. 综上,实数λ的取值范围为????
12,712. 答案:????12,712
[解题方略] 等差、等比数列性质问题的求解策略
[小创新——变换角度考迁移]
1.[数列与对数式交汇]在等差数列{a n }中,公差d ≠0,若lg a 1,lg a 2,lg a 4也成等差数列,且a 5=10,则{a n }的前5项和S 5=( )
A .40
B .35
C .30
D .25
解析:选C 因为lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列,所以2lg a 2=lg a 1+lg a 4?lg a 22=lg a 1a 4
?a 22=a 1a 4?d 2
=a 1d ,因为d ≠0,所以a 1=d ,又a 5=a 1+4d =10,所以a 1=2,d =2,S 5
=5a 1+
5×4
2
d =30.选C. 2.[数列与函数性质交汇]已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 3>0,则f (a 1)+f (a 3)+f (a 5)的值( )
A .恒为正数
B .恒为负数
C .恒为0
D .可以为正数也可以为负数
解析:选A 因为函数f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,又f (x )是R 上的增函数,所以当x >0时,有f (x )>f (0)=0,当x <0时,有f (x )0,所以f (a 3)>0.因为数列{a n }是等差数列,所以
a 1+a 5
2
=a 3>0?a 1+a 5>0?a 1>-a 5?f (a 1)>f (-a 5),又f (-a 5)= -f (a 5),所以f (a 1)+f (a 5)>0,故f (a 1)+f (a 3)+f (a 5)=[f (a 1)+f (a 5)]+f (a 3)>0.
3.[数列与三角函数交汇]已知数列{a n }满足a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *,且a 5=π
2,若
函数f (x )=sin 2x +2cos 2 x
2
,记y n =f (a n ),则数列{y n }的前9项和为( )
A .0
B .-9
C .9
D .1
解析:选C 由已知可得,数列{a n }为等差数列,f (x )=sin 2x +cos x +1,∴f ????
π2=1.∵f (π-x )=sin(2π-2x )+cos(π-x )+1=-sin 2x -cos x +1,∴f (π-x )+f (x )=2,∵a 1+a 9=a 2+a 8=…=2a 5=π,∴f (a 1)+…+f (a 9)=2×4+1=9,即数列{y n }的前9项和为9.
4.[数列与不等式交汇]数列{a n }是首项a 1=m ,公差为2的等差数列,数列{b n }满足2b n
=(n +1)a n ,若对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立,则m 的取值范围是________.
解析:由题意得,a n =m +2(n -1), 从而b n =n +12a n =n +12
[m +2(n -1)].
又对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立,结合数列{b n }的函数特性可知b 4≥b 5,b 6≥b 5,
故???
5
2(m +6)≥3(m +8),
7
2(m +10)≥3(m +8),
解得-22≤m ≤-18.
答案:[-22,-18]
考点三 等差(比)数列的判断与证明 增分考点
讲练冲关
[典例] 设S n 为数列{a n }的前n 项和,对任意的n ∈N *,都有S n =2-a n ,数列{b n }满足b 1=2a 1,b n =b n -1
1+b n -1
(n ≥2,n ∈N *).
(1)求证:数列{a n }是等比数列,并求{a n }的通项公式;
(2)判断数列?
???
??
1b n 是等差数列还是等比数列,并求数列{b n }的通项公式.
[解] (1)当n =1时,a 1=S 1=2-a 1,解得a 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a n -1-a n , 即
a n a n -1=1
2
(n ≥2,n ∈N *). 所以数列{a n }是首项为1, 公比为1
2
的等比数列,
故数列{a n }的通项公式为a n =????12n -1
. (2)因为a 1=1,所以b 1=2a 1=2. 因为b n =b n -11+b n -1,所以1b n =1b n -1+1,
即1b n
-1
b n -1=1(n ≥2).
所以数列????
??1b n 是首项为12,
公差为1的等差数列. 所以1b n =1
2+(n -1)·1=2n -12,
故数列{b n }的通项公式为b n =
2
2n -1
. [解题方略] 数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明a n +1-a n (n ∈N *)为一常数; ②利用等差中项,即证明2a n =a n -1+a n +1(n ≥2). (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义,证明a n +1
a n (n ∈N *)为一常数;
②利用等比中项,即证明a 2n =a n -1a n +1(n ≥2).
