2021届高三数学小测(10)
高三数学阶段测试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校建华实验2021届高三数学阶段测试试题〔含解析〕一、单项选择题 1.(]1,2A =，(){}2220B x x a x a =-++≤，假设A B ⊆，那么a 的取值范围是〔〕A.2a ≠B.2a ≤C.2a> D.1a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合B ,再根据A B ⊆得到关于a 的不等式，解不等式即得解. 【详解】由题得{}(2)()0B x x x a =--≤，因为A B ⊆，所以B 不是空集. 所以2a <，[,2]B a =因为(]1,2A =，A B ⊆，所以1a ≤. 应选：D【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解法，考察集合的关系和运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 2.复数12z i =+，那么z z ⋅=〔〕B. C.5 D.43i -【答案】C 【解析】 【分析】先求出12,zi =-再求出z z ⋅得解.【详解】由题得12,(12)(12)145z i z z i i =-∴⋅=+-=+=.应选：C【点睛】此题主要考察一共轭复数的求法，考察复数的乘法运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.3.椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为0.5，那么以下关系正确的选项是〔〕A.2a= B.b = C.2232a b = D.2234a b =【答案】D 【解析】 【分析】由题得1,2c e a ==化简即得解. 【详解】由题得2222221,2,44(),34.2c e a c a c a b a b a ==∴=∴==-∴=应选：D【点睛】此题主要考察椭圆的简单几何性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题. 4.某几何体由正方体去掉一四棱柱所得，其三视图如图，假设每个网格为边长为1的正方形，那么该几何体的体积为〔〕 A.20 B.403C.40D.60【答案】C 【解析】 【分析】由三视图复原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解． 【详解】由三视图复原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱， 那么该几何体的体积1422(24)24402V =⨯⨯++⨯⨯=． 应选：C ．【点睛】此题主要考察由三视图求几何体的体积，关键是由三视图复原原几何体，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度．5.α为第二象限角且1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=〔〕A.0B.12-C.0或者D.0或者12-【答案】B 【解析】 【分析】先求出1cos cos()426πα=+α+，再求出cos 62πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即得解. 【详解】由题得11cos cos[()]cos()sin()cos()662626426πππππα=α+-=α++α+=+α+.因为α为第二象限角， 所以2722,.222366k k k Z k k πππππαπππαπ+<<+∈∴+<+<+, 因为1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以222,.36k k k Z πππαππ+<+<+∈所以cos 62πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以11cos (4222α=+⨯-=-.应选：B【点睛】此题主要考察三角函数求值，考察三角恒等变换，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.6.设AC →和BC →的夹角为θ，2AB BC AC BC→→→→+>-是θ为锐角的〔〕条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】先证明2AB BC AC BC→→→→+>-是θ为锐角的非充分条件，再证明2AB BC AC BC→→→→+>-是θ为锐角的必要条件，即得解.【详解】由题得,AB BC BC AC BC AC BC AC BC→→→→→→→++>-∴+>-，所以222222,0AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ++>+-∴>.所以||||cos 0,cos 0,AC BC θθ>∴>所以向量AC→和BC →的夹角θ为锐角或者者零度角.所以2AB BC AC BC→→→→+>-是θ为锐角的非充分条件.当θ为锐角时，cos 0,||||cos 0,AC BC θθ∴>∴>由前面可以得到2AB BC AC BC →→→→+>-.所以2AB BC AC BC→→→→+>-是θ为锐角的必要条件.应选：C【点睛】此题主要考察充分必要条件的证明，考察向量的数量积运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.7.半衰期为衡量放射性物质变质速度的一个概念，其定义为当放射性物质的质量减少到原来的一半时所用的时间是．以14C为例，其半衰期约为5730年，那么如原有1kg的14C在5730年后还剩下140.5kg C．现从某废弃的核反响堆中取出一块含有141kg C的石墨块，科学家预测其在20000年后能衰变到可承受的放射性强度〔即14C少到可承受的程度〕，那么假设取出含有142kg C的石墨块，〔〕年后该石墨块的放射性能衰变到可承受的放射性强度．A.40000B.25730C.31460D.30000【答案】B【解析】【分析】先求出放射性物质的衰变率157301()2q=，再求出放射性物质衰变的可以承受的质量为12000057301[()]2，再解不等式112000057305730112[()][()]22n⨯≤即得解.【详解】设放射性物质的衰变率为15730573011,1,()22q q q∴⨯=∴=.放射性物质衰变的可以承受的质量为1 200002000057301[()]2q=，设n年后该石墨块的放射性能衰变到可承受的放射性强度．那么111120000573057305730573011112[()][()],lg2lg()20000lg() 2222n n⨯≤∴+≤，所以157301157305730120000lg()lg2lg22200002573011lg()lg()22n-≤=-=.应选：B【点睛】此题主要考察指数函数的应用，考察对数的运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 8.甲乙两人进展乒乓球比赛，两人打到10平，之后的比赛要每球交替发球姑且要一人净胜两球才能取胜，甲发球甲获胜的概率为1p ，乙发球甲获胜的概率为2p 〕〔1〕假设20.5p =，两人能在两球后完毕比赛的概率与1p 有关 〔2〕假设10.5p =，两人能在两球后完毕比赛的概率与2p 有关〔3〕第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率一样 〔4〕第二球分出胜负的概率与在第2n 球没有分出胜负的情况下进而第()22+n 球分出胜负的概率一样A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】 【分析】用对立事件和HY 事件的概率研究〔1〕〔2〕得解，用条件概率、HY 事件的概率研究〔3〕〔4〕得解. 【详解】〔1〕先求连续两球，甲乙各赢一个的概率，不妨设甲先发球，此时可能是甲赢乙赢或者者乙赢甲赢，所以两球各赢一个的概率为11111(1)222p p ⨯+-⨯=，所以假设20.5p =，设打了2n 个球，那么两人不能完毕比赛的概率为1()2n ，那么两人能在两球后完毕比赛的概率为112n-（），与1p 〔2〕同〔1〕，设打了2n 个球，那么两人能在两球后完毕比赛的概率为112n-（），与2p 〔3〕不妨设甲先发球，第二球分出胜负即两球要么是甲赢，要么是乙赢，所以第二球分出胜负的概率为1212(1)(1)p p p p +--121212p p p p =--+，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率是条件概率，第二球没有分出胜负，说明前两球各赢一个球，其概率为12121212(1)(1)2p p p p p p p p -+-=+-，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率为121212121212[2][(1)(1)]2p p p p p p p p p p p p +-+--+-121212p p p p =--+〔4〕不妨设甲先发球，第二球分出胜负的概率为1212(1)(1)p p p p +--121212p p p p =--+，在第2n 球没有分出胜负的概率为21212121221212[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)]n n p p p p p p p p p p p p -+-+---+-121212p p p p =--+，所以第二球分出胜负的概率与在第2n 球没有分出胜负的情况下进而第()22+n应选：B【点睛】此题主要考察HY 事件的概率、对立事件的概率和条件概率的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 二、填空题 9.函数()f x ______．【答案】(0,2] 【解析】 【分析】 根据定义域的求法：()())0f x g x =≥〔n 为偶数〕、()()()()log 0a f x g x g x =>． 【详解】由题意得200021log 002x x x x x >>⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥<≤⎩⎩【点睛】常见函数定义域的求法：()())0f x g x =≥〔n 为偶数〕10.曲线2213y x -=与直线1y kx =+有两个交点，那么k 的取值范围______．【答案】22k -<<且k ≠【解析】联立直线和曲线方程得到22(3)240k x kx ---=，再利用判别式解答即可.【详解】把1y kx =+代入双曲线的方程得22(3)240k x kx ---=，当k =时，直线和曲线相交于一个交点，不满足题意，所以舍去.当k≠222416(3)12480,k k k ∆=+-=-+>所以22k -<<.所以k 的取值范围为22k -<<且k ≠故答案为：22k-<<且k ≠【点睛】此题主要考察直线和双曲线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题. 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2nSn n =+，那么数列{}n a 的通项公式为______．【答案】=2n a n 【解析】 【分析】先求出1a ，再求出1=2(2)n n n a S S n n --=≥，综合即得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，211112a S ==+=；当2n ≥时，221=(1)(1)2n n n a S S n n n n n --=+----=，适宜1n =. 所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .故答案为：=2n a n【点睛】此题主要考察利用n S 和n 的函数关系求数列的通项，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 12.设()()612f x x =-，那么x 的奇次项的系数和为______．【答案】364- 【解析】设()()623456012345612f x x a a x a x a x a x a x a x =-=++++++，先求出01234561a a a a a a a =++++++，601234563a a a a a a a =-+-+-+，两式相减即得解.【详解】设()()623456012345612f x x a a x a x a x a x a x a x =-=++++++，当1x =时，01234561a a a a a a a =++++++，〔1〕当1x =-时，601234563a a a a a a a =-+-+-+，〔2〕 〔1〕-〔2〕得613513513,3642a a a a a a -=++∴++=-.所以x 的奇次项的系数和为364-. 故答案为：364-【点睛】此题主要考察二项式的系数和问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题. 13.//m α，//n β，m n ⊥______． 〔1〕αβ⊥；〔2〕设l αβ=，那么//m l ； 〔3〕设lαβ=，假设//m l ，那么α与β夹角的正弦值与n 与α夹角的正弦值相等【答案】〔3〕 【解析】 【分析】利用直线和平面的位置关系逐一分析判断得解. 【详解】〔1 〔2〕设l αβ=，那么//m l 或者者,m l 〔3〕设lαβ=，假设//m l ，那么α与β夹角的正弦值与n 与α夹角的正弦值相等.如图，//AB n ，过点B 作BC α⊥,垂足为C ，连接AC .因为m n ⊥，//m l ，所以AB l ⊥，所以l ⊥平面ABC ,所以l AC ⊥,所以BAC ∠就是α与β夹角或者者补角，BAC ∠就是n 与α夹角，所以α与β夹角的正弦值与n 与α故答案为：〔3〕【点睛】此题主要考察空间线面位置关系的证明，考察空间角的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.14.科学家在研究物体的热辐射才能时定义了一个理想模型叫“黑体〞，即一种能完全吸收照在其外表的电磁波〔光〕的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B 与该黑体的绝对温度T 的4次方成正比，即4B T σ=，σ为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用根底变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，B 为纵坐标，以4T 为横坐标，那么可以近似得到______〔曲线形状〕，那么假设继续研究该实验，假设实验结果的曲线如下列图，试写出其可能的横纵坐标的变量形式______． 【答案】(1).射线(2).B 为纵坐标，以8T 为横坐标. 【解析】 【分析】〔1〕由于40T ≥，所以曲线是一条射线；〔2〕由于曲线的形状类似y =标的变量形式：B 为纵坐标，以8T 为横坐标.【详解】〔1〕因为4B T σ=，σ为玻尔兹曼常数．B 为纵坐标，以4T 为横坐标，因为40x T =≥，所以(0)Bx x σ=≥，所以曲线是一条射线；〔2〕由于曲线的形状类似y =，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：B 为纵坐标，以8T 为横坐标，故答案为：B 为纵坐标，以8T 为横坐标.故答案为：〔1〕射线；〔2〕B 为纵坐标，以8T 为横坐标.【点睛】此题主要考察函数的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和应用才能.三、解答题15.ABC 的,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且三边满足以下关系2222cos a b c bc A +=+．〔1〕求ABC 的形状；〔2〕假设ABC 为锐角三角形，那么求sin cos sin A B C ++的取值范围． 【答案】〔1〕等腰三角形；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理和正弦定理化简得sin)0,A C -=（即得三角形的形状； 〔2〕先求出sin cos sin A B C++=22sin +2sin 1A A -,再求出sin A 的范围，换元求函数的取值范围得解.【详解】〔1〕由题得2222cos ,2cos 2cos ab c bc A ab C bc A +-=∴=, 所以cos cos sin cos sin cos ,a C c A A C C A =∴=，所以sin)0,A C A C -=∴=（. 所以ABC 是等腰三角形.〔2〕由题得sin cos sin 2sin cos(2)2sin cos 2A B CA A A A π++=+-=- 222sin 12sin =2sin +2sin 1A A A A =-+-, 因为三角形是锐角三角形，所以02,42022A A A πππππ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<-<⎪⎩.sin 1A <<,设2sin ,221t A t y t t =∈=+-当t =时，y ；当1t =时，3y =.所以sin cos sin A B C ++的取值范围为.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角恒等变换，考察三角函数的图象和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． 〔Ⅰ〕求证：CD ⊥平面PAD ；〔Ⅱ〕求二面角F –AE –P 的余弦值；〔Ⅲ〕设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)3； (Ⅲ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的断定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F -AE -P 的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，那么PA ⊥CD ，由题意可知AD ⊥CD ，且PA ∩AD =A ，由线面垂直的断定定理可得CD ⊥平面PAD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系A xyz -， 易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ， 由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由12PEPD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，那么()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，cos ,3m nm n m n ⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P (Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 那么422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.年冬，雾霾天数明显减少，据环保局统计三个月的空气质量，到达优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天，主要原因是政府对治理雾霾采取有效措施．如：〔1〕减少机动车尾气排放〔2〕施行煤改电或者煤改气工程〔3〕关停了大量的排污企业〔4〕局部企业季节性停产．为理解农村地区施行煤改气工程后天然气的使用从某乡镇随机抽取100户，进展月均用气量调查，得到的用气量数据均在区间(]0,5内，表如下〔1〕求x 和m 值，假设同组内的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户平均用气量； 〔2〕从样本调查的用气量(]3,4和(]4,5的用户组中任选2户，进展燃气使用满意度调查，求2户用气量处于不同区间的概率．