1.4向量的向量积,向量的混合积
平面向量的向量积与混合积的应用
向量积在几何中的应用
02
面积计算
向量积在几何中可以用于计算平行四边形的面积 向量积可以用于计算三角形面积，公式为：面积 = (向量a × 向量b)的模 / 2 向量积还可以用于计算任意多边形的面积 向量积在计算面积方面具有广泛应用，是解决几何问题的重要工具之一
角度计算
向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面 积，方向垂直于a和b所在的平面。
向量积与角度计算：向量积可以用于计算两向量的夹角，公式为cosθ=∣a·b∣∣a∣∣b∣。
向量积在几何中的应用：向量积可以用于解决与角度、方向和旋转相关的问题，例如确定点的位 置、判断直线的方向等。
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平面向量的向量积与混合积的应用
汇报人：XX
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
向量积的定义 与性质
02.
向量积在几何 中的应用
03.
混合积的定义 与性质
04.
混合积在几何 中的应用
05.
向量积与混合 积在量积 和混合积的定义 和性质
运用向量的线性 组合和数量积等 技巧简化运算
注意运算中的符 号和顺序，避免 混淆和错误
结合具体例题进 行练习，提高运 算能力和准确性
避免计算错误的方法
仔细检查运算符号和括号
确保向量长度和夹角正确
使用数学软件进行验证
多次重复计算以避免误差
向量积与混合积的应用范围与限制
几何与代数课件：11_ 向量的数量积、向量积和混合积
4. 数量积的性质. (1) 正定性:
· = ||||2 0, 且 · = 0 = ;
(2) 对称性: · = · ; (3) (m)· = m( ·) = ·(m);
(4) (+)· = · + ·.
5. 直角坐标系下向量数量积的计算.
(1) i2 = j2 = k2 = 1, i ·j = j ·k = k ·i = 0.
数量积： · = |||| ||||cos = x1y1+x2y2+x3y3 长度：|||| = · = x2+y2+z2 在上的投影： || ||cos
第 3 章 几何向量
§3.3 向量的数量积, 向量积和混合积
二. 两个向量的向量积
1. 物理背景：力矩
2. 向量积(叉积, 外积)的定义.
|| || = |||| || ||sin
(若
与非零
a1 b1
=
a2 b2
=
a3 b3
)
第 3 章 几何向量
§3.3 向量的数量积, 向量积和混合积
例3. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.
例4. 求同时垂直于向量 = (1, 2, 2)和 = (5, 4, 2)的单位向量.
第 3 章 几何向量
§3.3 向量的数量积, 向量积和混合积
例5. 已知向量, , 有共同起点但不共面, 求
以它们为棱的平行六面体的体积V.
h
S
S = |||| h = () V = ()·
第 3 章 几何向量
§3.3 向量的数量积, 向量积和混合积
三. 三个向量的混合积
1. , , 的混合积: ()· = (, , )
1.4-1.5 两向量的向量积和混合积
(bx
i
a
x
b
x
(i
i)
a
x
b
y
(
i
j)
by j bzk )
a
x
bz
(i
k)
j
k
a
y
b
x
(
j
i)
a
y
b
y
(
j
j)
a
y
bz
(j
k)
i
az bx (k i ) az by (k j ) azbz (k k )
b)
c
ax bx
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
几何意义
ab
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其 底面积 A a b , 高 h c
c
b a
故平行六面体体积为
V Ah
( ab)c
a b c
性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
axbx ayby azbz 0
a ,b,c 共面
k)
j
1.4向量的向量积,向量的混合积
§1.4 向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。
向量的向量积及其运算律、坐标运算2．向量的混合积及其运算律、坐标运算1.4.1向量积物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力→f关于定点O的力矩,指的是一个向量→m,它的模等于这个力的大小│→f│与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面,并且向量→OH,→f,→m组成一个右手标架{O;→OH,→f,→m}。
但是，要获得力矩→m，也可以不使用垂足H。
我们在ｆ作用线上任取一点R。
如图以→r记向量→OR。
则→m垂直于→r，→f。
且→r，→f，→m仍组成一个右手标架{O;→r,→f,→m}。
由于OH＝OR sin∠ORH而∠ORH＝π－∠(→r，→f) （或∠(→r,→f)）故│→m│＝│→f││→OH│＝│→f││→r│sin（π-∠(→r,→f)）＝│→r│·│→f│sin∠(→r,→f)我们把由→r，→f得出→m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。
