分类与分步解题技巧
排列组合问题基本类型及解题方法
排列组合问题的基本模型及解题方法导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
注意以下几点：1、解排列组合应用题的一般步骤为：①什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）；②怎么做：分步还是分类，有序还是无序。
2、解排列组合问题的思路（1） 两种思路：直接法，间接法。
（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。
3、基本模型及解题方法：(一)、元素相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A 、720B 、360C 、240D 、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题插空法例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A 、1800B 、3600C 、4320D 、5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
2017国家公务员考试行测技巧：分类分步解排列组合题
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排列组合是行测考试中很多考生心中很难对付的题，一方面排列组合的题目条件复杂，有些元素限制较多;另一方面计算量看起来比较大。
中公教育专家认为，只要学会利用分类分步的思想去思考这些题目，就能很快地理清思路，再加以一定练习，排列组合题目就手到擒来了。
一、分类分步的解题原理何为分类分步，简单来说，从长沙去北京，完成这样一件事情三类方法：一是坐火车过去，有3趟不同的火车;二是坐汽车过去，有2趟不同的汽车;三是坐飞机过去，有4趟不同的航班，那么我从长沙到北京就一共有3+2+4=9种不同的方法。
三类方法每一类都能单独完成从长沙到北京这件事情，所以把每一类的方法数相加，这是分类相加的原理。
如果我需要从长沙先到武汉，然后到北京，假设从长沙到武汉有4种方法，从武汉到北京有3种方法，那么总方法数就有4×3=12种。
这是分步相乘的原理。
其特点是每一步都不可缺少，且每一步都不能单独完成任务。
二、真题演练分类分步是相辅相成的，做题的时候一般是先考虑分类再考虑分步。
【例1】由1-9组成没有重复数字的三位数共有多少个?A.432B.504C.639D.720【中公解析】三维数可以分成个、十、百三步去完成，首先完成个位，可以放任意的数字，一共有9种方法;然后完成十位，因为不能和个位一样，所以去掉个位之后还剩下8个数字，共有8种方法;最后填百位，不能和十位以及个位相同，一共有7种方法。
根据分步这道题相对来说比较简单，但是再加工一下就变得比较复杂了，如下题：【例2】由0-9十个数字组成的没有重复数字的三位偶数共有多少个?A. 392B.432C.450D.630【中公解析】分析一下这道题，题目要求是三位数，那么0这个数字就不能放在百位上了，也就是说百位共有9种方法，而十位可以任意的放置，共有10种方法，个位必须是偶数，只有0、2、4、6、8这5种方法。
数学答题模式及技巧
数学答题模式及技巧
答题模式
数学答题需要正确的策略和技巧，以下是一些常用的答题模式：
1. 阅读理解策略：在阅读数学问题时，应仔细阅读题目，理解
问题中的条件和要求。
标记出重要信息，例如关键词和数字。
在解
答过程中，回到问题中查找信息可能会有所帮助。
2. 分步解题法：对于复杂的数学问题，逐步解决其中的每个部
分可以使问题更易处理。
将问题分解为较小的步骤，并逐个解决，
最后将答案组合起来。
3. 反证法：有时，使用反证法可以更容易地解决一些问题。
假
设问题的答案是错误的，然后通过逻辑推理找出与该错误假设相矛
盾的证据。
从而得出问题的正确答案。
答题技巧
除了答题模式外，以下是一些常用的答题技巧：
1. 快速估算：在一些复杂的计算中，快速估算可以帮助您确定答案的范围。
通过运用数学近似和四舍五入，可以节省时间并减少计算错误的可能性。
2. 画图或示意图：在解决几何或图形相关的问题时，画图或示意图可以帮助您更好地理解问题并找到解决方案。
图形可以化繁为简，提供直观的视觉帮助。
3. 多角度思考：在解答数学问题时，尝试从不同的角度和方法来思考可以激发创造力并找到更优的解决方案。
多角度思考有助于培养解决问题的能力。
请记住，不同的题目类型可能需要不同的答题模式和技巧。
熟练掌握这些模式和技巧，能够在数学答题中更加自信和高效地解决问题。