[多练强化]
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -3n (n ∈N *). (1)求a 1,a 2,a 3的值.
(2)设b n =a n +3,证明数列{b n }为等比数列,并求通项公式a n .
解:(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -3n (n ∈N *).
所以n =1时,由a 1=S 1=2a 1-3×1,解得a 1=3, n =2时,由S 2=2a 2-3×2,得a 2=9, n =3时,由S 3=2a 3-3×3,得a 3=21. (2)因为S n =2a n -3n , 所以S n +1=2a n +1-3(n +1), 两式相减,得a n +1=2a n +3,①
把b n =a n +3及b n +1=a n +1+3,代入①式, 得b n +1=2b n (n ∈N *),且b 1=6,
所以数列{b n }是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以b n =6×2n -
1,
所以a n =b n -3=6×2n -
1-3=3(2n -1).
考点四 数列求和 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似]
[典例] 已知数列{a n }满足a 1+4a 2+42a 3+…+4n -
1a n =n 4(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =4n a n
2n +1,求数列{b n b n +1}的前n 项和T n .
[解] (1)当n =1时,a 1=1
4
.
因为a 1+4a 2+42a 3+…+4n -2a n -1+4n -
1a n =n 4,①
所以a 1+4a 2+42a 3+…+4n -
2a n -1=n -14(n ≥2),②
①-②得4n -
1a n =14(n ≥2),所以a n =14n (n ≥2).
由于a 1=14,故a n =1
4n .
(2)由(1)得b n =4n a n 2n +1=1
2n +1,
所以b n b n +1=
1(2n +1)(2n +3)=12?
???1
2n +1-12n +3,
故T n =12????13-15+15-17+…+12n +1-12n +3=12????1
3-12n +3=
n 6n +9.
[练子题——高考年年“形”不同]
1.在本例条件下,若设b n =a n log 1
2
a n ,求数列{
b n }的前n 项和T n .
解:∵a n =1
4n ,∴b n =2n 4n ,
∴T n =241+442+6
43+…+2n 4n ,
14T n =242+443+6
44+…+2n 4n 1, 两式相减得,
34T n =24+242+243+244+…+2
4n -2n 4n +1 =2????14+142+143+144+…+14n -2n
4n +1 =2×14??
??1-14n 1-14-2n 4n +1
=23-2
3×4n -2n 4n +1 =23-6n +83×4n +1, ∴T n =89-6n +89×4n
.
2.在本例条件下,若数列????
??1a n 的前n 项和为S n ,记b n =S n
a n (n ∈N *),求数列{
b n }的前n
项和T n .
解:∵a n =14n ,∴1a n =4n ,S n =43×4n -4
3,
则b n =S n a n =43×42n -4
3×4n ,
∴T n =b 1+b 2+…+b n
=43(42+44+…+42n )-4
3
(4+42+…+4n ) =43×16(1-42n )1-16-43×4(1-4n )1-4
=6445×42n -169×4n +1645.
3.在本例条件下,设b n =a n
(a n +1)(a n +1+1)
,求数列{b n }的前n 项和T n .
解:∵a n =14
n ,
∴b n=
1
4n
?
?
?
?
1
4n+1?
?
?
?
1
4n+1
+1
=
4n+1
(4n+1)(4n+1+1)
=4
3?
?
?
?
1
4n+1
-
1
4n+1+1.
∴T n=b1+b2+b3+…+b n
=4
3
1
4+1
-
1
42+1
+
1
42+1
-
1
43+1
+…-
1
4n+1+1
=4
3?
?
?
?
1
5-
1
4n+1+1=
4
15-
4
3·4n+1+3
.
[解题方略]
1.分组求和中分组的策略
(1)根据等差、等比数列分组.
(2)根据正号、负号分组.
2.裂项相消求和的规律
(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.
(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.
3.错位相减法求和的关注点
(1)适用题型:等差数列{a n}与等比数列{b n}对应项相乘({a n·b n})型数列求和.
(2)步骤:
①求和时先乘以数列{b n}的公比;
②将两个和式错位相减;
③整理结果形式.
[多练强化]
1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S3=a5.令b n=(-1)n-1a n,则数列{b n}的前2n项和T2n为()
A.-n B.-2n
C.n D.2n
解析:选B设等差数列{a n}的公差为d,由S3=a5,得3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴a n=2n-1,∴b n=(-1)n-1(2n-1),∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n -1)=-2n,选B.