1.4.1定义设→a，→b为两不共线非零向量，作一向量→c，其模等于→a，→b之模与→a，→b夹角正弦之积，它的方向与→a，→b垂直且→a，→b，→c组成一个右手标架{ｏ;→a,→b,→c}, 则→c称为→a,→b的向量积(或叫外积),记作→c＝→a×→b或[→a,→b]系1:│→a×→b│等于以→a,→b为邻边的平行四边形的面积。
系2: 两向量→a,→b共线充要条件为→a×→b＝0。
由定义可以推出向量积的运算规律。
1.4.2定理向量积满足下述运算律(1) →b×→a＝－(→a×→b)(2) λ→a×→b＝→a×λ→b＝λ(→a×→b)证:(1)若→a,→b共线,则等式显然成立。
今设→a，→b不共线，则当交换→a,→b次序时,→a,→b的夹角及各自的模均未改变,故│→b×→a│＝│→a×→b│。
向量的数量积向量积混合积课件
b 0 (c b , c o b o , c s b s ) o , s
co a ,sb a b a 0b 0 |a | |||b | ||
ca c o b o c sa c s o b o c sa c s o b 。 o ss
二. 向量的向量积 • 向量的向量积的概念. • 向量的向量积的性质. • 向量的向量积的坐标形式.
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力 力的 臂大 的小 长度 方向: 由力臂到力符合右则 手法
设力 F作用于杠杆 P处 上 , 点O
( a b ) ( c d ) a ( c d ) b ( c d )
a c a d b c b d
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a ( b )) a a a ( b ) b a b ( b ) a ( b ) | a a | ||a |b p ||p |a ( a r b b r )jj a a 2 2 b a 2 。 b b a b 2
b c 0 ( 5 ) 3 1 1 ( 3 ) 0 。 (bc) pb r a j|a b | b | | 0 2 3 1 2 1 2 1 1。 0 pa r b j|a a | b | | 4 2 ( 1 1 )2 2 2 1 2。 1
问
位于坐标面上的量非的零特向征是什么？
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a b b a (交换 ) 律
证 由数量积的定,义得
a b |a ||b ||c | a o , b ,s b a |b ||a ||c | b o , a ,s 因 c a o , b 为 s c b o , a ,所 s 以
向量的数量积、向量积与混合积及其应用
向量的数量积、向量积与混合积及其应用一、两向量的数量积及其应用1．向量的数量积向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的数量积为其中θ为向量a与b之夹角，规定0≤θ≤π.2．向量的数量积运算规律(1) 交换律 a∙b=b∙a；(2) 结合律 (λa)∙b=a∙(λb)= λ(a∙b )；(3) 分配律 (a+b)∙c= a∙c + b∙c；(4) a∙a=| a|2.3．两向量的夹角两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为4．两向量垂直位置关系的判定【注】：零向量与任何向量垂直.5．向量积的物理应用常力F拉物体沿位移S所做的功W为W=F∙S.二、两向量的向量积及其应用1．向量积的定义两向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)的向量积定义【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．关于向量a，b的向量积，有：(1) aⅹb与a，b分别垂直；(2)a，b与aⅹb服从右手法则；(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a，b间的夹角．2．向量积的运算律(1) 反交换律aⅹb=- bⅹa；；(2) aⅹa=0；(3) 结合律 (λa)ⅹb=aⅹ(λb)=λ(aⅹb)，其中λ为实数；(4) 分配律 (a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc.3．向量积的几何应用4．向量积的物理应用设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上点P处，则力F对支点O的力矩M为三、向量的混合积及其应用1．向量的混合积设有三个向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),则称(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]，并有根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即(aⅹb)∙c=( bⅹc)∙a =( cⅹa)∙b.2．混合积的几何应用(1) a,b,c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.(2) 空间四点A,B,C,D共面(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：参考课件：。
《向量的混合积》课件
03
向量混合积的应用
在几何学中的应用
判断几何形状
通过计算向量的混合积，可以判断几 何形状的属性和性质，例如判断一个 几何体是否为平行六面体、判断一个 平面是否垂直等。
计算体积
计算面积
向量的混合积可以用于计算几何体的 面积，例如计算平面图形的面积。
向量的混合积可以用于计算几何体的 体积，例如计算长方体、平行六面体 等几何体的体积。
