沈阳工业大学2018年《2001数值分析》考博专业课真题试卷
(大学试卷)数值分析B答案及评分标准
《数值分析》考试卷B适用专业：计信081考试日期：2011年6月试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有2位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.( 1,0)4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.()('1)(1n n nn n x f x f x x x ---=+) 5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA，____________,2==AAF.(6; 7; 5.477; 5.46)6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为 .（U L D A U L D J J --=+=<-),(,1)(1ρ）二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到√ ). 8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).三、（10分）已给sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值 及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：330365.00167.002.001892.0314567.0)3367.0()3367.0(3367.0sin 0010101=⨯+=---+=≈x x x y y y L 3分截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 5分 用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374； 8分误差：62100132.20233.0033.00167.09493.061)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤R 10分 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：)(3)0(34)(3)(h f hf h h f hdx x f hh++-≈⎰- 8分 具有3次代数精度. 10分六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组解：七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ， 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵10928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(21>=-+-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J J JB B I U L D B ρλλλλ 3分 所以，雅可比迭代法不收敛. 5分 (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵18.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞-BB U L D B s sρ 8分 所以 ，高斯—赛德尔迭代法收敛. 10分八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].(1)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(2∈+=xx ϕ，1910.03.122)('23<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. 3分(2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(312∈+=x x ϕ，1522.0)3.11(36.12)1(32)('32322<=≈+⨯≤+=L x xx ϕ，故迭代3211+=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体收敛. 6分(3)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(∈-=x x ϕ，1)16.1(21)1(21)('23>->--=x x ϕ，故迭代111-=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体发散. 10分。
《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
沈阳工业大学2020年《3015 现代数字信号处理》考博专业课真题试卷
（2） 能否用冲激响应不变法将 Ha (s) 转换成数字滤波器 H (Z) ？为什么？（6 分）
5.
已知因果序列的 Z 变换 X（z）
1 (1 0.6z 1 )(1- 3z 1 )
，求序列的初值和终值。（6 分）
6.分别绘出各序列的图形。（6 分）
(1) x(n) nu(n)
二、（20 分） 已知离散系统差分方程表示为：
y(n) - 3 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) 1 x(n 1)
2.判断系统 y(n) ax(n) b 是否为线性系统、时不变系统 (a 和 b 是常数)。（6 分）
3.一线性移不变系统的系统函数为
H(Z)
1 0.52
，请在所有可能的收敛域下分析系统的因果性和稳定性。（12 分）
(1 0.5Z 1)(1 0.5Z )
4.求左边序列 xn bnu n 1 的 Z 变换及收敛域。（4 分）
（1） 最小采样频率 fs 为多少？（5 分） （2） 如果要求谱分辨率 F≤5Hz，请确定最小记录时间 Tpmin 是多少？（5 分） （3） 如果能采用基 2 的 FFT 算法，请确定最小的采样点数 Nmin 是多少？（5 分）
五、论述题（10 分）
模拟滤波器的系统函数为
Ha (s)
s
s 1
（1） 用双线性变换法将 Ha (s) 变换成数字滤波器的系统函数 H (Z) （设 T=2）。（4 分）
（1）请绘出 h(n)的图形。（5 分） （2）求 x(n)与 h(n)的线卷积。（5 分） （3）求 x(n)与 h(n)的 5 点圆周卷积。（5 分）
科目名称： 现代数字信号处理
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四、（15 分）已知一个实信号最高频率 fh 不超过 5K Hz，现利用 FFT 对其进行谱分析，请确定：
沈阳工业大学2020年《2001 数值分析》考博专业课真题试卷
为A =
，矩阵范数 A 与向量范数 x 相容指的是
。
v
v
v
5、 设有方程 f (x) = 0 ，则求该方程单根的牛顿法的迭代格式为
，若 x 是此方程的重根，
且已知重数为 m ，则求 x 的具有二阶收敛性的牛顿法迭代格式为
。
二、（16 分）简答题
b
n
1、设有积分 I = a (x) f (x)dx ，其中 (x) 是权函数， In = Ak f (xk ) 是求积分 I 的插值型求积公式。
科目名称：数值分析
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2、 对于下面给定的数据 (xi , yi ), i =1, 2,3, 4,5 和给定的权 i , i = 1, 2,3, 4,5 ，利用最小二乘法求形如
p(x) = a + bx2 的拟合多项式。（10 分）
xi
-2
-1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
i
0.1
0.2
0.4
f
(4) ( 4!
)
(x
−
x0
)2
(x
−
x1)2
，其中
( x0 ,
x1)
且与
x
有关。
（6 分）
b
2、 设有积分 I = a f (x)dx ， 被积函数 f (x) 在[a,b] 上连续， Sn 是将区间[a,b] 作 n 等分之后所得的复化
辛普森求积公式。请推导
S
n
的表达式，并证明
lim
n→
Sn
0.2
0.1
3、 设有方程组
4xx11
+ +
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
数值分析考博必考课程研一考试复习专用21
2
§1 高斯消去法与列主元消去法
一、高斯消去法
1、三角形方程组
定义 系数矩阵是三角形矩阵的方程组，例如
a11 x1 a12 x2 a1n xn ห้องสมุดไป่ตู้1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
当aii 0时，方程组有唯一解.
但是这种计算方法在实际应用中对于高阶方程组却不能用， 这是因为用此法解上方程组需计算n+1个n 阶行列式，每个行 列式的展开式有时候 n！项，每一项又是n个元素的乘积，不 难算出，计算一个 n 阶方程组的解需做乘除法
n 1 n!n 1 n 次
例如当 n=20 时，计算量为 21 20!19 20 9.71020
a (1) 12
a (1) 1k
k
a(1) 21
a (1) 22
a (1) 2k
0,
a(1) k1
a (1) k2
a (1) kk
则
a(i) ii
0
(i
1,2,, k;
1
k
n),
反 之 为 真.
14
证明对
k
采用归纳法.当 k
1 时, 因 为1
a(1) 11
0,
命题
显 然 成 立.
假设命题对k 1 成 立, 即, 1 0, 2 0,, k1 0,
a(1) nn
xn
an(1,n) 1
( 2.1.9)
A(1) , b(1)
A(2) , b(2)
1
0
a(2) 12
a(2) 22
a(2) 13