2.(2017·天津高考)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式;
(2)求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和(n ∈N *).
解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2+b 3=12,得b 1(q +q 2)=12, 而b 1=2,所以q 2+q -6=0. 又因为q >0,解得q =2. 所以b n =2n .
由b 3=a 4-2a 1,可得3d -a 1=8.① 由S 11=11b 4,可得a 1+5d =16.②
由①②,解得a 1=1,d =3,所以a n =3n -2.
所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -2,数列{b n }的通项公式为b n =2n . (2)由(1)知a 2n =6n -2,b 2n -1=2×4n -
1,
则a 2n b 2n -1=(3n -1)×4n , 设数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为T n ,
故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n -1)×4n ,
4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n -4)×4n +(3n -1)×4n +
1,
上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n -1)×4n +
1
=12×(1-4n )1-4-4-(3n -1)×4n +1
=-(3n -2)×4n +
1-8.
故T n =3n -23×4n +1+8
3.
所以数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为
3n -23×4n +1+8
3
. 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,且a 2=3,S 5=25. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =
1
S n ·S n +1
,记数列{b n }的前n 项和为T n ,证明:T n <1.
解:(1)设等差数列{a n }的公差为d .
因为????
?
a 2=3,S 5=25,所以?
?
???
a 1+d =3,
5(2a 1+4d )
2
=25,
解得?
????
a 1=1,d =2,所以a n =2n -1.
(2)证明:由(1)知,a n =2n -1,
所以S n =n (1+2n -1)
2
=n 2. 所以b n =
1n 2
·(n +1)
2=1n (n +1)=1n -1
n +1. 所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =????1-12+???
?12-1
3+…+???
?1n -1n +1 =1-1n +1
<1.
数学运算——数列的通项公式及求和问题
[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为其前n 项和,已知S 3=7,a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)令b n =a n +ln a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1). 由已知,得?
????
a 1+a 2+a 3
=7,(a 1+3)+(a 3+4)2=3a 2,
即?
???? a 1(1+q +q 2
)=7,a 1(1-6q +q 2
)=-7. 由q >1,解得?
????
a 1=1,q =2,
故数列{a n }的通项公式为a n =2n -
1.
(2)由(1)得b n =2n -
1+(n -1)ln 2,
所以T n =(1+2+22+…+2n -1
)+[0+1+2+…+(n -1)]ln 2=1-2n 1-2
+n (n -1)
2ln 2=2n
-1+n (n -1)2
ln 2.
[素养通路]
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得
运算结果等.
本题通过列出关于首项与公比的方程组,并解此方程组得出首项与公比,从而得出通项公式;通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和.考查了数学运算这一核心素养.
(完整版)高三文科数学数列专题.doc
高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n,已知a1030, a2050 . ( 1)求通项a n; ( 2)若S n242 ,求 n ; ( 3)若b n a n20 ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中,S n为前n项和,已知S77, S1575 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)若b n S n,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ,记 b n 1 , a n . 1 2a n 1 a n (1)求证 : 数列{ b n}为等差数列; (2)求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中, a n 0 , a1 1 ,且当 n 2 时,a n 2S n S n 1 0 . 2 ( 1)求证数列1 为等差数列;S n ( 2)求数列a n的通项 a n; ( 3)当n 2时,设b n n 1 a n,求证: 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中,a18, a4 2 . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设S n| a1 | | a2 || a n |,求 S n;
1 (n N *) , T n b1 b2 b n (n N *) ,是否存在最大的整数m 使得对任( 3)设b n n(12 a n ) 意 n N * ,均有T n m m 的值,若不存在,请说明理由. 成立,若存在,求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列,且a13, a39 . ( 1)求{ a n}的通项公式; ( 2)证明: 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . ( 1)求数列{ a n}的通项公式; ( 2)设b n a n,则 n 为何值时, { b n } 的项取得最小值,最小值为多少?n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式; ( 2)记c n a n b n,求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . (1)求数列{ a n}的通项公式a n; (2)数列{ a n}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n,设a n是S n与 2 的等差中项,数列{ b n} 中, b1 1,点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. ( 1)求数列{ a n} , { b n}的通项公式
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。
~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {
、 ~
、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
高考理科数学专题复习题型数列
第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一,考查热点主要有三个方面:(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解,利用性质解决有关计算问题,属于中、低档题;(2)对数列通项公式的考查;(3)对数列求和及其简单应用的考查,主、客观题均会出现,常以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和,难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q); (2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解; (2)牢固掌握等差(比)数列的性质,可分为三类:①通项公式的变形;②等差(比)中项的变形;③前n项和公式的变形.比如:等差数列中,“若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*)”;等比数列中,“若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q(m,n,p,q∈N*)”.
