函数的对称性与奇偶性的判断方法
6、函数奇偶性判断、证明和图象对称性
6、 奇 偶 性1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做偶函数．(2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数． (3)判断奇偶性①f (x )＝|x |；②f (x )＝1－x 2＋x 2－1 ③f (x )＝x 2 (x ≥1)；④f (x )＝|x ＋1|－|x －1|.2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3．若一次函数y ＝kx ＋b 为奇函数，则b ＝ ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数则b ＝.反比例函数y ＝k x(k ≠0)是函数．对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1] 1、判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝x 3＋1x；(2)f (x )＝x 2＋1；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(4)f (x )＝2x ＋1；(5)f (x )＝x －1＋1－x ；(6)f (x )＝1|x |－1.2、判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．[例2]已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．2、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.[例3]1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？2、(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小结果为______．(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．[例4]1、已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．2、(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．[例5] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2课堂练习一、选择题1．下列函数不具备奇偶性的是 ( )A ．y ＝－xB ．y ＝－1x C ．y ＝x －1x ＋1D ．y ＝x 2＋22．下列命题中真命题的个数为( )(1)对f (x )定义域内的任意x ，都有f (x )＋f (－x )＝0则f (x )是奇函数(2)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (x )－f (－x )＝0，则f (x )是偶函数(3)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝－1，则f (x )是奇函数(4)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝1，则f (x )是偶函数A ．1B ．2C ．3D ．43．若函数y ＝f (x )为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )的图象上的是 ( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (－a )) C ．(－a ，f (a )) D ．(－a ，－f (a ))4．已知y ＝f (x )是奇函数，且方程f (x )＝0有六个实根，则方程f (x )＝0的所有实根之和是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．05．已知f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．部分为增函数，部分为减函数 D ．无法确定增减性 6．偶函数y ＝f (x )在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是( )A ．f (－2)<f (3)B ．f (－π)<f (π)C ．f (1)<f (－3)D ．f (－2)>f (3)二、解答题 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 是有理数－1 x 是无理数. (2)f (x )＝|2x ＋1|－|2x －1|.(3)f (x )＝2|x |. (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2) x ≥0－x (x ＋2) x <0课后练习一、选择题 1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( ) A ．－15B ．15C ．10D ．－104．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3)<f (5)5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1B ．1 C.114D ．－1146．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为37．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝2－|x |8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 `D.⎣⎡⎭⎫12，23 9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1)<f (2) B ．f (1)＝f (2) C ．f (1)>f (2) D ．不能确定二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________． 12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x .14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．答案1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x ) ②偶函数：－x ∈D ，且g (－x )＝g (x ) (2)性质： 坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴 (3)[答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3． b ＝0， b ＝0 奇.对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断．[例1] 1、 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断． ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝－2x ＋1， ∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数． (5)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．