C 选项，先作出辅助线，得到11A B ⊥1B P ，PE ⊥平面ABCD ，故设出(),1,P m n ，利用1PB PE =列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确；D 选项，作出辅助线，找到球心，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到外接球的表面积. 如图1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()120,0,0,1,0,0,0,1,0,,1,33D A C P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12,0,,1,0,033CP AD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设异面直线CP 与AD 所成角为π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则13cos cos ,CP AD CP AD CP ADθ⎛ ⋅⎝====⋅故sin θ==tan 2θ=，A 错误；如图2，因为11//AB C D ，且11AB C D =， 所以四边形11ABC D 为平行四边形， 故11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ，故当点P 在1BC 上运动时，点P 到平面1ACD 的距离不变，即当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接1PB ， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ， 所以11A B ⊥1B P ，因为AB ⊥平面11BCC B ，EP ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥EP ，因为AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设(),1,P m n ，01,01m n ≤≤≤≤，其中()11,1,1B ，当1PB PE =n ，整理得：()211122n m =-+，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当1112C P C B =时，P 为1BC 的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN //1CC ，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上， 故OQ ⊥平面ABCD ，OQ //PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM //QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ， 则OB =OP =R ，12OM QN ==，OQ =MN ，其中12QB PN ==，设OQ =MN =h ，则12PM h =-，由勾股定理得OB ==OP ===0h =，故R ==24π2πR =， 当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确.11．BDA 选项，验证()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，得到A 错误B 选项，根据5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，得到()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，换元后得到()()221111222t g t t t =--+=-++，利用复合函数单调性求出答案；C 选项，令πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，此时得到21sin cos 2m x x -=，换元后得到()()221111222m u m m m =-++=--+，由m ⎡∈⎣求出值域； D 选项，由()()f x a f x a -+=+得到只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，从而得到22ππ,Z 24k a k =-∈且33π,Z 4k a k =∈，结合()0,3a ∈，解不等式，得到相应的：2113,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2k Z ∈，且31,2,3k =，验证后得到答案.πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()cos sin sin cos x x x x f x =-+≠，所以函数()f x 的周期不为π2，故选项A 错误；5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<， 故()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，令sin cos x x t +=，则πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π53π,π442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1t ⎡⎤∈-⎣⎦， 且t 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，又21sin cos 2t x x -=，故()()221111222t g t t t =--+=-++，开口向下，对称轴为1t =-，故()2122t g t t =--+在1⎡⎤-⎣⎦单调递增， 由复合函数满足同增异减可知：()f x 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，B 正确；令πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 若[]π2π,2ππ4x k k +∈+，Z k ∈，即π3π2π,2π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时， sin cos m x x =+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x =++=+， 故21sin cos 2m x x -=， 若(]π2ππ,2π2π4x k k +∈++，Z k ∈，即3π7π2π,2π44x k k ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，Z k ∈时， 此时()sin cos m x x =-+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x =++=+ 此时21sin cos 2m x x -=， 综上：对于x ∈R ，均有21sin cos 2m x x -=， 所以()sin cos sin cos f x x x x x =+-变形为()()221111222m u m m m =-++=--+，因为m ⎡∈⎣，所以当1m =时，()u m 取得最大值，最大值为1，其中()110122u =-+=，11122u =-=，因为1122<，故()u m 最小值为12， 综上：()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错；()π1sin cos sin cos sin 242f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()()π1sin 2242f x a x a x a ⎛⎫+++-+ ⎪⎝⎭， 假设()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，()()π1π1sin 22sin 224242x a x a x a x a ⎛⎫⎛⎫-++--+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，ππ44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得：1πππ44x a x a k -++=+++，1k Z ∈①，或22πππ,Z 44x a x a k k -+++++=∈②， 其中由①得：1π2k x =-，1k Z ∈，不能对所有x 恒成立，舍去； 由②得：22ππ,Z 24k a k =-∈， 由()()sin 22sin 22x a x a +=-+可得：332222π,Z x a x a k k +-+=∈③，由③得：33π,Z 4k a k =∈， 故需要保证22ππ,Z 24k a k =-∈与33π,Z 4k a k =∈同时成立， 令()2ππ0,324k -∈，解得：2113,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2k Z ∈， 令()3π0,34k ∈，解得：3120,πk ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3Z k ∈，故31,2,3k =， 取31k =，此时3ππ44k a ==，此时令2πππ244k a =-=，解得：21131,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求， 取32k =，此时3ππ42k a ==，此时令2πππ242k a =-=，解得：23N 2k =∉，舍去， 取33k =，此时3π3π44k a ==，此时令2ππ3π244k a =-=，解得：21132,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求， 综上：存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数，π4a =，3π4就是这两个实数，D 正确． 12．BCD对于A ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，则[][]x y x y a b +=+++，所以[][][][][][]x y x y a b x y a b ⎡⎤+=+++=+++⎣⎦，因为01,01a b ≤<≤<，所以02a b ≤+<，所以[]0a b +≥，则[][][]x y x y +≥+，故A 错误；对于B ，因为当01x ≤<时，()[]0f x x ==，所以方程()()0f g x =等价于()01g x ≤<，又因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]01x x ≤-<恒成立，即对任意x ∈R ，()01g x ≤<恒成立， 所以方程()()0f g x =的解集为R ，故B 正确；对于C ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，由[][]x y =，则x y a b -=-，易知1a b -<， 设 1.5, 2.4x y ==，则 1.5 2.40.91x y -=-=<，但[][]1,2x y ==，故对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当x 为整数时，{}[]0x x x =-=；当x 不是整数时，设x 的整数部分为c ，小数部分为d ，则x c d =+，当0x >时，c d c +≥，则[]x c =，此时0x -<，则()()1x c d c -=-+≥--，即[]1x c -=-+，故[][]1x x +-=，则{}{}[][]()1x x x x x x +-=-+---=.当x 为整数时，()1h x x =--，令()0h x =，解得=1x -，此时函数()h x 的零点为1-；当x 不是整数时， ()(){}(){}(){}()2121121h x x x x x x x x x x h x -=⋅-----=--+-=--=，故函数()h x 为偶函数，则若存在零点，此时函数()h x 的所有零点之和为0.综上所述，函数()h x 的所有零点之和为1-，故D 正确.故选：BCD.13．(],4∞- 14．55 15．2 16．ln22ln33,89++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 16.解：()()2ln 00x x f x a x x +>⇒>>， 令()()23ln 12ln ,x x x x g x g x x x '+--==， 令()12ln h x x x =--，则()()2100h x x x '=--<>， 所以函数()h x 在()0,∞+上递减，又()10g '=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，因为()g x a >有且仅有三个整数解，所以()()43g a g ≤<，即ln22ln3389a ++≤<， 所以a 的取值范围是ln22ln33,89++⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：ln22ln33,89++⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17．（1）证明：由题意得，()22111121684n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++++=，即()()21118164n n n n n n a a a a a a ++++-++=，即()21144n n n n a a a a +++=-，∵数列{}n a 是首项为4的单调递增数列，4n a ≥，∴14n n a a ++-=（2）由（1）得14n n a a +-=，即24=2，所以数列是首项为2，公差为22n =， 则2ππsin sin 224n n n n b a n ==， ()22222220244135720212023S =⨯-+-++-()()()()()()4131357572021202320212023⎡⎤=⨯-++-+++-+⎣⎦ ()84124044=-⨯+++ ()4404450682+⨯=-⨯44048506=-⨯⨯ ∴202444048506404820242024S =-=-⨯⨯ 18．（1）根据正弦定理得，()2sin sin 2sin cos 2sin sin 2sin cos B C A C A C C A C =+⇒+=+ 2sin cos 2sin cos sin 2sin cos A C C A C A C ⇒+=+2sin cos sin C A C ⇒=， ∵()0,C π∈，∴sin 0C ≠，则1cos 2A =， ∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵cos B =∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin B =sin 22sin cos B B B ==21cos 22cos 13B B =-=-， ∴()sin 2sin 2cos cos2sin B A B A B A +=+1123=-=（3）∵ABC 3a =，∴1sin 2bc A ==163bc =①， 根据余弦定理可得，222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=②， 联立①②，可得5b c +=，所以周长为8.19．（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A ，“该考生报考乙 大学恰好通过一门笔试科目”为事件B ，根据题意可得()1213113C 228P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2115212172636335418P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭ （2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ， 根据题意可知，13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()13322E X =⨯=， ()()()5150116318P Y m m ==⨯-=-， ()()()115251111111636363183P Y m m m m ==⨯-+⨯-+⨯=- ()()121152112163636392P Y m m m m ==⨯-+⨯+⨯=+， ()1213639P Y m m ==⨯=. 则随机变量Y 的分布列为：()111215183936E Y m m m m =-+++=+， 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有()()E Y E X >， 所以5362m +>，又因为01m <<，所以213m <<， 所以，m 的取值范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 20．（1）解：取AM 的中点G ，连接PG ，因为2PA PM ==，则PG AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且12PG AM == 底面ABCM 为梯形，面积为1(13)242S =+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为max 143V =⨯=； （2）解：连接DG ，因为DA DM =，所以DG AM ⊥，所以PGD ∠为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作Dz ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0M ，()0,3,0C ，()2,3,0B过P 作PH DG ⊥于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ， 设0(P x ,0y ,0)z ，所以000cos )1cos ,x y z θθθ==-=-=，所以(1cos ,1cos )P θθθ--，所以(2,2,0),(1cos ,cos 1,)AM PA θθθ=-=+-，设平面PAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则()()111112201cos cos 10x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，令1z =1(sin ,sin )n θθθ=，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，因为(2,0,0),(cos 1,cos 2,)CB PC θθθ==-+，则()()22220cos 1cos 2sin 0x x y θθθ=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2y θ，可得：2(0,,2cos )n θθ=+， 设两平面夹角为α，则1212cos 2sin n n n n α⋅===⋅令π2cos 1,0,2t θθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以(]1,3t ∈，则1cos 2t θ-=所以cos α===，所以当1t =时，cos α所以平面PAM 和平面PBC21．（1）由题意知()(),0,,0M a N a -，又()1,1P -，所以()()1,1,1,1PM a PN a =-+-=+-，由221PM PN a ⋅=-=，可得1a =，又==c e a，所以c =2222b c a =-=， 所以双曲线C 的方程为2212y x -=； （2）因为()()1,0,1,1M P --，若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ， 不合题意，故l 的斜率存在，设l ：()11y k x -=+，联立()221112y k x y x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩得：()()222221230k x k k x k k --+---=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()21212222123,22k k k k x x x x k k +---+==--. 因为()1,1P -，故:OP y x =-，①又()()11,,1,0A x y N ， 所以()11:11y AN y x x =--，②联立①②，解得111111,11y y D x y x y ⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭， 于是()()1112121212112111121111y x y y y y k k y x x y x x y -+-=⋅=-++-+++- ()()()()121121122211kx k kx k x kx k x ++++=-+++-+()()()()22121212121(1)211k x x k k x x k k x x x x +++++=-++++ ()()()()2222222221231(1)22212321122k k k k k k k k k k k k k k k k k +---⋅++⋅++--=-⎛⎫+---+++ ⎪--⎝⎭ ()()22222221(1)42222132112k k k k k k k k k k +-⋅+++-=-=-=-+⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭ 所以12k k 为定值.22．（1）1()21f x x x a'=+-+， 由题意可知：(0)0(0)0f f =⎧⎨='⎩，解得1,0a b ==. （2）2()ln(1)f x x x x =+-+，由()0f x m -=得2ln(1)x x x m +-+=，由题意，曲线()y f x =与直线y m =在区间1[,2]2-上恰有2个交点． 1(23)()2111x x f x x x x +=+-=++'， 1[,0)2x ∈-时，()0f x '<，2(]0,x ∈时，()0f x '>， 所以()f x 在区间1[,0]2-上是减函数，在区间[0,2]上是增函数， 11()ln 2,(0)0,(2)6ln 324f f f -=-+==-， 又1()(2)2f f -<， ∴104ln 2m <≤-+． （3）由1211[,2],[,2]22x x ∃∈-∀∈-总有12()()f x h x ≤成立可知：在区间1[,2]2-上，min min ()()f x h x ≤ 由（2）知在区间1[,2]2-上，min ()(0)0f x f ==， ∵22e e e (1)()x x x x x h x x x--'==， 1[,1)2x ∈-时，()0h x '<，(1,2]x ∈时，()0h x '>， ∴函数()h x 在区间1[,1]2-上是减函数，在区间[1,2]上是增函数， ∴min ()(1)e h x h n ==+，所以0e n ≤+，∴ e n ≥-．第页16。