最后，应牢记数学答题需要实践和不断的练。
通过反复练，不断改善答题技巧和思维方式，您将能够在数学考试或解题过程中取得更好的成绩。
小学五年级数学教案第三单元：掌握分步解题的技巧
小学五年级数学教案第三单元：掌握分步解题的技巧掌握分步解题的技巧分步解题是数学学习中一个重要的技巧，它不仅可以帮助学生提高解题的效率，而且还可以增强学生的数学理解能力。
因此，小学五年级数学教案第三单元就要求学生掌握分步解题的技巧。
在这一单元中，老师首先要对分步解题的概念进行详细的讲解和说明。
分步解题是将一个大的问题分解成几个小的问题，逐步求解的过程。
它可以使我们更好地理解问题，更加顺畅地解决问题。
接着，老师将给出一些实例让学生进行分步解题的实践，例如：延续班级输沙子比赛，现在班级还剩下1000KG的沙子没有倒出来，如果要每天倒出去200KG，那么需要多少天才能把沙子倒干净？在这个例子中，学生可以将问题分解成三个小问题：计算班级要倒出多少天；计算班级在这些天内总共要倒出多少沙子；解出最后剩余的沙子总量。
通过分步解题，我们可以更加准确地找到问题的答案。
除了给出实例让学生进行实践，老师还应该培养学生细致、耐心和注意力。
因为分步解题需要学生逐步深入思考，而且每一步都要走得非常细致和认真，否则就有可能漏掉某个步骤，导致最终答案不准确或者错误。
在学生分步解题的实践中，老师还可以引导学生采用拆分和归纳两种方法。
拆分法是指将一个复杂的问题逐渐简化为几个简单的问题，再一步步求解，最后将所有的结果合并成为一个整体。
归纳法则是将一个问题拆分成几个独立的小问题，先解决其中一个，再将这个结果推广到所有情况中，最终得到整个问题的解决方法。
不仅如此，对于掌握分步解题技巧的学生来说，还应该注意以下几点：1.注意理解问题的含义：理解和把握问题的精髓是解决问题的基石，只有明确问题的含义才能舒展思路，逐步把问题化简到解决的范畴之内。
2.合理运用基本运算法则：分步解题的过程中，一般需要用到加、减、乘、除等常用运算。
在进行题目计算时，应用运算法则，准确地运算出所需答案。
3.注重思考和归纳总结：分步解题是一个渐进式深入思考的过程，在做题时要反复思考，在整个解题过程中，还要不断进行归纳总结，以便更好地应用到下一个问题中。
第1节 分类加法和分步乘法
第1节分类加法和分步乘法【基础知识】1.分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【规律技巧】1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5.(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6.分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7.应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8.涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【典例】【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．9∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案(1)B(2)B【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．【变式探究】(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．【针对训练】1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B2、春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．3、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种；【答案】244、数列共有12项，其中，，，且，，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84 B.168 C.76 D.152【答案】A5、用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种（用数字作答）.【答案】216【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了3种颜色，共有A 63=120种结果，一共用了2种颜色．共有C 62A 32=90种结果，一共用了1种颜色，共有6种结果，∴根据分类计数原理知，共有120+90+6=216，故答案为：216.。