1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中,a 2a 4=9,且2a 3为3a 2和a 4的等差中项,设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T 8=( ) A.12×37-16 B .310 C.318 D .320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4=a 23=9.设等比数列{a n }的公比为q ,由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3=3a 2+a 4,即4a 3=3a 3 q +a 3q ,整理得q 2-4q +3=0,由公比 不为1,解得q =3.所以T 8=a 1·a 2·…·a 8=a 81q 28=(a 81q 16 )·q 12=(a 1q 2)8·q 12=a 83· q 12=94×312=320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5 +a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一:由S 9=27?9(a 1+a 9) 2=27?a 1+a 9=6?2a 5=6?2a 1+8d =6 且a 5=3.又a 2a 5+a 8=0?2a 1+5d =0, 解得a 1=-5,d =2.故S 8=8a 1+8×(8-1) 2d =16. 解法二:同解法一得a 5=3. 又a 2a 5+a 8=0?3a 2+a 8=0?2a 2+2a 5=0?a 2=-3. ∴d =a 5-a 2 3=2,a 1=a 2-d =-5. 故S 8=8a 1+8×(8-1) 2 d =16.
高考文科数学知识点总结
原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 (1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论; 2 (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反;
(2)“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 函数 知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 4. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: 指数函数与对数函数 指数函数及其性质 2 212221212 2 2 22121) ()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-= +- += -)(
2018高考文科数学复习数列
数列专项 数列的概念与简单表示法 11.[2016·卷] 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成,S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N *,S n ∈{2,3},则k 的最大值为________. [解析] 由S n ∈{2,3},得a 1=S 1∈{2,3}.将数列写出至最多项,其中有相同项的情况舍去,共有如下几种情况: ①a 1=2,a 2=0,a 3=1,a 4=-1; ②a 1=2,a 2=1,a 3=0,a 4=-1; ③a 1=2,a 2=1,a 3=-1,a 4=0; ④a 1=3,a 2=0,a 3=-1,a 4=1; ⑤a 1=3,a 2=-1,a 3=0,a 4=1; ⑥a 1=3,a 2=-1,a 3=1,a 4=0. 最多项均只能写到第4项,即k max =4. D2 等差数列及等差数列前n 项和 12.D2[2016·卷] 已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6 =________. 12.6 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3+a 5=0,所以6+2d +6+4d =0,解得d =-2,所以S 6=6×6+6×52 ×(-2)=36-30=6. 8.D2[2016·卷] 已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 8.20 [解析] 因为S 5=5a 3=10,所以a 3=2,设其公差为d , 则a 1+a 22=2-2d +(2-d )2=d 2-6d +6=-3, 解得d =3,所以a 9=a 3+6d =2+18=20.
