例说七类需要分类讨论的题型

例说七类需要分类讨论的题型

当我们解决一个问题时，如果无法一次性解决，那么就需要用一个标准，将问题划分成几个能分别解决的小问题，将这些小问题加以解决，从而最终使问题得到解决，这就是分类讨论思想。当数学问题中的条件，结论不明确，或题中含参数或图形不确定时，就需要分类讨论.本文举例说明如下:

一、边(角)的指代不明

有些图形中的边(或角)的大小虽是己知的但具体是哪条边(或哪个角)不明确.对此先需分类讨论，再依据定义或定理求解.

例1 (2013年广安市中考题)等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周 长为( )

(A) 25 (B) 25或32 (C) 32 (D) 19

分析 长度为6和13的两边，没有明确出谁是底边谁是腰，所以先需分类再求周长. 解 当6为底边时，其它两边都为6, 13,而边长为6,13,13可以构成三角形，周长为32; 当6为腰时，其它两边为6, 13, ∵ 6+6<13 ,∴边长为6, 6, 13不能构成三角形,应

舍去，故选C.

例2 一个直角三角形的两边长分别为6和8, 则该三角形中较小锐角的正弦值为_____.

分析 长为8的边虽是最长边，但没有明确出是直角边还是斜边，对此需分类.

解 当8为直角边时, 三边长为6, 8, 10; 当8为斜边时，三边长为

所以该三角形中较小锐角的正弦值为35或4

. 例3 (2013年荆门市中考题) 若等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角为______. 分析 50°的角，没有明确出是顶角还是底角，对此先要分类。

解 50°为顶角时，则底角为65°, 65°;

50°为底角时，则其他两角分别为50°, 80°.

综上,顶角为50°或80°.

二、图形的相对位置关系不确定

若几何图形之间的相对位置关系在已知条件中不明朗，则需分情况讨论，列举出所有可能的情况，以免疏漏现象的发生.

例4 已知△ABC 的外心为点O ，若∠BOC = 100°，则∠A 的度数为_______.

分析 △ABC 与其外心O 的位置关系有三种情况: 当△ABC 为锐角三角形时，其外心O 在形内;当△ABC 为钝角三角形时，其外心O 在形外;当△ABC 为直角三角形时，其外心O 在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图1,2.

解 根据圆心角定理，得∠A 的度数为50°或130°.

三、对应关系的不明确

三角形的全等或相似中的判定和性质司体现了对应的思想.所以在已知图形全等或相似的前提下,解边(或角)的问题时，需要突出边(或角)的对应关系.

例5 另一个三角形的两边长

分别为1, 则它的第三边长为________.

分析设第三边长为x，因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确,所以

x的取值需分三种情况: x<1 (从小到大顺序为: x, x (从小到大顺序为:1, x,

x (从小到大顺序为x).

解

2

1

,所以x ＜1的情况应舍去.

同理，舍去1＜x.

当x1x

2

x

,所以x

四、动态问题

对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，挖掘每段图象所蕴藏的信息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换.

例6 (2013四川南充中考题) 如图3, 点E为矩形ABCD边AD上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s设P, Q出发秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分).则下列结论;

①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，y＝

2

5

t2；

③直线NH的解析式为y=﹣

2

5

t + 27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝

29

4

秒。

其中正确结论的个数为( )

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

分析据图4可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q 到达了点C，从而得到BC, BE的长度，再根据M,N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可.

解根据图4可得，当点P到达点E时点Q到达点C.

∵点P、Q的运动的速度都是1 cm/秒，

∴BC＝BE＝5cm，∴AD＝BE＝5.

故①正确;

因为当0＜t≤5时，曲线OM为抛物线的一部分，所以设y=ax2，将点(5,10 )代入，

得a＝2

5

，y＝

2

5

x2. 故②正确;

根据5 ~ 7秒时三角形面积的不变性，可得ED＝2,当点P运动到点C时，面积变0,此时点P走过的路程为BE+ED+DC＝11, 故CD＝4，点H的坐标为(11,0).设直线NH的解析式为y＝kx+b，将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得11k+b＝0, 7k+b＝10,

解得k＝﹣5

2

，b＝

55

2

. 故直线NH的解析式为y＝﹣

5

2

t＋

55

2

,故③错误；

当t＝29

4

秒时,点P将落在边CD上的一点处，如图5.因为Rt△CBP

中，CP

CP AE ＝

BC

AB

,即

3

CP

＝

5

4

，CP＝

15

4

.

所以点P从点B开始运动到此点的路程为11﹣15

4

＝

29

4

（cm）,

时间为29

4

s. 故④正确. 答案选B.

五、字母系数的不确定

当一个式、方程或函数中的最高项的系数为字母或字母的式子且式、方程或函数的“类型”比较“泛化”时，需对字母或字母的式子是0和非0作出分类.

例7 (2011年南京中考题) 己知函数y=mx2﹣6x+1 (m是常数)·

(1)求证: 不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;

(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

解(1) 当x＝0时，y=1.所以不论m为何值，函数的图象经过轴上的一个定点(0,1);

(2) 当m＝0时，函数y＝﹣6x＋1的图象与x轴只有一个交点(1

6

,0);

当m≠0时, y＝mx2﹣6x＋1为二次函数，若函数的图象与x轴只有一个交点，则方

程mx2﹣6x＋1有两个相等的实数根，所以(-6)2﹣4m=0 ,m=9.

综上，函数y＝mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.

六、反比例函数图象的增减性

反比例函数y＝k

x

（k≠0), 图象为双曲线，其增减性与k值的正、负相关，又与象限相

关.对于同一个确定的k值，应分支(每一象限)考察，也就是说，同一个象限内的两点的纵坐标的大小可以按增减性去判断，但在两个分支上的点就不能按增减性质去判断了.

例8 (2012四川达州中考题) 一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝m

x

（m≠0）,

在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1> y2，则x的取值范围是( )

(A)﹣2< x< 0或x<1 (B) x <﹣2或0< x< 1