直于原向量，遵循右手定则。数学上表示为$mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{B}$。
向量内积
总结词
向量内积（也称为点积）是一个标量运算，用于描述两个三维向量的相似程度。
详细描述
向量内积的定义涉及两个三维向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$，其结果是标量值，表示两向量的相 似程度。数学上表示为$A cdot B = ||mathbf{A}|| cdot ||mathbf{B}|| cdot cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
04
向量混合积的扩展知识
向量外积
总结词
向量外积（也称为向量积）是一个向量运算，用于描述两个三维向量在垂直于这两个向 量方向上的投影面积。
详细描述
向量外积的定义涉及两个三维向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$，其结果是一个向量 $mathbf{C}$，该向量的长度等于两向量在垂直于两原向量方向上的投影面积，方向垂
向量的混合积
目录
• 向量混合积的定义 • 向量混合积的计算 • 向量混合积的应用 • 向量混合积的扩展知识
01
向量混合积的定义
定义及公式
定义
给定向量$mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}$，向量$mathbf{a}$与平面$mathbf{b}, mathbf{c}$的混合积记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$，其值为一个标量。
《向量混合积》课件
02
在高维空间中，向量混 合积可以表示更复杂的 几何关系，例如体积、
表面积等。
03
向量混合积的推广对于 理解高维空间中的几何 性质和解决实际问题具
有重要的意义。
THANKS
《向量混合积》ppt课件
$number {01}
目录
• 向量混合积的定义 • 向量混合积的计算方法 • 向量混合积的应用 • 向量混合积的扩展
01
向量混合积的定义
定义
总结词
向量混合积是三个向量的一种组合方式，表示为三个向量的有序积。
详细描述
向量混合积定义为三个向量$mathbf{A}$、$mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积为一个标量，记作$mathbf{A} times mathbf{B} cdot mathbf{C}$，计算公式为$|mathbf{A} times mathbf{B}| cdot |mathbf{C}| cdot costheta$，其中$theta$为$mathbf{C}$与$mathbf{A} times mathbf{B}$之间的夹角。
02
向量混合积的计算方法
代数法
1 3
定义
三个向量的混合积定义为$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$，其结果是一个标量。
计算公式
2
$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) =
|mathbf{A}| cdot |mathbf{B}| cdot |mathbf{C}| cdot
航空航天工程
向量混合积可以用来描述飞行器的姿 态和飞行轨迹，以及描述航天器的轨 道和姿态控制。
《高等数学》第七章-数量积-向量积-混合积
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
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ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
向量的数量积向量积和混合积
向量的数量积向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积向量是在物理学和数学中广泛应用的概念。
在向量运算中，数量积、向量积和混合积是重要的概念和运算符号。
本文将详细介绍向量的数量积、向量积和混合积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量关系的一种表示方法。
给定两个 n 维实数向量 A 和 B，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角。
数量积的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C数量积的应用：1. 判断向量的正交性：若 A·B = 0，则向量 A 和 B 垂直（即正交）。
2. 求两个向量夹角：θ = arccos(A·B / (|A| |B|))3. 计算向量的投影：向量 A 在 B 方向上的投影为 ProjB A = (A·B /|B|²) B二、向量的向量积向量积，也叫叉积或外积，是两个向量的向量关系的一种表示方法。
给定三维实数向量 A 和 B，它们的向量积定义为：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角，n 是一个垂直于向量 A 和 B 的单位向量，其方向由右手法则确定。
向量积的性质：1. 反交换律：A × B = -B × A2. 分配律：A × (B+C) = A × B + A × C向量积的应用：1. 求面积：以向量 A 和 B 为邻边的平行四边形的面积为 S = |A × B|2. 求法向量：若平面上有两个向量 A 和 B，则平面的法向量为 n =(A × B) / |A × B|3. 求垂直向量：若向量 A 和 B 垂直，则它们的向量积为A × B ≠ 0三、向量的混合积混合积是三个向量（也可看作三维向量组成的平行六面体）之间的一种数量关系。
