大学物理练习册习题及答案波动学基础

习题及参考答案
第五章 波动学基础
参考答案
思考题
5-1把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则
（A ）振动频率越高，波长越长； （B ）振动频率越低，波长越长； （C ）振动频率越高，波速越大； （D ）振动频率越低，波速越大。

5-2在下面几种说法中，正确的说法是
（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B ）波源振动的速度与波速相同；
（C ）在波传播方向上的任二质点振动位相总是比波源的位相滞后； （D ）在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源的位相超前 5-3一平面简谐波沿ox 正方向传播，波动方程为
010cos 2242t x y ππ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦. (SI)
该波在t =0.5s 时刻的波形图是（ ）
5-4图示为一沿x 轴正向传播的平面
简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦 函数表示，且此题各点振动初相取-π到π
之间的值，则（）
（A ）1点的初位相为φ1=0
（B ）0点的初位相为φ0=-π/2
(m)
(A )
(m)
(m)
(B )
(C )
(D )
思考题5-3图
思考题5-4图
（C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=0
5-5一平面简谐波沿x 轴负方向传播。

已知x=b 处质点的振动方程为[]0cos y A t ωφ=+，
波速为u ，则振动方程为（ ）
(A)()0cos y A t b x ωφ⎡⎤=+++⎣⎦
(B)
(){}0cos y A t b x ωφ⎡⎤=-++⎣⎦
(C)
(){}0
cos y A t x b ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ (D)
(){}0
cos y A t b x u ωφ⎡⎤=+-+⎣⎦ 5-6一平面简谐波，波速u =5m·s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所示，则0x =处的振动方程为（ ）
（A ）
21
1210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (SI) （B ）()2
210cos y t ππ-=⨯+ (SI) （C ）
211210cos 22y t ππ-⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-⎛
⎫=⨯- ⎪
⎝⎭ (SI) 5-7一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t =0的波形曲线如图所示，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转矢量图是（ ）
5-8当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论一哪个是正确的？ （A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减少，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；
（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任一时刻都相同，但两者的数值不相等； （D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

5-9一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是
(A)动能为零，势能最大；(B)动能为零，势能为零； (C)动能最大，势能最大；(D)动能最大，势能为零。

(m)
思考题5-6图
(A )
(B )
(C )
(D )
S
S
S
思考题5-7图
5-10图示为一平面简谐机械波在t 时刻的
波形曲线。

若此时A 点处媒质质元的振动动能 在增大，则
(A)A 点处质元的弹性势能在减小；
(B)波沿x 轴负方向传播；
(C) B 点处质元的振动动能在减小， (D)各点的波的能量密度都不随时间变化。

5-11一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中
(A)它的势能转换成动能； (B)它的动能转换成势能；
(C)它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加； (D)它把自己的能量传给相邻一段媒质质元，其能量逐渐减小。

5-12 S 1和S 2是波长为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，S 1的位相比S 2超前π/2，若两波单独传播时，在过S 1和S 2的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是I 0，则在S 1、S 2连线上S 1外侧和S 2外侧各点，合成波的强度分别是
(A) 4 I 0, 4 I 0；(B) 0, 0；(C) 0, 4 I 0；(D) 4 I 0，0。

5-13在一根很长的弦线上形成的驻波是
(A)由两列振幅相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的； (B)由两列振幅不相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的； (C)由两列振幅相等的相干波，沿着反方向传播叠加而形成的；
(D)由两列波，沿着反方向传播叠加而形成的。

5-14某时刻驻波波形曲线如图所示， 则a 、b 两点的位相差是
(A) π (B) π/2 (C) 5π/4；(D)0。

5-15在弦线上有一简谐波，其表达式是
212010cos 2002203t x y ππ-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
..
(SI)
为了在此弦线上形成驻波，并且在x =0处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为
（A ）
222010cos 2002203t x y ππ-⎡⎤
⎛⎫=⨯++ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦.. (SI) （B ）
2222010cos 2002203t x y ππ-⎡⎤
⎛⎫=⨯++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦..(SI) （C ）
2242010cos 2002203t x y ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦..(SI) （D ）
222010cos 2002203t x y ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦.. (SI)
思考题5-10图
5-16如图所示，为一向右传播的简谐波在t 时刻的波形图，BC 为波密介质的反射面，波由P 点反射，则反射波在t 时刻的波形图为
习题 5-1一横波方程为
()2c o s y A u t
x
π
λ
=-
式中A =0. 01m ，λ=0.2m ，u =25m/s ，求t =0.1s 时在x =2m 处质点振动的位移、速度、加速度。

5-2一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分为A 和ω，波速为u ，设t =0时的波形曲线如图所示。