重庆市2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测试题 数学含答案

重庆市2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测试题 数学含答案

高2025届高三上11月阶段性检测数学试题（答案在最后）（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （）A.()4,3- B.()0,3 C.()3,0- D.()4,0-2.已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（）A.1B.2C.3D.43.“1x >”是“11x-<”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A a c b<< B.c a b<< C.b c a<< D.c b a<<5.设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（）A.若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B.若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C.若,,//,//m n m n ααββ烫，则//αβ．D.若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．6.若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（）A.1712-B.56-C.175-D.17-7.已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（）A.12025B.12024C.11012D.110138.已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（）A.)3,-+∞B.253,8⎫-⎪⎭C.7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D.7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（）A.()cos f x x= B.()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()22cos sin f x x x =- D.()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭10.ABC V 中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（）A.4AB AC += B.AB AC ⋅为定值C.2220AC AB += D.BAD ∠的最大值为45︒11.在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A 直线1BD ⊥平面11AC DB.异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦C.过点,,B P Q 的截面周长为+D.当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．13.在数列中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.14.若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面四边形ABCD 中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为32y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅ 为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．18.已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.19.数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 的前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N *∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．高2025届高三上11月阶段性检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】13.【答案】42714.【答案】612四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1（2）60︒【解析】【分析】（1）由已知，设BC x =，则4AB x =，由余弦定理，可得1x =，利用三角形的面积公式即可求得ABC V 的面积；（2）在ABC V 中，由正弦定理，可求得sin 7ACB ∠=，进而求得cos 7ACB ∠=，进而求得321sin 14ACD ∠=，在ACD 中，由正弦定理，求得sin 2ADC ∠=，即可求得ADC ∠的大小．【小问1详解】由已知，设BC x =，则4AB x =，在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，因为120,ABC AC ∠=︒=，所以22222116421x x x x =++=，解得1x =，所以1BC =，4AB =，所以113sin 41222ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯⨯= .【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理，sin sin ACB ABCAB AC∠∠=，因为120,ABC AC ∠=︒=，4AB =，所以sin 2sin 47ABC ACB AB AC ∠∠=⋅==，又在ABC V 中，120ABC ∠=︒，则060ACB ︒<∠<︒，所以cos 7ACB ∠==，因为150BCD ∠=︒，所以()sin sin 150ACD ACB ∠=︒-∠sin150cos cos150sin ACB ACB=︒∠-︒∠121327321272714⎛⎫=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，在ACD 中，由正弦定理，sin sin ADC ACDAC AD∠∠=，又AD =，则14=，解得sin 2ADC ∠=，又因为142>，所以60ACD ∠>︒，因为0180ADC ︒<∠<︒，则60ADC ∠=︒.16.【答案】（1）证明见解析（2）65-.【解析】【分析】（1）先证明1,,,M N C A 四点共面，再证明1MA BP ，由线面平行的判定定理可证；（2）以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可.【小问1详解】证明：连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，则MN AC ∥，在三棱柱111ABC A B C -中，11AC A C ，则11MN A C ∥，则11,,,M N A C 四点共面，11AB A B = ，且11AB AB ∥，,M P 分别为11,AB A B 的中点，则1BM PA 且1BM PA =，则四边形1BMA P 为平行四边形，则1MA BP ，BP ⊄ 平面1C MN ，1MA ⊂平面1C MN ，则//BP 平面1C MN .【小问2详解】在直棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AA AC AB AC ⊥⊥⊥，则以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则有13(0,0,0),(4,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(2,,0),(2,0,4),(0,3,4)2A B C M N P C ，13(2,3,4),(0,,0),(0,0,4)2MC MN MP =-== ，设平面1MPC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，平面1MNC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则1234040m MC x y z m MP z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩及12340302n MC a b c n MN b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3,1x c ==，则有(3,2,0),(2,0,1)m n ==，则cos ,65m n m n m n ⋅===，因为二面角1P MC N --为钝角，则所求二面角的余弦值为66565-.17.【答案】（1）22143x y -=；（2）存在，29(,0)8Q -，58564.【解析】【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到ba的值，再根据(4,3)P 在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得,a b 的值.（2）设出直线l 方程与M ，N 点坐标1122(,),(,)x y x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出12x x +、21x x 、12y y +、12y y ，再设出Q 坐标(,0)t ，则可以表示出,QM QN 坐标，即可用坐标表示出QM QN⋅ 的值，再结合具体代数式分析当QM QN ⋅为常数时t 的值.【小问1详解】由题意得，因为双曲线渐近线方程为32y x =，所以3322b b a a =⇒=，又点(4,3)P 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：221691a b -=，联立两式解得21612(2a a-=⇒=，b =，所以双曲线的标准方程为：22143x y -=.【小问2详解】如图所示，点(1,0)E -,直线l 与双曲线交于,M N 两点，由题意得，设直线l 的方程为1x my =-，Q 点坐标为(,0)t ，联立221431x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，22(34)690m y my ---=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634m y y m +=-，122934y y m -=-，21212122268(1)(1)()223434m x x my my m y y m m +=-+-=+-=-=--，22121212122124(1)(1)()134m x x my my m y y m y y m --=--=-++=-，11)(,t y QM x =- ，22,)(Q x t y N =-，所以21212121212()()()Q t x t y y x x t x x t y M N y Q x +⋅--=-++=+2222212489343434m t t m m m ---=-⋅++---222222121384(34)8293434m t m t t tm m -------=+=+--22829434t t m +=--+-，所以若要使得上式为常数，则8290t +=，即298t =-，此时58564QM QN ⋅= ，所以存在定点29(,0)8Q -，使得QM QN ⋅ 为常数58564.18.【答案】（1）220x y π+-=（2）证明见解析（3）1πa <-【解析】【分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可.【小问1详解】()2sin cos f x x x x x =--，当πx =时，()π2sin ππcos ππ0f =--=，所以切点为()π,0，因为()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x =-+-=+-'，所以斜线方程的斜率()πcos ππsin π12k f ==+-=-'，根据点斜式可得()02πy x -=--可得220x y π+-=，所以()f x 在πx =处的切线方程为220x y π+-=；【小问2详解】由（1）可得()cos sin 1f x x x x =+-'，令()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，所以()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0g x '<，()g x 单调递减；()πππππ0cos00sin010,cos sin 11022222g g ⎛⎫=+⨯-==+⨯-=-> ⎪⎝⎭，()πcos ππsin π1=2<0g =+--，3π3π3π3π3πcos cos 11022222g ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()2πcos 2π2πsin 2π10g =+-=，存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,2πx 单调递减，又()()02sin 00cos00,π2sin ππcos ππ0f f =-⨯==-⨯-=，()2π2sin 2π2πcos 2π2π=4πf =---，所以()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；【小问3详解】因为()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，即2sin x ax x >+恒成立，等价于2sin x x a x -<恒成立，当πx =时，有2sin 1ππa ππ-<=-，下证：2sin 1πx x x -≥-即证21sin πx x x -≥-，()0,x ∞∈+恒成立，令()21sin πs x x x x =-+，当2πx ≥时，2sin 2π4π>01sin πx x x x --++>，当()0,2πx ∈时，()2cos 1πs x x x -+'=，设()2cos 1πt x x x =-+，则()2sin πt x x -'=+，此时()0t x '=在()0,2π有两个不同的解1212π,,0π2x x x x <<<<，且当10x x <<或22πx x <<时，()0t x '>，当12x x x <<时，()0t x '<，故()t x 在()12,x x 上为减函数，在()10,x ，()2,2πx 上为增函数，而()()()π0π0,2π402t t t t ⎛⎫====>⎪⎝⎭，故当π02x <<时，()0t x >，当ππ2x <<时，()0t x <，当π2πx <<时，()0t x >，故()s x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在()π,2π为增函数，而()()0π0s s ==，故()0,2πx ∈时，()0s x ≥恒成立，综上1πa <-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数的图象的交点问题.19.【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前n 项和的关系求出12n n b -=，然后得到12n n b -=为等差数列，求得n T ，再求得14,a a，计算数列的通项公式即可；（2）先求出区间()21,1m m T T ++的端点值，然后明确的项为奇数，得到()21,1m m T T ++中奇数的个数，得到()m c m N *∈通项公式，然后求和即可；（3）先假设存在，由（1）求得2n S n =，21n n T =-，令3m m m mS T L S T ++=+，然后判断L 的取值，最后验证，不同取值时，m 的值即可.【小问1详解】由题可知，当1n =时，11b =；当2n ≥时，得3121221222n n b bb b n --++++=- 因为32121222nn b bb b n-++++= 两式相减得11122n nn n b b --=⇒=经检验，当*N n ∈时，12n n b -=显然，是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122112nnn T -==--所以1143,17a b a T ====等差数列的公差71241d -==-所以21n a n =-【小问2详解】由（1）可知，2212,12m mm m T T +=+=因为21n a n =-，所以21n a n =-为奇数；故()m c m N *∈为区间()21,1m m T T ++的奇数个数显然2212,12m m m m T T +=+=为偶数所以21224222m mmm m c --==-所以()2121444412222m m m m m H ---++++=-++++ ()214141122122141233m m m m +--=⨯-=-+--【小问3详解】由（1）可知2n S n =，21nn T =-所以23322121m m m m m m S T m S T m ++++-=++-若3m m m mS T S T +++是或中的项不妨令3m m m mS T L S T ++=+，则L *∈N 则有()()()232221118221m mm m L L m L m ++-=⇒--=-+-因为210,20m m -≥>所以18L ≤≤因为L 为数列或中的项所以L 的所有可能取值为1,2,3,4,5,7,8当1L =时，得20m =无解，所以不存在；当18L <≤时得28112mL m L --=-令()2*1,2mm g m m -=∈N 得()22ln 2ln 22mm m g m +='-令()22ln 2ln 2h m m m =-+显然()22ln 2ln 2h m m m =-+为二次函数，开口向下，对称轴为()11,2ln 2m =∈()()()120,368ln 20,4815ln 20h h h =>=->=-<所以当3m ≤时，()0g m '>，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递增；当3m ≥时，()0g m '<，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递减得()()1531,416g g ==因为28112mL m L --=-所以89112L L L -≤⇒≥-所以L 的可能取值有5,7,8我们来验证，当5L =时，得21324m m -=，可得存在正整数解2m =或5m =，故5L =满足；当7L =时，得21126m m -=，当m 为整数时，212m m -分子为整数，分母不能被3整除；所以21126m m -=无正整数解，故7L =不满足；当8L =时，得2102m m -=，得存在正整数解1m =，故8L =满足；综上所诉，1m =，2m =或5m =.。

重庆一中高2023届11月月考数学卷及答案

重庆一中高2023届11月月考数学卷及答案

y
x
1
1 2
x2 2
y2
1 a
2 ，满足条件；
条件③： F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点， F1PF2 的最大值是120 ，
即 OBF2
60
c b
3c
3 a 2 ，不满足条件，…………………………（5 分）
综上：满足条件的是条件②，椭圆的方程为
x2 2
y2
1 ．……………………………（6
则 A(0，1，0) ， A1(0，0， 3) ， D( 3，0，0) ，
M
0，12
，
3 2
，B1 (0，
2，
3) ，………………………………………………………（6 分）
则
DM
3，1 2
，
3 2
，
DB1
(
3， 2， 3) ，
设平面 DB1M 的法向量为 n1 (x1，y1，z1) ，
数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
（2）解：如图（b），作 A1O AB 于 O ，
∵平面 ABB1A1 底面 ABCD 且交线为 AB ， ∴ A1O 平面ABCD ， ∴A1AO 即为侧棱与底面所成的角，∴A1AO 60 ， 连接 OD ，则 OD，OA1，OA 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系，
则
3x1
1 2
y1
3 2
z1
0
n1
(3，
3，5) ．………………………………………（8 分）
3x1 2 y1 3z1 0
AA1 （0，1， 3）， AD （ 3，1，0），
设平面 ADD1 A1 的法向量为 n2 (x2，y2，z2 ) ，
则
y2