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积1 点乘1.1 定义点乘，也叫向量的内积、数量积。
两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<>令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。
1.2 坐标表示设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则：121212a b x x y y z z =++1.3 几何意义点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。
1.4 应用（1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。
这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量）（2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦；（3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影；（4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。
（<0）多边形在视点的正面能看到。
（5）求平面外一点到平面的距离。
从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。
（6）方向角与方向余弦。
方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。
设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则：222cos ,cos ,cos cos cos cos y x za a a a a a αβγαβγ===++如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。
2 叉乘2.1 定义叉乘，也叫向量的外积、向量积。
两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。
向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
第2讲 向量的数量积、向量积、混合积
ay,
az
)。
a
i
ax, ay , az 不同时为零
在 x 轴上：a ( ax , 0, 0 ) ；a yz 平面
a//
i
在 y 轴上：a ( 0, ay , 0 ) ；a xz 平面 在 z 轴上：a ( 0, 0, az )。a xy 平面
a//
j
a//
k
ax, ay , az 不为零
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力的大小 力臂的长度 方向: 由力臂到力符合右手法则
设力
F
作用于杠杆上点
P 处,
F 与OP间的夹角为。
F
O P
Q
则力 F对点 O 产生的力矩为一个向量
M,
且
||
M
||
||
F ||
||
OQ
||
||
F ||
||
OP
||
sin
,
M
的方向是从OP
到
F 以不超过
|
a
b|
|
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
|
||
a||
||
b ||
,
得
| axbx ayby azbz | ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 。
(当
cos
a,
b
1
时等号成立,
此时
a// b。)
例 (a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
1 1 。
02 32 12
10
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
4向量的内积、外积、混合积
2. 外积的的直接应用
(1).定理1: 两个向量 a , b 共线 a b 0.
特别地 , 如果 a 0,向量 b 沿向量 a 方向的正交分解为 b b1 b2 , 其中b1 // a , b2 a.则a b a b2 .
5i 6 j 3k 25 36 9
5 70
i
6 70
j
3 70
k.
例2. 已知向量 a (1,2,3), b ( 2,1, 2)求 a , b的夹角.
解 : cos a , b
a b ab
226 12 9
1 3
.
例3. 向量 a (1, 1,2), e (1,1,1)求 a在 e上的射影 .
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理 3 : 设向量 a , b 在直角坐标系 [O ; i , j , k ]下的坐标分别为 ( a1 , a 2 , a3 ) 与 (b1 , b2 , b3 ), 则它们的内积为 : a b a1b1 a 2 b2 a3b3 .
即 : ( a , b , c ) (b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ).
由定理 3, 显然有结论 : 推论 : ( a b ) c a (b c ).