【答案】〔1〕25,0.25x m ==，平均数为；〔2〕8.15【解析】【分析】〔1〕根据14+5542100x +++=即得x 的值，再利用频率公式求m 的值，再利用平均数公式求解即可； 〔2〕设(3，4]组内数据为a ，b ，c ，(4d ，，5]组内数据为：e ，f ，从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户，利用列举法能求出这2户用气量处于不同区间的概率．【详解】〔1〕由题得14+5542100,25x x +++=∴=.250.25100m ==. 同组内的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户平均用气量为0.50.14+1.50.25+2.50.55+3.50.04+4.50.02=2.05⨯⨯⨯⨯⨯.〔2〕设(3，4]组内数据为a ，b ，c ，(4d ，，5]组内数据为：e ，f ，从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户的根本领件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e (,)c f (,)d e ，(,)d f ，(,)}e f ，一共有15种情况，设随机抽取2户不在同一组为事件A ， 那么A 中一共有：(,)a e ，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f一共有8种情况这2户用气量处于不同区间的概率8()15P A =． 【点睛】此题考察平均值、概率的求法，考察频率分布表、古典概型、列举法等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．18.设()322233x a f x x ax =-+- 〔1〕1a =时，求过()()0,0f 的切线； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性； 〔3〕()f x 的零点个数少于3个，求a 的取值范围．【答案】〔1〕切线方程为203x y --=；〔2〕见解析；〔3〕0a ≥. 【解析】【分析】〔1〕利用导数求出切线的斜率即得解；〔2〕先求出导数2()4f x x x a '=-+，再对=164a ∆-分类讨论即得解；〔3〕先别离参数得到32632x x a x -+=-，再构造函数3262()()323x x g x x x -+=≠-，研究函数()g x 的单调性和图象即得解. 【详解】〔1〕1a =时，()32222()4133x f x x x f x x x '=-+-∴=-+，， 所以(0)1k f '==，因为2(0)3f =-，所以切线方程为220,033y x x y +=-∴--=. 所以切线方程为203x y --=. 〔2〕()32222()433x a f x x ax f x x x a '=-+-∴=-+，. 所以=164a ∆-.当4a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，函数()f x 在R 上单调递增；当4a <时，>0∆，12=2x x所以函数在(,2)-∞++∞上单调递增，在(22+单调递减. 〔3〕()3232220,(32)633x a f x x ax x a x x =-+-=∴-=-+， 因为23x=时()0f x ≠，即23x =不是函数的零点， 所以32632x x a x -+=-，设3262()()323x x g x x x -+=≠-， 所以226(2)2()()(32)3x x g x x x --'=≠-， 所以函数()g x 在0)∞（-,单调递增，在2(0,)3，2(+)3∞，单调递减， 当x 从左边趋近23时，()g x →-∞，当x 从右边趋近23时，()+g x →∞， 当x →-∞时，()0<g x ，当+x →∞时，()0<g x ，又(0)0g =，画出()g x 的模拟图像如下所示：所以当0a ≥时，直线y a =和函数()g x 的图象的零点个数小于3个. 故0a ≥.【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察利用导数求函数的单调区间和零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.19.椭圆C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为224x y +=，过椭圆的右焦点F 的直线的斜率为1k 与椭圆交于,A B 两点与圆交于,C D 两点.〔1〕求F 的坐标和CD 取值范围；〔2〕求2||||CD AB 的取值范围．【答案】〔1〕F 的坐标为(1,0)，||CD ∈；〔2〕(36,64) 【解析】【分析】〔1〕先求出c ，即得点F 的标，再求出||CD =，即得||CD 的取值范围；〔2〕先求出2||||CD AB 的表达式，再利用导数求函数的取值范围得解.【详解】〔1〕由题得2431,c =-=所以椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0). 由题得直线的方程为1(1)y x k =-，即10x ky --=.所以||CD =因为20k >，所以弦长||CD ∈ 〔2〕把直线方程代入椭圆的方程整理得222(34)84120k x x k +-+-=，由弦长公式得222121)||34)34k AB k k +==++（（.所以||CD = 所以22222223412(1)34|||AB |4()4813434k k k CD k k k +++==⨯+++ 设20()t k g t =>∴=，344834t t +⨯+，所以27()48034)g t t '=⨯>+（，所以函数()g t 在定义域内单调递增，所以()g t 348364>⨯=.当t →+∞时，3444848=64343t t +⨯→⨯+ 所以2||||CD AB 的取值范围为(36,64)【点睛】此题主要考察直线和圆、椭圆的位置关系，考察椭圆中的最值问题的求解，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.20.数列{}n a 中1a t =，()214n n n a a a +=-〔1〕12t =时，求2345,,,a a a a ； 〔2〕证明：假设存在0na =，其中2n >，设t 的取值范围设为A ，[]0,1A ⊆； 〔3〕假设20200a =，求t 的取值个数． 【答案】〔1〕23451,0a a a a ====；〔2〕证明见解析；〔3〕20182+1.【解析】【分析】 〔1〕利用递推的方法求出2345,,,a a a a ；〔2〕分析得到20a ≥，解不等式()221140a a a =-≥即得解； 〔3〕分析得到211sin ,2k k k k a θθθ-==，由题得到220191sin 2)0θ=（，201912=,m θπ，得到2019022m ππ≤≤，解不等式即得解.【详解】〔1〕12t =时，112a =，()2211114=4()124a a a =--=， ()232244(11)0a a a =-=-=，()24334=0a a a =-，()25444=0a a a =-.〔2〕假设0k a <，那么()2140k k k a a a +=-<，又=0n a ，故10n a -≥，〔否那么0n a <〕， 依次类推，得到20a ≥， 所以()221140a a a =-≥，所以101,[0,1]a t ≤≤∴∈.〔3〕因为1[0,1]a ∈，所以可以设211=sina θ，其中1[0,],2πθ∈ 所以()2221124=sin ,a a a θ=-其中21=2θθ，依次类推，有211sin ,2k kk k a θθθ-==， 那么()22114=sin ,k k k k a a a θ++=-其中+112k k θθ=， 所以()2211120204=sin 2),0n k k k a a a a θ-+=-=（， 所以22019201911sin 2)02=,.m m Z θθπ=∴∈（， 所以112019=,022m ππθθ≤≤， 所以2019022m ππ≤≤， 所以201802m ≤≤.所以t 的解的个数为201821+.【点睛】此题主要考察递推数列的应用，考察三角恒等变换，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.。
安徽省合肥市2021届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案
合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺当！ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 A.2 B.2 C.1 D.1或22.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >”的否定是A.对于任意x R ∈,都有0x e ≤B.不存在x R ∈,使得0x e ≤C.存在0x R ∈,使得00x e >D.存在0x R ∈,都有00x e ≤ 3.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B = B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.A B =∅ 4.在等差数列{}n a 中,已知1823(4)a a =-,则该数列的前11项和11S 等于 A.33 B.44 C.55 D.66 5.执行如图所示的程序框图,若将推断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n的取值A.是4B.是5C.是6D.不唯一 6.在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是 A.1 B.214π+ C.7 D.5 7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是 A.62 B.1C.22 D.648.某校方案组织高一班级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有A.240种B.204种C.188种D.96种 9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A +=,则A ∠的大小是A.2πB.3πC.4πD.6π10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞B.(,0)(3,)-∞+∞C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上. 11.某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,则这80名老师中年龄小于45岁的老师有人12.设 6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则1350246a a a a a a a ++=+++ 13.在平面直角坐标系中,不等式组02y x x y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两部分,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,则实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,则点P 的坐标为 15.已知向量,OA OB 满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C 满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①若1x y +=,则点C 的轨迹是直线; ②若||||1x y +=,则点C 的轨迹是矩形; ③若1xy =,则点C 的轨迹是抛物线; ④若1x y =,则点C 的轨迹是直线;⑤若221x y xy ++=,则点C 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分) 已知函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π. (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((n n n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题满分12分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b .(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A 的坐标为(0,)b ,椭圆上存在点,P Q ,使得圆224x y +=内切于APQ ∆,求该椭圆的方程.19(本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BF ⊥平面,//.ABCD DE BF (Ⅰ)求证:AC EF ⊥;(Ⅱ)若2,1,BF DE ==在EF 上取点G ,使//BG 平面ACE ,求直线AG 与平面ACE 所成角θ的正弦值.20(本小题满分13分) 某校高三班级争辩性学习小组共6人,方案同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观挨次,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,全部展厅参观结束后集合返回,设大事A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;大事B 为:在参观的其次个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人. (Ⅰ)求()P A 及(|)P B A ; (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在大事A 发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望. 21(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 3.f x x x =-+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设函数2()1t g x x x =-+,若()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。
内蒙古2021届高三数学10月月考试题
2021届高三数学10月月考试题一、选择题（每题5分，共60分）1．若集合(){}{|10,|A x x x B y y =+≥==，则（ ）A ．B A ⊆B ．A B ⊆C ．AB R =D ．A B =2．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ） A ．1B ．53C ．2D ．33．下列说法正确的是( )A ．“f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件B ．若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ￢：x R ∀∈，210x x --< C ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题4．下列函数中,是偶函数,且在区间()0,1上为增函数的是( ) A ．y x = B ．1y x =- C ．1y x=D ．24y x =-+5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知::2:3:4a b c =，则ABC ∆最大角的余弦值是( ) A ．14B ．14-C ．12D ．12-6．函数()12x f x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7．已知向量()2,tan a θ=，()1,1b =-，//a b ，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．3C ．1-D ．3-8．下列点不是函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心的是（ ）A ．2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ． ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，在平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，N 为线段AM 上靠近A 点的三等分点，则DN =（ ）A ．1233AB AD -+B ．1536AB AD -C ．1233AB AD - D ．1334AB AD -10．函数2()ln(1)1f x x x x =+-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设0.50.82a =，sin1b =，lg3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c b a <<12．已知函数()()201941,01log ,1x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ） A ．()1,2020 B ．()1,2019 C ．()2,2020 D ．()2,2019二、填空题（每题5分，共20分）13．已知(1,2)a =，(1,1)b =，若()a kb a +⊥，则实数k 的值为_____.14．已知幂函数y=()f x的图象经过点(2,2，则f （9）=______________ 15．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若13n n S n T n +=+，则241524a ab b b b +=++______.16．已知4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα<<，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.三、解答题（17题10分；18-22每题12分） 17．计算下列各式的值： （1）()12223092739.6+482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）7log 23log lg25lg47+-。
2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】
湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克 的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中 ，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关 系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省昆山中学实验班2021届高三10月份周测(2020.10.24)数学试题Word版含答案