2、 [解析] f (x )的定义域为R ，当a ≠0时，f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，当a ＝0时，有f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.[例2] 1、 [分析] 由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0)先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性画出y 轴左边的图象．如下图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 2、 [答案] －x ＋1[解析] x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.[例3] 1、已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？[分析] 由函数的奇偶性进行转化．[解析] 设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数．∴f (－x 2)＜f (－x 1) 又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数．[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的． 2、[答案] (1)f (－5)<f (3)[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－5)＝f (5)，∵f (x )在[2,6]上是减函数， ∴f (5)<f (3)，∴f (－5)<f (3)．(2)设－6≤x 1<x 2≤－1，则1≤－x 2<－x 1≤6，∵f (x )在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f (1)≤f (－x 2)<f (－x 1)≤f (6)＝10， 又∵f (x )为奇函数，∴4≤－f (x 2)<－f (x 1)≤10， ∴－10≤f (x 1)<f (x 2)≤－4，即f (x )在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.[例4] 1、[解析] (1)根据偶函数图象关于y 轴对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(1)． (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(2)．2、 [答案] (1)2 (2)f (3)>f (1)[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f (x )图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴f (－4)·f (－2)＝(－2)×(－1)＝2.(2)∵偶函数f (x )满足f (－3)>f (－1)， ∴f (3)>f (1)．[点评](1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号¡°f ¡±内的负号，f (－4)·f (－2)＝－f (4)·[－f (2)]＝f (4)·f (2)＝2×1＝2.[辨析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[例5] [正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 课后练习答案 一、选择题1．[答案] C2．[答案] D[解析] 四个命题都正确，故选D.3．[答案] D[解析] ∵－f (a )＝f (－a )，∴点(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )的图象上，故选D. 4．[答案] D[解析] 奇函数的图象关于原点对称，方程f (x )＝0的六个根，即f (x )图象与x 轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称， ∴和为0.5．[答案] A[解析] ∵f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，因此f (x )在(－5，－2)上为增函数，故选A.6．[答案] D二、解答题a7． [解析] (1)为偶函数．∵x ∈Q 时，－x ∈Q ， ∴f (－x )＝1＝f (x )．同理，x 为无理数时，－x 也为无理数． ∴f (－x )＝－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)奇函数．∵f (－x )＝|－2x ＋1|－|－2x －1|aa ＝|2x －1|－|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)偶函数．∵f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(4)画出其图象如图，可见f (x )为奇函数．课后练习答案 一、选择题 1． [答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错． 2．[答案] B 3．[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15. 解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)． 5．[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x－3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1. 6．[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C. 8．[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13x <23，∴选A.9．[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1. 解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1. 10．[答案] C [解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较． 二、填空题11． [答案] 奇函数 [解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数． 12． [答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 三、解答题13．[解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14． [解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2 又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以12a1＋⎝⎛⎭⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16． [解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)， ∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<1－a 2<11－a >a 2－1解得0<a <1. 故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17． [解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)， 其图象如图所示．。