1. 向量的射影与正交分解
a
O
A
a2
A
e
l
a1
(2)正交分解
《向量混合积》课件
04
向量混合积的扩展知识
向量混合积与向量点积的关系
向量混合积与向量点积是三种二阶三向量的混合积中的两种，它们之间存在一定的 关系。
向量混合积的几何意义是将三个向量围成一个平行六面体，而向量点积的几何意义 则是表示三个向量之间的角度。
《向量混合积》ppt课 件
目 录
• 向量混合积的定义 • 向量混合积的计算方法 • 向量混合积的应用 • 向量混合积的扩展知识 • 习题与思考题
01
向量混合积的定义
定义及符号表示
总结词
向量混合积是三个向量的度量，用于描述三个向量在三维空间中的相互关系。
详细描述
向量混合积定义为三个向量$mathbf{A}$、$mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混 合积为一个标量，记作$mathbf{A} times mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
若两个向量a、b的混合积为0，则a、b两个向量 共线。
思考题
• 思考向量混合积的性质在实际生活中的应用场景，并举例 说明。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
地理解和应用向量的概念和运算。
05
习题与思考题
基础习题
计算以下向量的混合 积
( j, k, l) × (m, n, o) × (p, q, r)
(a, b, c) × (d, e, f) × (g, h, i)
基础习题
判断以下向量的混合积的正负性 (s, t, u) × (v, w, x) × (y, z, a)
研究流体动力学
在流体动力学中，向量混合积可以用来描述流体的旋度和速度场 。
向量的内积、外积、混合积
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) = mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) + mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{d})$。
向量的内积、外积、混合积
目录
CONTENTS
• 向量内积 • 向量的外积 • 向量的混合积 • 向量内积、外积、混合积的应用
01
CHAPTER
向量内积
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$的数量积，记作 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$。其计 算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
04
CHAPTER
向量内积、外积、混合积的 应用
在解析几何中的应用
计算向量的模
向量的模可以通过内积计算，即 $mathbf{u} cdot mathbf{u} = |mathbf{u}|^2$。
判断向量是否垂直
两个向量垂直当且仅当它们的内
积为0，即$mathbf{u}
cdot
mathbf{v} = 0$。
当两个向量正交时，它们的内积为0 。
向量的内积满足交换律和分配律，即 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$和 $(mathbf{a} + mathbf{c}) cdot mathbf{b} = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{c} cdot mathbf{b}$。
三个向量混合积计算公式
三个向量混合积计算公式三个向量的混合积是线性代数中一个重要的概念，它是三维空间中向量积的推广，用于计算三个向量构成的平行六面体的体积。
在实际计算中，混合积具有广泛的应用，尤其是在几何学中，对于计算线、面的交叉点、面积等几何量也是非常有用的。
三个向量混合积的计算公式为：$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})$$其中，$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，$\times$表示向量积，$\cdot$表示数量积。
三个向量混合积的值是一个标量，表示平行六面体的体积。
对于三维空间中的任意三个向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$，都可以利用上述公式来计算它们的混合积。
下面，我们通过实例来说明三个向量混合积的计算方法：假设有三个向量：$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,2)$，$\vec{c}=(-3,4,1)$。
要求计算它们的混合积。
首先，我们可以利用向量积计算出$\vec{a}\times\vec{b}$：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&-1&2\end{vmatrix}=(7,8,-5)$$接下来，我们将$(\vec{a}\times\vec{b})$与向量$\vec{c}$做数量积，即可得到三个向量混合积的值：$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(7,8,-5)\cdot(-3,4,1)=-20$$因此，三个向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,2)$，$\vec{c}=(-3,4,1)$的混合积为$-20$，表示它们构成的平行六面体的体积为$20$。
向量的运算法则公式
向量的运算法则公式1. 向量的加法。
向量的加法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的加法表示为a + b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的和，即c = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
2. 向量的减法。
向量的减法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的减法表示为a b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的差，即c = (a1 b1, a2b2, ..., an bn)。