2021届昆中实验班高三数学检测〔总分值128分，时间90分钟〕一、单项选择题：〔此题共8小题，每题5分〕1．直线l 过点(3,0)P ，圆22:40C x y x +-=，那么〔▲〕A ．l C 与相交B ．lC 与相切 C ．l C 与相离D ．l C 与的位置关系不确定2．等差数列{}n a 中，70a >，390a a +<，那么{}n a 的前n 项和n S 的最小值为〔▲〕A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S3．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，假设函数在上单调递减，那么正数的最大值为〔▲〕 A ． B ．1 C ． D ． 4．函数在上的图象大致为〔▲〕 A. B. C. D. 5．如图，在中，，是上的一点，假设，那么实数的值为〔▲〕 A ． B ． C ． D ． 6.，为正实数，直线与曲线相切，那么的最小值是( ▲ ) A. 2 B. C. 4D. 7.是可导的函数，且，对于恒成立，那么以下不等关系正确的选项是〔▲〕A. ，B. ，C. ，D. ，8.“中国剩余定理〞又称“孙子定理〞．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将?孙子算经?中“物不知数〞问44()sin cos f x x x =+8π()g x ()y g x ω=[,]124ππ-ω123223sin ()x x x x f x e e--=+[],ππ-ABC ∆13AN NC =P BN 211AP mAB AC =+m 911511311211a b y x a =-()ln y x b =+11a b+4222()f x ()()f x f x '<x ∈R ()()10f ef >()()202020200f e f <()()10f ef >2(1)(1)f e f >-()()10f ef <2(1)(1)f e f <-()()10f ef >()()202020200f e f >题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理〞．“中国剩余定理〞讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列所有项中，中间项的值为〔 ▲ 〕A. 992B. 1022C. 1007D. 1037二、多项选择题：〔此题共4小题，每题5分，每题全选对得5分，局部选对得3分，选错得0分〕 9．以下命题中，是真命题的是〔▲〕A ．非零向量，假设那么B ．假设那么C ．在中，“〞是“〞的充要条件D ．假设定义在R 上的函数是奇函数，那么也是奇函数 10.设有一组圆()()22:121k C x k y k -++-=，以下说法正确的选项是〔▲〕A.这组圆的半径均为1B.直线220x y -+=平分所有的圆k CC.存在无穷多条直线l 被所有的圆k C 截得的弦长相等D.存在一个圆k C 与x 轴和y 轴均相切11．，，分别为内角，，的对边.，且，那么〔▲〕 A ． B ．C ．的周长为D ．12. 函数()1e x xf x =+，2(), 0()2, 0f x xg x x x a x ≤⎧=⎨-+>⎩，且(1)0g =，那么关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的选项是〔▲〕A ．当t ＜﹣2时，方程(())10g g x t --=没有相异实根B ．当11e-+＜t ＜0或t ＝﹣2时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根 C ．当1＜t ＜11e+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根 D ．当﹣1＜t ＜11e -+或0＜t ≤1或t ＝11e +时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根 三、填空题：〔此题共4小题，每题5分〕13.▲. {}n a ,a b ,a b a b +=-a b ⊥():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤ABC ∆sin cos sin cos A A B B +=+A B =()y f x =()()y ff x =a b c ABC A B C ()sin 3sin b A b c B =-1cos 3A =3a c b +=tan A =ABC 4c ABC 21cos 201sin10tan 52sin 20tan 5+⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭14. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖留鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离〔如图〕，环保监督组织测绘员在〔同一平面内〕同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得〔单位：千米〕，测得、两点的距离为▲. 15.等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，假设a 1＝b 1＝d ，且是正整数，那么=▲. 16. ()2,0b c k k b c ==>⋅=，假设存在实数λ及单位向量a ，使得不等式： 1()(1)()12a b b c c b c λλ-+-++--≤成立， 那么实数k 的最大值为▲.四、解答题：〔此题共4小题，每题12分〕17. (本小题总分值12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，()cos cos sin C a B b A c C +=②sin sin 2A B a c A += ③()22sin sin sin sin sin B A C B A -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求sin sin A B ⋅的最大值.18. (本小题总分值12分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：222x y r +=(r ＞0)，点M (12-，32-)，N (﹣1，﹣3)，点A 在圆O 上，AN AM= 〔1〕求圆O 的方程； 〔2〕直线x ＝2与圆O 交于E ，F 两点〔E 点在x 轴上方〕，点P (m ，n )(0＜m ＜12)是抛物线22y x =上的动点，点Q 为△PEF 的外心，求线段OQ 长度的最大值，并求出当线段OQ 长度最大时，△PEF 外接圆的标准方程．A B D C E D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE A B {}n a d {}n b q 124123a a ab b b ++++q20.〔本小题总分值12分〕函数()3423223+-=x x x f ，()()R x ax e x g x ∈-=． 〔1〕假设()x f 在区间[]1,5--a a 上的最大值为34，求实数a 的取值范围； 〔2〕设()()123+-=x x f x h ，()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=x g x h x g x g x h x h x F ,,，记n x x x ,,21为()x F 从小到大的零点，当3e a ≥时，讨论()x F 的零点个数及大小.2021届昆中实验班高三数学检测〔参考答案〕二、多项选择题：〔此题共4小题，每题5分，每题全选对得5分，局部选对得3分，选错得0分〕三、填空题：〔此题共4小题，每题5分〕13. 14. 3千米 15. 12 16.四、解答题：〔此题共4小题，每题12分〕19．20.。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。
河北省保定市2021届高三数学上学期10月摸底考试试题含解析
河北省保定市2021届高三数学上学期10月摸底考试试题（含解析）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{,{lg }A xy B x y x ====∣∣，则A B =（ ）A. [1,1]-B. [1,)-+∞C. (0,1]D. (0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式及对数函数的性质可得{}11A x x =-≤≤，{0}B xx =>∣，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，{{}11A xy x x ===-≤≤∣，{lg }{0}B xy x x x ===>∣∣， 所以{}01(0,1]A B x x ⋂=<≤=. 故选：C.2. 函数()x f x e x =+的零点所在的一个区间是（ ） A. (2,1)-- B. (1,0)- C. (0,1) D. (1,2)【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即可得解.【详解】由题意，函数()x f x e x =+在R 上单调递增，且()2220f e --=-<，()1110f e --=-<，()0000f e =+>，所以函数的零点所在的一个区间是(1,0)-. 故选：B.3. 已知角α终边过点(3,1)，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. 2-C. 1D.13【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得1tan 3α=，再由两角和的正切公式即可得解. 【详解】因为角α终边过点(3,1)，所以1tan 3α=，所以11tan tan34tan 2141tan tan 143παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-. 故选：A.4. 已知两条直线2121:(3)453,:2/(5/)8,l t x y t x t l l y l ++=-++=，则t =（ ）A. 1-或7-B. 1-C. 7-D. 133-【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求得t 的值.【详解】由于12//l l ，所以()()()()352438253t t t t ⎧+⋅+=⋅⎪⎨+⋅≠⋅-⎪⎩，解得7t =-.故选：C5. 设1312log ,log ,a e b e c e -===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D.c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】由指数、对数函数的性质可得102a cb >>>>，即可得解.【详解】由题意，331log log 2a e =>=，1122log log 10b e =<=，1201c e -<<=，所以102a cb >>>>. 故选：C.6. 设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，则b =（ ） A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=可得()0⋅-=a a b ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案. 【详解】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，||2b ∴=.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.7. 《易经》中记载着一种几何图形-八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦图的面积.如图，现测得正八边形的边长为4m ，则整个八卦图(包括中间的太极图)的面积约为（ ）(2 1.414≈)A. 273mB. 277mC. 279mD. 283m【答案】B 【解析】 分析】连接正八边形的中心O 及顶点,A B ，由余弦定理结合三角形面积公式即可得解. 【详解】连接正八边形的中心O 及顶点,A B ，如图，由题意，4AB =，360458AOB ∠==，OA OB =， 设OA OB x ==，则2222cos 45AB OA OB OA OB =+-⋅即221622x x =，所以222x =-，所以整个八卦图的面积2188sin 45223223277222AOB S S x ==⨯==≈-△. 故选：B.8. 已知函数25,()23,x x mf x x x x m-⎧=⎨--<⎩恰有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. (1,3](5,)∞-⋃+ B. [1,3)[5,)∞-⋃+ C [1,)-+∞ D. (5,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】画出图象，通过移动x m =结合函数的零点与方程的解的判断即可得结果.【详解】由题意，函数25,()23,x x m f x x x x m -⎧=⎨--<⎩，的图象如图：方程50x -=的解为5x =，方程2230x x --=的解为1x =-或2x =； ①当5m >时，函数()f x 恰有两个零点1-，3； ②当13m -<≤时，函数有2个零点1-，5； 则实数m 的取值范围是：(1,3](5,)∞-⋃+． 故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 3x >是24x >的充分不必要条件 B. “0001,2x R x x ∃∈+≥”的否定是“1,2x R x x∀∈+>” C 若tan()2απ+=，则4sin 25α=±D. 定义在[,]a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30. 【答案】AD 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义可判断A ；由特称命题的否定可判断B ；由诱导公式、同角三角函数的关系及二倍角公式即可判断C ；由偶函数的性质可求得55a b =-⎧⎨=⎩，即可判断D.【详解】对于A ，3x >可推出24x >，但24x >推不出3x >， 所以3x >是24x >的充分不必要条件，故A 正确； 对于B ，命题“0001,2x R x x ∃∈+≥”为特称命题， 所以该命题的否定为“1,2x R x x∀∈+<”，故B 错误； 对于C ，若tan()2απ+=，则sin tan 2cos ααα==，即sin 2cos αα=， 所以222sin cos 5cos 1ααα+==，所以21cos 5α=， 所以24sin 22sin cos 4cos 5αααα===，故C 错误； 对于D ，因为函数2()(5)f x x a x b =+++是定义在[,]a b 上的偶函数，所以500a a b +=⎧⎨+=⎩，所以55a b =-⎧⎨=⎩，所以[]2()5,5,5f x x x =+∈-的最大值为(5)30f =，故D 正确.故选：AD.10. 等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A. 1d =-B. 413a a =C. n S 的最大值为8SD. 使得0n S >的最大整数15n = 【答案】BCD 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.11. 函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 在,2412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B. 函数()f x 的图象关于直线524x π=-对称 C. 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x的最小值为D. 要得到函数()f x 的图象，只需要将2cos 4y x =的图象向右平移524π个单位 【答案】AD 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可得()2sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质可判断A 、B 、C ；由三角函数图象的变换及诱导公式可判断D.【详解】由函数()f x 的最大值为2可得2A =，()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的最小正周期T 满足24T π=， 所以24T πω==，()2sin(4)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，又()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以4,12k k Z πϕπ⨯+=∈即,3k k Z πϕπ=-+∈，所以3πϕ=-，()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,2412x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,032x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在,2412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确； 当524x π=-时，7436x ππ-=-， 所以直线524x π=-不是函数()f x 图象对称轴，故B 错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，24,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x >C 错误； 将2cos 4y x =的图象向右平移524π个单位可得的函数为： ()552cos 42cos 42cos 42sin 4246323y x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.12. 已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()'f x 满足()2()01f x f x x --'<，设函数2()()xf xg x e =，下列结论正确的是（ ） A. 函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B. 1x =是函数()g x 的极大值点 C 函数()f x 至多有两个零点 D. 0x 时，不等式2()x f x e 恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据2()()x f x g x e =，求导2()2()()xf x f xg x e'-'=，再根据()2()01f x f x x --'<，判断()'g x 正负，得到()g x 的单调性再逐项判断.【详解】因为2()()xf xg x e =， 所以2()2()()xf x f xg x e '-'=，又因为()2()01f x f x x --'<， 所以当1x >时，()2()0f x f x '-<，()0g x '<，则()g x 递减； 当1x <时，()2()0f x f x '->，()0g x '>，则()g x 递增； 所以当1x =时， ()g x 取得极大值，2(1)(1)f g e=，当(1)0<g 时，()g x 无零点，()2()x f x g x e =⋅无零点；当(1)0g =时，()g x 有一个零点，()2()x f x g x e =⋅有一个零点；当(1)0g >时，()g x 有两个零点，()2()xf xg x e =⋅有两个零点，故函数()f x 至多有两个零点；当0x 时，()()0(0)01x f g g e ≤==，2()()1x f x g x e=≤，所以不等式2()x f x e 恒成立， 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现2()()x f x g x e =的导数2()2()()xf x f xg x e '-'=，与条件()2()01f x f x x --'<的关联，得出函数()g x 的单调性，进而研究函数的极值，最值以及零点和恒成立问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆2246100x y x y +-+-=的圆心到直线10ax y -+=的距离为2，则a =__________.【答案】34-； 【解析】 【分析】首先圆的方程写成标准方程，利用点到直线的距离公式求解.【详解】()()2222461002323x y x y x y +-+-=⇔-++=，圆心()2,3-到直线10ax y -+=的距离2d == ，解得：34a =-. 