重庆市杨家坪2024-2025学年高三上学期期中模拟考试数学试题含答案

重庆市杨家坪2024-2025学年高三上学期期中模拟考试数学试题含答案

重庆市杨家坪高2025届高三上期中模拟考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}21,log 1A x x B x x =<=<，则（）A.{}1A B x x ⋂=< B.{}0A B x x ⋃=>C.{}01A B x x ⋂=<< D.{}A B x x ⋂=<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数的单调性以及定义域求出集合B ，再根据两个集的交、并运算即可求解.【详解】根据对数运算性质可得22log log 2x <，所以可得02x <<，即{}02B x x =<<，对于A ，{}{}{}10201A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<，故A 错误；对于B ，{}{}{}1022A B x x x x x x ⋃=<⋃<<=<，故B 错误；对于C ，由A 选项知道{}{}{}10201A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<，故C 正确；对于D ，由A 选项知道{}{}{}10201A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<，故D 错误.故选：C2.复数24(1i)1iz =++-，则z =（）A.13i+ B.13i- C.24i+ D.24i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法与除法运算化简得z ，再根据共轭复数的概念即可得结论.【详解】因为22244(1i)44i (1i)12i i 2i 2i 22i 24i 1i (1i)(1i)1i z ++=++=+++=+=++=+--+-，所以z =24i -.故选：D.3.已知,x y 为正实数，且1x y +=，则4x yxy+的最小值为（）A.7B.9C.10D.12【答案】B 【解析】【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值．【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，则414414()()559x y y x x y xy y x x y x y +=+=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =即21,33x y ==时，等号成立．故选：B ．4.已知数列{}n a 满足12323(2)n a a a na n n ++++=+ ，则16a =（）A.2B.3116C.3316 D.3516【答案】C 【解析】【分析】利用2n ≥时，1nn n a S S -=-，推得21(2)n n a n n+=≥，代入16n =，求出答案．【详解】由题意可得12323(2)n a a a na n n ++++=+ ①，所以2n ≥时，123123(1)(1)(1)n a a a n a n n -++++-=-+ ②，①-②得21n na n =+，所以21(2)n n a n n+=≥，所以163316a =．故选：C ．5.在ABC V 中，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.【详解】一方面：2222πππsin sin co sin sin c 1s 22os s n 2i C B A B A B B B A B +==⎪+⎛⎫=⇒+=⇒=-⇒⎝⎭= ，另一方面：22222ππ1,sin sin 13622A B C A B ⎛⎛⎫===⇒+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，但π2C ≠，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分不必要条件.故选：A.6.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（）A.48种 B.36种 C.24种D.18种【答案】B 【解析】【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解.【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法；剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有33A 种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有2232C A 种安排方法；所以共有不同的安排方案有()3223323A C A 36⨯+=种，故选：B.7.如图，在平面直角坐标系中，以OA 为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于,E F 两点，且ππ0,,,π,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若直线EF 的斜率为13，则sin()αβ+=（）A.35-B.35C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可设(cos ,sin )E αα，(cos ,sin )F ββ，结合直线的斜率公式及和差角公式先求出tan2αβ+，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．【详解】由题意可设(cos ,sin )E αα，(cos ,sin )F ββ，则直线EF 的斜率2cossinsin sin 1122cos cos 32sin sin tan222k αβαβαβαβαβαβαβ+--===-=+-+--，所以tan 32αβ+=-，所以2222sin cos 2tan3222sin()5sin cos 1tan 222αβαβαβαβαβαβαβ++++===-+++++．故选：A ．8.若曲线(0)ky k x=<与e x y =，恰有2条公切线，则k =（）A.eB.1e-C.21e -D.1-【答案】B 【解析】【分析】设在曲线e x y =上的切点为(,e )m m ，求出切线方程，设该切线方程与曲线(0)ky k x=<相交于点(,)kn n，由此可得24(1)e m k m -=-，再利用导数研究函数2()(1)e m h m m =-的性质，结合题意即可得出答案．【详解】设在曲线e x y =上的切点为(,e )m m ，由(e )e x x '=，可得过点(,e )m m 的切线斜率为e m ，此时切线方程为e e ()m m y x m -=-，即e e (1)m m y x m =+-，设切线e e (1)m m y x m =+-与曲线(0)ky k x =<相交于点(,)k n n ，2(k k x x=-'，则2e e e (1)mm m k n k n m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⋅+-⎪⎩，消去n ，可得24(1)e m k m -=-，依题意，直线4y k =-与函数2()(1)e m h m m =-的图象有两个不同的交点，令2()2(1)e (1)e e (1)(1)0m m m h m m m m m =--+-=-+>'，解得1m <-或1m >，令()0h m '<，解得11m -<<，则函数()h m 在(,1)∞--，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减，故()()4()10,()1eh m h h m h ===-=极小值极大值，且()0h m ≥恒成立，当且仅当1x =时等号成立，当m →+∞时，()h m ∞→+，要使直线4y k =-与函数2()(1)e m h m m =-的图象有两个不同的交点，则需44ek -=，解得1e k =-．故选：B ．【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论．二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若经验回归方程为ˆ0.550.6yx =-，则变量x 与y 呈正相关B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C.响应变量Y 是由解释变量X 唯一确定的D.在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大【答案】ABD 【解析】【分析】根据回归直线和残差的意义、随机误差的产生和独立性检验的思想，依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，在经验回归方程中，ˆ0.550b=>，∴变量x 与y 正相关，A 正确；对于B ，回归分析中，残差分布的水平带状区域宽度越窄，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B 正确；对于C ，响应变量Y 除了受解释变量X 影响外，可能还会收到其他因素的影响，从而导致随机误差e 的产生，C 错误；对于D ，在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越小，说明两个变量有关系的可能性越小，则“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大，D 正确.故选：ABD.10.已知函数ππ()sin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则有（）A.1a =-B.单调减区间为4π2π,2π,π33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.最小正周期为πD.()0f x ≥的解集为2π2π2π,3x k x k k Z ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将()f x 转化为正弦型三角函数，根据正弦函数的单调性、周期性、三角不等式即可得逐项判断得结论.【详解】ππ11()sin sin cos cos cos cos 662222f x x x x a x x x x x a⎛⎫⎛⎫=++-++=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πcos 2sin6x x a x a⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以函数max ()21f x a =+=，则1a =-，故A 正确；则π()2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以其最小正周期为2π2π1T ==，故C 正确；所以单减区间满足：ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，解得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，即函数()f x 单调减区间为π4π2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；不等式()0f x ≥，即π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则ππ5π2π2π,Z 666k x k k +≤+≤+∈，解得2π02π2π,Z 3k x k k +≤≤+∈，解集为2π2π2π,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故选：ABD.11.已知函数221,0(),log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩下列关于函数[]()2y f f x =+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当01k <<时，有3个零点B.当1k >时，有1个零点C.当0k <时，有8个零点D.当4k =-时，有8个零点【答案】BD 【解析】【分析】设()f x t =，即有()2f t =-，选项A 和B ，当01k <<和1k >，21y x kx =-+在(,0]-∞上单调递减，且1y ≥，作出函数()f x 图象，数形结合，即可求解；选项C ，取2k =-，作出函数()f x 图象，数形结合，可得[]()2y f f x =+只有3个零点，即可求解；选项D ，当4k =-时，作出函数()f x 图象，数形结合即可判断得解.【详解】令0y =，得[()]2f f x =-，则函数[()]2y f f x =+的零点个数即为[()]2f f x =-解的个数，设()f x t =，则()2f t =-，二次函数21y x kx =-+，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为2k x =，对于选项A ，当01k <<时，21y x kx =-+在(,0]-∞上单调递减，且1y ≥，如图，由()2f t =-，得2log 2t =-，解得14t =，由()f x t =，得21log 4x =，解得142x =，因此函数[()]2y f f x =+的零点个数是1，所以选项A 错误，对于选项B ，当1k >时，21y x kx =-+在(,0]-∞上单调递减，且1y ≥，如图，由()2f t =-，得2log 2t =-，解得14t =，由()f x t =，得21log 4x =，解得142x =，因此函数[()]2y f f x =+的零点个数是1，所以选项B 正确；对于选项C ，当2k =-时，()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，作出函数()f x 的图象如图，由图象知()2f t =-只有1个根，由2log 2t =-，解得14t =，当14t =时，1()4f x =，若21log 4x =，则142x =，若21214x x ++=，则12x =-或32x =-，此时[]()2y f f x =+有且只有3个解，所以选项C错误，对于选项D ，当4k =-时，()2241,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，作出函数()f x 的图象如图，由图象知()2f t =-有3个根，当0t >时，2log 2t =-，解得14t =；当0t ≤时，2412t t ++=-，解得3t =-或1t =-当14t =时，1()4f x =，若21log 4x =，则142x =，若21414x x ++=，则1322x =-±，此时共有3个解；当3t =-时，()3f x =-，此时2log 3x =-有1个解，2413x x ++=-，即2(2)0x +=，得到2x =-，有1个解，当1t =-时，()1f x =-，此时2log 1x =-，得到12x =，有1个解，2411x x ++=-，解得22x =-4k =-时，函数[()]2y f f x =+的零点个数是8，所以选项D 正确，故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为______．【答案】91【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及累加法即可求解．【详解】设该二阶等差数列为{}n a ，则11a =，23a =，37a =，413a =，由二阶等差数列的定义可知，212a a -=，324a a -=，436a a -=，⋯，所以数列1{}n n a a +-是以212a a -=为首项，公差2=d 的等差数列，即12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，⋯，12n n a a n +-=，将所有上式累加可得211(22)12n n n a a n n ++=+=++，所以21099191a =++=．故答案为：91．13.已知平面向量(2,1),a b = 为单位向量，且()(2)a b a b +⊥-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为______．【答案】63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由()(2)a b a b +⊥- 得a b ⋅ ，计算b 在a 方向上的投影，进而得b 在a 方向上的投影向量．【详解】因为(2,1)a =，所以||== a b为单位向量，||1b = ，又因为()(2)a b a b +⊥-，所以22()(2)2520a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-= ，即3⋅= a b ，b 在a 方向上的投影为a b a ⋅= ，所以b 在a 63(,55a a=．故答案为：63(,)55．14.已知函数()f x 的定义域为R ，函数2()()g x f x x =+为奇函数，且(4)()g x g x +=，则(10)f 的值为______．【答案】100-【解析】【分析】由条件求得()()220g g -==，()()620g g ==，()()1060g g ==，从而求得()10f 的值.【详解】因为函数()()2g x f x x =+为奇函数，所以有()()22g g -=-，因为()()4g x g x +=，所以()()22g g =-，得()()220g g =-=，又()()620g g ==，()()1060g g ==，即()()21010100g f =+=，所以()10100f =-.故答案为：100-.三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知sin A A +=0，222100b a c b -++=；ABC S = （1）求角A 的值；（2）BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，求AD 的长．【答案】（1）2π3（2）154【解析】【分析】（1）根据sin A A =0，可得tan A =，结合角度范围即可得角A 的值；（2）根据余弦定理与三角形面积关系求解,b c 得长度，再由ABC ABD ACD S S S =+ 计算可得AD 的长．【小问1详解】因为sin A A +=0，所以tan A =因为0πA <<，所以2π3A =；【小问2详解】由（1）知2π3A =，由余弦定理得2222cos b c a bc A bc +-==-，则222100b c a b +-+=可得10c =，由1sin 24ABC S bc A bc ===△，可得60bc =，所以6b =，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，即12π1π1πsin sin sin 232323bc c AD AD =⋅+⋅，所以6015164bc AD b c ===+.16.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．17.设{}n a 是等比数列，{}n b 是递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为()*1,2n S n a ∈=N ，11b =，413S a a =+，213a b b =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a 与数列{}n b 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前40项和．【答案】（1）2n n a =，n b n=（2）692【解析】【分析】（1）由等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，解方程求得公差、公比，可得所求；（2）由数列的单调性求得数列{}n a 的前5项和、数列{}n b 的前35项和，可得所求和；【小问1详解】设等比数列的公比为q ，等差数列的公差为d （0d >），由已知条件得2111114622b d a a q a q b d⎧+=+⎨=+⎩，即2262222d q q d ⎧+=⎨=+⎩，解得10q d =⎧⎨=⎩.（舍去）或21q d =⎧⎨=⎩，所以112n n n a a q -==，()11n b b n d n =+-=；【小问2详解】数列{}n a 与数列都是递增数列，5n =，53240a =<，6n =，66440a =>，612345226212a a a a a -++++==-，()1235351356302b b b ⨯+++⋅⋅⋅+==，新数列的前50项和为：122344563562630692++++++++⋅⋅⋅+=+=.18.某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X ，如下表：性能指标X6677808896产品件数102048193（1）求该项性能指标的样本平均数x 的值．若这批零件的该项指标X 近似服从正态分布()2,,N μσ其中μ近似为样本平均数x 的值，236σ=，试求(7492)P X <≤的值．（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．①求这件零件是次品的概率：②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在(74,92]内的零件个数为Y ，求随机变量Y 的数学期望（精确到整数）．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,,N μσ则(6)0.6827P μσμσ-≤≤+≈，(22)0.9545,(33)0.997.P P μσξμσμσξμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）80，0.8186（2）①160；②45；③4【解析】【分析】（1）计算出平均数后可得~(80,36)X N ，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得．【小问1详解】660.1770.2800.48880.19960.0380x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()80,36X N ~，所以6σ=，则()()()1174922222P X P X P X μσμσμσμσ<≤=-≤≤++-≤≤+0.95450.68270.81862+≈=；【小问2详解】①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件1A ，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件2A ，“抽取的零件为次品”记为事件B ，则()123P A =，()213P A =，()1|0.02P B A =，()2|0.01P B A =，则()()()()()1122210.051||0.020.0133360P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯==；②()()()()()()111120.02431560P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====；③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在(]86,92内的概率0.81863005p =⨯，且随机变量()300,Y B p ~，所以()13003000.8186 4.093460E Y p ==⨯⨯=≈，所以随机变量Y 的数学期望为4.19.设函数()()2e 2sin 1xf x x a x =+-+.（1）当1a =时，求()f x 在[)0,+∞上的最小值；（2）若()g x 与()f x 关于y 轴对称，当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2（2）3a ≤【解析】【分析】（1）先将1a =代入()f x ，然后求导得到()2e 2cos 2xf x x =+-'，再求导得到()2e 2sin x f x x '=-'，因为[)0x ∈+∞，，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值；（2）先利用两个函数的互对称得到()g x ，然后代入不等式()()f x g x ≥，整理得()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥，构造函数()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+，得到()00h =，然后利用端点效应得到3a ≤，最后判断其充分性即可.【小问1详解】当1a =时，()2e 2sin 2xf x x x =+-，所以()2e 2cos 2x f x x =+-'，令()2e 2cos 2xF x x =+-，得()2e 2sin xF x x -'=，因为0x ≥，得e 1,sin 1x x ≥≤，所以()2e 2sin 0x F x x =-≥'，故()()2e 2cos 2x F x f x x '==+-在[)0，+¥单调递增；所以()()02f x f ''≥=，所以()2e 2sin 2x f x x x =+-在[)0，+¥单调递增，故()f x 在[)0，+¥上的最小值为()02f =.【小问2详解】由题得()()()2e2sin 1x g x f x x a x -=-=-++，得当0x ≥时，()()2e 2sin 12e2sin 1x x x a x x a x -+-+≥-++恒成立，整理得()e e2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，令()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+，显然，()00h =，要使0x ≥时，()e e2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，则()00h '≥，()()e e 2cos 1x x h x x a -=++-+'，所以有()()000e e 2cos0103h a a =+'++-≥⇒≤，验证，当3a ≤时，令()()e e 2cos 1x x G x x a -=++-+，()e e 2sin x x G x x --'=-，令()e e 2sin x x H x x -=--，()e e 2cos 2cos 22cos 0x x H x x x x -=+-≥=-'≥，故()e e 2sin x x H x x -=--在[)0,∞+单调递增；所以()()000e e 2sin 00H x H ≥=--=，故()()e e 2cos 1x x G x x a -=++-+在[)0,∞+单调递增；所以()()00G x G ≥≥，故()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+在[)0,∞+单调递增；所以()()0=0h x h ≥，故3a ≤符合题意.【点睛】思路点睛：()()e e 2sin 10x x h x x a x -=-+-+≥恒成立，显然()00h =，我们由函数图像可知，在0x =时，()()e e 2sin 1x x h x x a x -=-+-+不可能单调递减，所以可知()00h '≥，然后求得3a ≤，此时3a ≤为()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立的必要条件，我们还需要利用3a ≤去判断()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立，证明3a ≤为()e e 2sin 10x x x a x --+-+≥恒成立的充分条件.。

重庆市西南大学附属中学2023届11月期中质检数学试题含答案

重庆市西南大学附属中学2023届11月期中质检数学试题含答案
A.若n为质数，则 B.数列 单调递增
C.数列 的前5项和等于 D.数列 为等比数列
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面 ，下面说法正确的是（）
A. 若N DD1中点，当AM+MN最小时，CM=
B. 当点M与点C1重合时，若平面 截正方体所得截面图形 面积越大，则其周长就越大
21.（1）解：设点 的坐标为 ，其中 ，
则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由已知有 ，化简得点 的轨迹方程为 .
（2）解：点 在圆 外，理由如下：
若直线 与 轴重合，则该直线 与曲线 无公共点，
故可设 ，另记 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理知 ，
，
则有
其中 无解，则 ，故 ，
即点 在以 为直径的圆 外.
C．若 ，则 D． ，则
10．已知 为双曲线 的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（）
A． B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．
11.对于正整数n， 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 （1，2，4，5，7，8与9互质），则（）
又∵ ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴ ．
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）∵ 平面 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴底面 是直角梯形．
以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，则 ．
， ．
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 取 ．
∴ ，