(1)写出此波的波动方程。

(2) 求距o 点分别为λ/8和3λ/8两处质点的振动方程。

(3)求距o 点分别为λ/8和3λ/8两处质点在t=0时的振动速度：
5-3如图所示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz,且此时质点P 的运动方向向下，求
(1)该波的波动方程；
(2)在距原点o 为100m 处质点的振动方程与振动速度表达式。

5-4如图，一平面波在介质中以速度u =20m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为
3cos4y t π= (SI)
(1)以A 点为坐标原点写出波动方程；
(m)
习题5-3图 x
习题5-4图
思考题5-16图
习题5-2图
(2)以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动方程。

5-5一平面简谐波在介质中以速度u =24m/s 自左向右传播。

已知在传播路径上的某点A 的振动方程为 ()3cos 4y t ππ=- (SI)
另一点D 在A 点右方9m 处。

(1)若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，试写出波动方程，并求出D 点的振动方程。

(2)若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的o 点为x 轴原点，重新写出波动方程及D 点的振动方程。

5-6沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2s 时刻的波形曲线如图所示，设波速u =0. 5m/s ，求原点o 的振动方程。

5-7如图所示，一角频率为ω,振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播，设在t =0时该波在原点o 处引起的振动使媒质质元由平衡位置向y 轴的负方向运动。

M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面。

己知74oo λ'=; 4Po λ'=(λ为该波波长)，设反射波不衰减，求： （1）人射波与反射波的波动方程； (2)P 点的振动方程。

5-8一列横波在绳索上传播，其表达式为
1005cos 20054t x y π⎡⎤
⎛⎫=- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦.. (SI)
(1)现有另一列横波（振幅也是0.05m ）与上述已知横波在绳索上形成驻波。

设这一横波在x =0处与已知横波同位相，写出该波的波动方程。

(2)写出绳索上驻波方程；求出各波节的位置坐标表达式；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。

5-9如图所示。

(1)当振动频率为2040Hz 的声源S 向墙壁运动时，在o 点的观察者听到拍音频率ν拍=3Hz 。

若声波在空气中的速度为c =340m ·s -1，求声源相对于空气的运动速度。

(2)若声源S 不动，而以一可移动的反射面代替墙壁，反射面以速度v =0. 2m ·s -1向观察者
接近，o 点的观察者听到的拍音频率场ν拍=4Hz ，求声源的频率。

第五章 波动学基础
参考答案
思考题
5-1答：（B ）。

D x A
习题5-5图
习题5-6图
M
x
习题5-7图
习题5-9图
5-2答：（C ）。

5-3答：（B ）。

5-4答：（A ）。

5-5答：（C ）。

5-6答：（A ）。

5-7答：（A ）。

5-8答：（D ）。

5-9答：（C ）。

5-10答：（B ）。

5-11答：（C ）。

5-12答：（D ）。

5-13答：（C ）。

5-14答：（A ）。

5-15答：（C ）。

5-16答：（B ）。

习题
5-1解：
cos20.01m
ut x
y A π
λ
-==-
2,0.1d 2sin(2)0d |x t y u ut x
A t ππλλ==-=
=-=v
()2
232222d cos(2) 6.1710m d u y
ut x a A
t ππλλ-==-=⨯ 5-2解：（1）以o 点为坐标原点。

由图可知，初始条件为0cos 0y A φ==,0sin 0A φ=-<v 所以
π
φ2
1=
波动方程为
1c o s (/)2y A t x u ωωπ⎡
⎤
=-+⎢⎥
⎣⎦
（2）8x λ=的振动方程为
1cos (2/8)2y A t ωπλλπ⎡
⎤=-+⎢⎥
⎣⎦ cos(4)A t ωπ=+
38x λ=的振动方程为
)
4cos(2832cos πωπλλπω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-=t A t A y
（3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=πλπωω212s i n x t A dt
dy 0t =,x λ=时
习题5-2图
d 1sin 2π/8π/2d 2y A t ωλλω⎡
⎤=--+=⎢⎥⎣⎦
0t =,3x λ=时
d 1sin (23/8)2d 2y A t ωπλλπω⎡
⎤=--⨯+⎢⎥⎣⎦
5-3解：（1）由P 点的运动方向，可判定该波向左传播。