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
高考数列复习专题
高三文科数学数列测试题 ) 1.在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于( ) A .40 B .42 C .43 D .45 2.已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a 、3a 、4a 成等比数列,则2a 等于( ) A .-4 B .-6 C .-8 D .-10 3.在等差数列{}n a 中,已知1 1253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 4.在等比数列{n a }中,2a =8,6a =64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 5.-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A .3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 6,已知数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和n S = . 7.等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ,求下列问题: (1)求前n 的和n s (2)当n 是什么值时, n s 有最小值,最小值是多少? 8. 已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S <128,3,2,1(=n …). 9、(本小题满分14分) 设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b += (1)求{}n a ,{}n b 的通项公式;
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
高考理科数学《数列》题型归纳与训练
高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列
(2017高考文科数学)2016-4-30 讲义一数列 一、高考趋势 1、考纲要求 (1).了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2).了解数列是自变量为正整数的一类函数. (3).理解等差数列的概念. (4).掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. (5).了解等差数列与一次函数的关系. (6).理解等比数列的概念. (7).掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. (8).能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(9).了解等比数列与指数函数的关系. 2、命题规律 数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。考察形式一般有两种,第一种是选择题+填空题的形式,第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。
二、基础知识+典型例题 1、等差数列的概念与运算 (1).等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示. (2).等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.)(*∈N n (3).等差中项 如果2 a b A += ,那么A 叫做a 与b 的等差中项. (4).等差数列的前n 项和 等差数列{a n }的前n 项和公式:11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+=) (*∈N n (5).等差数列的判定通常有两种方法: ① 第一种是利用定义,a n -a n -1=d (常数) (n ≥2), ② 第二种是利用等差中项,即2a n =a n +1+a n -1 (n ≥2). 背诵知识点一: (1)等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-) (*∈N n (2)等差中项:b c a a,b,c 2=+构成等差数列,则 (3)等差数列的前n 项和:11()(1)22 n n n a a n n S na d +-=+=)(*∈N n
2014年高考数学真题分类汇编理科-数列(理科)
1.(2014 北京理 5)设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2014 大纲理 10)等比数列{}n a 中,4525a a ==,,则数列{}lg n a 的前8项和等于( ). A .6 B .5 C .4 D .3 3.(2014 福建理 3)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.(2014 辽宁理 8)设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12 n a a 为递减数列,则( ). A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 5.(2014 重庆理 2)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ). A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.(2014 安徽理 12)数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = . 2.(2014 北京理 12)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大. 3.(2014 广东理 13)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且5 10119122e a a a a +=, 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.(2014 江苏理 7)在各项均为正数的等比数列{}n a 中,21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 . 5.(2014 天津理 11)设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________.
高考文科数学数列专题复习
高考文科数学数列专题 复习 文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
高考文科数学 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.(安徽卷)已知为等差数列,,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 3.(江西卷)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4(湖南卷)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于【 】 A .13 B .35 C .49 D . 635.(辽宁卷)已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d = (A )-2 (B )-12 (C )12 (D )2 6.(四川卷)等差数列{n a }的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
7.(湖北卷)设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{2 1 5+},[ 21 5+],2 15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的 数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 9.(宁夏海南卷)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2 110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m = (A )38 (B )20 (C )10 (D )9 10.(重庆卷)设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则 {}n a 的前n 项和n S = A .2744 n n + B .2533n n + C .2324 n n + D .2n n + 11.(四川卷)等差数列{n a }的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题
(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈
若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.
2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)
题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N .
高考文科数学数列高考题
高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.(安徽卷)已知 为等差数列, , 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.(江西卷)公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4(湖南卷)设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等 于【 】 A .13 B .35 C .49 D . 63 5.(辽宁卷)已知{}n a 为等差数列,且 7a -24a =-1, 3a =0,则公差d = ( ) (A )-2 (B )-12 (C )12 (D )2 6.(四川卷)等差数列{n a }的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 的等 比中项,则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.(湖北卷)设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ],则 {215+},[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.(湖北卷)古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成