重庆市渝北2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题含解析

重庆市渝北2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题含解析

渝北2023-2024学年高三11月月考质量监测数学试题（答案在最后）（全卷共四大题22小题总分150分考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}{}2,0,1,3,5,2,3,5,0,2,4U A B =-=-=，则()UB A ⋃=ð（）A.{}2,0,2,4- B.{}2,0,1,2,4- C.{}0,1,2,4 D.{}0,2,4【答案】C 【解析】【分析】由集合的交并补运算可求.【详解】由{}{}2,0,1,3,5,2,3,5U A =-=-得{}0,1U A =ð，又{}0,2,4B =，(){}0,1,2,4UA B ⋃=ð.故选：C.2.已知角α终边上有一点22(sin ,cos 33P ππ，则πα+是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B 【解析】【分析】首先由点P 的坐标确定角α终边的位置，再确定πα+所在象限.【详解】2πsin32=，2π1cos 32=-，即1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,点P 在第四象限，即角α的终边在第四象限，πα+的终边为角α终边的反向延长线，那么πα+的终边在第二象限.故选：B3.现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（）A.33B.34C.36D.37【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得n 次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列{}n a ，进而可得结果.【详解】设没剪之前正方形的边数为0a ，即04a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开得到一个三角形和一个四边形，1437a =+=，然后无论是选择三角形或四边形，剪一次后边数都增加3，所以可知n 次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列{}n a ，即()131n a a n =+-，故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为1079334a =+⨯=，故选：B.4.设α，β是两个平面，直线l 与α垂直的一个充分条件是（）A.//l β且αβ⊥B.l β⊥且αβ⊥ C.l β⊂且αβ⊥ D.l β⊥且αβ∥【答案】D 【解析】【分析】结合空间线面以及面面的位置关系，判断各选项中条件能否推出直线l 与α垂直，即可判断出答案.【详解】A ，当//l β且αβ⊥时，则l α⊥或//l α或l ⊂α，不能得出一定是l α⊥，A 错误，B ，当l β⊥且αβ⊥时，则//l α或l ⊂α，不能得出l α⊥，B 错误，C ，当l β⊂且αβ⊥时，则l α⊥或//l α或l ⊂α或l 与α相交不垂直，不能得出一定是l α⊥，C 错误，D ，当l β⊥且//αβ时，则l α⊥，故“l β⊥且αβ∥”是直线l 与α垂直的一个充分条件，D 正确，故选：D ．5.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos2cos 30αα++=，则tan α=（）A.B.25C.5D.2【答案】D 【解析】【分析】由二倍角的余弦公式可得cos α的二次方程，再由同角三角函数基本关系可求.【详解】5cos2cos 30αα++= ，210cos cos 20αα∴+-=，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos 5α∴=或12-（舍），则sin 5α===，sintan cos 2ααα∴==．故选：D.6.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FC ⋅=（）A.4-B.12-C.34D.12【答案】B 【解析】【分析】由已知可推得，FE BE BF =- 1163BA BC =-，12FC BC = ，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，2BA =，2BC = ，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 12222=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ，()1136BE BD BA BC ==+ ，12BF FC BC == .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，所以，111632FE FC BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 211126BA BC BC =⋅- 211124126=⨯-⨯=-.故选：B.7.若,x y 都是正实数，且23(2)()x y xy -=，则22441x xy y ++的最小值为（）A.B. C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件，变形222222441448y xy x xy x xy y x y xy++++==+，再利用基本不等式，即可求解.【详解】2223(2)44()x y x xy y xy -=-+=，即()322448x xy y xy xy ++=+，(),0x y>222222441448y xy x xy x xy y x y xy++++==+≥，当8xy xy=，即xy =时等号成立.即()22x y -=，则()()22228x y x y xy +=-+=，则22x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2x =+，y =，或22x y x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：2x =，y =，所以22441x xy y ++的最小值为.故选：A8.若a ，b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，1-这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于x 的不等式0x mx n-≥-的解集为（）A.{2x x ≤或5x ≥} B.{2x x <或5x ≥}C.{1x x <或52x ≥} D.{1x x ≤或52x >}【答案】C 【解析】【分析】利用等差中项与等比中项的性质分类讨论解不等式即可.【详解】依题意，由a ，b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =-+>>的两个不同的零点，可知a ，b 是一元二次方程20x mx n -+=的两个不同的根，由根据根与系数的关系，可得,a b m ab n +==，因为0,0m n >>，所以0,0a b >>，又因为a ，b ，1-这三个数可适当排序后成等比数列，所以只有1-为该等比数列的等比中项才满足题意，即()2111,1ab b n a=-=⇒==，因为a ，b ，1-这三个数可适当排序后成等差数列，所以只有1-不能为该等差数列的中项，①当a 为等差中项时，根据等差中项的性质有11521,2,22a ab m a =-⇒===，②当1a为等差中项时，根据等差中项的性质有21512,,22a a b m a =-⇒===，综合①②，可得52m =，所以不等式52001x x m x n x --≥⇔≥--，解得1x <或52x ≥.故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（）A.()1,2b =B.225a b -=C.向量a 与向量b的夹角是45 D.向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a b -==r r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos 2a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b bbb ⋅⋅===，故D 正确.故选：ACD.10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为π6C.若M 是线段BD 中点，则MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，直接利用向量法即可判断C 选项；证明1A B //平面EFG ，即可判断D 选项.【详解】如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()0,2,1,1,0,2,1,2,0,2,1,0E F G H ，故()()()1,2,1,1,0,1,2,1,1EF EG EH =-=-=--，设EH mEF nEG =+，即()()2,1,1,2,m n m m n --=+--，所以2211m n m m n +=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得1232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,,EH EF EG共面，又E 为公共始点，所以E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；()()2,0,0,0,2,0B D ，则()2,2,0BD =-uu u r，所以cos ,2EF BD EF BD EF BD⋅==-，所以BD 与EF 所成角的余弦值为2，所以BD 与EF 所成角的大小为π6，故B 正确；对于C ，M 是线段BD 中点，则()1,1,0M ，()12,2,2C ，则()11,1,2MC =，故110MC EF ⋅=≠，所以1MC 与EF 不垂直，所以1MC 与平面EFG 不垂直，故C 错误；()10,0,2A ，则()12,0,22A B EG =-= ，所以1//A B EG，又1,,,A B E G 不共面，所以1//A B EG ，又EG ⊂平面EFG ，1A B ⊄平面EFG ，所以1A B //平面EFG ，所以点N 到平面EFG 的距离即为点B 到平面EFG 的距离，为定值，又EFG 的面积为定值，所以三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确.故选：ABD .【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.11.已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A.()()11f x f x --=-+ B.函数()g x 在(],1-∞上递减C.若21a b <-<，则()()()1g g b g a << D.若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD 【解析】【分析】根据()1f x +是奇函数判断A ，再判断()()2g x g x -=即可得到()y g x =的图象关于直线1x =对称，从而判断B 、C ，根据对称性得到()112a a ++<，即可判断D.【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.12.已知函数()πsin (0,0π)2f x x λϕλϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图1所示，A B ､分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时AB =，则下列四个结论正确的有（）A.λ=B.π3ϕ=C.图2中，5AB AC ⋅=D.图2中，S 是A BC ' 及其内部的点构成的集合.设集合{}2T Q S AQ =∈≤，则T 表示的区域的面积大于π4【答案】AC 【解析】【分析】在图2中，以点O 为坐标原点，OC 、A A '的方向分别为y '、z '轴的正方向建立空间直角坐标系O x y z '''-，根据已知条件求出λ的值，即可判断A ；结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，可判断B ；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C ；求出cos BA C '∠，结合扇形的面积公式可判断D.【详解】函数()f x 的最小正周期为2π4π2T ==，在图2中，以点O 为坐标原点，OC 、A A '的方向分别为y '、z '轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O x y z '''-，设点()0,,0A t '，则点()0,,A t λ、(),2,0B t λ+，AB ===，因为0λ>，解得λ=A 正确；所以，()π2x f x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()02f ϕ==，可得1sin 2ϕ=，又因为函数()f x 在0x =附近单调递减，且0πϕ<<，所以，5π6ϕ=，故B 错误；因为()π5π26t f t ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π5πsin 126t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为点A 是函数()f x 的图象在y 轴左侧距离y 轴最近的最高点，则π5ππ262t +=，可得23t=-，所以，()π5π26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为点C 是函数()f x 在y 轴右侧的第一个对称中心，所以，π5ππ26C x +=，可得13C x =，翻折后，则有20,3A ⎛-⎝、4,03B ⎫⎪⎭、10,,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、20,,03A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，所以，2,AB =，(0,1,AC =，所以，在图2中，(20215AB AC ⋅=+⨯+=，故C 正确；在图2中，设点(),,0Q x y，2AQ =，可得22213x y ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，()0,1,0A C '=，)2,0A B '=，cos 72A C A B BA C A C A B ''⋅'∠==>''⋅ ，易知BA C '∠为锐角，则π04BA C '<∠<，所以，区域T 是坐标平面x Oy ''内以点A '为圆心，半径为1A C '=，且圆心角为BA C '∠的扇形及其内部，故区域T 的面积21ππ1248T S <⨯⨯=，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为24,4,8n S S S ==，则6S =______．【答案】12【解析】【分析】根据等比数列前n 项和的性质即可求解.【详解】法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，由244,8S S ==，得34424a a S S +=-=，而()2234124a a qa a q +=+=，于是21q =，所以()2645634881412S S a a q a a =++=++=+⨯=．法二：因为{}n a 为等比数列，所以24264,,S S S S S --也成等比数列，即64,4,8S -成等比数列，即612S =.故答案为：1214.正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值为______.【答案】33【解析】【分析】连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE //PA ，所以OEB ∠就是异面直线BE 与PA 所成的角，在直角三角形EOB 中求解即可.【详解】如下图：连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE //PA ，所以OEB ∠就是异面直线BE 与PA 所成的角，连接PO ，因为PO ⊥面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为AC DB ⊥，AC PO O ⊥=，所以BD ⊥面POC ，所以BD OE ⊥，所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则3,22a OE BE a ==，3cos 3OE OEB BE ∠==.故答案为：33.15.已知函数()()()cos 0f x x ϕϕ=+>在区间[]0,ϕ上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦，则ϕ=___________.【答案】11π12【解析】【分析】根据三角函数值域的知识求得ϕ.【详解】依题意，函数()()()cos 0f x x ϕϕ=+>在区间[]0,ϕ上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦，由于0,2x x ϕϕϕϕ≤≤≤+≤，所以π11π11π22π,6612ϕϕ=-==，此时11π11π11π12126x ≤+≤，当11πππ,1212x x +==时()f x 取得最小值1-，符合题意，所以11π12ϕ=.故答案为：11π1216.设函数()ln (1)1f x x x a x a =-+++，a ∈R .若()f x 在区间[1,e]上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]1,0,e 1∞∞⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】根据()10f =，得到()f x 在区间(]1,e 上没有零点，求导，分0a ≤，1a ≥与01a <<三种情况，由函数单调性和极值最值，得到不等式，求出a 的取值范围.【详解】由于()10f =，即()f x 在区间(]1,e 上没有零点．因为()()1ln 1ln f x x a x a '=+-+=-，当(]1,e x ∈时，(]ln 0,1x ∈，①当0a ≤时，()f x 在区间(]1,e 上单调递增，(]1,e x ∈时，()()10f x f >=，符合题意；②当1a ≥时，()f x 在区间(]1,e 上单调递减，(]1,e x ∈时，()()10f x f <=，符合题意；③当01a <<时，令()0f x ¢>，解得e a x >，令()0f x '<，解得e a x <，故()f x 在()1,ea上单调递减，在()e ,e a上单调递增，只需()e 1e 0=+-<f a a 即可，所以11e 1a <<-，综上，a 的取值范围是(]1,0,e 1∞∞⎛⎫-+⎪-⎝⎭.故答案为：(]1,0,e 1∞∞⎛⎫-+⎪-⎝⎭四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知{}n a 是首项为1的等比数列，且19a ，23a ，3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，3n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -=（2）1321344n n n S +-=+⋅【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知根据等差中项的性质列出关系式，求解即可得出3q =；（2）根据（1）的结论得出n b n =，3nn c n =⋅，然后根据错位相减法求和，即可得出答案.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，因为19a ，23a ，3a 成等差数列，所以21369a a a =+，即211169a q a a q =+，化简可得()226930q q q -+=-=，解得3q =.又11a =，所以数列{}n a 的通项公式为11133n n n a --=⨯=.【小问2详解】因为313log log 3nn n b a n +===，所以33nn n n c a b n =⋅=⋅，则1231323333nn S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①，234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅L ，②①-②得()12311131331233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以1321344n n n S +-=+⋅.18.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，1c b =+，ABC 的面积为332．（1）求c 的值；（2）若点D 是边BC 上一点，且ADB ABC ∠-∠=π3，求AD 的长．【答案】（1）3c =（2）2【解析】【分析】（1）由三角形面积公式直接计算即可；（2）利用余弦定理求边a ，角B，结合正弦的和角公式可得sin ADB ∠，再利用正弦定理计算即可.【小问1详解】由三角形的面积公式及已知得：()21133sin 1sin 6222ABC S bc A b b A b b ==+=⇒+= ，解得2b =，3c =；【小问2详解】由（1）可知：2222cos 1367a b c bc A a =+-=-=⇒=∵ADB ABC ∠-∠=π3，∴π3ADB ABC ∠=∠+，()()0,πABC ∠∈，由余弦定理得：222cos 27a c b ABC ac +-∠==，则sin 7ABC ∠===，所以π1sin sin 3727214ADB ABC ⎛⎫∠=∠+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin AD AB B ADB=∠，213sin 72sin 32114AB B AD ADB ==∠．19.某商场对M ，N 两类商品实行线上销售（以下称“A 渠道”）和线下销售（以下称“B 渠道”）两种销售模式．M 类商品成本价为120元件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走B 渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走A 渠道销售；N 类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走B 渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走A 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完．（1）通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；（2）某商场举行让利大甩卖活动，全场M ，N 两类商品走A 渠道销售，假设每位线上购买M ，N 商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买M 类商品的概率为14．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设X 为该商场当天所售N 类商品的件数，Y 为当天销售这两类商品带来的总收益，求32P X ⎛⎫≤⎪⎝⎭和Y 的期望()E Y ．【答案】（1）N 类商品单件收益的均值更高；（2）31264P X ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，306.25元【解析】【分析】（1）计算出M 类，N 类商品单件收益平均值，比较后得到结论；（2）得到35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，计算出31264P X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，且()315544E X =⨯=，计算出25015Y X =+，从而得到()E Y .【小问1详解】设M 类，N 类商品单件收益分别为1X 元，2X 元，则()10.42000.52000.850.12000.612057E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=元，()20.23000.43000.750.43000.616062E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=元，()()12E X E X <，故N 类商品单件收益的均值更高；【小问2详解】由题意可知35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，0,1,2,3,4,5X =，()505110C 41024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()141531151C 441024P X ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3115121024102464P X ⎛⎫≤=+= ⎪⎝⎭，()()()()2000.8512053000.7516025015Y X X X =⨯--+⨯-=+元，又()315544E X =⨯=元，∴()()()2501525015306.25E Y E X E X =+=+=元．20.如图，在几何体11ABCC B 中，ABC 是边长为2的正三角形，D ，E 分别是1AC ，1CB 的中点，11//BB CC ，1CC ⊥平面ABC ，12CC =．（1）若11BB =，求证：CD ⊥平面11AB C ；（2）若11BB >，且平面11AB C 与平面ABC 夹角的余弦值为35，求直线DE 与平面11AB C 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）85185【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OD ，结合中点及线面垂直的性质可得OD ⊥平面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量证明1CD AB ⊥，1CD AC ⊥，进而求证即可；（2）设1BB a =，可得()13,AB a =-，结合空间向量表示出平面11AB C 与平面ABC 夹角的余弦值，建立方程可求得a ，进而求解直线DE 与平面11AB C 所成角的正弦值．【小问1详解】证明：取AC 的中点O ，连接OD ，∵D 是1AC 的中点，∴1//OD CC ，∵1CC ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，又ABC 为2的正三角形，则AC BO ⊥，以O 为原点，OA ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()3,0B，()13,1B ，()11,0,2C -，∴()0,0,1D ，()1,0,1CD = ，()13,1AB =- ，()12,0,2AC =-，∵10CD AB ⋅= ，∴1CD AB ⊥，∴1CD AB ⊥，∵10CD AC ⋅=，∴1A CD C ⊥ ，∴1CD AC ⊥，∵11AB AC A = ，11,AB AC ⊂平面11AB C ，∴CD ⊥平面11AB C .【小问2详解】设1BB a =，则()13,B a ，()13,AB a =-，显然()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量，设(),,n x y z =是平面11AB C 的一个法向量，则11n AC n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，∴22030x z x az -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取3z =，则3x =1y a =-，∴3,13n a =-，∴233cos ,527m n m n m n a a ⋅==-+ ，解得12a =（舍去）或32a =，当32a =时，133,224E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴131,,224DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，13,32n =- ，∴33324451cos ,85131********DE n DE n DE n---⋅==++⨯++，∴直线DE 与平面11AB C所成角的正弦值为85．21.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”{}n a 的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且{}n a 满足11,2,1,21,n n n a n n k a a n n k --+=⎧=⎨+-=+⎩其中*N k ∈.（1）求2k a （用k 表示）；（2）设数列{}n b 满足：2,2,21,21,n n n a n k b a n k =⎧=⎨+=-⎩其中*N k ∈，n T 是数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，求证：2n T <，*N n ∈.【答案】（1）222k a k =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过连续递推公式得到22242k k a a k +-=+，然后应用累加法求和即可；（2）先根据第一问结论得到{}21k a -，进而得到{}n a 通项公式，最后得到{}n b 的通项公式应用裂项相消法求和即可.【小问1详解】2221222222242k k k k a a k a k k a k ++=++=+++=++即22242k k a a k +-=+，所以22222244242,46,,6k k k k a a k a a k a a ----=--=--= ，由累加法可得22222244242466k k k k a a a a a a k k ----+-++-=-+-+ ，即()22224261042264222k k ka a k k k +-=++++-=+++-== ；【小问2详解】由（1）知222k a k =，所以()22212222212222k k a a k k k k k --=+-=-+-=-，2k ≥，将1n =代入可得10a =满足，所以22122k a k k -=-，所以221,221,212n n n k a n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈，所以22,2,21n n n k b n n k ⎧==⎨=-⎩且*N k ∈，即2n b n =，所以211n b n =，当1n =时，11112T b ==<；当2n ≥时21111(1)11n n n n b nn =<=---，所以1111111(1222231n T n n n<+-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-<-，所以2n T <.22.已知()ln h x x ax=-（1）若()h x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若方程e ln x ax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，且21x x >，证明：1212e e 02x x x x h '⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）10ea <<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法一：由参变量分离法可知直线y a =与函数()ln xf x x=的图像有两个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可求得实数a 的取值范围；解法二：直接对函数求解，通过对参数a 的分类讨论，研究函数的单调性与极最值，通过分析原函数图像，数形结合求得实数a 的取值范围.（2）解法一：首先通过同构，将等式整理成()e ln exxax x ⋅=⋅，再令e xt x =⋅，通过已知条件，假设111e xt x =，222e x t x =是()h x 的两个零点，进而可得()1212ln ln t t a t t -=-，要证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证()1212122ln ln t t t t t t -+>-，∵21x x >，∴21t t >，∴即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，最后令()120,1t k t =∈，构造函数()()21ln 1k k k k ϕ-=-+进行证明即可解法二：首先根据已知条件111e x t x =、222e x t x =是()h x 的两个零点，证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证122t t a +>，然后分22t a ≥和212t a a <<两种情况进行分类讨论，最终构造函数()()2F x h x h x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（12x a a<<）进行证明.【小问1详解】解法一：函数()f x 的定义域为()0,∞+，由()0f x =可得ln x a x =，令()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，令()0g x'=可得e x =，列表如下：x ()0,e e ()e,+∞()g x '＋0－()g x 增极大值1e 减且当1x >时，()ln 0x g x x=>，作出函数()g x 和y a =的图象如下图所示：由图可知，当10e a <<时，即当10ea <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个公共点，因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法二：()()1ln h x x ax h x a x'=-⇒=-当0a ≤时，∴()0h x '>恒成立得()h x 在()0,∞+递增，则函数()h x 不可能存在两个零点，故该情况不成立；当0a >时，得()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，要使()h x 有两个不同零点，必须0a >且极大值10h a ⎛⎫>⎪⎝⎭（0x →和x →+∞时()h x →-∞），∴10ea <<.【小问2详解】解法一：方程()e ln e ln e x x x ax x x ax x ⋅=+⇔⋅=⋅令e x t x =⋅，由e ln x ax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，则111e x t x =，222e xt x =是()h x 的两个零点()111ln 0h t t at =-=且()222ln 0h t t at =-=，可得()1212ln ln t t a t t -=-，由()ln h x x ax =-可得()1h x a x '=-，要证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证122t t a+>，即证()1212122ln ln t t t t t t -+>-，∵21x x >，∴21t t >，∴即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++令()120,1t k t =∈，即证()21ln 1k k k -<+，构造函数()()21ln 1k k k k ϕ-=-+，其中01k <<，即证()0k ϕ<，()()()()222114011k k k k k k ϕ-=-=>++'，所以，函数()k ϕ在()0,1上单调递增，∴()()10k ϕϕ<=，故原不等式成立.解法二：方程()e ln e ln e x x x ax x x ax x ⋅=+⇔⋅=⋅令e x t x =⋅，由e ln x ax x x ⋅=+有两个实根1x 、2x ，则111e x t x =、222e xt x =是()h x 的两个零点由()ln h x x ax =-可得()1h x a x '=-为减函数，要证12102t t h h a +⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，即证122t t a +>，由()h x 的图象，不妨设121t t a<<（1t ，2t 分布在()h x 的极值点两侧）要证122t t a +>，只需证122t t a >-①当22t a ≥时，因110t a<<，故上式显然成立.②当212t a a <<时，2210t a a <-<，又110t a <<，由()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，即证明()()122222h t h t h t h t a a ⎛⎫⎛⎫>-⇔>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构造函数()()2F x h x h x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（12x aa <<）()()22122422110222a x x ax a a F x h x h x a a a x x x x x x a a a ⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=-+-==> ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭'--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''∴()F x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，()10F x F a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以要证的不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数。