故答案为：34-14. 若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪--≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】3 【解析】 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为233zy x =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意作出可行域，如图，设23z x y =-，则233z y x =-， 上下平移直线233z y x =-，数形结合可得当直线233zy x =-过点A 时，z 取最大值，由1210x y x y +=-⎧⎨--=⎩可得点()0,1A -，所以()max 20313z =⨯-⨯-=.故答案为：3.15. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =_________.【答案】1 【解析】 【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =. 【详解】解：因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =，由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a ++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得：1b =. 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =.16. 定义在R 上的函数()f x 满足()(4),()()0f x f x f x f x =+--=且(0)0f =.当2(]0,x ∈时，1()2f x x =-.则函数2()()sin 34g x f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[6,2]-上所有的零点之和为__________. 【答案】12- 【解析】 【分析】由()f x 是周期函数，奇函数，得对称中心，又2sin 34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭也有对称性，利用对称性及单调性得()f x 的图象与2sin 34y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭图象的交点的性质，也即()g x 零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．【详解】()()0f x f x --=得()()f x f x -=，()f x 是偶函数，()(4)f x f x =+，()f x 是周期为4的周期函数，因此可得()f x 的图象也关于直线2x =-对称．2sin 34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭是奇函数，它关于直线42()x k k Z =+∈对称，也关于2x =-对称， 函数2()()sin 34g x f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[6,2]-上所有的零点，即为方程2()sin 34f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的解，在同一坐标系中作出()y f x =和2sin 34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的大致图象，如图， 它们在[6,2]-上有6个交点，横坐标从小到大依次为123456,,,,,x x x x x x ，其中24x =-，50x =，由对称性知16344x x x x +=+=-， ∴12345612x x x x x x +++++=-， ∴题中零点和为12-． 故答案为：12-．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数图象，利用函数的性质特别是对称性，观察出交点的对称性，得出交点横坐标的和．四､解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量而(1,1),(sin ,cos ),0,2m n x x x π⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭（1）若m n ⊥，求x 的值；（2）若m 与n 的夹角为α，求α的取值范围. 【答案】（1）4π；（2）3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得sin cos 0m n x x ⋅=-=，即可得解； （2）由平面向量夹角的坐标表示及三角恒等变换可得sin cos 4x πα⎛⎫- ⎝=⎪⎭，再结合三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）m n ⊥，(1,1),(sin ,cos ),0,2m n x x x π⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，sin cos 0m n x x ∴⋅=-=，tan 1x ∴=，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得4x π=； （2）由题意，si sin co n 4s m n x x m nπα⋅⎛⎫- =⎪⎭⎝==⋅，02x π<<，444x πππ∴-<-<，cos 22α⎛∴∈- ⎝⎭， []0,απ∈，∴3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.18. 已知各项均不相等的等比数列{}n a 中，n S 为其前n S 项和，12a =，在①36S =；②637S S =-；③2354,,a a a 成等差数列，这三个条件中任选一个补充为条件，并作答： （1）求n a ； （2）设1(1)n n n b na -=-，求{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）()112n n n a -=-⋅；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，若选①，则由36S =，可得22(1)6q q ++=，从而得()()q 2q 10+-=，可求得公比，进而可求出等比数列的通项公式；若选②，则由637S S =-，得6333331(1)(1)117111q q q q q q qq-+--==+=----，从而可求出公比为q ，进而可求出n a ，若选③，则由2354,,a a a 成等差数列，可得2411124a q a q a q =+，从而可求出公比为q ，进而可求出n a ；（2）由（1）可得()112n n n n b na n -=-=⋅，然后利用错位相减法可求出n T【详解】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠， 选①；231232(1)6,(2)(1)0S a a a q q q q =++=++=∴+-=，()11,2,22n n q q a -≠∴=-∴=-()112n n n a -∴=-⋅选②；633363331(1)(1)11,17111q S q q q q q q S qq-+--≠∴===+=----， ()12,22n n q a -∴=-∴=-，()112n n n a -∴=-⋅选③；24332511124,24,240a a a a q a q a q q q =+∴=+∴-+=，2(2)(22)0q q q ∴+-+=，()12,22n n q a -∴=-∴=-()112n n n a -∴=-⋅（2）()112n n n n b na n -=-=⋅123231122232221222(1)22nn nn n T n T n n +∴=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减得，23111122222222(1)22n n n n n n n T n n T n ++++-=++++-⋅=--⋅∴=-⋅+19. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin 0A B C B C -++= （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）42⎛+ ⎝⎦，.【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数将已知式子中的三角函数化为正弦，再利用正弦定理统一为边，然后利用余弦定理可求得结果；（2）先利用利用正弦定理得2(sin sin )sin())3b c R B C B B π+=+=+-，1sin )2B B B =-1(sin ))23B B B π==+，再求出3B π+，即可求得答案【详解】解：（1）222cos cos sin sin sin 0A B C B C -++=，222(1sin )(1sin )sin sin sin 0A B C B C ∴---++=222sin sin sin sin sin 0B A C B C ∴-++=， 2220b a c bc ∴-++=，2221cos 22b c a A bc +-=-∴=23A π∴=（2）22,2,223sin3A a Rππ==∴==2(sin sin )sin())31sin )21sin ))223b c R B C B B B B B B B B ππ∴+=+=+-=+-=+=+20,,sin()133333B B Bπππππ<<∴<+<<+≤，2b c ∴<+≤423a b c ∴<++≤+即ABC周长的取值范围为42⎛+ ⎝⎦，. 【点睛】方法点睛：对于给的条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一成边的关系，要么统一成角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变换方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而可得结果20. 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元 （1）判断{}2n a t -是否为等比数列？并说明理由；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第()m m N *∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值.(lg 20.3010;lg30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）由题意得15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-，从而得133232222n n n n a t a t a t a t +--==--，而当2500t =，即120a t -=时，所以{}2n a t -不是等比数列；（2）由（1）可知，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭ ，由133000()3000210002m m a -=+>可得1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，然后利用32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，可得答案【详解】解：（1）由题意得，15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-.当2500t <时，即12750030a t t -=->时，133232222n n n n a t a t a t a t +--∴==--{}2n a t ∴-是以1275003a t t -=-为首项，32为公比的等比数列.当2500t =，即120a t -=时， {}2n a t -不是等比数列（2）当1500t =时，由（1）知，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭133000()3000210002m m a -∴=+>，即1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，法一：易知32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，又4381()6216=<，53243()6232=>， 15m ∴-≥，6m ≥，m ∴的最小值为6法二：32lg6lg 2lg30.30100.47710.77811log 6 4.423lg3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--， 6m ≥，m ∴的最小值为6.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的顶点到焦点的距离为1. （1）求抛物线C 的方程；（2）设过点(1,2)P 的直线12,l l 分别与抛物线C 交于M ，N 两点(不同于点P )，以MN 为直径的圆恰好经过点P ，证明：直线MN 经过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定点()5,2-. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的性质可得12p=，即可得解； （2）设直线MN 方程x my c =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程结合韦达定理可得124y y m +=、124y y c =-，转化条件为1MP NP k k ⋅=-，代入运算化简可得25c m =+，即可得解.【详解】（1）由题意得12p=，2p ∴=，抛物线的方程为24y x =； （2）设直线MN 方程为：x my c =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立24x my c y x =+⎧⎨=⎩得2440y my c --=，121244y y m y y c∆>⎧⎪∴+=⎨⎪=-⎩以MN 为直径的圆过点P ，2MPN π∠∴=，,MP NP k k 均存在且不为0，1MP NP k k ∴⋅=-，1121112241214MP y y k y x y --===-+-，同理242NPk y =+， 1244122y y ∴⋅=-++，即12122()4160y y y y ++++=， 48200c m ∴-++=，25c m ∴=+，验证22216()16(25)16[(1)4]0m c m m m ∆=+=++=++>，25(2)5x my c my m m y ∴=+=++=++，∴直线MN 经过定点()5,2-.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出直线方程，结合韦达定理求得124y y m +=、124y y c =-，再将点在圆上转化为1MP NP k k ⋅=-，最后结合直线过定点即可得解.22. 已知函数()2ln x f x e x λ=-.（1）当2λ=时，求()f x 的图象在点1x =处的切线方程； （2）当1λ=时，判断()f x 的零点个数并说明理由； （3）若2()f x x x λ-恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）222(1)20e x y e ---+=；（2）()f x 无零点，理由见解析；（3）2eλ≥. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导()2x f x e x'=-，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在0x 使()00f x '=，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，构造函数x y e x =+，利用函数的单调性可知2ln x x λ≥，利用参变分离的方法，求λ的取值范围. 【详解】（1）当2λ=时，2()2ln x f x e x =-，2(1)f e =，222()2,(1)22x f x e f e x'='=-∴-，∴切线方程为22(22)(1)y e e x -=--，即222(1)20e x y e ---+=（2）当1λ=时，2()2ln ,()x xf x e x f x e x-='=-，易知'()f x 在()0,∞+单调递增，且()1()40,1202f f e ''=<=->， '()f x ∴存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，002x e x =满足 且当()00,x x ∈时，'()0,()f x f x <单调递减，当()0x x ∈+∞，时，'()0,()f x f x >单调递增. 对02x e x =两边取对数，得：00ln 2ln x x =-0min 00002()()2ln 22ln 22ln 242ln 20x f x f x e x x x ∴==-=+->=-> ()f x ∴无零点.（3）由题意得，22ln x e x x x λλ-≥-，即22ln x e x x x λλ+≥+，- 21 - 即2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，易知函数x y e x =+单调递增，2ln x x λ∴≥，x λ∴≥，令()h x x =，则2()h x x'=，令'()0h x =得x e =， 列表得， max 22()(),h x h e e e λ∴==∴≥. 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式22ln x e x x x λλ+≥+等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数x y e x =+，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学文试题 Word版含解析
成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。
浙江省杭州市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题(含解析).doc