3. 向量的数量乘法。
向量的数量乘法遵循以下法则：若有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法表示为ka，其结果为一个新的向量b。
b的每个分量等于a对应分量乘以k，即b = (ka1, ka2, ..., kan)。
4. 向量的点积。
向量的点积遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，其结果为一个标量c。
c等于a和b对应分量的乘积之和，即c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
5. 向量的叉积。
向量的叉积遵循以下法则：若有两个三维向量a和b，它们的叉积表示为a×b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量分别为a和b的对应分量按照右手定则计算得出。
6. 向量的混合积。
向量的混合积遵循以下法则：若有三个三维向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，其结果为一个标量d。
d等于a、b和c构成的平行六面体的有向体积。
这些向量的运算法则是线性代数中的基本概念，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
通过这些法则，可以对向量进行加法、减法、数量乘法、点积、叉积和混合积的运算，从而解决各种实际问题。
在实际应用中，向量的运算法则可以帮助我们描述物体的运动、力的作用、空间的几何关系等。
例如，在物理学中，利用向量的加法可以描述多个力合成的结果；利用向量的点积可以计算功和投影；利用向量的叉积可以描述力矩和磁场等。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
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本节重点: 2 1.4.1向量积§ 1.4 向量的向量积、向量的混合积1。
向量的向量积及其运算律、坐标运算•向量的混合积及其运算律、坐标运算物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。
我们在f 作用线上任取一点 R 。
与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。
但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。
则m 垂直于r , f 。
且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f',T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于而 故丨m | = | T T T r , f , m }。
OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | •I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; Tr T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。
c ,其模等于a , b 之模与a, b 夹角正弦之则c 称为a , b 的向量积T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。
T T a x b = 0。
等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以推出向量积的运算规律。
1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T Tb x a =—(a x b )T T T T T入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。
今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —fb 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T。
又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T Ta ,b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。
T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b )T T T=| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T TT T b ))T T=| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,因此入a x b =入（a x b）. ―S TTTT TT TT T 当入V 0时,入a与a反向,故入a x b与a x b反向，但入（a x b）,也与（a x b）反向，故入a xT T Tb与入（a x b）同向，另一方面T T T T T T| 入a x b=1入a | | b |sin/ (入a, b)T T T—|入| | a |b| sin / (兀—/ ( a ,b))T T T T=1入| | a | |b |sin / ( a , b )T T|入（a x b)| ,T T T T因此入a x b —入（a x b)T T T T类似可证a x（入b ）=入（a x b）证毕向量积对于加法也满足分配律，留后再证。
142向量的混合积TT T TTTTTT TTT 143定义a , b的向量积与c的数量积（a x b）c叫做a , b , c的混合积。
记作（a , b , c）=TTT（a x b）c混合积的几何意义由下面两个定理表述144定理不共面向量a , b , c的混合积的绝对值等于以 a , b , c为棱的平行六面的体积。
它的符号，当a, b , c组成右手系时为正，当a, b, c组成左手系的为负。
T T T T T T证：由于a , b , c不共面，把它归到共同的起点o ,可以构成a , b , c为棱的平行六面体（图1-26）它的底面是以a , b为邻边的平行四边形，面积S=|a x b |。