重庆市黔江2022届高三上学期11月考试数学试题含解析

重庆市黔江2022届高三上学期11月考试数学试题含解析

重庆市黔江2021-2022年度高三上11月考试数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B ⋃=，则满足条件的集合B 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】转化条件为集合B 是集合A 的子集，求得集合A 的子集个数即可得解.【详解】因为集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B ⋃=，所以集合B 是集合A 的子集，所以满足条件的集合B 的个数为224=.故选：D.2.设i 是虚数单位，则复数1i 1iz +=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长公式以及复数的除法运算化简，即可由共轭复数的定义求解坐标.【详解】由1i1i z +=-可得()1i 1i 2z ==+-，所以i 22z =-对应的点为,22⎛- ⎪⎝⎭，位于第四象限，故选：D3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B.“=1x -”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题【答案】C 【解析】【分析】根据否命题即可判断A ，根据原命题与逆否命题的真假性即可判断D ，根据必要不充分条件的定义即可判断B ，根据或命题的真假性即可求解C.【详解】对于A,命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”故A 错误，对于B ，=1x -时，则2560x x --=，但是2560x x --=时，则=1x -或=6x ，故“=1x -”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 错误，对于C,若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，C 正确，对于D ，若x y =，则sin sin x y =为真命题，所以其逆否命题为真命题，D 错误，故选：C4.某高中篮球社团计划招入女生x 人，男生y 人，若实数,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该社团今年计划招入学生人数最多为（）A.12 B.13C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】根据实数,x y 满足约束条件2526x y x y x x N y N-≥⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，画出可行域，将目标函数z x y =+，转化为y x z =-+，平移直线y x =-，当直线在y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值.【详解】由实数,x y 满足约束条件2526x y x y x x N y N-≥⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，画出可行域如图所示离散的点：将目标函数z x y =+，转化为y x z =-+，平移直线y x =-，当直线在y 轴上截距最大时，经过点(6,7)A ，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（）A.1.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺【答案】B 【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.【详解】设等差数列为{}n a ，公差为d ，1471913931.593685.5a a a a d S a d ++=+=⎧⎨=+=⎩，解得113.51a d =⎧⎨=-⎩，∴立夏日影长为10 4.5a =．故选：B ．6.已知四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，2AB DC = ，0⋅=AD AB ，若22AB AD == ，则AF DE ⋅=（）A.14B.12C.34D.1【答案】A 【解析】【分析】用,AB AD 表示出,AF DE，然后再求数量积．【详解】依题意，可知四边形ABCD 为直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，1131()()2242DE DA AE DA AB AC DA AB AD DC AB AD =+=++=+++=- ，14AF AD AB =+，所以221131314242164AF DE AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用基底,AB AD 表示出,AF DE．7.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（）A.()211f x x=- B.()ln x f x x=C.()1f x x x=-D.()e xf x x=【答案】B 【解析】【分析】由图象可知函数为奇函数，且在(0,)+∞上不单调，然后利用排除法分析判断即可【详解】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数，对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()221111()()f x f x x x -=-=-=-，所以此函数是偶函数，不满足条件，排除A ，对于D ，定义域为{}0x x ≠，因为()e e ()x x f x f x x x ---==-≠--，且()e e()x x f x f x x x---==-≠-，所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D ，对于C ，因为y x =和1y x =-在(0,)+∞上为增函数，所以()1f x x x=-在(0,)+∞上为增函数，不满足条件，排除C ，对于B ，定义域为{}0x x ≠，因为()()ln ln x xf x f x x x--==-=--，所以此函数是奇函数，当0x >时，()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,e 上单调递增；当e x >时，()0f x '<，即()f x 在()e,+∞上单调递减；又因为()10f =，且1x >时，()0f x >，故B 选项符合题意.故选：B ．8.如右图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O 且三组对边分别平行.点A ,B 是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点P 在“六芒星”上（内部以及边界）,若OP xOA yOB =+,则x y +的取值范围A.[]5,5- B.⎡⎣ C.[]4,4- D.[]6,6-【答案】A 【解析】【详解】设,OB a OA b ==，求x y +的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：①()(),,1,0OB a x y =∴=；②()()3,,3,1OF OA AF b a x y =+=+∴= ；③()()2,,2,1OC OA AC b a x y=+=+∴=；④OD OA AE ED =++ ()2b a b a =+++ ，33a b =+ ，(),x y ∴()3,2=；⑤()(),,1,1OE OA AE b a x y=+=+∴=；⑥()(),,0,1OA b x y =∴=，x y ∴+的最大值为325+=，根据其对称性，可知x y +的最小值为5-，故x y +的取值范围是[]5,5-，故选A.【方法点睛】本题考查平面向量的几何运算、平面向量基本定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“六芒星”，给出几何图形的特殊性质，进而利用平面向量的几何运算、结合选择题的特点进行解答二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：千克）情况如图①，经过四个月的健身后，他们的体重（单位：千米）情况如图②.对比健身前后，关于调查的肥胖者，下列结论正确的是（）A.他们健身后，体重在[)90100，内的肥胖者增加了2名B.他们健身后，体重在[)100110，内的人数没有改变C.因为体重在[)100110，内的人数所占比例没有发生改变，所以说明健身对体重没有任何影响D.他们健身后，原来体重在[)110120，内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD 【解析】【分析】由所给的柱形图分析减肥前和减肥后体重在各个区间人数的变化，即可得到答案.【详解】A.体重在区间[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A 正确；B.他们健身后，体重在区间[100，110）内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；C.他们健身后，出现了体重在[80，90）内的人，健身之前是没有这部分体重的，说明健身对体重还是有影响的，故C 错误；D.因为图2中没有体重在区间[110，120）内的比例，所以原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少，D 正确．故选：ABD ．10.设{}()*n a n N ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，nK是其前n 项的积，且56678,K K K K K <=>，则下列选项中成立的是（）A.01q <<B.71a = C.95K K > D.6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】ABD 【解析】【分析】结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积n K 也为正，公比0q >，又56678,K K K K K <=>，6651K a K =>，7761Ka K ==，B 正确；8871K a K =<，761aq a =<，即01q <<，A 正确；由71a =得681a a =，591a a =，所以49K K =，而51a >，54K K >，因此95K K <，C 错；由上知126781a a a a a >>>>=>> ，{}n K 先增后减，6K 与7K 均为n K 的最大值，D 正确．故选：ABD ．11.将函数()sin31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论的编号是A.①B.②C.③D.④【答案】BC 【解析】【分析】根据图象的变换得出()g x 的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为()sin 312sin 313f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 312sin 31636g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，所以59x π=不是对称轴①错误，②显然正确，令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③正确，令232,262k x k k Z πππππ-++∈ ，得2223939k k x ππππ-+ ，取2k =，得101399x ππ ，取3k =，得161999x ππ，所以④错误.所以选项BC 正确.故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把x ωϕ+当成整体.12.已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系一定正确的是（）A.11x y< B.33x y <C.()ln 10y x -+> D.122x y-<【答案】BC 【解析】【分析】方法一，构造函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合其单调性即可判断.方法二，分类讨论，根据x y >，x y =，x y <讨论即可得到答案.【详解】方法一（构造函数法）由题意，2211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，33x y <，A 错误，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确．故选:BC ．方法二（分类讨论法）由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >时，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．故x y <．∴11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确；0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确．故选:BC ．三、填空题：本大题共4小题．13.曲线21()ln 2f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线的斜率为_________.【答案】2【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率()1f '即可.【详解】由21()ln 2f x x x x =+可得()ln 1f x x x =++'，于是()11ln112f +'=+=.所以曲线21()ln 2f x x x x =+在点()()1,1f 处的切线的斜率为2.故答案为：2.14.已知()1,2a =，()4,b k = ，若()()2//3a b a b +- ，则k =______．【答案】8【解析】【分析】由向量平行的坐标运算即可得出．【详解】2(922)a b k +=+ ，，3(1,6)a b k -=--()()2//3a b a b+-9(6)(22)0k k \-++=，解得8k =【点睛】若11(,)a x y =，22(,)= b x y 平行或者共线，则12210x y x y -=．15.已知{}n a 是正项等比数列，若23,m n a a a =则212m n+的最小值等于__________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据等比数列的性质可得6m n +=，即可利用不等式的乘“1”法求解最值.【详解】由23m n a a a =可得6m n +=，所以()21121152153262622624n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22n m m n =时，即4,2m n ==时，取等号，故212m n+的最小值为34，故答案为：3416.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量A B ，两座岛之间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东航行2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30︒的方向上，船再返回到C 处后，由C 向西航行百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则,A B 两座岛之间的距离为_______百海里.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用方位角分别求得三角形中各个角的大小，在BCE 和ADC △中，应用正弦定理求得,AC BC 的长，再在ABC 中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示设CF 为向北方向，由题意得45ACF ∠= ，CD =由题可得67.5,60,2ADC DAC ACB DC CE ∠=∠=∠=== ，75,45,60BCE CBE CEB ∠=∠=∠= ，在BCE 中，由正弦定理得sin sin CB CE CEB CBE =∠∠，可得sin sin CE CEBBC CBE⋅∠=∠再在ADC △中，67.5ADC DAC ∠=∠= ，所以DC AC ==,在ABC 中，由余弦定理得22212cos602462182AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯=，所以AB =,A B 两座岛之间的距离为百海里.故答案为：四、解答题：本大题共6个大题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①cos 220B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③b a =这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若，且,,a b c 成等差数列，判断ABC 的形状，并说明理由.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据三个不同的题设条件，主要解决方法包括：运用二倍角公式消元求解；运用正弦定理实现边角互化列出方程求解；对于公共条件“,,a b c 成等差数列”，则通过等差中项和余弦定理代入求解即得.【详解】若选择①cos 220B B -+=，则22sin 30B B -=，解得：sin 2B =或sin 1B =<-（舍去），又因0180B << 可得：60B = 或120B = ，由,,a b c 成等差数列知2b a c =+，则224()b a c =+（*），当60B = 时，由余弦定理可得，2222cos 60b a c ac =+- 代入（*）化简得：2()0a c -=即a c =，此时ABC 为等边三角形；当120B = 时，由余弦定理可得，2222cos120b a c ac =+-o 代入（*）化简得：223230a ac c ++=，此时ABC 不存在，所以ABC 是等边三角形.若选择②2cos 2b C a c =-,由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B C A C =-，因180()A B C =-+ ,则2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，化简得：sin (2cos 1)0C B -=，因sin 0C >，故1cos 2B =，因0180B << ，则60B = ，由,,a b c 成等差数列知2b a c =+，则224()b a c =+（*），由余弦定理可得，2222cos 60b a c ac =+- 代入（*）化简得：2()0a c -=即a c =，此时ABC 为等边三角形.若选择③b a =，由正弦定理得：sin sin B A =，因sin 0A >，cos 1B B -=，即12(sin cos )2sin(30)122B B B -=-= ,由0180B << 得3030150B -<-< ，则3030B -= ,即60B = ，由,,a b c 成等差数列知2b a c =+，则224()b a c =+（*），由余弦定理可得，2222cos 60b a c ac =+- 代入（*）化简得：2()0a c -=即a c =，此时ABC 为等边三角形.18.数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，n N +∈.（1）证明：数列{}na n是等差数列；（2）设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析；(2)1213344n n n S +-=⋅+.【解析】【详解】试题分析：（1）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +，得到111n na a n n+=++，由等差数列的定义，即可作出证明；（2）有（1）求出33nnn b n ==⋅，利用错位相减法即可求解数列{}n b 的前n 项和n S .试题解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n·3n .S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以S n ＝.点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求解n a 的表达式，从而化简得到3nn b n =⋅，利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.19.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.x …30404550…y…603015…（1）根据表中提供的数据描出实数对()x y ，的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案】（1）3150(0)y x x =-+>（2）232404500(0)P x x x =-+->，销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元【解析】【分析】（1）猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠，代入数据计算得到答案.（2）232404500(0)P x x x =-+->，根据二次函数的单调性得到最值.【详解】（1）如图，猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠.将(30,60),(40,30)代入得60303040a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得3150a b =-⎧⎨=⎩.∴y 与x 的一次函数解析式为3150(0)y x x =-+>.（2）2(3150)(30)32404500(0)P x x x x x =-+-=-+->，当240402(3)x =-=⨯-时，max 300P =.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力.20.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足ππcos 2cos 22cos cos .66A B A A ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值；（2）若b =且b a ≤，求2ca -的取值范围.【答案】（1）π3或2π3（2）2⎢⎣【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式化简，可求出角B 的值；（2）根据条件b a ≤，可求出角B 的值以及角A 的范围，利用正弦定理可得到12sin sin 2a c A C -=-，将2π3C A =-代入，用辅助角公式化简，结合A 的范围即可求出结果.【小问1详解】在ABC 中，πA B C ++=，ππcos 2cos 22cos()cos()66A B A A -=-⋅+，221112sin (2cos 1)cos sin )cos sin )2222A B A A A A ---=+⋅-，22223122sin 2cos cos sin 22A B A A --=-，()22223122sin 2cos 1sin sin 22A B A A --=--，22cos 12B =，即21cos 4B =，又()0,πB ∈，所以cos 21B =±，解得π3B =或2π3.【小问2详解】∵b =且b a ≤，∴π3B =，由正弦定理得2sin bB=，所以2sin a A =，πππ2n 2sin 23si sin si 3n A c A A C A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=⎣=⎦.故()1133π2sin sin cos )22226a c A A A A A A -=-+=-=-，∵b a ≤，∴π2π33A ≤<，πππ662A ≤-<，又易知函数sin y x =在ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是当ππ66A -=，即π3A =时π)6A -的最小值为2，当2ππ6A -=，即2π3A =π)6A -所以1π3)262a c A -=-∈⎢⎣，即2ca -的取值范围32⎢⎣⎭.21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25412,16.a a S +==（1）求数列{}n a 的通项公式n a ，及前n 项和n S ；（2）数列{}n b 满足1,41n n n b T S =-为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数(),1m k m k <<，使得23k m T T =？若存在，求出,m k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）存在，2,12m k ==【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前n 项和公式得到关于1,a d 的关系式，解之即可得解；（2）利用裂项相消法求得21n n T n =+，从而由23k m T T =推得,k m 的关系式，再利用1m k <<得到关于m 的不等式组，从而得解．【小问1详解】依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩，得1125124616a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()12121n a n n ∴=+-=-，()21212n n n S n +-==；【小问2详解】由（1）得211111414122121n n b S n n n ⎛⎫===- ⎪---+⎝⎭，所以111111111233523212121n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，若23k mT T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-，又1m k <<，则2234121m m m m m ⎧>⎪+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得6112m <<+，又*N m ∈，故2m =，则12k =，所以存在2,12m k ==满足题意．22.已知函数()21cos 2f x x m x =+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+.（1）当2m =时，判断函数()g x 在()0,π上是否存在零点，并说明理由；（2）若()f x 在()0,π上存在最小值，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）(1,)+∞【解析】【分析】（1）当2m =时，求得()12cos g x x =-'，结合导数的符号，得到函数()g x 单调性，以及极小值π(03g >，即可得到答案；（2）求得()sin f x x m x =-'，令()()sin h x f x x m x =-'=，得到()1cos h x m x =-'，分1m £和1m >，两种情况，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】解：当2m =时，()212cos 2f x x x =+，可得()2sin f x x x =-'，所以()()12sin 1g x f x x x +=-'=+，则()12cos g x x =-'，因为()0,πx ∈，令()0g x '=，解得π3x =，当π(0,3x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当π(,π)3x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以，当π3x =时，函数()g x取得极小值ππ()1033g =>，所以函数()g x 在()0,π没有零点.【小问2详解】解：因为()21cos 2f x x m x =+，可得()sin f x x m x =-'，令()()sin h x f x x m x =-'=，则()1cos h x m x =-'，①当1m £时，1cos 0m x ->，即()0h x '>，所以()()sin h x f x x m x =-'=在()0,π上单调递增，所以()0,πx ∈时，()()00h x h >=，所以()f x 在()0,π上单调递增，所以()f x 在()0,π上不存在最小值；②当1m >时，则1(0,1)m∈，所以()1cos 0h x m x '=-=，即1cos x m=在()0,π内有唯一的解0x ，当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,πx x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,πx 上单调递增，所以()()000h x h <=，又因为()ππ0h =>，所以()sin h x x m x =-在()()0,π0,πx ⊆内有唯一的零点1x ，当1(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当1(,π)x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,π)x 上单调递增，所以函数()g x 在1x x =处取得最小值，即1m >时，函数()g x 上存在最小值，所以实数m 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；。