数列-高考文科数学通用讲义
重点增分专题六数列 [全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ 2018数列的递推关系、等比数 列的判定及计算·T17 等差数列的通项公式、前n 项和公式及最值·T17 等比数列的通项公式、前n 项和公式·T17 2017等比数列的通项公式与前 n项和公式、等差数列的判 定·T17 等差、等比数列的通项公 式及前n项和公式·T17 数列的递推关系及通项公 式、裂项相消法求和·T17 2016数列的递推关系、数列的 通项公式及前n项和公 式·T17 等差数列的通项公式、数 列求和、新定义问题·T17 数列的递推关系及通项公 式·T17 (1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算、两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法),主要突出函数与方程思想的应用. (2)近三年高考考查数列都在17题,试题难度中等,19年高考可能以客观题考查,难度中等的题目较多,但有时也可能出现在第12题或16题位置上,难度偏大,复习时应引起关注. 考点一等差、等比数列的基本运算保分考点练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12B.-10 C.10 D.12 解析:选B设等差数列{a n}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10. 2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S10 S5 = 33 32 ,则数 列{a n}的公比q为() A.4 B.2 C.1 2 D. 3 4
高考文科数学数列复习题有答案
高考文科数学数列复习题 一、选择题 1.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是( ) A .5 B .4 C .3 D .2 2.在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于( ) A .40 B .42 C .43 D .45 3.已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a 、3a 、4a 成等比数列,则2a 等于( ) A .-4 B .-6 C .-8 D .-10 4.在等差数列{}n a 中,已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 5.在等比数列{n a }中,2a =8,6a =64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 6.-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A .3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7.数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则( ) A . (1)2 n n + B.(1)2 n n - C. (2)(1) 2 n n ++ D. (1)(1) 2 n n -+ 8.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线2 23y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( A.3 B.2 C.1 D.2- 9.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( ) A .1 2 2n +- B .3n C .2n D .31n - 10.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ,则()f n 等于 ( ) A . 2(81)7n - B .12(81)7n +- C .32 (81)7 n +- D . 4 2(81)7 n +- 二、填空题(5分×4=20分) 11.已知数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和n S =. 12.已知数列{}n a 对于任意* p q ∈N ,,有p q p q a a a ++=,若11 9 a = ,则36a = 13.数列{a n }中,若a 1=1,2a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =. 14.已知数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,将 数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角形数表,记 A (i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数,例如A (4,3) =9a ,则A (10,2)=
数列-高考文科数学通用讲义
重点增分专题六 数 列 [全国卷3年考情分析] (1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算、两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法),主要突出函数与方程思想的应用. (2)近三年高考考查数列都在17题,试题难度中等,19年高考可能以客观题考查,难度中等的题目较多,但有时也可能出现在第12题或16题位置上,难度偏大,复习时应引起关注. 考点一 等差、等比数列的基本运算 保分考点 练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2 +S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1 +6d ,即3a 1+2d =0.将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10. 2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 10S 5=33 32,则数 列{a n }的公比q 为( ) A .4 B .2 C.12 D.34
解析:选C 因为S 10S 5=3332≠2,所以q ≠1.所以S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)1-q =1+q 5 ,所以1+q 5=3332 ,所以q =1 2 . 3.[等差与等比数列的综合运算]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=3. (1)若a 3+b 3=7,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=13,求S n . 解:(1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q , 则a n =-1+(n -1)d ,b n =q n - 1. 由a 2+b 2=3,得d +q =4, ① 由a 3+b 3=7,得2d +q 2=8, ② 联立①②,解得q =2或q =0(舍去), 因此{b n }的通项公式为b n =2n - 1. (2)∵T 3=1+q +q 2,∴1+q +q 2=13, 解得q =3或q =-4, 由a 2+b 2=3,得d =4-q ,∴d =1或d =8. 由S n =na 1+1 2n (n -1)d , 得S n =12n 2-3 2 n 或S n =4n 2-5n . [解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量:首项a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程(组):把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. [小创新——变换角度考迁移] 1.[与平面向量交汇]设数列{a n }满足a 2+a 4=10,点P n (n ,a n )对任意的n ∈N *,都有向量P n P n +1――→ =(1,2),则数列{a n }的前n 项和S n =________. 解析:∵P n (n ,a n ),∴P n +1(n +1,a n +1), ∴P n P n +1――→ =(1,a n +1-a n )=(1,2), ∴a n +1-a n =2, ∴数列{a n }是公差d 为2的等差数列. 又由a 2+a 4=2a 1+4d =2a 1+4×2=10,解得a 1=1,
艺术生高三文科数学复习讲义第12讲-数列
第12讲 数列 【基础知识】 1、等差数列与等比数列: 1 1 () (1)22 n n a a n n na d ?? ?-=1(1a ()m a n m d a m a a a a q p n +=++=+时,p q 时,2、n a 与n S 的关系:1 121(1)(2)n n n n n S n S a a a a S S n -=?=++??=?-≥? 【基础训练】 1、(2013·重庆高考文科)若 2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -= . 2、(2013·北京高考文科)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q = ;前n 项和S n = . 3(2013·广东高考文科)设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= 4、(2013·四川高考文科)在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列 {}n a 的首项、公比及前n 项和。 【典例分析】 1.(2013·安徽高考文科)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,837 =4,2S a a ,则a 9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 2.(2013·新课标Ⅰ高考文科)设首项为1,公比为2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.12-=n n a S B. 23-=n n a S C. n n a S 34-= D. n n a S 23-= 3.(2013·全国卷高考文科)已知数列{}n a 满足{}124 30,,103 n n n a a a a ++==-则的前项和等于( ) A.( ) -10 -61-3 B. ()-101 1-39 C.()-1031-3 D.()-1031+3