1.4向量的向量积,向量的混合积

本节重点: 2 1.4.1向量积

§ 1.4 向量的向量积、向量的混合积

1。向量的向量积及其运算律、坐标运算

•向量的混合积及其运算律、坐标运算

物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。我们在f 作用线上任取一点 R 。 与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。则m 垂直于r , f 。且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f',

T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于

而 故丨m | = | T T T r , f , m }。 OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | •I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; T

r T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。 c ,其模等于a , b 之模与a

, b 夹角正弦之

则c 称为a , b 的向量积

T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。 T T a x b = 0。 等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以

推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T T

b x a =—(a x b )

T T T T T

入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —f

b 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T

。又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T T

a ,

b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。 T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b )

T T T

=| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T T

T T b ))

T T

=| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,

因此入a x b =入（a x b）

. ―S TTTT TT TT T 当入V 0时,入a与a反向,故入a x b与a x b反向，但入（a x b）,也与（a x b）反向，故入a x

T T T

b与入（a x b）同向，另一方面

T T T T T T

| 入a x b=1入a | | b |sin/ (入a, b)

T T T

—|入| | a |b| sin / (兀—/ ( a ,b))

T T T T

=1入| | a | |b |sin / ( a , b )

T T

|入（a x b)| ,

T T T T

因此入a x b —入（a x b)

T T T T

类似可证a x（入b ）=入（a x b）证毕

向量积对于加法也满足分配律，留后再证。

142向量的混合积

TT T TTTTTT TTT 143定义a , b的向量积与c的数量积（a x b）c叫做a , b , c的混合积。记作（a , b , c）=

TTT

（a x b）c

混合积的几何意义由下面两个定理表述

144定理不共面向量a , b , c的混合积的绝对值等于以 a , b , c为棱的平行六面的体积。它的

符号，当a, b , c组成右手系时为正，当a, b, c组成左手系的为负。

T T T T T T

证：由于a , b , c不共面，把它归到共同的起点o ,可以构成a , b , c为棱的平行六面体（图1-26）

它的底面是以a , b为邻边的平行四边形，面积S=|a x b |。它的高h。它的体积^= S •h

图1-26

由数量积定义

T T T T T T T

( a x b)• c =|a x b | c COS9 = S I c | COS9

TTT

其中B是a x b和c的夹角.

TTT T

当｛0；a , b , c ｝成右手系时,0 < 0 V n /2, h =|c | COS)

T T T

因而(a x b)c = S • H= V

T T T

当｛0；a , b , c ｝成左手系时，n /2 VQW n ,

T T TTT

h =|c | COS( n - 0 )=-|c | CO)，因而(a x b ) c =- Sh=-V TTT TTT

1.4.5定理三向量a , b , c共面的充要条件是(a , b , c)= 0

TTT TTT

证：设a , b, c共面,则a , b, c构成的平行六面体体积为o .

TTT