数列-高考文科数学通用讲义

重点增分专题六 数 列

[全国卷3年考情分析]

(1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算、两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)，主要突出函数与方程思想的应用．

(2)近三年高考考查数列都在17题，试题难度中等，19年高考可能以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．

考点一 等差、等比数列的基本运算 保分考点

练后讲评

[大稳定——常规角度考双基]

1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2

＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1

＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.

2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 10S 5＝33

32，则数

列{a n }的公比q 为( )

A ．4

B ．2 C.12

D.34

解析：选C 因为S 10S 5＝3332≠2，所以q ≠1.所以S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5，所以1＋q 5

＝3332

，

所以q ＝1

2

.

3.[等差与等比数列的综合运算]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3.

(1)若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝13，求S n .

解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －

1. 由a 2＋b 2＝3，得d ＋q ＝4， ① 由a 3＋b 3＝7，得2d ＋q 2＝8， ② 联立①②，解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. (2)∵T 3＝1＋q ＋q 2，∴1＋q ＋q 2＝13， 解得q ＝3或q ＝－4，

由a 2＋b 2＝3，得d ＝4－q ，∴d ＝1或d ＝8. 由S n ＝na 1＋1

2n (n －1)d ，

得S n ＝12n 2－3

2

n 或S n ＝4n 2－5n .

[解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．

(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

[小创新——变换角度考迁移]

1.[与平面向量交汇]设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1――→

＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

解析：∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1――→

＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2，

∴数列{a n }是公差d 为2的等差数列．

又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1，

∴S n ＝n ＋n (n －1)

2

×2＝n 2. 答案：n 2

2.[定义数列中的创新]设某数列的前n 项和为S n ，若S n

S 2n

为常数，则称该数列为“和谐数

列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.

解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋1

2n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，

上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧

d (4k －1)＝0，

(2k －1)(2－d )＝0，得⎩

⎪⎨⎪⎧

d ＝2，

k ＝14

，

∴数列{a n }的公差为2.

答案：2

3.[借助数学文化考查](2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7

＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)

1－2

＝381，解得a 1＝3.

考点二 等差数列、等比数列的性质 保分考点

练后讲评

[大稳定——常规角度考双基]

1.[等比数列项的性质]在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16

a 9

的

值为( )

A ．－2＋2

2

B ．－ 2 C. 2

D ．－2或 2

解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以

a 3·a 15＝a 29＝2，

a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29

a 9

＝a 9＝－2，