高中数学中的函数的奇偶性与对称性
高中数学中的函数的奇偶性与对称性函数是数学中非常重要的概念，它在解决各种实际问题以及数学推导中起着关键的作用。
在高中数学中，函数的奇偶性和对称性是我们经常要研究的性质之一。
本文将就这两个性质展开讨论，并阐述它们在函数研究中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性判断是指在函数的定义域内，函数关于y轴的对称性。
对于任意实数x，如果函数f(-x) = f(x)，那么这个函数被称为偶函数；如果函数f(-x) = -f(x)，那么这个函数被称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即函数在原点的对称轴上。
典型的奇函数包括正弦函数和正切函数。
例如，y = sin(x)和y = tan(x)都是奇函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角是相反的，因此函数关于y轴对称。
偶函数的图像关于y轴对称，即函数在y轴上对称。
典型的偶函数包括余弦函数和幂函数。
例如，y = cos(x)和y = x^2都是偶函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角也是一致的，因此函数关于y轴对称。
2. 函数的对称性除了奇偶性，函数还有其他的对称性，如x轴对称和原点对称。
当函数关于x轴对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = f(x)。
当函数关于原点对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = -f(x)。
函数的对称性在研究函数的性质和图像时非常有用。
奇偶性和对称性在函数研究中起着重要的作用。
它们帮助我们简化函数的研究和计算，同时也带来了一些有趣的性质和规律。
3. 奇偶函数的性质和应用奇函数和偶函数有一些特殊的性质和规律，它们在数学推导和解决实际问题时非常有用。
首先，奇函数与奇函数的和、差、积仍然是奇函数。
例如，如果有两个奇函数f(x)和g(x)，那么它们的和f(x) + g(x)和差f(x) - g(x)仍然是奇函数。
同样地，奇函数与奇函数的乘积fg(x)也是奇函数。
其次，奇函数与偶函数的和、差、积都是一般的函数。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。
函数的奇偶性对于我们分析函数的性质和图像至关重要，因此掌握判断函数奇偶性的方法是很有必要的。
本文将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。
其中D为函数的定义域。
接下来，我们介绍判断函数奇偶性的方法。
方法一，利用函数图像的对称性。
对于一个函数f(x)，我们可以通过观察其图像来判断其奇偶性。
如果函数的图像关于y轴对称，即对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，即对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立，那么这个函数就是奇函数。
方法二，利用导数的性质。
我们知道，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
因此，我们可以通过求函数的导数来判断函数的奇偶性。
具体来说，对于一个函数f(x)，如果它的导数f'(x)是偶函数，那么f(x)就是奇函数；如果它的导数f'(x)是奇函数，那么f(x)就是偶函数。
方法三，利用函数的性质。
有一些函数具有特定的性质，通过观察这些性质，我们也可以判断函数的奇偶性。
例如，对于多项式函数来说，如果它只包含偶次幂的项，那么它就是偶函数；如果它只包含奇次幂的项，那么它就是奇函数。
方法四，利用函数的表达式。
有些函数的表达式本身就能够直接反映出它的奇偶性。
例如，sin(x)是奇函数，cos(x)是偶函数，x^2是偶函数，x^3是奇函数，e^x是奇函数等等。
综上所述，判断函数奇偶性的方法有很多种，我们可以根据具体的函数形式和条件来灵活运用这些方法。
掌握了判断函数奇偶性的方法，我们就能更好地理解和分析函数，为数学问题的解决提供更多的思路和方法。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。
本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。
一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。
对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
常见的对称性有偶对称和奇对称两种。
1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y轴对称的情况下，称为偶对称函数。
判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后化简这个新的表达式；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。
例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。
与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。
2. 奇对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。
判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后将新表达式中的符号取相反数；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。
例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。
二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。
奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。
偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。
判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤：1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。
2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。
举例说明函数奇偶性的几种判断方法
举例说明函数奇偶性的几种判断方法函数的奇偶性是一种特殊的性质，它指的是函数在关于原点对称的情况下是否具有相同的特征。
具体地说，如果一个函数在关于原点对称的情况下能够保持不变，那么这个函数就是偶函数；如果一个函数在关于原点对称的情况下能够发生“翻转”的变化，那么这个函数就是奇函数。
判断函数的奇偶性是函数分析的基本问题之一，下面将介绍几种常见的方法来判断函数的奇偶性。
一、利用函数图像的对称性利用函数的图像对称性是一种最直观的判断函数奇偶性的方法。
如果一个函数关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；如果一个函数关于原点对称，则该函数为奇函数。
例如，函数f(x) = x² 在 x 轴和 y 轴上都有对称轴，但是它关于 y 轴对称，因此是一个偶函数。
而函数g(x) = x³ 在原点有对称轴，但是它不与 y 轴对称，因此是一个奇函数。
利用函数的代数性质也可以判断函数的奇偶性。