它的高h。
它的体积^= S •h图1-26由数量积定义T T T T T T T( a x b)• c =|a x b | c COS9 = S I c | COS9TTT其中B是a x b和c的夹角.TTT T当｛0；a , b , c ｝成右手系时,0 < 0 V n /2, h =|c | COS)T T T因而(a x b)c = S • H= VT T T当｛0；a , b , c ｝成左手系时，n /2 VQW n ,T T TTTh =|c | COS( n - 0 )=-|c | CO)，因而(a x b ) c =- Sh=-V TTT TTT1.4.5定理三向量a , b , c共面的充要条件是(a , b , c)= 0TTT TTT证：设a , b, c共面,则a , b, c构成的平行六面体体积为o .TTT( a x b ) • c = 0我们首先注意到，坐标向量i j k 相互间有如下关系：TTTTTTTTi x j = k ,j xk= i ,k x i = j(1)今设给了两个向量 a ={ a 1 ,a 2, a 3} ,b ={ b 1,b 2, b 3 }则TTTTTTTTa = a i i + a 2 j + a 3 k ,b = b i i + b 2 j + b s k ,TT T~T ?TT ax b = ( a i + a ? j + a 3 k ) x( b = b i i + b ?j + b 3 k )—? —f —f —* —f ? —f=a 1 b 1 ( i x i ) + a 1 b 2 ( i x j ) + a 1 b 3 ( i x k ) + a 2 b 1 ( j x i ) TT —* —f —f —f —f —f +a 2b 2 ( j x j ) + a 2 b 3 ( j x k ) + a 3 b| ( k x i ) + a 3 b ? ( k x j )T T + a 3 b 3 ( k x k )因为每个向量都与自身共线,所以与自身的向量积为零向量 ，再利用反交换律及 /,式，立即推得：T T—f T Ta xb =( a 2 b 3 — b 2 a 3) i + ( a 3 b 1 — b 3 a 1) j +( a b 2 — b 1 a 2) k 利用行列式作记号表示即{( a ? b 3 — b ? a 3) , ( a ? d — b ^ a 1) , ( a 1 b ? — d a ?)}也可以记为、 T T TT 反之,(a , b , c ) = 0,若 a , 盾,证毕。
T T T T T b , c 不共面，则以a , b ,c 为棱的平行六面体体积(T Tb ,c ) = o,矛系：(a , b , c )= ( b , c , a )=( c , 现在，我们提出并证明向量积满足分配律。
1.5.6定理( a + b ) T T T-(b , a , c )T T T 芒 x c = a x c + b x T T T T T Tc x ( a + b )= c x a + c x 证：显然第二式可以从第一式利用反交换推得, 因为向量的坐标等于它与坐标向量的数量积，T T 〔(a + b ) T T 〔(a + b ) 〔(a + b ) T c 〕T c 〕 Tc 〕 T j k = Tc T b 因此仅需证明第一式。
所以问题归结的证明以下三个等式T T T T T (a x c + b x c ) i T T T T T =(a x c + b x c ) j T T T T T (a x c + b x c ) k 我们仅需证第一等式其余完全类似可得 T T T T T T 〔(a + b )x c 〕i = ( a + b ,T T T Tc x i ) ( a + b )= T T T c , i , a ) T T =( =( T T T T c , i ) = ( c , i T T (c x i ) T T c , i ) T T T (c x i ) a + T T T T +( c , i , b ) = ( a , T T T i 证毕=〔 143向量积与混合积的坐标计算a x c 〕+b xc )〕 j , k 之间的关系a ?b ? a 3 a 3 b 3' b 3a 1bi a1ba ?b ?■7^a 〔 a 2b 1 b 2 a 3 b 3(2)下面来算混合积 —f 设 a { a 1 , a 2, a ?}, Tb { b i , b 2, b 3}, —fC{ C 1 ,C 2,C 3 },Ta ? a 3a 3 a 1 a 1 a ?C = b ? b 3 S + b 3 b 1C 2 b 1 b ?C3a 2b 2 a 3 b 3 a i b i T T •'•( a x b ) C lC2C3上面我们都利用直角坐标来计算 设 a ,为了理论上的需要，我们来推导一个用仿射坐标计算的混合积公式 为三个向量 T T T =&1 © + a ? e + €3 T T T=b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 T=G e 〔 + T Ta ,b , •- (a b C ) = (a 1 e 1 T=(a 1 e 1 , T (a 2e 2 , T —i C 2 e 2 + C 3 e 3 C 关于仿射标架 T T a 2 e 2 T b 2 e 2 , T b 3 e 3 , —■> —■> —f e 1 , e ?, e 3}的分解式 TT T T T T{O , —f a 3 e 3 , d © b ? e ? b 3 e 3 , C 1 e 1 C ? e ? C 3 e 3) T T T 03 e 3 ) + (a 1 e 1 , b 3 e 3 , T T T C 1 e 1) +( a 3 e 3 , b 2 e 2 , T T T T C 2 e 2) + (a 2 e 2 , De , C 3 e 3) + T T T T C 2 e 2) +( a 3 e 3 , b 2 e 2 , C 1 e 1) —t —f —f=(a 1 b ? C 3 - a 1 C 2 b ? - b 1 a ? C 3 + C 1 a ? b 3 + b C 2 a 3 - G b ? a 3) ( e^ e ? e 3) a i bi a 2 b 2 a 3b 3 T T T (e i e 2 ©3 ) C 1 T T T 由于(i , j , k )= 1,因此公式 ⑷是公式⑸ 的特例。