浙江省杭州市2021届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2}，B={x∈Z||x|＜2}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.椭圆+=1的离心率等于（）A. B. C. D.3.设x∈R，则“x＞2”是“|x|＞2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若复数z满足（1-2i）z=2+i，则|z|=（）A. B. 1 C. D.5.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知正三角形ABC的边长为2，设=2，=，则（（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）（x∈R）的周期为T（T＞0），且在（0，T）上单调，则（）A. 是周期函数，且在上单调B. 不是周期函数，且在上单调C. 是周期函数，且在上单调D. 不是周期函数，且在上单调8.设θ∈[，]，随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ（）ξ 1 2 3P sin2θcos2θA. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值C. 有最大值，无最小值D. 无最大值，有最小值9.设a＜0，不等式（3x2+a）（2x+b）≥0，在（a，b）上恒成立，则b-a的最大值为（）A. 1B.C.D.10.设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos2x．记f（x）的最大值为M（φ），最小值为m（φ），则（）A. 存在，使得B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.设a=log23，b=log38，则2a=______，ab=______．12.设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a=3，b=5，c=7，则cos C=______，△ABC的外接圆半径等于______．13.若双曲线M：x2-=1的离心率小于，则m的取值范围是______；若m=2，双曲线M的渐近线方程为______．14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几体的体积是______cm3；表面积是______cm2．15.若实数x、y满足不等式组，则2x+3y的最小值是______．16.若函数f（x）=+-a（a≠0）存在零点，则a的取值范围是______．17.设O为△ABC的外接圆圆心．若存在正实数k，使得=+k，则k的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的取值范围．19.设函数f（x）=-k（x-1）2．（Ⅰ）若k=1，解方程f（x）=0．（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0有四个不同的解，求k的取值范围．20.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点．（Ⅰ）若•=-6，求|BC|．（Ⅱ）若+=5，求∠BAC的大小．21.设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=60，且a6为a1和a21的等比中项．（Ⅰ）求a n和S n．（Ⅱ）设数列{b n}满足b n+1-b n=a n，若b1=3，求数列{}的前n项和T n（n∈N*）．22.已知函数f（x）=x2+ax+ln x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）存在两个极值，（i）求a的取值范围；（ii）证明：函数f（x）存在唯一零点．（Ⅱ）若存在实数x1，x2，使f′（x1）+f′（x2）=0，且x2＜x1＜2x2，求f（x1）-f（x2）取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={-1，0，1}，A={1，2}；∴A∩B={1}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：椭圆+=1，可得a=，b=2，则c=1，所以椭圆的离心率等于=．故选：B．利用椭圆的标准方程，求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：由|x|＞2得x＞2或x＜-2，即“x＞2”是“|x|＞2”充分不必要条件．故选：A．根据绝对值不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵（1-2i）z=2+i，∴z=，则|z|=||=．故选：B．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．【解析】解析：函数有意义，需使e x-e-x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为，所以当x＞0时函数为减函数，故选A故选：A．欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．6.【答案】D【解析】解：如图，令D为AB中点，设==．且AD=BD=BE=1，∠EBC=120°．∴不垂直，故B错；作平行四边形BEFC，∴||=||≠1．故A错；，故C错；故选：D．画出图形，利用向量的运算性质求解．本题考查了向量的运算性质，属于中档题．【解析】解：函数f（x）（x∈R）的周期为T（T＞0），但是x2≥0，所以函数的定义域变小，故f（x2）不是周期函数．且：在（0，T）上单调，故：0＜x2＜T，解得：，故：在（0，）上单调．故选：B．直接利用函数的性质单调性和周期性的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：∵θ∈[，]，随机变量ξ的分布列如表所示，ξ 1 2 3P sin2θcos2θ∴Eξ=+2×+cos2θ=+cos2θ，∵θ∈[，]，∴，，∴∈[]，cos2θ∈[，]，由随机变量ξ的分布列的性质得：cos2θ∈[，]，∴Eξ=∈[]．故Eξ有最大值，最小值．故选：B．推导出Eξ=+cos2θ，θ∈[，]，结合随机变量ξ的分布列的性质得：cos2θ∈[，]，由此能求出Eξ的最大值和最小值．本题考查离散型随机变量的数学期望的取值范围的求法，考查离散型随机变量的数学期望的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：∵（3x2+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，∴3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，①若2x+b≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b≥0，即b≥-2a＞0，此时当x=0时，3x2+a=a≥0不成立，②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，则2b+b≤0，即b≤0，若3x2+a≤0在（a，b）上恒成立，则3a2+a≤0，即-≤a≤0，故b-a的最大值为，故选：C．若（3x2+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．10.【答案】D【解析】解：由f（x）=sin（2x+φ）+cos2x=sin（2x+φ）+cos2x=sin2xcosφ+cos2xsinφ+cos2x=cosφsin2x+（sinφ+）cos2x+=sin（2x+θ），则M（φ）=，m（φ）=-，对于选项A，M（φ）+m（φ）=+（-）=1，即不存在φ∈R，使得M（φ）+m（φ）=π，故A错误，对于选项B，M（φ）-m（φ）=-（-）=2∈[1，3]，即不存在φ∈R，使得M（φ）-m（φ）=π，故B错误，对于选项C，M（φ）•m（φ）=（）•（-）=-1-sinφ∈[-2，0]，即不存在φ∈R，使得|M（φ）•m（φ）|=π，故C错误，对于选项D，||=||=||∈[2，+∞），即存在φ∈R，使得||=π，故D正确，故选：D．由三角函数的辅助角公式及三角函数求最值逐一检验即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及三角函数求最值，属中档题．11.【答案】3 3【解析】解：∵a=log23；∴2a=3；又b=log38；∴．故答案为：3，3．由a=log23即可得出2a=3，利用换底公式可得出，从而可求出ab=3．考查对数式和指数式的互化，对数的定义，对数的换底公式．12.【答案】-【解析】解：∵a=3，b=5，c=7，∴cosC===-．∴sinC==，∴设△ABC的外接圆半径为R，则由2R==，解得：R=．故答案为：-，．由已知利用余弦定理可求cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用正弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】（0，1）y=±x【解析】解：双曲线M：x2-=1的离心率小于，可得：，解得m∈（0，1）．则m的取值范围是：（0，1）．m=2，双曲线M化为：x2-=1，双曲线的渐近线方程：y=x．故答案为：（0，1）；y=x．利用双曲线的离心率的范围列出不等式，求解可得m的范围，通过m的值，求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】288-24π 264+12π【解析】解：根据三视图知该几何体是一长方体，挖去两个对顶点的圆锥，且圆锥的底面圆内切与长方体，画出图形，如图所示；则该几何体的体积为V=8×6×6-2××π×32×4=288-24π；表面积为S=4×6×8+6×6-2×π×32+2×π×3×=264+12π．故答案为：288-24π，264+12π．根据三视图复原几何体的形状，结合图中数据求出几何体的体积和表面积．本题考查了利用三视图求几何体的体积和表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和计算能力，是基础题．15.【答案】4【解析】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4．故答案为：4本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+3y中，求出2x+3y的最小值．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16.【答案】[2，4]【解析】解：要使函数有意义，则，即，即-a≤x≤a，则（a＞0），由f（x）=+-a=0得+=a，平方得a-x+a+x+2=a2，即2=a2-2a，即=，设y=，则y=的图象是以原点为圆心半径为a的上半圆，要使=有解，则满足0≤≤a，即，即，得，得2≤a≤4或a=0（舍），即实数a的取值范围是[2，4]，故答案为：[2，4]先求出函数的定义域，根据函数与方程之间的关系，进行整理，得到=有解，借助y=的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法，转化为两个函数交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．17.【答案】k＞【解析】解：由三角形外心的定义，结合向量的投影的几何意义可得：=2，即（+k）=2，化简得：k=-2＜0，又k＞0，可得＜0，同理：=2，即（+k）•=2，化简得：=2，又＜0，即2＜0，即1-2k＜0，即k，故答案为：k由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义可得：=2，即＜0，同理：=2，即=2，又＜0，即2＜0，即1-2k＜0，即k，故得解本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（）=sin+cos=-+=0，（Ⅱ）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴函数f（x）的取值范围为[1，2]【解析】（Ⅰ）直接代值计算即可，（Ⅱ）先化简，再根据三角函数的性质即可求出．本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题19.【答案】解：（Ⅰ）当k=1时，-k（x-1）2=0，∴|x-1|•=0，∴|x-1|•=0，∴|x-1|•=0，∴|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0，∴x=1或x=．（Ⅱ）∵|x-1|•（）即|x-1|=0或，当x-1=0时，x=1，此时k∈R，∴-k|x-1|=0有三个不等于1的解，根据函数y=|x-1|•（x-2）的图象，得-，解得k＜-4，∴k的取值范围是（-∞，-4）．【解析】（Ⅰ）当k=1时，-k（x-1）2=0，推导出|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0，由此能求出方程f（x）=0的解．（Ⅱ）|x-1|•（），得|x-1|=0或，从而-k|x-1|=0有三个不等于1的解，由此能求出k的取值范围．本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由AD⊥BC可知，|DM|=|AM|，|DN|=|AN|，所以∠MDN=∠MAN，因为=12cos∠MAN=-6，所以cos∠MAN=-，所以|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos∠MAN=148，所以|BC|=2，故答案为：2（Ⅱ）因为+=（|DB|+|DC|）=5，所以|BC|=10，所以∠BAC=90°，故答案为：90°．【解析】（Ⅰ）由平面向量的数量积运算及余弦定理得：cos∠MAN=-，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos∠MAN=148，（Ⅱ）由平面向量的数量积运算得：+=（|DB|+|DC|）=5，即|BC|=10，所以∠BAC=90°，得解本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题．21.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则，解得a1=5，d=2，∴a n=2n+3，∴S n==n（n+4），（Ⅱ）∵b n+1-b n=a n，∴b n-b n-1=a n-1，n≥2，n∈N*，当n≥2时，b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+）+（b2-b1）+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1，=（n-1）（n-1+4）+3=n（n+2），对于b1=3也适合，∴b n=n（n+2），∴==（-），∴T n=（1-+-+…+-+-）=（--）=【解析】（Ⅰ）由题意可得设等差数列的公差为d，则，计算即可求出a1，d 的值，即可求出a n和S n．（Ⅱ）先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出．本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）（i）根据题意，f′（x）=，（x＞0）方程2x2+ax+1=0有2个正根m，n，（不妨设m＜n），故，解得：a＜-2；（ii）证明：易知f（x）在x=m时取极大值，在x=n时取极小值，由（i）知2m2+am+1=0，故f（m）=-m2+ln m-1，令g（x）=-x2+ln x-1，故g′（x）=-2x，由-2x=0，解得：x=，故g（x）≤g（）=ln-＜0，故f（m）＜0，f（x）至多只有1个零点，又f（-a）=ln（-a）＞0，故f（x）存在唯一零点；（Ⅱ）由题意知：2x1+a++2x2+a+=0，即a=-（x1+x2）-，故f（x1）-f（x2）=-+a（x1-x2）+ln=-（-）+ln，设t=∈（1，2），记h（t）=-++ln t，则h′（t）=-≤0，故h（t）递增，故h（t）∈（h（2），h（1）），即h（t）∈（-+ln2，0），即f（x1）-f（x2）取值范围是（-+ln2，0）．【解析】（Ⅰ）（i）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（ii）令g（x）=-x2+lnx-1，求出g（x）≤g（）=ln-＜0，得到f（x）至多只有1个零点，从而证明结论；（Ⅱ）求出a=-（x1+x2）-，以及f（x1）-f（x2）=-（-）+ln，设t=∈（1，2），记h（t）=-++lnt，根据函数的单调性求出其范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．。
2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试10对数与对数函数含解析人教B版
考点测试10 对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 D解析 由对数的运算公式和换底公式可得log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．－1B ．1C ．－12D ．22答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故选A. 3．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C ．18D ．log 23答案 D解析 由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A ．b <c <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．c <b <a答案 B解析 由2a＝－a >0，得a <0，由log 2b ＝－b <0，得0<b <1，由log 2c ＝c >0，得c >1，综上可知，a <b <c ，故选B.6．设m ＝log 0.30.6，n ＝12log 20.6，则( )A ．m －n >m ＋n >mnB ．m －n >mn >m ＋nC ．m ＋n >m －n >mnD ．mn >m －n >m ＋n答案 A解析 m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，mn <0.1m ＋1n ＝log 0.60.3＋log 0.64＝log 0.61.2<log 0.60.6＝1，即m ＋nmn<1，故m ＋n >mn .又(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n .故m －n >m ＋n >mn ，所以选A.7．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( ) A.3＋ab1＋a ＋abB ．3a ＋ba ＋a 2＋bC.3＋b1＋a ＋bD ．1＋a ＋ab 3＋ab答案 A解析 log 4256＝log 256log 242＝3＋log 271＋log 23＋log 27＝3＋log 23·log 371＋log 23＋log 23·log 37＝3＋ab1＋a ＋ab.故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1，可得1≤a ＜2；解⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，可得a ≥2.综上a ≥1.故选B.9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( ) A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案 C解析 因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t >0，x ＝2t，y ＝3t，z ＝5t，所以x 3＝23t＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C.10．计算：912－log95＝________.答案 35解析 912－log 95＝912×9－log 95＝3×15＝35.11．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析 由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.答案 9解析 因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于直线x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B.16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．17．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意，有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2016·浙江高考)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.三、模拟小题19．(2020·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q的值为( )A.14 B ．4 C ．6 D ．