2024届重庆市高三数学上学期11月检测试题卷附答案解析

2024届重庆市高三数学上学期11月检测试题卷附答案解析

2024届重庆市高三数学上学期11月检测试题卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“R x ∃∈，使210x x +-=”的否定是（）A ．R x ∃∈，使210x x +-≠B ．不存在x ∈R ，使210x x +-=C ．R x ∀∉，使210x x +-≠D ．R x ∀∈，使210x x +-≠2．若复数()()i 1i 2a a +-=-，R a ∈，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．23．若M P ⊆，M Q ⊆，{0,1,2}P =，{0,2,4}Q =，则满足上述条件的集合M 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．44．已知数列{}n a 满足12a =，11,3,nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，记2n n b a =，则有（）A ．15b =B ．29b =C ．12n n b b +-=D ．41n b n =-5．我们知道函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图像关于点(),H a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b=+-为奇函数，则函数()11f x x x =++的对称中心是（）A ．()1,1--B ．()1,1C ．()0,0D ．()1,1-6．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a a ξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A ．271000B ．2431000C ．427D ．497．若)sin s ()2in xx xf x =-，且()()123f x f x =-，则12x x-的最小值为（）A ．πB ．π2C ．2πD ．π48．在等边ABC 中，M 为ABC 内一动点，120BMC ∠=︒，则MAMC 的最小值是（）A ．1B ．34C．2D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9．下列命题中，错误的是（）A ．垂直于同一个平面的两个平面平行B ．三个平面两两相交，则交线平行C ．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D ．平行于同一条直线的两个平面平行10．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若2b =，且cos sin CC =，则下列命题正确的是（）A ．ABC面积的最大值是B．c =C．b =D ．ABC11．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()112f =，则（）A ．()00f =或1B ．()f x 是偶函数C ．()31f n =-，*Nn ∈D ．()101211212n f n =-=∑，*N n ∈12．设集合M 是实数集R 的子集，如果t ∈R 满足：对任意0a >，都存在x M ∈，使得0x t a<-<，则称t 为集合M 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（）A ．{},0x x x ∈≠R B ．{}0x x ∈≠Z C ．2,N x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．2,N 1n x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．平面上的三个单位向量a ，b ，c 满足234c a b =+ ，则a ，b ，c 两两间的夹角中最小的角的大小为．14．已知()322xxf x x x -=++-，则关于x 的不等式()2e 7x f x -≤的解为.15．数列{}n a 的首项112a =，314a =且对任意*n ∈Ν，21112n n n a a a +++=恒成立，则10a =．16．若函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，且2π9x =为()f x 的一个零点，则()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递（填增或减），函数()lg y f x x=-的零点个数为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =+-()n *∈N ．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n c a =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：2n T <．18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin cos b A B =.(1)求A ；(2)求2b ca +的最大值.19．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”{}n a 的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且{}n a 满足11,2,1,21,n n n a n n k a a n n k --+=⎧=⎨+-=+⎩其中*N k ∈.(1)求2k a （用k 表示）；(2)设数列{}n b 满足：2,2,21,21,nn n a n k b a n k =⎧=⎨+=-⎩其中*N k ∈，n T 是{}n b 的前n 项的积，求证：2ln n T n n ≤-，*N n ∈.20．牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少15，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加14.(1)设n 年内总投入金额为n a 万元，牧草销售总收入为n b 万元，求,n n a b 的表达式；(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入?(lg 20.30,lg30.48≈≈)21．已知函数()()2()ln 102x f x x x x λ=+-+>(1)若()0f x >，求λ取值范围；(2)证明：()()()2133212ln 12ln 11,2,3,20n i n n n i i =⎛⎫+-<-<+= ⎪⎝⎭∑ ．22．已知函数()()21log ,42f x x g x x ==-+.(1)求14g f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2),a b ∀∈R ，定义{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，求()()(){}max ,h x f x g x =的解析式，并求出()h x 的最小值.1．D【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“R x ∃∈，使210x x +-=”的否定是R x ∀∈，使210x x +-≠.故选：D.2．A【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.【详解】解：由题意，∵()()()222i 1i i +i i 21i 220i a a a a a a a +-=--=+-=-=-+，∴22210a a =-⎧⎨-=⎩，解得：1a =-.故选：A.3．D【分析】由题可得{}0,2P Q = ，则集合M 的个数即为{}0,2的子集个数.【详解】由题，{}0,2P Q = ，则满足上述条件的集合M 就是{}0,2的子集，则集合M 的个数是4.故选：D 4．D【分析】根据已知递推公式，可求出234,,a a a 的值，即可判断A 、B ；根据递推公式可推得2221214n n n a a a ++=+=+，即14n n b b +=+，从而得出{}n b 是以3为首项，4为公差的等差数列，求出通项公式，判断C 、D.【详解】对于A 项，由已知可得12113b a a ==+=，故A 项错误；对于B 项，由已知可得，3236a a =+=，24317b a a ==+=，故B 错误；对于C 项，由已知可得，2123n n a a +=+，2221214n n n a a a ++=+=+，即14n n b b +=+，所以14n n b b +-=.故C 项错误；对于D 项，因为13b =，14n n b b +-=，所以，{}n b 是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，()34141n b n n =+-=-.故D 正确.故选：D.5．A【分析】()1()1g x f x a b x a b x a =+-=++-++，根据定义域得到1a =-，根据()()g x g x =--得到1b =-，得到对称中心.【详解】1()1f x x x =++，()1()1g x f x a b x a b x a =+-=++-++为奇函数，定义域为{}1x x a ≠--关于原点对称，故1a =-，()()21111x b x g x x b x x -++=-+-=，()()g x g x =--，即()()()221111x b x xxx b x -++++=+---，即()()221111x b x x x x b x -+++++=，故()11b b -+=+，故1b =-，即对称中心为()1,1--.故选：A.6．B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得1010p ≤≤，再根据二项分布求得()()23231363P A p p p p p=-=-+，令32()363f p p p p =-+，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得()()10110010010010E X p P X =≥≤==，1010p ∴≤≤，因为~(3,)Y B p ，所以()()()()2213231C 131363P A P Y p p p p p p p===-=-=-+，令32()363f p p p p =-+，则2()91233(31)(1)f p p p p p '=-+=--，10,310,1010p p p ≤≤∴-<-< ，即()0f p '>，()f p ∴在10,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.2max111243()311010101000f p f ⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即max 243()1000P A =.故选：B7．B【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】)si o (n )2s sin x x xf x =-222sin x x =-2cos 21x x =+-2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且令sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则[]1,1t ∈-，则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-，故max min ()1,()3f x f x ==-，则123()13()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤，由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩.即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x-的值最小，故12minπ22T x x -==.故选：B.8．C 【分析】首先对“ABC 内一点M ，并且120BMC ︒∠=”做出几何解释，是在ABC 翻折后的三角形外接圆的劣弧上，建立坐标系，运用圆的参数方程求解.【详解】如图所示，以ABC 的BC 边的中点O 为原点，BC 为x 轴，过O 点垂直于BC 的直线为y 轴，建立建立直角坐标系如图，再将ABC 延x 轴翻折得DBC △，求得DBC △的外接圆的圆心为Q ，120BMC ︒∠= ，∴M 点Q 的劣弧BC 上，不妨设等边ABC 的边长为2，可得：(0,Q，A ，(1,0)C ，(,)M x y ，点M所在圆的方程为：224(3x y +=.设参数方程为：x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22224cos (sin )||3||MA tMC θθ+=，()()52cos 4sin sin t t θθθβ-=+-+，其中sin ββ==，即sin()1θβ+，解得34t ≥，∴2MA MC ≥；故选：C.9．ABD【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可得出真命题.【详解】由题意，A 项,垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故A 错误;B 项,三个平面两两相交，则交线平行或相交,故B 错误;C 项,由面面平行的性质定理知，一个平面与两个平行平面相交，则交线平行,故C 正确;D 项,平行同一直线的平面，可以平行，也可以相交，故D 错误;故选:ABD.10．BDcos sin CC =，利用两角和的正弦公式可得sinC A =，结合额正弦定理角化边可判断B ；利用S =结合B 的结论化简并结合二次函数性质可得ABC 面积的最大值，判断A ，D ；假设b=正确，结合面积公式推出矛盾，判断C.cos sin CC =，得sin sincos C B CB C =，即sin cos cos sin ))C B CB C B C =+=+,即sin C A =，结合正弦定理得c =，B 正确；由S =S====当24a =，即2a=时，ABCA 错误，D 正确，对于C，假设b =，由于2b =，c =，故23c a ==，则222222212441244810099()099281812c a b c a ⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭+-=-=-<，这与三角形面积S =有意义不相符，C 错误，故选：BD11．BD【分析】用赋值法，令1,0x y ==求得(1)f 判断A ，令0x =判断B ，求出(3),(6)f f 判断C ，令1y =得出递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D ．【详解】在()()()()2f x y f x y f x f y ++-=中，又有()112f =，令1,0x y ==得(1)(1)2(1)(0)f f f f +=，所以(0)=1f ，A 错；令0x =得()()2(0)()2()f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y -=，()f x 是偶函数，B 正确；令1x y ==得2(2)(0)2[(1)]f f f +=，所以1(2)2f =-，令2,1x y ==得(3)(1)2(2)(1)f f f f +=，所以(3)1f =-，令3x y ==得2(6)(0)2[(3)]f f f +=，(6)1f =，C 错；令1y =得(1)(1)2()(1)()f x f x f x f f x ++-==，所以(1)()(1)f x f x f x +=--，由此()()()()()()()2111f x f x f x f x f x f x f x +=+-=---=--，即(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期为6的周期函数，1(4)(3)(2)2f f f =-=-，1(5)(4)(3)2f f f =-=，(6)(5)(4)1f f f =-=，(1)(3)(5)0f f f ++=，所以()10121121(1)2n f n f =-==∑，D 正确．故选：BD ．【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．12．ACD【分析】A 选项，可取{}R,02a x x x ∈∈≠，满足要求；B 选项，可举出反例；C 选项，当2n a >且N n *∈时，满足00x a<-<，C 正确；D 选项，由于n →+∞时，201nx n +=→+，故可得到总存在足够大的N n *∈使得201nx a n <=<+，D 正确.【详解】A 选项，对于任意0a >，显然{}R,02a x x x ∈∈≠，使得002a a <-<，即0为集合{},0x x x ∈≠R 的聚点，A 正确；B 选项，对于任意0a >，不妨令12a =，因为1002x <-<，解得11,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为在集合{}0x x ∈≠Z 中不存在11,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故B 错误；C 选项，对于任意0a >，存在2x a n =<且N n *∈，即2n a >且N n *∈时，使得00x a<-<，即0为集合2,N x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭的聚点，C 正确；D 选项，令n →+∞时，201n x n +=→+，对于任意0a >，总存在足够大的N n *∈使得20001nx a n <-=-<+，故0为集合2,N 1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭的聚点，D 正确.故选：ACD【点睛】集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.13．11arccos16【分析】对234c a b =+两边同时平方化简可求出21cos ,24a b =- 同理可得1cos ,4a c =-，11cos ,16b c = ，即可得出答案.【详解】对234c a b =+ 两边同时平方可得：()222243491624cos ,c a b a b a b a b=+=++⋅ ，则42524cos ,a b =+ ，则7cos ,8a b =-，由234c a b =+ 可得：234c a b -=，两边同时平方可得：2224912cos ,16c a a c a c b+-⋅=，则1312cos ,16a c -=，则1cos ,4a c =-，由234c a b =+ 可得：243c b a -=，两边同时平方可得：22241616cos ,9c b b c b c a +-⋅= ，则2016cos ,9b c -=，则11cos ,16b c =.所以a ，b ，c两两间的夹角中最小的角为,b c 所成角，大小为11arccos 16.故答案为：11arccos1614．{}0【分析】确定()f x在R 上单调递增，且()712f =，变换得到e 1xx -≤，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】()322x xf x x x -=++-，则()2ln 2ln 203122x x f x x -'=++>+在R 上恒成立，故()f x 在R 上单调递增，且()712f =，()2e 7x f x -≤，故()()1e x f x f -≤，则e 1x x -≤，设()g e 1x x x =--，则()g e 1x x '=-，当0x ≥时，()g e 10x x '=-≥，函数在()0,+∞上单调递增；当0x <时，()g e 10x x '=-<，函数在(),0-∞上单调递减；()()00g x g ≥=，故()g e 10x x x =--≥恒成立，()0g x =，即{}0x ∈.故答案为：{}0.15．111【分析】根据题意先求得213a =，再将原条件转化为2111111n n n n a a a a +++-=-，再由递推关系可推导出1n a ⎧⎫⎨⎩⎭是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可．【详解】依题意可得231112a a a +=，得213a =，又21112n n n a a a +++=，则2111111n n n n a a a a +++-=-，所以11211111111n n n n a a a a a a +--=-==-= ，所以数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以()12111n n n a =+-⨯=+，即11n a n =+，所以10111a =．故答案为：111．16．增9【分析】①根据()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性得到902ω<≤，根据2π9x =为()f x 的一个零点得到()9322k k ω=-∈Z ，综合可得3ω=，()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据复合函数的单调性判断即可；②将()lg y f x x=-的零点个数转化为()y f x =的图象与lg y x =图象的交点个数，然后根据图象求交点个数即可.【详解】因为()f x 在ππ,618⎛⎫-⎪⎝⎭上具有单调性，所以ππ1862T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即2ππ9ω≤，902ω<≤．又因为2π2ππsin 0993f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2πππ93k k ω+=∈Z ，即()9322k k ω=-∈Z ，只有1k =，3ω=符合要求，此时()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,618x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ3,362x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．因为()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为1，而lg101=，73π10π2<<，作出函数()y f x =与lg y x =的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数()lg y f x x=-的零点个数为9．故答案为：增；9.17．(1)证明见解析，121n n a -=+(2)证明见解析【分析】（1）根据,n nS a 的关系即可作差得121n n a a -=-，进而可得{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，即可根据等比通项求解，（2）根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）∵23n n S a n =+-，∴1124n n S a n --=+-(2)n ≥,两式相减得：11221n n n n n S S a a a ---=-+=，∴121n n a a -=-(2)n ≥,∴112(1)n n a a --=-(2)n ≥，令1n =得：11122S a a ==-，∴12a =，1110a -=≠,∴{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列,∴112n n a --=，即121n n a -=+．（2）由（1）得：11112n n n c a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，{}n c是以1为首项，12为公比的等比数列，∴1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-2<18．(1)π3A =【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得tan A =2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan A=（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()2sin3b c Baϕ+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）方法1：由sin cosb A B=及正弦定理可得：()sin sin cosB A A BC A B==+，所以sin sin cos cos sinB A A B A B A B+，故sin sin sinB A A B=，因为0πB<<，即sin0B>，故sin0A A=>，所以tan A=0πA<<，所以π3A=.方法2：由sin cosb A B=及余弦定理可得：()222sin2a c bb Aac+-+=，所以)222sin02b c aA Abc+-==>，所以tan A=0πA<<，所以π3A=.（2）由正弦定理可知22sin sinsinb c B Ca A++=，即()22π52212sin sin sin sin323b c B B B B Baϕ⎫+⎤⎛⎫=+=+=+⎪⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其中πtan52ϕϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，2π7π0,036B Bϕ<<∴<+<,故当π2Bϕ+=时，2b ca+的最大值为19．(1)22k；(2)证明见解析.【分析】（1）由递推关系可得22242k k a a k +-=+，应用累加法、等差数列前n 项和公式求2k a ；（2）由（1）及递推关系得22122k a k k-=-，进而得到na 通项公式，即得2n b n =，则()ln 2ln1ln 2ln n T n =++⋅⋅⋅+，利用导数证ln 1n n ≤-，放缩法即可证结论.【详解】（1）2221222222242k k k k a a k a k k a k ++=++=+++=++22242k k a a k +⇒-=+，∴224264222k k k a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2426104222k kk k ⋅=+++⋅⋅⋅+-==.（2）由（1）知222k a k =，()22212222212222k k a a k k k k k --=+-=-+-=-，2k ≥，而10a =也满足上式，故22122k a k k-=-，∴221,221,212n n n k a n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈，故22,2,21n n n k b n n k ⎧==⎨=-⎩且*N k ∈，即2n b n =，∴()212n T n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则()ln 2ln1ln 2ln n T n =++⋅⋅⋅+，令()ln 1f x x x =-+且[1,)x ∈+∞，则1()0xf x x -'=≤，即()f x 在[1,)+∞上递减，所以()(1)0f x f ≤=，即ln 1≤-x x 在[1,)+∞上恒成立，故ln 1n n ≤-（当且仅当1n =时取等号），所以()()2012ln1ln 2ln 222n n n n+-++⋅⋅⋅+≤⋅=-，*N n ∈，即2ln n T n n ≤-，*N n ∈，证毕.20．(1)4400400()5n n a =-⨯，5240()2404n n b =⨯-(2)3年【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n 年内的旅游业总收入与n 年内的总投入；(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，可得0n n b a ->，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.【详解】（1）由题知，每年的追加投入是以80为首项，14155-=为公比的等比数列，所以，41()4580400400(4515nnn a -=⨯=-⨯-；同理，每年牧草收入是以60为首项，15144+=为公比的等比数列，所以，51()5460240()2405414nn n b -=⨯=⨯--.（2）设至少经过n 年，牧草总收入超过追加总投入，即0n n b a ->，即5454240()240[400400()]240(400()64004545n n n n ⨯---⨯=⨯+⨯->，令4()(01)5n t t =<<，则上式化为2404006400t t +->，即25830t t -+>，解得305t <<，即43()55n <，所以，43lg lg 55n <，即3lglg 3lg 5lg 3lg 215 2.24lg 4lg 53lg 21lg 5n -+->==≈--，所以3n ≥.所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入.21．(1)1λ≤(2)证明见解析【分析】（1）求出()f x '，对λ的取值进行讨论，分1λ≤与1λ>两类，分别研究()f x 单调性，验证是否满足题意，可得λ取值范围.（2）根据（1）中所求λ范围，利用函数()f x ，对x 进行赋值，分别证明不等式左右两侧恒成立.【详解】（1）11()1111f x x x x x λλ'=+-=++--++（i ）当1λ≤时，()2110f x λλ'≥--=-≥得()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()(0)0f x f >=．（ii ）当1λ>时，(0)0f λ'=-<，1()01f λλ'=>+，()00,x λ∃∈，()00f x '=，所以当()00,x x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减，()(0)0f x f <=矛盾，所以此时λ不满足题意．综上：()0f x >，则1λ≤．（2）先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当1λ=时，有()2()ln 102x f x x x =+-+>令1x n =得2111ln 12n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，()211l 12ln n n n n n+->-()()211ln 112l 1n n n n n -->---，⋅⋅⋅，211ln 2ln1121->-⨯累加得：()2111ln 12ni n i i =⎛⎫+>- ⎪⎝⎭∑所以()21212ln 1ni n i i=⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭∑即右边不等式得证．下面证左侧不等式，如下：()()ln 10x x x +<>不妨设()()ln 1x x xϕ=+-，1()101x x ϕ'=-<+，()ϕx 单减所以()(0)x ϕϕ<即()ln 1x x+<令1x n =，()1ln 1ln n n n +-<，⋅⋅⋅，ln 2ln11-<，累加得()111ln 111n n n +<++⋅⋅⋅+-2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- --+⎝⎭当3n ≥，222111111111133121245779212120n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<++-+-++-< ⎪-+⎝⎭ ∴()222213311111212ln 12120112ni n n n n ii =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-<+++-+++=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 当1n =时，()332ln 1121120+-<-=，当2n =时，()3332ln 211204+-<+也满足不等式，即左边不等式得证．【点睛】本题考查了运用导数解决函数问题的综合能力，重点是利用题干中所给函数模型进行构造赋值，证明不等式恒成立.22．(1)5(2)214,04()2log ,4x x h x x x ⎧-+<<⎪=⎨⎪≥⎩，最小值为2【分析】（1）求出1(4f 即可求出14g f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）判断()f x 增减性，()g x 增减性，算出(4)f ，求出()h x 即可求出()h x 的最小值.【详解】（1）211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()112245;42g f g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）函数()2log f x x=的定义域是()0,∞+，单调递增，()142g x x =-+在R 上单调递减，并且()()442f g ==，所以当04x <<时，()()g x f x >，当>4x 时，()()f xg x >，所以{}214,04()max (),()2log ,4x x h x f x g x x x ⎧-+<<⎪==⎨⎪≥⎩，函数在区间()0,4上单调递减，在区间()4,+∞单调递增，所以函数()h x 的最小值为()42h =.。