对于一个偶函数 f(x)，有 f(x) =f(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值不变；而对于一个奇函数 g(x)，有 g(x) = -g(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值取相反数。
例如，函数 h(x) = cos x 是一个偶函数，因为它满足 h(x) = cos x = cos(-x) = h(-x)；而函数 i(x) = sin x 是一个奇函数，因为它满足 i(x) = sin x = -sin(-x) = -i(-x)。
三、利用函数的微积分性质四、利用函数的级数表示式利用函数的级数表示式也可以判断函数的奇偶性。
对于一个偶函数 f(x)，它的幂级数展开式只包含偶次幂项，因为所有奇次幂项的系数都是零；而对于一个奇函数 g(x)，它的幂级数展开式只包含奇次幂项，因为所有偶次幂项的系数都是零。
例如，函数 l(x)= e^x + e^-x 是一个偶函数，因为它的幂级数展开式为 l(x) = 2 + x^2/2! + x^4/4!+ …；而函数 m(x) = e^x - e^-x 是一个奇函数，因为它的幂级数展开式为 m(x) = 2x+ x^3/3! + x^5/5! + …。
函数的奇偶性与对称性的判断
函数的奇偶性与对称性的判断函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
在数学中，函数的奇偶性与对称性是其中一个重要的性质。
本文将探讨如何判断函数的奇偶性和对称性，并介绍相关的概念和方法。
一、奇函数与偶函数的定义在介绍奇函数和偶函数之前，首先我们需要了解什么是自变量和因变量。
在函数中，自变量是指函数的输入值，而因变量是指函数的输出值。
1. 奇函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，即将自变量取相反数的结果仍然等于取原自变量的相反数后的函数值，那么该函数就是奇函数。
2. 偶函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，即将自变量取相反数的结果等于原自变量的函数值，那么该函数就是偶函数。
根据定义，奇函数与偶函数在自变量取相反数后的函数值不同，这是奇函数和偶函数之间的主要区别。
二、奇函数和偶函数的图像特点奇函数和偶函数都具有一定的图像特点，通过观察函数图像可以判断函数的奇偶性。
1. 奇函数的图像特点：- 奇函数的图像关于坐标原点对称，即关于原点对称；- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的点(-x, -y)。
2. 偶函数的图像特点：- 偶函数的图像关于y轴对称；- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的点(-x, y)。
通过观察函数的图像特点，我们可以初步判断函数的奇偶性。
三、判断函数奇偶性的方法除了通过观察函数的图像特点外，还可以通过计算函数表达式来判断函数的奇偶性。
1. 基本方法：- 对于奇函数，可以用等式f(-x) = -f(x)来验证其奇性，如果等式成立，则函数是奇函数；- 对于偶函数，可以用等式f(-x) = f(x)来验证其偶性，如果等式成立，则函数是偶函数。
2. 具体判断方法：- 对于多项式函数，奇次幂的项对应奇函数，偶次幂的项对应偶函数；- 对于三角函数和指数函数，奇函数和偶函数的特性可以根据函数的具体性质来判断。
函数的奇偶性、周期性、对称性(一)
函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个()f x x 都满足①函数为偶函数；()()f x f x -=⇔()f x ②函数为奇函数.()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔()f x 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；反过来如果一个函数的图像y 关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于轴对称，该函数为偶函数.y 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，，其中定义域是()0f x =x D ∈D 关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数在()f x 区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递增（减）； [,](0)a b a b ≤<()f x [,]b a --③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数在()f x 区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递减（增）； [,](0)a b a b ≤<()f x [,]b a --④任意定义在上的函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即R ()f x . ()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意（且)也是函数的周期．nT n Z ∈0n ≠2．最小正周期：如果在周期函数)(x f 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如（()f x ()f x c =c 为常数），任意一个实数都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.x 三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转，所得的图像能与原函数图像完全重180︒合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数若在处有定义，则必有，但若不能判断奇函数的定义()f x 0x =(0)0f =()f x 域中一定有，则不能使用，求取参数的值.0x =(0)0f =2．函数的定义域关于原点对称，则函数为偶函数，函数()f x ()()()F x f x f x =+-为奇函数.()()()F x f x f x =--3．几类函数的周期(约定)问题：0>a ①若函数满足：或或()f x )()(a x f a x f -=+)()(x f a x f -=+，或,或()(()0,0)()k f x a f x k f x +=≠≠()()k f x a f x +=-(()0,0)f x k ≠≠或等，则的周期； 1()()1()f x f x a f x -+=+()()f x a f x b ++=)(x f a T 2=②若的图象关于直线,对称，则函数是周期为)(x f y =a x =b x =)(b a ≠)(x f y =的周期函数；b a -2③若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数)(x f y =)0,(a )0,(b a b ≠是周期为；)(x f y =||2a b -④若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数)(x f y =a x =)0,(b a b ≠是周期为.)(x f y =||4a b -4．函数的图像的对称性()y f x =①函数的图像关于直线对称. ()y f x =x a =()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数的图像关于点对称. )(x f y =)0,(a ⇔)2()(x a f x f --=⇔()()f a x f a x +=--③函数满足，则的图像关于直线对称. )(x f y =)()(x b f x a f -=+)(x f y =2a b x +=④若函数对定义域中任意均有，则函数)(x f y =x 0)()(=+-++c x b f x a f 的图像关于点成中心对称图形. )(x f y =(,)22a b c +-5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴. ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为2()(0)f x ax bx c a =++≠. 2b x a=-④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，(0)k y k x =≠与均为它的对称轴.推广：函数y x =y x =-，由函数图象的平移知识易知：函数2()a ad b ad cx d b ax b a c c c c y dcx d cx d c x c++--+===++++的对称中心为.（思考：如何快速作出函数的图象？找对称中心，(,)d a c c -225x y x +=+化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数的图象关于直线对称.||y a x b c =-+x b =⑥函数的对称轴为；||||(0)y ax b ax c a =-+-≠22b c b c a a x a++==的对称中心为. ||||(0)y ax b ax c a =---≠(,0)2b c a+⑦函数是奇函数，图象关于原点对称. (0)a y x a x=+≠(0,0)⑧函数、的图象既是轴对称图形，也是中sin()y A x k ωϕ=++cos()y A x k ωϕ=++心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数的图象是中心对称图形，对称中心为32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠（二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函(,(33b b f a a--数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会(||)y f x =|()|y f x =关于轴对称；后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，y x x 这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称.ln y x =|sin |y x =6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.如指数函数与对数函数y x =xy a =的图象关于直线对称.log a y x =y x =②函数与函数的图像关于直线对称. )(x a f y +=)(x b f y -=2a b x -=③函数与函数的图像关于直线对称. )(wx a f y +=)(wx b f y -=w a b x 2-=【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出；4）判断或()f x -()()f x f x -=-是否对定义域内的每一个恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反()()f x f x -=x 例，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数）；【注意】（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明与的关系，只有对各段上的()f x -()f x x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于轴对称）； y ③函数的公共定义域关于原点对称(),()f x g x 1）若函数都为奇函数或都为偶函数，则函数为偶函数；(),()f x g x ()()()F x f x g x =2）若函数其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数(),()f x g x ()()()F x f x g x =为奇函数；3）若函数都为奇函数，则函数为奇函数；(),()f x g x ()()()F x f x g x =+4）若函数都为偶函数，则函数为偶函数.(),()f x g x ()()()F x f x g x =+【注意】复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.[()]y f g x =3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.()()0f x f x ±=4．如果函数是偶函数，那么，通常在求解与偶函数、单调性有关的不()f x ()(||)f x f x =等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们x 可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆. ②而当前面的符号相同时告诉我们的是周期性.x ③当前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有x 制造负号的能力.7．证明一个函数关于直线对称的步骤：①设函数图像上的任意点()y f x =x a =()y f x =；②找到点关于直线的对称点；③设法证明点(,)x y (,)x y x a =(2,)a x y -(2,)a x y -也在函数的图像上；④下结论.()y f x =8．证明一个函数关于点对称的步骤：①设函数图像上的任意点()y f x =(,)a b ()y f x =；②找到点关于点的对称点；③设法证明点(,)x y (,)x y (,)a b (2,2)a x b y --也在函数的图像上；④下结论.(2,2)a x b y --()y f x =9．对于证明两个函数的图像关于直线对称或关于点对称的方法参照一个函数的x a =(,)a b 证明方法进行即可.10．已知定义在上的周期函数，周期为，函数的一个对称中心为或对R ()f x T ()f x (,)a b 称轴为，则点必是函数的对称中心，直线必是函x a =(,)2T k a b ⋅+()f x 2T x k a =⋅+数的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差()f x 半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数有对称中心，则函数的对称中心求解类型有：()y f x =()y f x =①若函数的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心()y f x =的横坐标；②若函数的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵()y f x =坐标；③若函数的定义域与值域都是，则设对称中心为，由()y f x =R (,)a b 确定参数的值即可.()()2f a x f a x b ++-=,a b④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数的对称中心为. 1111y x x x n =+++++ ,02n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接2()(1)f x x x =<，容易得出错误的结论：是偶函数.22()()()f x x x f x -=-==2()(1)f x x x =<2．