4或1答案 B解析 由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q＝1(舍去)．故选B.20．(2019·广州市高三年级调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b解析 因为ln 2＝log e 2，所以0<ln 2<1，所以c ＝(ln 2)2<1，而20<2ln 2<21，即1<a <2，b ＝2＋2ln 2>2，所以c <a <b .故选B.21．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a ＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0答案 B解析 设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.22．(2019·安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．答案 D解析 函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔ln x ln a ＝x ⇔ln a ＝ln x x ，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x x 的图象有两个交点．作函数y ＝ln x x 的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜1e 时，即1＜a ＜e 1e 时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx的图象有两个交点．故选D.23．(2019·陕西咸阳高三联考)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析 因为f (x )＝x ·ln 1＋x1－x＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln (1－x )－ln (1＋x )]＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π.当0<x <1时，易知f (x )为增函数．又0<14<1π<1e <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，即c <a <b ，故选A.24．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________． 答案 (16,36)解析 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4,4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ，因为4＜c ＜9，所以16＜4c ＜36，即16＜abc ＜36，所以abc 的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 2．(2019·福建漳州模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019＝0.(2)函数f (x )存在最小值．f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1， 当x ∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时，f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .3．(2019·渭南模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －17－x>0恒成立， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0,7)．4．(2019·大庆模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解 (1)当a >1时，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞)．。
高三数学10月月考试题含解析 试题
海淀区中国人民大学附属中学2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔 〕A. {2x x <-或者}0x >B. {2x x <-或者}0x ≥C. {2x x ≤-或者}0x > D. {2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<， 即{}|20A x x =-≤<， ∵全集U =R ， ∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔 〕A. B. 12-C.2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔 〕 A. 1y x=B. 2xy =C. 1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底．4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移23π个单位长度D. 向右平移23π个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >〞是 > 〔 〕 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >〞是 >∴选A . 考点：充分条件、必要条件.6.假如实数集R 的子集X 满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R 中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔 〕 A. 任意开区间都不含有X 中的元素 B. 存在开区间不含有X 中的元素 C. 任意开区间都含有X 的补集中的元素 D. 存在开区间含有X 的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】写出命题X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】命题“任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X 中的元素〞， 应选：B ．【点睛】此题考察新定义，考察命题的否认．解题关键是正确理解题意，R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R 中的稠密的否认．由命题的否认可得． 7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔 〕A. B.C. D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x =-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.8.()2log f x x =，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔 〕 A. 162 B. 8C. 2D. 16【答案】B 【解析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x xx x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x =的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=442(1)11111228m m m m +⋅++-++=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题是解题关键．二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________ . 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x =有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()f x =的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么()f x =__________．【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键． 12.如下图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】 【分析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k t k +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是 ．【答案】65【解析】试题分析：因为所以.又CD ∥AG ，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】 (1). 2()f x (2). {|,}k k m m Z π=∈ 【解析】 【分析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±， 【详解】〔1〕假设1()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；假设2()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T =，2()f x M ∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T =-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递增区间． 【答案】〔1〕3a =，T π=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==．〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕217；〔2〕7 【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠.于是，2π3sin22132sin 77CD EC α⋅⨯===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，22127cos 1sin 149αα=-=-=. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2π7cos cos sin sin 3314αα=+=，在直角EAB 中，477BE ==. 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题.17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米． 答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x) x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b ≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab －4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． 当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 那么f ′ (x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程； 〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-， 假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意， 假设0a ≠，2a x <-或者2a x >时，()0f x '>，22a ax -<<时，()0f x '<， ∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a af x f ==-极小值， ∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件． 【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值．〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论． 【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-， 由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x a x-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值．20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一. 如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A . 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： 〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1 1 1 1 11111 1 111-1-1- 1- 111-1-111-1-x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕，那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+. 解方程组，，，，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=， 因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. 又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kl n ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。
天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
当 时， 时， ，当 时， ， 是极大值点．
∴ 极大值 ．
（3）由（2）知 时， 的极大值为 ，
∴ ，即 ，
设 ，易知函数 在 上是增函数，而 ，
∴由 得 ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．
2Hale Waihona Puke .已知函数（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若关于 的不等式 恒成立，且 的最小值是 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式变形为 （ ），然后求出函数 的最小值即可得．
【详解】∵ ，∴不等式 可化为 ，
设 ， ，
当 时， ， 递减， 时， ， 递增，
∴ ，
不等式 在 上恒成立，则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
16.函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足 ，且当 时， ，则 __________．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．
8.将函数 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 ，再把所得图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 在 处取得最大值，则函数 的图象（）
A 关于点 对称B. 关于点 对称
10.函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围为（）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
高三数学上学期10月月考试题 文含解析_1
第五中学2021届高三数学上学期10月月考试题文〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简两个集合，进而判断二者的包含关系.【详解】∵,∴应选：B【点睛】此题考察两个集合间的关系，考察二次不等式的解法及指数函数的值域，属于根底题.满足，那么复数的虚部为〔〕A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由一共轭复数的概念得答案．【详解】∵=，∴z=﹣1﹣i，那么复数z的虚部为﹣1．应选：A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．3.，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为0，从而求出的值.【详解】∵，，∴，又∴，即∴应选：B【点睛】此题考察了平面向量的坐标运算，纯熟掌握平面向量数量积运算法那么是解此题的关键，属于根底题．，那么的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=＞0，b==﹣log32∈〔﹣1，0〕，c==﹣log23＜﹣1，那么a，b，c的大小关系是c＜b＜a．应选：C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比拟实数或者式子的大小，一方面要比拟两个实数或者式子形式的异同，底数一样，考虑指数函数增减性，指数一样考虑幂函数的增减性，当都不一样时，考虑分析数或者式子的大致范围，来进展比拟大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁〞作用，来比拟大小．，命题，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是假命题D. 命题是真命题【答案】D【解析】【分析】命题p：取x=0∈R，cosx＞sinx成立，即可判断出真假．命题q：取x=时，+=2，此时不成立，即可判断出真假，再利用复合命题真假的断定方法即可得出．【详解】命题p：∃x=0∈R，cosx＞sinx，因此是真命题．命题q：∀x∈〔0，π〕，sinx+＞2，是假命题，取x=时，+=2，此时不成立，因此是假命题．那么以下判断正确的选项是：命题p∧〔￢q〕是真命题．【点睛】此题考察了三角函数的单调性及其值域、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．满足，那么的最大值为〔〕A. 3B. 4C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目的函数z=2x+y的位置，求出最大值．【详解】作出不等式组的可行域如图：目的函数z=2x+y在的交点B〔3，3〕处取最大值为z=2×3+3=9．应选：D．【点睛】此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.7.某几何体的三视图〔单位：〕如下图，那么该几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为6，3，6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4，3，4三棱锥的多面体，所以其体积为.应选B.考点：三视图、多面体体积.+=4,那么sin2=A. B. C. D.【答案】D【解析】此题考察三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为，所以..