重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期11月月考试题 数学含答案

重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期11月月考试题 数学含答案

巴蜀2025届高三适应性月考卷（三）数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3,4,5,6U =，{}0,1,2,4A =，{}1,2,3,4,5B =，则()U A B = ð（）A.{}3,5,6 B.{}3,5 C.{}5 D.{}5,62.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布()2,N μσ，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（）A.85B.90C.95D.1003.若复数111i z =+，211iz =-，则2212z z -=（）A.-1B.1C.i- D.i4.在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在DE 上，且12AF AB AD μ=+，则实数μ的值为（）A.14B.13C.12D.345.已知,a b +∈R ，且230ab a b ++-=，则a b +的最小值为（）A.32B.53C.3D.3-6.重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（）A.225 B.1225C.16D.6257.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）的关系为0e kt P P -=，其中，0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是（）h.（参考数据：lg30.477≈）A.45B.76C.109D.1188.已知函数()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈-R 为奇函数，且()f x 在区间()21,2t t t --上有最小值，则实数t 的取值范围是（）A.（3，4）B.)C.)D.)二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（图中0h =处）的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+确定，其中0A >，0ω>，0t ≥，[]0,πϕ∈.小球从最高点出发，经过0.5s 后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm ，则下列说法正确的是（）A.2πω= B.π2ϕ=C.小球在[]8,9t ∈内经过的路程为10cmD.9.75t =时，小球正在向上运动10.在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，2DA DC ==，4AB =，点P 是梯形ABCD 内部一点（不含边界），且满足(),AP AB AD λμλμ=+∈R，则下列说法正确的是（）A.若0PA PB PC PD +++= ，则38λ=，12μ=B.当2μλ=时，PB的最小值为2C.若21λμ+=，则PBC △的面积为定值D.若22421λμλμ++=，则PC的最小值为1-11.已知由实数构成的数列{}n a 满足()2*12n n n a a a n +=-+∈N，则以下说法正确的是（）A.存在*k ∈N 且2k ≥，使2k a =B.若()10,1a ∈，则数列{}n a 是递增数列C.若()11,2a ∈，则数列{}n a 的最大项为1aD.若1910a =，设()1lg 1n n b a =-，{}n b 的前n 项和为n S ，则2n S >-三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.等比数列{}n a 的公比0q <，其前n 项和为n S ，且341a a +=，45S =，则5a =_____..13.已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 25β=-，()cos 5αβ-=-，则α的值为_____.（用弧度制表示）14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()12f x -是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，则()10021i i f i ==∑_____.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35S a =，()*221n n a a n =+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，其公比为q ，且{}n b 中的项均是{}n a 中的项，11b a =，当q 取最小值时，若()*k i b a k =∈N ，请用k 表示i .16.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，BC 的中点为D ，记ABC △的面积为S ，已知π4B =，2c =.（1）若b =cos C 以及线段AD 的长度；（2）若ABC △是锐角三角形，求S 的取值范围.17.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交E 于A ，B 两点.当60θ=︒时，163AB =.（1）求抛物线E 的方程；（2）证明：无论θ如何变化，OA OB ⋅是定值（O 为坐标原点）；（3）点()3,0M ，直线AM 与E 交于另一点C ，直线BM 与E 交于另一点，证明：ABM △与CDM△的面积之比为定值.18.已知函数()ln 1x f x x+=.（1）求证：()1f x ≤；（2）若(0,)x ∈+∞时，不等式()1a x f x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 是曲线()y f x =在点()(),A t f t 处的切线，求证：当t >时，除点A 外，直线l 与曲线()y f x =有唯一公共点()(),s f s ，且1es t <<.19.设A ：12,,,m a a a ⋅⋅⋅和B ：12,,,m b b b ⋅⋅⋅是两个项数为m 的非负整数数列()3m ≥，定义()1,mi i i T A B a b ==-∑，()()1,miii t A B a b ==-∑.（1）对于数列A ：1，2，3，10，11，12和B ：4，5，6，7，8，9，求()(),,T A B t A B -的值；（2）设1,,n A A ⋅⋅⋅均为项数为3且每项为0或1的数列()2n ≥，且对于任意1i j n ≤<≤，都有(),2i j T A A ≥，求n 的最大值；（3）若62m =，数列A ，B 严格递增且每项不大于755，求()(),,T A B t A B -的最大值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BBCDCBCA【解析】1.∵{}U 3,5,6A =ð，∴(){}U 3,5A B = ð，故选B.2.由正态密度函数的对称性，70110902μ+==，故选B.3.2212i i i 22z z ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.4.设()1AF AE AD λλ=+- ，则()()112AF AB BE AD AB AD λλλλ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭，又12λ=,∴3124λμ=-=，故选D.5.由230ab a b ++-=得32b a b -=+,∴()3551233222ba b b b b b b b -+=+=+-=++-≥-+++，当且仅当1a =，2b =-取到等号，故选C.6.由题意知：三人从5个景点中各自随机选择3个景点游玩，总的有35125=种选法，所选景点全部不同有3s A 60=种，所以所求概率为1225，故选B.7.由题意得500005ln 0.90.9e ln 0.1ln 0.15ln 0.90.1ek ktk P P t kt P P --⎧-==⎧⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎩，∴5lg 0.155108.7lg 0.91lg 912lg 3t ===≈--，故选C.8.因为()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈-R 为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知1x ≠，所以1x ≠-，即有1011a +=--，得到12a =-，所以()()111ln ln 214214x x xf x b b x x +=-+++=++--，函数定义域为{}11x x x ≠-≠且，得到()10ln02f b =+=，所以ln 2b =.故()()11lnln 2ln 21414x x x xf x x x ++=++=+--，此时有()()11lnln 1414x x x xf x f x x x -++-=-=--=-+-，即12a =-，ln 2b =满足题意，所以()1lnln 1ln 1144x x xf x x x x +=+=+--+-，定义域为{}11x x x ≠-≠且，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，当1x >时，()()()ln 1ln 14xf x x x =+--+，()()22111911441x f x x x x -'=-+=+--，由()()229041x f x x -'==-，得到3x =是唯一的极小值，又()f x 在区间()21,2t t t --上有最小值，所以21132t t t <-<<-，解得34t <<，故选A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACBCD【解析】由题意，0.52T =，∴1T =，∴2π2πTω==，当0t =时，小球位于最高点，则sin 1ϕ=，[]0,πϕ∈，∴π2ϕ=，故A ，B 正确；对于C ，由题意5A =，当[]8,9t ∈，小球经过一个周期，则其路程为420A =，故C 错误；对于D ，当9.75t =时，由周期性，等价于0.75t =，此时πsin 2π0.75sin 2π02h ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，由正弦函数的图象可知，图象自下而上穿过x 轴，小球正在向上运动，故D 正确，故选ABD.10.取AB 的中点E ，对于A ，由0PA PB PC PD +++=，得0AP AP AB AP AC AP AD +-+-+-= ，所以()1113144282AP AB AC AD AB AB AD AD AB AD ⎡⎤⎛⎫=++=+++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ，当2μλ=时，()122202AP AB AD AB AD AC λλλλλ⎛⎫=+=+=> ⎪⎝⎭，点P 在AC 上，由于B 到直线AC 的距离为2，此时点P 与C 重合，故取不到最小值2，故B 错误；对于C ，若21λμ+=，则222ABAP AD AE AD λμλμ=+=+，所以点P 在DE 上，由于DE CB ∥，所以PBC △，故C 正确；对于D ，∵22421λμλμ++=，∴2222222216484AP AB AD AB AD λμλμλμλμ=++⋅=++= ，所以点P 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆位于梯形ABCD 内部的圆弧（圆心角为60°的扇形弧），所以PC 的最小值为2AC -，即为2-，故D 错误，故选AC.11.BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案125π45000【解析】12.由已知求得18a =，12q =-，∴45112a a q ==.13.∵24cos 22cos15ββ=-=-，∴21cos 10β=，又π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 10β=-，进而sin 10β=，∵π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ,2β⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴,ππ2αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又()cos 05αβ-=-<，∴π,π2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 5αβ-=，∴()()()22322sin sin sin cos cos sin 10102ααββαββαββ=-+=-+-=---⎡⎤⎣⎦，结合π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭可知：5π4α=.14.∵()12f x -是偶函数，∴()()1212x f x f -=+，即(1)(1)f x f x +=-，从而()()2f x f x -=+，又()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，∴()()2f x f x +=-，进而()(4)(2)f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，由当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，得()00f =，()11f =-，()()200f f ==，()()311f f =-=，()40f =，即()40f k =，()411f k +=-，()()431f k k +=∈Z ，∴()10022222222125241357997992581650002i i f i =⨯=-+-+-+⋅⋅⋅-+=⨯+⨯=∑.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由352,21n n S a a a =⎧⎨=+⎩得()()1111334,21211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎡⎤⎪⎣⎦⎩即112,1,a d a d =⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-.（2）由11b =且{}n b 是递增的等比数列，得2211b q b b ==>.故2k b a =（k ∈N 且2k ≥），由于数列{}n a 是递增数列，则当q 取最小值时，223b a ==，即3q =，∴11133n n n b --=⨯=，若k i b a =，则1321k i -=-，∴1312k i -+=.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理，π2sinsin 54sin sin sin 5b c c BC B C b=⇒==，又c b <，∴π04C <<，∴25cos 5C ==，∵3πcos cos cos sin 42210BAC C C C ⎛⎫⎛⎫∠=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()12AD AB AC =+，∴()22211524102244102AD AB AC AB AC ⎡⎤⎛=++⋅=++⋅⋅-=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴102AD =.（2）∵sin sin c a C A =，∴π2sin sin 4sin sin C c A a C C⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，∴π2sin 11sin cos 14sin 2122sin 2sin tan ABCC C C S ac B C C C⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⋅⋅⋅==+△，∵ABC △是锐角三角形，∴π0,23π0,4π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ42C <<，∴tan 1C >，∴101tan C<<.∴12S <<.17.（本小题满分15分）（1）解：根据题意直线l 的斜率不为0，可设直线l ：2px ty =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程22y px =得：2220y pty p --=，∴()22410p t =+>△，122y y pt +=，212y y p =-，∴()21221AB y p t =-==+，当60θ=︒时，3t =，∴81633p AB ==，∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =.（2）证明：由（1）可知，2124y y p =-=-，则()222221212212244p y y p x x p p p -=⋅===，∴1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-.（3）证明：设()33,C x y ，()44,D x y ，直线AC 的方程：3x my =+，直线BD 的方程：3x ny =+，由23,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得24120y my --=，∴1312y y =-，同理，2412y y =-，∴()()12341324144y y y y y y y y ==，由（2）知124y y =-，则3436y y =-，12341sin 4121369sin 2ABM CDM MA MB AMB MA MB S y y S MC MD y y MC MD CMD ∠=====∠△△.18.（本小题满分17分）（1）证明：()()2ln 1ln x x f x f x x x+-'=⇒=，当()0,1x ∈时，()()0f x f x '>⇒在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0f x f x '<⇒在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11f f x ==，即()1f x ≤.（2）解：令1x =，则()12112a f a ≥=⇒≥；当12a ≥时，∵()0,x ∈+∞，∴()1111122a x x f x x x ⎛⎫⎛⎫+≥+≥⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以原不等式成立，故实数a 的取值范围是12a ≥.（3）证明：()()2ln 1ln x x f x f x x x+-'=⇒=，所以在点()(),A t f t 处的切线l 方程：()2ln 1ln t t y x t t t +--=-，即l ：2ln 2ln 1t t y x t t -+=+，与ln 1x y x +=联立得：2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t+++-=，即证：当t >时，方程2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=除x t =外，还有另一根x s =，且1es t <<.设()2ln 1ln 2ln 1x t t h x x x t t++=+-，则()0h t =.又()22ln ln x t h x x t -'=+，()0h t '=，()32ln 1x h x x -''=，当(x ∈时，()()0h x h x '''<⇒在(上单调递减：当)x ∈+∞时，()()0h x h x '''>⇒在)+∞上单调递增，所以()min h x h '='，∵t >，∴()0h t h ''=>，又()2ln 10t h t'=>，所以存在唯一实数(0x ∈，使()00h x '=，当(),x t ∈+∞时，()()0h x h x '>⇒在(),t +∞上单调递增；当()00,x x ∈时，()()0h x h x '>⇒在()00,x 上单调递增；当()0,x x t ∈时，()()0h x h x '<⇒在()0,x t 上单调递减，所以当()()0,,x x t t ∈+∞ 时，()()0h x h t >=，又()221ln 12ln 1ln 112e 0e e e t t t h t t t t+⎛⎫=⋅-=--< ⎪⎝⎭，所以存在唯一实数01,e s x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0h s =，即：当t >时，方程2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=除x t =外，有唯一根x s =，且1es t <<，故结论成立.19.（本小题满分17分）解：（1）()(),,36018T A B t A B -=⨯-=.（2）若5n ≥，则数列12,,,n A A A ⋅⋅⋅中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有2×2=4种组合）：不妨设该二者为1A ，2A ，则必有()12,0T A A =（两数列的第三项也相同）或()12,1T A A =（两数列的第三项相异），故5n ≥不合题意；当4n =时，可构造1A ：0，0，0；2A ：0，1，1；3A ：1，1，0；4A ：1，0，1满足题意，故n 的最大值为4.（3）记{},162,i i P i a b i i +=≤≤≥∈N ∣，{}*,162,i i Q i b a i i =>≤≤∈N ∣，显然P Q =∅ ，{}1,2,,62P Q =⋅⋅⋅ .设()i i i P a b α∈=-∑，()i ii Q b a β∈=-∑，()()()()()(),,i i i i i i i i i P icQ i P i Q T A B t A B a b b a a b a b ∈∈∈-=-+---+-∑∑∑∑{}2min ,αβαβαβ=+--=，若P =∅或Q =∅，则已有()(),,0T A B t A B -=.下不妨设P ≠∅且Q ≠∅，由平均值原理，()*1,62,i j i j ∃≤≤∈N ，使得,i i j j a b b a P Q αβ≥-≥-，且i P ∈，j Q ∈（其中P ，Q 为集合P ，Q 的元素个数）()()i j i j a a b b P Q αβ⇒---≥+，不妨设i j >，则()6262693i a a i i --≤≤+，1j a j ≥-，j j b b i j -≥-()()()6931694i j i j P Qαβ⇒+≤+----=，且()2P Q P Q αβ⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭，≤{}2min min ,10757αβ≥⇒≤()(){},,2min 21514T A B t A B αβ⇒-=≤≤.上式取等时，构造：10757αβ==，有31P Q ==，347i i j j a b b a P Q αβ-====-，事实上，取A 为0，1，…，30，725，726，…，755；B 为347，348，…，408，有()(),,3476221514T A B t A B -=⨯=满足题意，为所求最大值.。