对原点o 点处质点，0t =时
2cos A A φ=, 0sin 0A φ=-<v
所以
π
4φ=
o 处振动方程为 ()0cos 500πt+π4y A =
波动方程为 ()cos 2250+2004y A t x ππ=⎡
+⎤⎣⎦ (2)距o 点100m 处质点振动方程是()1cos 500t+54y A ππ= 振动速度表达式是()500πsin 500π5π4A t -+v =
5-4解：（1）坐标为x 点的振动相位为
()()0420t x t x φππ∆=⎡--⎤=+⎣⎦
波动方程为 ()3c o s 4
20y t x π=+ （2）以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为
()4520t x φπ'∆=⎡--⎤⎣⎦
波动方程为 ()3cos 420y t x ππ=⎡
+-⎤⎣⎦ 5-5解：该波波速20cm s u =，圆频率-1
4πs ω=，则()-125m k πωπ===
（1）任取一点P （见习题5-5解图①），
可得波动方程为()3cos 45y t x πππ=-+
将 9c m D x =-代入上式有 ()3cos 4145D y t ππ=-
（2）任取一点P （见习题5-5解图②）
可得波动方程为
()3cos 45y t x l πππ=⎡---⎤⎣⎦
将5cm l =代入上式有 ()3cos 4y t x ππ=-
将14cm D x =代入上式有 ()3cos 414D y t ππ=-
5-6解：2m λ=，又因0.5m s u =，所以
1Hz
4ν=,4s T =。

题图中
1
2s =2t T
=，0t =时，波形比题图中的波形倒退12λ
，见习题5-6解图。

y
x
y
x
习题5-5解图
此时o 点位移00y =（过平衡位置）且朝y 轴负方向运动，所以
1π2φ=
1
10.5cos 2
2y t ππ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭ 5-7解：设o 处振动方程为
0cos()y A t ωφ=+，
当0t =时，00y =,
0<0v 所以
1
2φπ
=。

01
cos()
2y A t ωπ=+
故入射波方程为
入2c o s ()
2
y A t x π
π
ωλ
=+
-
在o '处入射波引起的振动方程为
()127
cos()cos 2
4y A t A t π
πωλωπλ=+
-
⋅=-
由于M 是波密媒质反射面，所以o '处反射波振动有一个位相的突变。

1cos()cos y A t A t ωππω'∴=-+=
反射波方程
227cos ()cos ()4y A t oo x A t x ππωωλλλ⎡⎤⎡⎤
''=--=--⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
2cos 2A t x ππωλ⎡
⎤=++⎢⎥
⎣
⎦ 合成波方程为 入y y y '=+
22cos()cos()22A t x A t x π
πππ
ωωλλ=-
++++
22cos
cos()2A x t ππ
ωλ=+ 将P 点坐标
73442x λλλ=-= 代入上述方程得P 点的振动方程 12cos()
2y A t ωπ=-+
5-8解：（1）由形成驻波的条件。

可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x 轴的负方向。

又知0x =处待求波与已知波同相位，所以待求波的波动方程为
()20.05cos 2t 0.054y x π=⎡+⎤⎣⎦
（2）驻波方程为 12y y y =+ 即
()()005c o s 2005400520054
y t x x ππ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦
t ...cos .
y (m)
习题5-6解图
()
10.10cos cos 402y x t ππ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭ ()SI
波节位置由下式求出：
()
122+12
x k ππ= 0,1,2,k =±±
离原点最近的四个波节的坐标为
1m,1m,3m,3m x =--
5-9解：（1）o 处观察者所接收到的拍音频率为声波直接传给观察者的声波频率1
ν'与经墙壁反射给观察者的声波频率2
ν'之差。

即拍频为 2
1拍ννν''=- (1) 按规定取S 指向o 坐标轴正方向，此时波源的速度0s <v ，观察者的速度00=v ，于是
0100
s s c c
c c ννν-'=
=-+v v v (2)
式中，0ν为声源静止时的频率，02040Hz ν=
反射壁不动，波源向反射壁运动，反射壁 相当于接受声波的观察者。

故有
2
00
0s s
c c
c c ννν-'==--v v (3)
将式②，式③代入①得到
0拍
s s c c c c νν⎛⎫
=- ⎪ ⎪-+⎝⎭
v v 2
2
1s
s c
c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭v v
对上式整理后，得到s v 的二次方程为
2
20
拍
20s s c
c νν--=v v
利用求根公式，并只取正根，得到
s =
v
0拍c ν
ν⎤⎥=⎥⎥⎦
代入数值，求得 -10.25m s s ≈⋅v
（2）若S 不动，则S 直接传给静止的观察者o 的声波频率 1
0νν'=。

当反射面向o 运动，亦即向S 运动。

取S 指向反射面的方向为坐标轴正向，反射面相当
于接受声波的观察者o '，此时，0s =v ,-100.2m s '=-=-
v v 反射面接收到的频率2ν为
20c c νν+'=
v
设反射面反射的声波被o 处观察者接受到的频率为2ν'
，此时反射面可视为波源S '，仍取
S '指向o 为坐标轴正方向。

于是有-10.2m s s '=
v v =，00=v 代入公式有 0220
s c c c c c c ννν-+'=
=⋅--v v v v
拍频为 00拍21c c c ννν+⎛⎫
=-= ⎪-⎝⎭v
v
v -v
于是声源的频率0ν为
0拍3398Hz 2c νν-=
=v
v。