【点评】此题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1〞互相代换，从而到达化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，到达求解正切值的目的. 表达考纲中要求理解三角函数的根本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等视频是奇函数，且，假设在上是增函数，的大小关系是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由f〔x+2〕=﹣f〔x〕，得f〔x+4〕=f〔x〕，利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比拟大小．【详解】∵f〔x+2〕=﹣f〔x〕，函数f〔x〕是奇函数，∴f〔x+2〕=﹣f〔x〕=f〔﹣x〕，∴函数f〔x〕关于x=1对称，且f〔x+4〕=f〔x〕，∴函数是周期为4的周期数列．∵f〔x〕在[﹣1，0]上是增函数，∴f〔x〕在[﹣1，1]上是增函数，f〔x〕在[1，2]上是减函数，f〔〕=f〔4+〕=f〔〕=f〔〕，∵f〔x〕在[1，2]上是减函数，且1＜＜，∴f〔1〕＞f〔〕＞f〔〕，即f〔〕＜f〔〕＜f〔1〕，应选：D．【点睛】此题主要考察函数值的大小比拟，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决此题的关键，综合考察函数的性质，考察学生的转化意识，属于中档题．的所有顶点在同一球面上,底面是正方形且球心在此平面内,当四棱锥体积获得最大值时,其面积等于,那么球的体积等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当四棱锥体积获得最大值时,，因此,球的体积等于,选D.考点：球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点〔一般为接、切点〕或者线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或者只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径〔直径〕与该几何体量的关系，列方程〔组〕求解.的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点, 为坐标原点. 假设双曲线的离心率为的面积为, 那么抛物线的焦点为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为,抛物线的准线为,代入双曲线渐近线,求得,由于双曲线离心率为,即,即两点的纵坐标为,,解得,故焦点坐标为.选D.12.，又，假设满足的有四个，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令y=xe x，那么y'=〔1+x〕e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x图象，利用图象变换得f〔x〕=|xe x|图象，令f〔x〕=m，那么关于m方程h〔m〕=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g〔x〕=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【详解】令y=xe x，那么y'=〔1+x〕e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈〔﹣∞，﹣1〕时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈〔﹣1，+∞〕时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f〔x〕=|xe x|图象，令f〔x〕=m，那么关于m方程h〔m〕=m2﹣tm+1=0两根分别在时，满足g〔x〕=﹣1的x有4个，由，解得．应选：B．【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分中,,那么_____.【答案】【解析】依题意,所以.或者:.【考点定位】考察等差数列的性质和通项公式。
高三数学10月月考试题理_1 6
第二中学2021届高三数学10月月考试题理本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题:此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.集合，，那么A. B. C. D.2.函数，那么A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数3.假设函数在上是单调函数，那么a的取值范围是A. B.C. D.4.假设将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于y轴对称，那么的最小值是A. B. C. D.5.函数，且，那么A. B. C. D.6.假设，，，，那么A. B. C. D.7.命题p：对任意，总有；q：“〞是“〞的充分不必要条件，在以下命题为真命题的是( )A. B. C. D.8.假设，那么的值是A. B. C. D.9.向量，向量那么的最大值，最小值分别是A. ，0B. 4，C. 16，0D. 4，010.函数，且在上的最大值为，那么实数a的值是A. B. 1 C. D. 211.函数是奇函数，其中，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到12.设函数在R上存在导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，假设，那么实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
13.“〞是“〞的________条件填“充要〞“充分不必要〞“必要不充分〞“既不充分又不必要〞．14.________15.曲线上任一点P到直线的间隔的最小值为________．16.定义在R上的函数满足，当]4,1x时，，那么函数在上∈(-的零点个数是__________．三、解答题：一共70分。
解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
第17——21题为必考题，每个试题考生都必须答题。
2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷及答案
2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形,解答题高考范围。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{x|－1≤x ≤5,x ∈Z},集合A ＝{0,1,2,3,4},B ＝{－1,0,1,2},则A ∩(∁U B)＝A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{3,4,5}2.设命题p ：∃n ∈N *,n 2＋2n>3,则命题p 的否定是A.∃n ∉N *,n 2＋2n>3B.∃n ∈N *,n 2＋2n ≤3C.∀n ∈N *,n 2＋2n ≤3D.∀n ∈N *,n 2＋2n>33.函数f(x)＝1x＋4x 在[1,2)上的值域是 A.[5,172) B[4,172) C.(0,172) D.[5,＋∞) 4.已知sinθ－2cosθ＝0,θ∈(0,2π),则cos sin 2sin2θθθ--5.若1和2是函数f(x)＝4lnx ＋ax 2＋bx 的两个极值点,则log 2(2a －b)＝A.－3B.－2C.2D.36.已知函数f(x)＝lnx ＋ax 在函数g(x)＝x 2－2x ＋b 的递增区间上也单调递增,则实数a 的取值范围是A.(－∞,－1]B.[0,＋∞)C.(－∞,－1]∪[0,＋∞)D.(－1,0]7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,则“acosA ＝bcosB ”是“△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若对任意的x 2,x 2∈(m,＋∞),且x 1<x 2,都有122121x lnx x lnx x x --<2,则m 的最小值是(注：e ＝2.71828…为自然对数的底数) A.1e B.e C.1 D.3e二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高三(上)第一次调研数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高三（上）第一次调研数学试卷（10月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合M＝，则M∩N＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x＜2} 2．已知复数z满足z﹣2＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．33．已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．在数列{a n}中，2a n+1＝a n+a n+2，且a n≠0．若，且S2n﹣1＝38，则n＝（）A．38B．20C．10D．95．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”．现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：km2）是（）A．B．C．D．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．7．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*，i≠j），则点M（异于点O）落在坐标轴上的概率为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图象，若g（x）在上的值域为，则ω范围为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5 10．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（）A．e＝B．e＝2C．b＝a D．b＝a11．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论错误的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．三棱锥B﹣CEF的体积为定值C．BM⊥平面CC1FD．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，，则实数λ＝．14．已知（1+x）10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8＝．15．函数的部分图象如图所示，则φ＝；将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则b＝．16．设集合A＝{（m1，m2，m3）|m i∈{﹣2，0，2}，i∈{1，2，3}}，则集合A满足条件：“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．18．如图甲是由正方形ABCD，等边△ABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB＝6，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P﹣ABC，如图乙．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥P﹣ACM和B﹣ACM的体积比为1：2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19．已知点A为圆x2+y2＝8上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m+（1﹣m）（其中m为非零常数）（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当m＝时，得到动点Q的轨迹为曲线C，过点P（﹣4，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．20．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如图的散点图：现根据散点图利用y＝a+b或y＝c +建立y关于x的回归方程，令s ＝，t ＝得到如下数据：10.15109.94 3.040.16s i y i﹣13•t i y i﹣13•s i2﹣132t i2﹣132y i2﹣13213.94﹣2.111.670.2121.22且（s i，y i）与（t i，y i）（i＝1，2，3，…，13）的相关系数分别为r1，r2、且r2＝﹣0.9953．（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；（3）已知新艾的利润z与x．y的关系为z＝20y ﹣x，当x为何值时，z的预报值最大．附：参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365、对于一组数据（u i、v i）（i＝1，2，3，…，n ），其回归直线方程＝+u的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣，相关系数r＝．21．已知f（x）＝mx2﹣x+lnx．（1）当m＝0时，求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最大值M（t）；（2）当m＝1时，若存在正数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝1﹣ln2，求证：x1+x2≥2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M＝，则M∩N＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x＜2}【分析】求出M＝{x|x≤1}，N＝{x|0＜x＜2}，由此能求出M∩N．解：∵集合M＝，∴M＝{x|x≤1}，N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．已知复数z满足z﹣2＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z﹣2＝，∴z＝2+，∴|z|＝．故选：C．3．已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用指对数运算和函数单调性得出a，b，c与0和1的大小关系，从而求解．解：，则0＜c＜1，又a＞20＝1，b＝log20.3＜log21＝0，故b＜c＜a故选：D．4．在数列{a n}中，2a n+1＝a n+a n+2，且a n≠0．若，且S2n﹣1＝38，则n＝（）A．38B．20C．10D．9【分析】由题意可得2a n﹣a n2＝0，即a n＝2，再根据求和公式即可求出．解：数列{a n}中，2a n+1＝a n+a n+2，∴2a n＝a n﹣1+a n+1，∵，∴2a n﹣a n2＝0，∴a n＝2，∴S2n﹣1＝38，∴2（2n﹣1）＝38，解得n＝10，故选：C．5．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”．现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：km2）是（）A．B．C．D．【分析】以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，利用直接法求出丙地满足的关系，利用圆的方程求解即可．解：以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设甲、乙两地的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），丙地坐标为（x，y）（y≠0），所以，整理可得，（x﹣4）2+y2＝12，所以丙地所在的圆的半径为r＝，故三角形信号覆盖区域的最大面积为＝4．故选：B．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用f（1）＜0，结合选项运用排除法得解．解：，可排除选项BCD；故选：A．7．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*，i≠j），则点M（异于点O）落在坐标轴上的概率为（）A．B．C．D．【分析】一个向量个对应两个向量（1≤i≤8）有C＝28个，再找出落在坐标轴上的向量（点）个数，相比即可．解：因为确定一个需从8个向量（1≤i≤8）中任取两个有C＝28种取法，用列举法得使点M（异于点O）落在坐标轴上的取法与结合的有，两个，由于每个向量都对应两个，但重复一次，所以共有＝8种，则点M落在坐标轴上的概率为＝，故选：D．8．将函数f（x）＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图象，若g（x）在上的值域为，则ω范围为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．解：将函数f（x）＝cos x的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos（x﹣）的图象；再将各点的横坐标变为原来的，得到函数g（x）＝cos（ωx﹣）的图象．若g（x）在上的值域为，此时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，∴0≤﹣≤，求得≤ω≤，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果．解：对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍．故错误．对于选项B：若有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，故y＝3﹣5（x+1）＝3﹣5x﹣5．故y平均减少5个单位，正确．对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关系数|r|越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，错误．对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x＝1对称，则P（ξ＞1）＝0.5，正确．故选：BD．10．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（）A．e＝B．e＝2C．b＝a D．b＝a【分析】根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率．解：由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，由sin∠F1PF2＝，可得cos∠F1PF2＝±，在△PF1F2中，由余弦定理可得：＝±，解得：＝4或＝6，∴e＝＝2或．∴c＝2a或c＝a又∵c2＝a2+b2，∴b＝a或b＝a故选：ABCD．11．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论错误的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【分析】由函数f（x）及函数g（x）的性质直接判断即可．解：在R上单调递增，无最值，故选项AC错误；为偶函数，易知其在（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）为增函数，且在x＝1处取得最小值，无最大值，故选项B错误；故选：ABC．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．三棱锥B﹣CEF的体积为定值C．