重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题(解析)

重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题(解析)

2025年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，112i z =+，则z =（ ）A. 15 B. 13C.D. 【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算以及模的运算公式即可得解【详解】由()()112i 12i 12i 12i 12i 12i 555z --====-++-，=，故选：C2. 已知集合{}0,1,2,3,4,5M =，()(){}130N x x x =+-£，则M N =I （ ）A. {}3 B. {}2,3 C. {}1,2,3 D. {}0,1,2,3【答案】D【解析】【分析】化简集合N ，然后根据交集的定义求解即可【详解】()(){}{}13013N x x x x x =+-£=-££，又{}0,1,2,3,4,5M =，所以{}0,1,2,3M N =I ，故选：D3. 已知a b >，0c d <<，则（ ）A. a c b d+>+ B. 22a c b d +>+ C. ac bd > D. 22ac bd >【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质可得B ；举出反例可得A 、C 、D.【详解】对A ：取1a =，0b =，2c =-，1d =-，此时1a c b d +=+=-，故A 错误；对B ：由0c d <<，则22c d >，又a b >，故22a c b d +>+，故B 正确；对C ：取1a =，0b =，2c =-，1d =-，此时20ac bd =-<=，故C 错误；对D ：取1a =-，2b =-，2c =-，1d =-，此时2242ac bd =-<=-，故D 错误；故选：B.4. 已知数列{}n a 满足：13a =，1111n n a a ++=，则6a =（ ）A 32 B. 23C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】由1111n n a a ++=可得2n n a a +=，再借助1a 求出2a 即可得解.【详解】由1111n n a a ++=，则12111n n a a +++=，故211n n a a +=，即2n n a a +=，则642a a a ==，又2111121133a a =-=-=，故6232a a ==.故选：A.5. 已知平面上的两个非零向量a r ，b r 满足()()22a b a b a b b -×+=×=r r r r r r r ，则,a b =r r （ ）A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】B【解析】.【分析】借助向量数量积公式计算可得a =r .【详解】由()()2222a b a b a a b b a b -×+=+×-=×r r r r r r r r r，故a =r则cos ,a r ，又[],0,πa b Îr r ，故π,4a b =r r .故选：B 6. 已知实数0a >，且1a ¹，若函数()log x a f x a x =+在()1,2上存在零点，则（ ）A. 2log 20a a +< B. 22log 0a a -< C. 4log 20a a +> D. log 20a a -<【答案】A【解析】【分析】分1a >、01a <<进行讨论，结合()f x 的单调性与零点的存在性定理可判断A ，亦可得01a <<，由01a <<结合对数函数性质进行分析可判断B 、C 、D.【详解】当1a >时，易得()log xa f x a x =+在(0,+∞)上单调递增，则需()1log 10a f a a =+=<，与1a >矛盾，故舍去，当01a <<时，易得()log xa f x a x =+在(0,+∞)上单调递减，则需()1log 10a f a a =+=>，()22log 20a f a =+<，故A 正确；由01a <<，则222log 00a a a ->->，故B 错误；42log 2log 20a a a a +<+<，故C 错误；log 200a a a ->->，故D 错误.故选：A.7. 设ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2B =，且2222690a ac c c -+-+=，则b =（ ）A. B. 4C.D. 【答案】C【解析】.【分析】把题设条件变形可得3a c ==，然后根据等腰三角形的性质，在直角BDC V 中即可求出【详解】由2222690a ac c c -+-+=变形得()()2222690a ac cc c -++-+=，所以()()2230a c c -+-=，得3a c ==，所以ABC V 是以B 为顶角的等腰三角形，如图，取AC 中点D ，所以BD AC ^，且12CBD B Ð=Ð在直角BDC V 中，sin 2B =，所以22sin 2sin232B b CD BC CBD a ==Ð==´=故选：C8. 已知实数a ，b ，c 满足：2229a b +=，223448b c +=，225651c a +=，则32a b c -+的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】由题意可计算出2a 、2b 、2c ，即可得32a b c -+的最大值.【详解】由2229a b +=，则2261254a b +=，又225651c a +=，则223512b c -=，由223448b c +=，则221216192b c +=，故221189c =，即29c =，则224844836433c b --===，则22921a b =-=，则1a =±，2b =±，3c =±，故()()max 323122310a b c -+=´-´-+=.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知p ：“x "ÎN ，21x +是奇数”，q ：“x $ÎN ，31x +是偶数”，则（ ）A. p Ø：x "ÎN ，21x +是偶数”B. p Ø：“x $ÎN ，21x +是偶数”C. q Ø：“x $ÎN ，31x +是奇数”D. q Ø：“x "ÎN ，31x +是奇数”【答案】BD【解析】【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得.【详解】由p ：“x "ÎN ，21x +是奇数”，q ：“x $ÎN ，31x +是偶数”，则p Ø：x $ÎN ，21x +是偶数”， q Ø：“x "ÎN ，31x +是奇数”，故B 、D 正确；A 、C 错误.故选：BD .10. 已知等比数列{}n a 的公比12q =-，其前n 项和记为n S ，且621S =，则（ ）A. 481a a = B. 2n a a ≥ C. 21n S ≤ D. 16n S ³【答案】ABD【解析】【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列{a n }的通项公式，借助通项公式即可得A ；借助作差法后对n 分奇偶进行讨论可得B ；求出n S 后对n 分奇偶讨论可得C 、D.【详解】由题意可得61116111212216421133212a a a S éùæöæö--êúç÷-ç÷èøêúëûèø====æö--ç÷èø，即132a =，故16113222n n n a --æöæö=×-=--ç÷ç÷èøèø，对A ：46864811141224a a --éùæöæö=--´--=´=êúç÷ç÷èøèøêúëû，故A 正确；对B ：646211116222n n n a a ---æöæöæö-=--+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，若n 为奇数，则626111616022n n n a a --æö-=--=+>ç÷èø，若n 为偶数，则62611161622n n n a a --æö-=--=-ç÷èø，随n 的增大而增大，故2220n a a a a -³-=，故B 正确；对C ：1132164122646411333212n n n n S éùéùæöæö----êúêúç÷ç÷èøèøêúêúæöëûëû===-×-ç÷æöèø--ç÷èø，当n 为奇数时，6464643323n n S =+>×，且随n 的增大而减小，当n 为偶数时，6464643323n n S =-<×，随n 的增大而增大，则当1n =时，n S 有最大值，即132n S S £=，当2n =时，n S 有最小值，即116n S S ³=，故C 错误，D 正确.故选：ABD.11. 设a ÎR ，函数()32f x x x a =-+-，则（ ）A. 当0a <时，函数()f x 为单调递增函数B. 点()0,2-为函数()y f x =图象的对称中心C. 存在,a b ，使得函数()y f x =图象关于直线x b =对称D. 函数()f x 有三个零点的充要条件是3a >【答案】BCD【解析】【分析】求导可得()23f x x a ¢=-+，可判断A 错误；利用对称中心定义可知满足()()4f x f x +-=-，可知B 正确；利用轴对称函数定义可知存在,a b 满足23a b £时使得函数()y f x =图象关于直线x b =对称，即C 正确；由三次函数性质利用导函数求得()f x 的单调性，再根据极值的符号即可判断D 正确.【详解】易知()23f x x a ¢=-+，对于A ，当0a <时，可知()230x a f x =-+<¢恒成立，因此函数()f x 为单调递减函数，即A 错误；对于B ，由()32f x x x a =-+-可得()()()33224f x ax x ax x f x =-+-+-----=-，即可得对于x "ÎR 都满足()()4f x f x +-=-，所以点()0,2-为()y f x =图象的对称中心，可得B 正确；。

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2023年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷 数学数学测试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}2,3,5,6|ln(1)1A B x x ==->，，则A ∩B= A ． {2，3，5，6} B ． {3，5，6} C ． {5，6} D ． {6}2. 已知向量()()()3,21,2a m b b a b ==⊥-，，，则实数m =A ． 72-B ． 12- C ．12 D ．323. 设f （x ）是定义域为R 的函数，且“()00x f x ∀>>，”为假命题，则下列命题为真的是 A ．()00x f x ∀>≤， B ．()0,0x f x ∃≤>C ．()00x f x ∃>≤，D ．()00x f x ∀≤≤， 4. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+-，则不等式()0f x <的解集为A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B. ()()1,01,-⋃+∞ C ．()()1,00,1-⋃ D. ()(),10,1-∞-⋃5. 设0φ>，函数()()()sin 22f x x x φφ=++为偶函数，则φ的最小值为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6. 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，31121253136k S S S ===，，，则k = A ． 6 B ． 8 C ． 9 D ． 147. 已知函数f （x ）的图象如图1所示，则图2所表示的函数是A ．1−f (x ) B. −f (2−x ) C. f (−x )−1 D. 1−f (−x ) 8. 已知m >1，n >1，且2log 2m =log 33n ，则log m 2+log n 3的最小值为A ．2+B ．3+C ．2+D ．3+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 设z 是非零复数，则下列说法正确的是 A ． 若z +|z|∈R ，则z R ∈B ． 若z =|z|，则z z =C ． 若0z z +=，则||zi z =D ． 若z ̅=|z|z，则1z =10. 已知0<a <b <1，c >1，则A ．a c >b c B. log a c >log b c C. alog a c >blog b c D. a c >b a11. 已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，T >π，且x π=是f （x ）的一个极小值点，则 A ．T =3π2B ． 函数f （x ）在区间（π2，π）上单调递减C ． 函数f （x ）的图象关于点（8π，0）中心对称D ． 函数f （x ）的图象与直线y =2πx 恰有三个交点12. 在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，a +c =2b ，记△ABC 的面积为S ，则 A ． △ABC 一定是锐角三角形 B ．s ≤√34b 2 C ． 角B 最大为π3 D. tan A2tan C2=13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线f (x )=12x −sinx 在点（π，f （π））处的切线方程为___________。

14. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，S 6=7，a 2+a 5=−3，则a 1+a 3a 2=___________。

15. 已知向量a ，b 满足|a |=6，|a −b |=2√7，|a +b|=2√13，则b 在a 上的投影向量的模为___________。

16. 已知0a >且1a ≠，函数1,,()log ,0.a ax x a f x x x x a ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩有最小值，则a 的取值范围是___________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列{n a }满足a n +a 2n =6n −2 （1）求数列{na }的通项公式（2）若数列{b n −a n }是公比为2的等比数列，且12b =，求数列{b n }的前n 项和。

18.（12分）已知函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的部分图象如图所示。

（1）求f （x ）的解析式； （2）求不等式f (x )<12的解集。

19.（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥DC ，cos∠ABD =−17，sin∠ADB =3√314。

（1）求∠BAD ；（2）若3AB =，△BDC 的面积为39√34，求AC 的长。

20.（12分）已知函数f (x )=xe x −a (x 2+2x )，a >0（1）讨论f （x ）的单调性：（2）当0x ≥时，f (x )+a ≥0，求a 的取值范围。

21.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数f (x )=sinAsinxcosx +cos 2(x +A )的最大值为1。

（1）求cosA 的值；（2） 此△ABC 是否能同时满足5a =，且___________？在①cosBcosC =18，②BC边的中线长为，③BC边的高线长为这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，若△ABC 满足上述条件，求其周长；若不能满足，请说明理由。

22.（12分） 已知函数f (x )=x−1xln (x −1)+alnx −2x，a ∈R（1）当1a =-时，讨论f （x ）的单调性： （2）若f （x ）存在两个极值点，求a 的取值范围。

2023年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷 数学参考答案一、选择题1—8CACDDBCD第5题解析：()2sin 23f x x πφ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题知(32k k Z ππφπ-=+∈），故56k πφπ=+，最小值为56π。

第6题解析：{n S n }为等差数列，由31116113S S -=知数列{n S n}的公差为2，故()3323k S S k k =+-⋅，即13621k k =+，解得8k =。

第7题解析：由图知，将f （x ）的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2，故解析式为()1y f x =--。

第8题解析：232323212log log 2log log 11,,1log 2log 30log 2log 3n n m m m n m n n =⇒+=⇒+=>⇒>， 故()2log 3log 221log 2log 3log 2log 333log 2log 3log 2log 3n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当log 232m n == 二、选择题9. ABD 10. BC 11. ABD 12. BCD第9题解析：A 选项，||z R ∈，故z R ∈；B 选项，z z =即z R ∈。

故z z =；C 选项，0z z +=即z 为纯虚数，故zi z=±；D 选项，∵22||z z z z z ∴⋅==，，故|1z =。

第10题解析：A 选项，∵1c >，∴cy x =单调递增，∴a c <b c ；B 选项，函数log c y x =单调递增，故log log 0c c a b <<，∴11log log c c a b >即log log a bc c C >；选项，前面已得0log log a a c c >>，0<a <b <1，故log log a b a c b c>；D 选项，函数x y a =单减。

a y x =单增，故c a aa ab <<。

第11题解析：由题知()262k k Z ππωππ+=-∈，∴223k ω=-，又2T ππω=>。

02ω∴<<43ω∴=32T x ππ==；为极小值点。

1324T π=，∴f （x ）在[4π，π]上单减；863πππω⋅+=，故（8π，0）不是f （x ）的对称中心：函数()4sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线2y x π=的部分图象如下。

直线2y π=x 恰好经过()y f x =的一个最低点（—2π，—1），且当2x π>时。

y =2πx >1或<−1，故它与()y f x =的图象再无交点，所以二者共有3个交点。

第12题解析：A 选项，取a =3，b =6，c =5，但△ABC 显然为直角三角形：B 选项，由2a c b +=以A ，C 为焦点、2b 为长轴长的椭圆上运动，结合椭圆的几何性质知，当B 为短轴端点时△ABC 面积最大，为12⋅√b 2−(b 2)2=√34b 2； C 选项，cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−14(a+c )22ac=3(a 2+c 2)8ac−14≥6ac 8ac−14=12，当且仅当a =c =b 时取等，故B ≤π3；D 选项，a +c =2b ⇒sinA +sinC =2sinB ⇒sin (A+C 2+A−C 2)+sin (A+C 2−A−C 2)=2sin (A +C )⇒sinA+C 2cosA−C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，显然sinA+C 2≠0，故cosA−C 2=2cos A+C 2，即3sin A 2sin C2=cos A 2cos C2，即tan A 2tan C 2=13。

三、填空题13.y =32x −π 14. 103- 15. 1 16. （0，14]第14题解析：设公比为q ，则S 6=(a 1+a 4)+(a 2+a 5)+(a 3+a 6)=−3(1q +1+q)，故q +1q =−103a 1+a 3a 2=1q +q =−103。

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