奇函数在处可以没有定义，如；但如果奇函数在处有()f x 0x =1()f x x=()f x 0x =定义，则. (0)0f =3．周期函数的定义域至少有一边是无界的.如：命题“函数在()f x ()sin f x x =是周期函数”是错误的；命题“函数在是最小正[1000,1000]ππ-()sin f x x =[0,)+∞周期为的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数在2π()sin f x x =(,0]-∞是周期为的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.2π-4．有对称性（对称轴，对称中心）的一个或两个函数的定义域必须关于x a =(,)a b x a =对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数满足，则函数的图象关于直线()y f x =(2)(4)f x f x -=+()y f x =对称；函数的图象与函数的图象则关于直线2432x +==(2)y f x =-(4)y f x =+对称. 2412x -==-。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在函数的研究中，对称性与奇偶性的判断是一个常见且重要的问题。
本文将探讨函数的对称性与奇偶性的判断方法，并对其进行详细解释。
1. 函数的对称性对称性是指某个变量的改变是否引起函数图像的变化。
常见的对称性有以下几种：轴对称、中心对称和旋转对称。
1.1 轴对称轴对称即函数图像相对于某个轴做镜像之后与原图像完全重合。
对于轴对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于轴对称，另一部分与之相同但关于轴的一侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，则表示函数具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称即函数图像相对于某个点做镜像之后与原图像完全重合。
对于中心对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于中心对称，另一部分与之相同但关于中心的异侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，表示函数具有中心对称性。
1.3 旋转对称旋转对称即函数图像绕某个点旋转180°之后与原图像完全重合。
对于旋转对称函数，其图像在不同的角度上具有相同的形状。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = -f(-x)，则表示函数具有旋转对称性。
2. 函数的奇偶性奇偶性是指函数的性质，也是函数的一种对称性。
奇函数与偶函数是函数奇偶性的两种基本类型。
2.1 奇函数奇函数是指满足f(x) = -f(-x)的函数。
奇函数的特点是函数图像关于原点对称，也即以原点为对称中心，左右对称。
奇函数具有以下几个特性：- 在原点处取值为0，即f(0) = 0；- 若f(x)是奇函数，则f(-x)也是奇函数；- 奇函数的奇次幂项系数为0，即只包含奇次幂项。
例如：f(x) =x^3 + 2x。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(x) = f(-x)的函数。
偶函数的特点是函数图像关于y轴对称，也即以y轴为对称轴，左右对称。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学的广阔天地中，函数的奇偶性与对称性是两个极为重要的概念。
它们就像数学大厦中的两根支柱，支撑着函数这座宏伟的建筑，为我们理解和解决函数相关的问题提供了有力的工具。
让我们先来聊聊函数的奇偶性。
简单来说，函数的奇偶性是指函数图像关于原点或者 y 轴的对称性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。
偶函数的图像关于 y 轴对称。
比如说，二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。
当 x 取2 时，f(2) ＝ 4；当 x 取－2 时，f(－2) ＝ 4。
可以发现，f(2) ＝ f(－2)，而且画出它的图像，会看到是一个漂亮的抛物线，左右两边完全对称，就像镜子里的影像一样。
相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
一个常见的奇函数例子是 f(x) ＝ x³。
当 x 取 2 时，f(2) ＝ 8；当 x 取－2 时，f(－2) ＝－8。
f(－2) ＝ f(2)，它的图像呈现出一种旋转对称的美，绕着原点旋转 180 度后，与原来的图像完全重合。
那么，函数的奇偶性有什么用呢？首先，它能帮助我们简化计算。
在一些积分运算中，如果能判断出函数的奇偶性，就能大大减少计算量。
其次，通过奇偶性，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
比如，知道一个函数是偶函数，我们就可以只研究它在正半轴的情况，然后通过对称性得到另一半的图像和性质。
接下来，再谈谈函数的对称性。
函数的对称性可不只是关于原点或者 y 轴对称这么简单，它还有很多其他的形式。
比如，有的函数图像关于直线 x ＝ a 对称。
如果对于函数 f(x)，都有 f(a ＋ x) ＝ f(a x)，那么函数 f(x)的图像就关于直线 x ＝ a 对称。
举个例子，函数 f(x) ＝｜x 2| ，它的图像关于直线 x ＝ 2 对称。
谈高中函数中的奇偶性和对称性
谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。
下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。
2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。
2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。
综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。
函数的奇偶性与对称性的判断
函数的奇偶性与对称性的判断函数的奇偶性与对称性是数学中重要的概念，能够帮助我们分析函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨如何判断一个函数的奇偶性以及利用对称性来简化计算和分析。
一、奇偶性的定义与判断函数的奇偶性是指函数在坐标系中关于原点是否对称。
具体而言，如果函数f(-x) = -f(x)对于定义域中的所有x成立，则函数f(x)为奇函数；如果函数f(-x) = f(x)对于定义域中的所有x成立，则函数f(x)为偶函数。
对于一个已知的函数，我们可以通过以下步骤来判断其奇偶性：1. 将函数中的x替换为-x，得到f(-x)；2. 将函数f(x)与f(-x)进行比较；- 如果f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；- 如果f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数；- 如果以上两种情况均不成立，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
举例来说，考虑函数f(x) = x^3，我们可以逐步验证其奇偶性：1. 计算f(-x) = (-x)^3 = -x^3；2. 比较f(x) = x^3 与 f(-x) = -x^3；- 显然，f(x) ≠ f(-x)，因此函数f(x)不是偶函数；- 而f(x) = -f(-x)，因此函数f(x)是奇函数。
二、对称性的应用与分析函数的对称性是指函数图像在坐标系中是否存在某种对称形态。