BM⊥平面CC1FD．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D【分析】由已知可得FM∥AC，由正方体可证AC∥A1C1，即可判断A正确；直接计算三棱锥B﹣CEF的体积，即可判断B正确；利用△BCM≌△CDF，可证∠DCF＝∠CBM，进而证明BM⊥CF，CC1⊥BM，得到BM⊥平面CC1F，即可判断C正确；DF∥BC且DF≠BC，得到平面CC1D1D与平面BEF有公共点，为这两直线的交点，从而得出不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，即可判断D错误．解：对于A：因为F、M分别是AD、CD的中点，所以FM∥AC，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1可知，AA1∥BB1∥CC1，且AA1＝BB1＝CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1，所以FM∥A1C1，即A正确；对于B：＝为定值，即B正确．对于C：因为F、M分别是AD、CD的中点，所以CM＝DF，∠FDC＝∠BCM，CD＝BC，所以△BCM≌△CDF，所以∠DCF＝∠CBM，又∠BCM+∠DCF＝90°，所以∠BMC+∠DCF＝90°，即BM⊥CF．又因为CC1⊥平面ABCD，且BM⊂平面ABCD，所以CC1⊥BM，因为CF∩CC1＝C，所以BM⊥平面CC1F，即C正确；对于D：因为BF、CD⊂面ABCD，F为平行四边形ABCD的边AD的中点，所以DF∥BC且DF≠BC，所以BF不平行于CD，因为BF、CD⊂面ABCD，所以BF与CD有公共点，又BF⊂平面BEF，CD⊂平面CC1D1D，所以平面CC1D1D与平面BEF有公共点，所以不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故D错误；故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，，则实数λ＝．【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的应用求出结果．解：向量，，所以：，，由于，所以：，整理得：4﹣4λ+λ2+4＝1+2λ+λ2+4，解得：6λ＝3，解得．故答案为：．14．已知（1+x）10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8＝180．【分析】将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．解：∵（1+x）10＝[2﹣（1﹣x）]10∴其展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r210﹣r（1﹣x）r令r＝8得a8＝4＝180故答案为：18015．函数的部分图象如图所示，则φ＝；将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则b＝．【分析】由题意利用五点法作图求出φ的值，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得b的值．解：函数的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，2•+φ＝，∴φ＝．将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位后，可得y＝sin（2x﹣2b+）的图象；∵得到一个偶函数的图象，∴﹣2b+＝kπ+，k∈Z．则b＝，此时，k＝﹣1．故答案为：；．16．设集合A＝{（m1，m2，m3）|m i∈{﹣2，0，2}，i∈{1，2，3}}，则集合A满足条件：“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为18．【分析】由题意可知分|m1|+|m2|+|m3|＝2与|m1|+|m2|+|m3|＝4讨论，从而解得．解：∵2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5，且m i∈{﹣2，0，2}，∴当|m1|+|m2|+|m3|＝2时，m1，m2，m3中两个0，一个2或﹣2；故共有＝6种；当|m1|+|m2|+|m3|＝4时，m1，m2，m3中一个0，另两个是2或﹣2；故共有•2•2＝12种；故共有18个元素，故答案为：18．四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．【分析】（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．利用余弦定理可得；2b2＝2bc cos A•（1﹣tan A）．化为b＝c（cos A﹣sin A），再利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）选择条件②，cos B＝，可得sin B＝．利用核查公司可得sin A＝sin（B+C），由正弦定理可得：a＝．在△ABD中，由余弦定理可得AD．解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．∴2b2＝2bc cos A•（1﹣tan A）．∴b＝c（cos A ﹣sin A），由正弦定理可得：sin B＝sin C（cos A﹣sin A），∴sin（A+C）＝sin C cos A﹣sin C sin A，∴sin A cos C＝﹣sin C sin A≠0，∴tan C＝﹣1，解得C＝．（2）选择条件②，cos B＝，∴sin B＝．∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝，由正弦定理可得：a＝＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，解得AD＝．18．如图甲是由正方形ABCD，等边△ABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB＝6，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P﹣ABC，如图乙．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥P﹣ACM和B﹣ACM的体积比为1：2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）取AC的中点为O，连接BO，PO，PO⊥AC．PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，三棱锥P﹣ACM和B﹣ACM的体积比为1：2，从而PM：BM＝1：2，求出平面PBC的法向量和，由此能求出直线AM与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，取AC的中点为O，连接BO，PO．∵PA＝PC，∴PO⊥AC．…………（1分）∵PA＝PC＝6，∠APC＝90°，∴PO＝AC＝3，同理BO＝3．又PB＝6，∴PO²+OB²＝PB²，∴PO⊥OB．…………∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC．………又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…………（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，A（3，0，0），C（﹣3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），∴＝（3，3，0），＝（3，0，3）．…………∵三棱锥P﹣ACM和B﹣ACM的体积比为1：2，∴PM：BM＝1：2，∴M（0，，2），∴＝（﹣3，，2）．………设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1）．……设直线AM与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，…………∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．…………19．已知点A为圆x2+y2＝8上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m+（1﹣m）（其中m为非零常数）（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当m＝时，得到动点Q的轨迹为曲线C，过点P（﹣4，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【分析】（1）根据题意，设动点Q（x，y），A（x0，y0），则N（x0，0），由向量的坐标计算公式可得（x，y）＝（x0，my0），分析可得x0＝x，y0＝y，将其代入圆的方程中可得+＝1，即可得答案；（2）根据题意，将m＝代入动点Q的轨迹方程可得曲线C的方程，设直线l的方程为y＝k（x+4），将其代入椭圆的方程可得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2），线段EF的中点G（x3，y3），由根与系数的关系可以将x3、y3用k表示；分析可得正方形Γ在y轴左边的两边所在的直线方程，同时可得点G在正方形Γ内（包括边界）的条件是，即，解可得k的取值范围，即可得答案．解：（1）根据题意，设动点Q（x，y），A（x0，y0），则N（x0，0），又由动点Q满足＝m+（1﹣m），即（x，y）＝m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0）＝（x0，my0），则有x0＝x，y0＝y，又由A为圆x2+y2＝8上一动点，则有x02+y02＝8，则有+＝1；则动点Q的轨迹方程为+＝1；（2）由（1）可得：动点Q的轨迹方程为+＝1；当m＝时，动点Q的轨迹曲线C为+＝1；设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x+4），代入+＝1中，可得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8＝0，则有△＝（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0，解可得﹣＜k ＜；①设E（x1，y1），F（x2，y2），线段EF的中点G（x3，y3）；则有x3＝＝﹣，y3＝k（x3+4）＝，由题设知，正方形Γ在y轴左边的两边所在的直线方程分别为y＝x+2与y＝﹣x﹣2；注意到点G不可能在y轴右侧，则点G在正方形Γ内（包括边界）的条件是，解可得﹣≤k ≤，此时①式也成立．故直线l的斜率的取值范围为[﹣，]．20．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：℃）有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如图的散点图：现根据散点图利用y＝a+b或y＝c +建立y关于x的回归方程，令s ＝，t ＝得到如下数据：10.15109.94 3.040.16s i y i﹣13•t i y i﹣13•s i2﹣132t i2﹣132y i2﹣13213.94﹣2.111.670.2121.22且（s i，y i）与（t i，y i）（i＝1，2，3，…，13）的相关系数分别为r1，r2、且r2＝﹣0.9953．（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；（3）已知新艾的利润z与x．y的关系为z＝20y﹣x，当x为何值时，z的预报值最大．附：参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365、对于一组数据（u i、v i）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线方程＝+u的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣，相关系数r＝．【分析】（1）利用相关系数r1，r2，比较|r1|与|r2|的大小，得出用模型y＝c+建立回归方程更合适；（2）根据（1）的结论求出y关于x的回归方程即可；（3）由题意写出利润函数z，利用基本不等式求得利润z的最大值以及对应的x值．解：（1）用相关系数r2＝﹣0.9953，r1＝＝≈0.8858，∵|r1|＜|r2|＜1，∴用模型y＝c+建立y与x的回归方程更合适；（2）根据（1）知，＝＝＝﹣10，＝﹣＝109.94+10×0.16＝111.54，∴y关于x的回归方程为＝111.54﹣；（3）由题意知利润函数z＝20y﹣x＝20×（111.54﹣）﹣x＝2230.8﹣（），由基本不等式≥2＝20，当且仅当x＝20时“＝”成立，∴当气温x＝20℃时，利润z的预报值最大．21．已知f（x）＝mx2﹣x+lnx．（1）当m＝0时，求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最大值M（t）；（2）当m＝1时，若存在正数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝1﹣ln2，求证：x1+x2≥2．【分析】（1）把m＝0代入后对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值；（2）把m＝1代入后，结合正数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝1﹣ln2，代入整理后可得＝2x1x2﹣lnx1x2+1﹣ln2，结合其结构特征可构造函数h（x）＝2x ﹣lnx+1﹣ln2，然后结合导数及单调性关系进行求解即可．解：（1）m＝0时，f（x）＝lnx﹣x．，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，f（x）的最大值为f（t）＝lnt﹣t；当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为增函数，在区间（1，t+1）上为减函数，f（x）的最小值为f（1）＝﹣1．综上，M（t）＝，（2）f（x1）+f（x2）＝﹣（x1+x2）+lnx1x2＝1﹣ln2，即＝2x1x2﹣lnx1x2+1﹣ln2，令h（x）＝2x﹣lnx+1﹣ln2，则故h（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，故h（x），即，即有（x1+x2﹣2）（x1+x2+1）≥0，因为x1，x2＞0，所以x1+x2≥2．．。
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2021届高三数学小测（10）
班别： 姓名：
9.___________________ 10._________________ 11._______________ 12.________________
一．选择题（共8小题）
1. 设函数()1()lg 1f x x
f x =+，则()10f 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．10
D ．110
2. 下列函数中，与函数y
=
有相同定义域的是( ).
A ．()ln f x x =
B ．()1
f x x
= C ．()f x x = D ．()e x f x =
3. 函数22sin 202022
()1
x x x f x x +++=+在R 上的最大值与最小值的和为( )
A.4
B.2
C.0
D.不确定
4. 函数123
[1]=-+--（）在，f x x x
上的最大值是（ ）
A.3
2
B.83
-
C.-2
D.2
5. 若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值
范围是( ) A.[1,1][3,)-+∞ B.[3,1][0,1]-- C.[1,0][1,)-+∞
D.[1,0][1,3]-
6. 若二次函数21y x ax =++对于一切10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒有0y ≥成立，则a 的最小值是（ ）
A.0
B.2
C.52
-
D.3-
7. 已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离
为9，则p =( ) A.2
B.3
C.6
D.9
8. 若函数()2f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则 M m -( )
A.与a 有关，且与b 有关
B.与a 有关，但与b 无关
C.与a 无关，且与b 无关
D.与a 无关，但与b 有关 二．填空题（共4小题）
9.
已知函数()f x =的单调增区间为[4,)+∞，则(4)f -=__________.
10. 命题“2
00
0,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：_____________. 11. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，
129
10
a a a a ++⋅⋅⋅= .
12. 己知函数()ln f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则4a b +的取值范围是____________．
2021届高三数学小测（10）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1.【答案】A
【解析】要使函数y
有意义，则0x >，所以函数y 的定义域为()0,+∞.
选项中给出的函数()1
f x x
=的定义域为{}0x x ≠；
()
f x =
()(),00,-∞+∞；
()e x f x =的定义域为R.
()ln f x x =的定义域为()0,+∞.
所以与函数y
有相同定义域的是函数()ln f x x =. 故选A.
3.【答案】A
【解析】函数222sin 202022sin 2020()211x x x x x f x x x ++++==+++，设2sin 2020()1
x x
g x x +=
+，而函数2sin 2020()1
x x
g x x +=
+为奇函数，最大值与最小值的和为0，故函数()f x 的最大值与最小值的和为4，故选A. 4.【答案】A 【解析】略 5.【答案】D
【解析】由题意知()f x 在(0)-∞，
，(0)+∞，单调递减，且(2)(2)(0)0f f f -===.当0x >时，令(1)0f x -≥，得012x ≤-≤，13x ∴≤≤；当0x <时，令(1)0f x -≤，得210x -≤-≤，11x ∴-≤≤，又0x <，10x ∴-≤<；当0x =时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[1
03]][1-⋃，，，选D. 6.【答案】C
【解析】二次函数21y x ax =++对于一切10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒有0y ≥成立，
即2
10x ax ++≥，1a x x ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭，1y x x ⎛
⎫ ⎪⎝
=+⎭-，2110y x '=-+>， 所以函数1y x x ⎛⎫
⎪⎝
=+⎭
-在10,2⎛⎤
⎥⎝
⎦
上单调递增，1y x x
⎛⎫
⎪⎝
=+⎭
-的最大值为52-，52
a ∴≥-故选C.
【解析】由()f x =[4,)+∞,可知(4)0f =,得2a =-,
所以()f x =故(4)4f -=.
10.【答案】2
,10x R x x ∀∈-->
【解析】略 11.【答案】
278
【解析】 12.【答案】(
)
5,+∞
【解析】∵0a b <<， ∴lg lg a b <，
又由()()f a f b =得，lg lg a b =， ∴lg lg b a =-，且1,01b a ><<， ∴1b a
=，
∴44a b a a
+=+,且4t a a
=+在()0,1上递减， ∴45a a
+>，
∴4a b +的取值范围是()5,+∞ 故答案为：()5,+∞。