人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2任意角的三角函数教案.docx

第一课时任意角的三角函数的定义

知识与技能：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

过程与方法：

1理解并掌握任意角的三角函数的定义；

2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：

1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函

数值）的一种联系方式

2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一

教学难点：任意角三角函数的定义．

一．复习引入

思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的

函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

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结论：在 Rt △ ABC 中，设 A 对边为 a ， B 对边为 b ，C 对边为 c ，锐角 A 的正弦，

余弦，正切依次为： sinA

a

, cosA b ,tanA a

c

c

b

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数

思考 1: 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义 .

你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗

?

如图 , 设锐角

的顶点与原点 O 重合 , 始边与 x 轴的正半轴重合

, 那么它的终边在第一象

限 . 在

的终边上任取一点

P( a,b) , 它与原点的距离 r

a 2

b 2

0 . 过 P 作 x 轴的垂线 ,

垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a , 线段 MP 的长度为 b .

则 sin

MP b

Y

OP ;

r

cos

OM a

P(a,b)

OP ;

r

tan

MP b

O

M

x

OM

.

a

思考 2：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点

P 在

的终边上的位置的改变而改变

呢？为什么 ?

根据相似三角形的知识，

对于确定的角

，三个比值不以点 P 在

Y

的终边上

的位置的改变而改变大小 .

我们可以将点 P 取在使线段 OP 的长 r

1 的特殊位置上， 这样就

P(a,b)

可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

1

MP

OM

MP

b

O

x

sin

b ;

cos

tan

M A(1,0)

OP

a ;

OM

.

OP

a

单位圆 : 在直角坐标系中 , 我们称以原点 O 为圆心 , 以单位长度为半径的圆 称为单位

圆 .

上述 P 点就是 的终边与单位圆的交点 , 锐角 的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示 .

二新课讲授

1. 任意角的三角函数的定义

结合上述锐角

的三角函数值的求法 , 我们应如何求解任意角的三角函数值呢

?

显然 , 我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数

.

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如图,设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点

P( x, y) , 那么 :

(1) y 叫做

的正弦 (sine),

记做 sin ,

Y

即

sin

y ；

（ 2） x 叫做

的余弦 (cossine),

记做 cos

即 cos

x ；

（ 3） y

叫做 的正切 (tangent),

记做 tan

x

即 tan

y

(x 0) .

x

P(x,y)

,

O

A(1,0)x

,

思考 3: 在上述三角函数定义中 , 自变量是什么 ? 对应关系有什么特点 , 函数值是什么 ?

说明 :(1) 当

k ( k Z ) 时，

的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标

x 都等于

2

0 ，所以 tan

y ，上述三各值都是唯一确定的实数.

无意义 ,除此情况外，对于确定的值

x

(2) 当 是锐角时，此定义与初中定义相同；当 不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，

既然有角， 就必然有终边， 终边就必然与单位圆有交点 P( x, y) ，从而就必然能够最终算出三

角函数值 .

(3) 正弦 ,余弦 ,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，

我们将这种函数统称为 三角函数 .

2. 利用定义求角的三角函数值 Y

例 1. 求

5

的正弦 , 余弦和正切值 .

3

5

解：在直角坐标系中，作

AOB

,

3

5

x

3 O

A(1,0)

B

AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 (

1

, 3

) ，所

以

2

2

sin

5

3 ,cos

5

1

, tan

5

3

3

2

3

2

3

思考：如果将

5

变为

7

呢？

3 6

例 2． 已知角 的终边过点 P 0 ( 3, 4) ，求角 的正弦 , 余弦和正切值 . 思考：如何根据例题

1 解答

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