电路分析基础第五版第15章

注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别， 特别应该注意的是：
（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 AB有意义，BA也未必有意义；倘使二者都有 意义，二者也未必相等。
（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵：即 AB=0，未必能推出A=0或B=0。
（3）消去律不成立：如果AB=AC，并且A 0，
给定矩阵 A=(aij) ，定义其负矩阵-A为：- A=(-aij)
两个同型矩阵A和B 的差A-B的元素为A和B 对应元素的差，即： A -B =(aij- bij) 。
两个同型矩阵阵的加法运算归结为其元素 的加法运算。 矩阵的加减法满足下列运算律：
（1）交换律： ABBA （2）结合律： A(BC )(AB )C
未必有B=C。
4、矩阵的转置
a11 a12
A


a 21
am1
a 22
am2

a1n
a2n
a mn

为m×n维矩阵，定义：
A的转置为一个 n×m维矩阵，并用AT表示，即
a11 a12 a1m
AT


a21
an1
u
n
u
2 n
3


u n3

u n 2
u

u


u u

u
u
1 2 3 4 5 6

u n3
u

用 A 矩 阵K 表 V 矩 示 L阵 的 u 形 A Tun式
设支路电流和支路电压的参考方向就是支路方向。
①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；
支路电流: ii1 2i3i4i5i6iT n-1个独立
以节点④为参考节点
-1 -1 1 0 0 0
Ai = 0 0 -1 -1 0 1
1 0 0 1 10
KCL方程

i
i i i i

i i i i
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地，
a 11
一个m×1矩阵 A

a 12

a

1
m

称为一个m维列向量。
一个1×n矩阵 B(b11b21bn1)
称为一个n维行向量。
当一个矩阵的行数m与列数n相等时，该矩
阵称为一个n阶方阵。对于方阵，从左上角到右
下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右
可用字母“IC”（也有用文字符号“N”等）表示。
集成电路一般是在一块厚0.2～0.5mm、面积约为0.5mm 的P型硅片上通过平面工艺制做成的。这种硅片（称为 集成电路的基片）上可以做出包含为十个（或更多）二 极管、电阻、电容和连接导线的电路。
集成电路按用途可以分为电视机用集成电路、音响用集 成电路、影碟机用集成电路、录像机用集成电路、电脑 （微机）用集成电路、电子琴用集成电路、通信用集成 电路、照相机用集成电路、遥控集成电路、语言集成电 路、报警器用集成电路及各种专用集成电路
第十五章 电路方程的矩阵形式
教学目标
深刻理解割集、关联矩阵、回路矩阵、割集 矩阵的概念 深刻理解回路电流方程的矩阵形式 深刻理解节点电压方程的矩阵形式 掌握回路电流和节点电压方程矩阵形式的列 写方法
引例：大规模集成电路
大规模集成电路 (LSI : Large Scale Integration )，通常 指含逻辑门数为100门～9999门（或含元件数1000个～ 99999个），在一个芯片上集合有1000个以上电子元件 的集成电路。集成电路（integrated circuit，港台称之 为积体电路）是一种微型电子器件或部件。采用一定的 工艺，把一个电路中所需的晶体管、二极管、电阻、电 容和电感等元件及布线互连一起，制作在一小块或几小 块半导体晶片或介质基片上，然后封装在一个管壳内， 成为具有所需电路功能的微型结构；其中所有元件在结 构上已组成一个整体。
（4）数与矩阵乘法的结合律：(A )B(A)B A (B )
（5）单位元的存在性：Im A m nA m n , A m n InA m n
若A为n阶方阵，则对任意正整数k，定义：
规定A0=I。
Ak A A A
k个
由于矩阵乘法满足结合律，所以有：
AkAl Akl (Ak )l Akl
0
ann
n n
是一个n阶下三角矩阵
b11 b12 b1n
B


0 0
b22
0

b2 n
bnn

n
是一个n阶上三角矩阵
n
二、矩阵的运算
1、矩阵的加减法
如果A=(aij)和B=(bij)是两个同型矩阵（即它 们具有相同的行数和列数， 例如它们都是m×n 维矩阵），则定义它们的和A+B仍为与它们同 型的矩阵（即m×n维）， A+B 的元素为A和B 对应元素的和，即： A +B =(aij+ bij) 。
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即 KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：
节点 回路 割集
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
2. 关联矩阵A
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质。n个
节点b条支路的图用nb的矩阵描述：
注意
由树的一个树支与相应的连支构 成的割集。
1 9
6 3
4
基本割集数：
7
n-1
28 5
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。 当一个割集的所有支路都连接在同一个节点上 时，则割集的KCL方程变为节点上的KCL方程 。
注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是基本割集（单树支割集）。
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
结
Aa= 点
n-1
支路b
(n-1) b
降阶关联矩阵A
特点 A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样
的列对应与划去节点相关联的一条支路。被划去的 行对应的节点可以当作参考节点。
通常将其简称为“关联矩阵”
关联矩阵A的作用
按集成度高低的不同可分为小规模集成电路、中规模集 成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路、特大规 模集成电路和巨大规模集成电路。
对于这类“大规模集成电路”，不可能再凭
思考
观察来列写所需的独立方程。在求解方程时
难以用手算完成。需要有一种系统化的步骤
来处理这类电路，使列写方程和求解的工作
都能由电子计算机去完成。
A


0 0
a 22
0

0
a nn

nn
记为：A=diag[a11 a22……ann]
如一个n阶方阵的主对角线上（下）方的元 素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，
a11 0 0
A


a21
an1
a22
an2

②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
２
５
③
4 0 1 0 0 -1 -1
特点
④1
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零。
②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只 有n-1行是独立的。
支 结 123456
1 -1 -1 1 0 0 0
C=AB，其中C=(cij) m×l ，并且
n
cijai1b1jai2b2j ain bn j aik bk j k1
矩阵的乘法满足下列运算律（假定运算有意义）：
（1）结合律： (AB)CA(BC)
（2）左分配律： A(BC)AB AC
（3）右分配律：(AB)CAC BC
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
确定一个割集方法：
用在连通图上做闭合面的方法确定一个割集。
a
b
e
d
c
Q1(ade) a d
b e
c
a
Q2(abe) b
e
d
c
f
a
b Q3(bce)
e
d
c
f
f
f
a
b
e
d
c
Q5(bedf)a
b e
d
c
f Q4(cde)
f
基本割集 单树支割集 T（1 2 3 4 5）
节点电压:
un


u
n2

1


1
A Tun


1
0 0
0
0 0 1 1 0
1
1
0


u
n
1

0
1 1


u u
n n
2 3


0
u n1 u n3

u n1



u
n
u
1 n2

a22
an2

a2m
anm
nm
矩阵的转置运算满足下列运算律：
（1） (AT )T A （3）(A)T AT