根据函数的奇偶性，我们可以利用对称性来简化函数的计算和分析。
1. 奇函数的对称性奇函数的对称性是指其图像关于原点对称。
利用奇函数的对称性，我们可以简化函数的计算，例如：- 奇函数在原点处必然经过，即f(0) = 0；- 若知道函数在某一点(x, y)处的取值，则可知道函数在对称点(-x, -y)也取相同的值。
2. 偶函数的对称性偶函数的对称性是指其图像关于y轴对称。
利用偶函数的对称性，我们可以简化函数的计算，例如：- 偶函数在y轴上处处对称，即f(x) = f(-x)；- 若知道函数在某一点(x, y)处的取值，则可知道函数在对称点(-x, y)也取相同的值。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
判断函数奇偶性的三种方法
判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
当函数在原点对称时，我们称其为偶函数；当函数关于原点对称时，我们称其为奇函数。
判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
一、函数表达式的法则：设函数表达式为f(x)，则有以下判断准则：1.当f(x)=f(-x)时，函数为偶函数。
如f(x)=x^2，f(-x)=(-x)^2=x^2，因此函数f(x)=x^2是偶函数。
2.当f(x)=-f(-x)时，函数为奇函数。
如f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3，因此函数f(x)=x^3是奇函数。
通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性，奇次幂代表奇函数，偶次幂代表偶函数。
二、函数图像的法则：函数图像关于y轴对称时，函数为偶函数；函数图像关于原点对称时，函数为奇函数。
通过绘制函数的图像来观察图像的对称性，从而判断函数的奇偶性。
如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
三、函数的性质法则：对于连续函数，可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
1.对于偶函数，其导函数也为偶函数。
如果函数f(x)是偶函数，则f'(x)=0，即f'(-x)=0。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。
例如f(x)=x^2，f'(x)=2x，f'(-x)=2(-x)=-2x，f'(x)也是偶函数。
2.对于奇函数，其导函数也为奇函数。
如果函数f(x)是奇函数，则f'(x)=-f'(-x)。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。
例如f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，f'(-x)=3(-x)^2=3x^2，f'(x)也是奇函数。
综上所述，判断函数的奇偶性主要有三种方法：函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
初中数学 什么是函数的对称性 如何判断一个函数是否具有对称性
初中数学什么是函数的对称性如何判断一个函数是否具有对称性函数的对称性是指函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
常见的函数对称性包括奇偶性对称、轴对称和中心对称等。
1. 奇偶性对称：如果对于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么称函数$f(x)$是奇函数。
奇函数图像关于原点对称。
如果对于任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么称函数$f(x)$是偶函数。
偶函数图像关于$y$轴对称。
2. 轴对称：如果函数图像关于某条垂直于$x$轴的直线对称，那么称函数具有$x$轴对称性。
同样地，如果函数图像关于某条垂直于$y$轴的直线对称，那么称函数具有$y$轴对称性。
3. 中心对称：如果函数图像关于坐标系中心对称，那么称函数具有中心对称性。
要判断一个函数是否具有对称性，可以采用以下方法：1. 奇偶性判断：对于一个函数，可以根据函数的定义式来判断它是否是奇偶函数。
如果函数的定义式中只包含偶次幂或者只包含奇次幂，那么它就是偶函数或者奇函数。
如果函数的定义式中既包含偶次幂又包含奇次幂，那么它既不是偶函数也不是奇函数。
2. 轴对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有轴对称性。
如果函数图像关于某条垂直于$x$轴或$y$轴的直线对称，那么函数具有$x$轴或$y$轴对称性。
3. 中心对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有中心对称性。
如果函数图像关于坐标系中心对称，那么函数具有中心对称性。
需要注意的是，函数的对称性是函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
不同的对称性可以对应不同的变换方式，具体需要根据函数的定义式和函数图像来进行判断。
希望以上内容能够帮助你理解函数的对称性以及如何判断一个函数是否具有对称性，并提供了一些常用的判断方法和思路。
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函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数
的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介
绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性
1. 关于y轴对称
如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图
像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称
如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函
数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对
称性。
3. 关于原点对称
如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像
关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性
1. 关于y轴对称的奇函数
如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数
如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质
奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例
下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
将x替换为-x，我们可以验证-f(-x) = f(x)。
所以该函数关于x轴对称。
例3：判断函数f(x) = x^5 - x是否关于原点对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数为奇数，因此它是一个
奇函数。
将x替换为-x，我们可以验证-f(-x) = f(x)。
所以该函数关于原
点对称。
总结：
函数的对称性与奇偶性在数学中具有重要的意义。
通过判断函数关
于y轴、x轴或原点的对称性，我们可以进一步研究函数的特点和性质。
通过判断函数的奇偶性，我们可以推导出函数的反函数的奇偶性。
这
些方法帮助我们更好地理解和分析函数。