分类分步处理问题教案大班
分类分步处理问题教案大班教案标题：分类分步处理问题教案（大班）教学目标：1. 学生能够理解问题解决的基本步骤。
2. 学生能够将问题分类，并按照步骤逐一解决。
3. 学生能够运用分类分步处理问题的方法解决实际生活中的问题。
教学内容：1. 问题解决的基本步骤：明确问题、收集信息、制定解决方案、实施方案、评估结果。
2. 问题分类：将问题分为不同的类型，如数学问题、语言问题、社交问题等。
3. 分步处理问题：根据问题的类型和解决步骤，逐一解决问题。
教学准备：1. 问题解决步骤的图表或海报。
2. 不同类型问题的示例。
3. 学生个人白板或纸张。
教学过程：引入活动：1. 引入问题解决的概念，与学生讨论他们在日常生活中遇到的问题，并询问他们是如何解决这些问题的。
讲解问题解决的基本步骤：1. 展示问题解决步骤的图表或海报，解释每个步骤的含义，并与学生一起讨论。
2. 通过示例问题演示如何运用这些步骤解决问题，确保学生理解每个步骤的具体操作。
分类问题：1. 引导学生思考不同类型的问题，并列举一些示例问题。
2. 将学生分成小组，要求他们讨论并分类这些问题。
3. 鼓励学生分享他们的分类结果，并与全班一起讨论。
分步处理问题：1. 选择一个具体的问题，例如一个数学问题。
2. 与学生一起讨论如何将该问题按照步骤解决，并将解决过程写在白板或纸张上。
3. 引导学生参与解决问题的每个步骤，确保他们理解每个步骤的操作方法。
4. 让学生尝试解决其他类型的问题，并按照分类和步骤进行解决。
巩固与评估：1. 给学生分发一些问题卡片，要求他们按照分类和步骤解决这些问题。
2. 观察学生在解决问题时的表现，并提供必要的指导和帮助。
3. 鼓励学生分享他们的解决方案，并与全班一起讨论。
拓展活动：1. 给学生提供更复杂的问题，让他们运用分类分步处理问题的方法进行解决。
2. 鼓励学生在日常生活中运用所学的方法解决问题，并分享他们的经验和成果。
教学反思：1. 回顾教学过程，评估学生对问题解决步骤和分类分步处理问题的理解程度。
2021军转干行测数量关系备考：排列组合分类分步如何区分和使用
行测数量关系备考：排列组合分类分步如何区分和使用在数量关系专项中，排列组合问题最基础的就是两个基本计数原理，而许多领导都知道分类相加，分步相乘，但是往往分不清什么是分类什么是分步。
所以，今天我们就分类分步的区别来和大家分享一下经验。
能独立完成这件事为分类，不能独立完成这件事为分步。
【例1】某地有甲乙丙三个站，从甲站到乙站有4种不同出行方式可以选择，从乙站到丙站3种不同出行方式可以选择，则甲站途径乙站到丙站有( )种不同出行方式可以选择?A.12B.18C.7D.24【答案】A【思路点拨】甲站途径乙站到丙站，只从甲站到乙站不能独立完成甲站途径乙站到丙站这件事，同理，只从乙站到丙站不能独立完成甲站途径乙站到丙站这件事，所以本题用分步思想，分步相乘。
【解析】第一步，甲站到乙站有4种不同出行方式可以选择，第二步，乙站到丙站有3种不同出行方式可以选择，从甲站到丙站这件事的方法数将两步情况数相乘即可，一共有4×3=12种不同出行方式可以选择，选A。
【例2】某地有甲乙2个站，从甲站到乙站有4种不同地铁出行线路可以选择，3种不同公交出行线路可以选择，则甲站到乙站有( )种不同出行路线可以选择?(不考虑公交地铁换乘情况)A.12B.14C.7D.24【答案】C【思路点拨】甲站到乙站，4种不同地铁出行线路能独立完成甲站到乙站这件事，同理，3种不同公交出行线路能独立完成甲站到乙站这件事，所以本题用分类思想，分类相加。
【解析】第一类，甲站到乙站4种不同地铁出行线路选一种;第二类，甲站到乙站3种不同公交出行线路选一种，从甲站到乙站这件事的方法数将两类情况数相加即可，一共有4+3=7种不同出行线路可以选择，选C。
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
做题技巧如何通过归类和分类整理知识点
做题技巧如何通过归类和分类整理知识点知识点的归类和分类整理对于学习和解题过程十分重要。
它不仅能够帮助我们更好地理解和掌握知识，还能够提高我们的解题效率和准确性。
本文将介绍如何通过归类和分类整理知识点来提高做题技巧。
一、归类整理知识点归类是将相似的知识点或者概念进行分类整理的过程。
通过将知识点进行归类，可以帮助我们更好地理解和记忆知识，并且在解题时能够快速地找到相关的知识点。
1.1 列表法列表法是最常见的归类整理知识点的方式之一，可以将相关的知识点按照一定的顺序列出来。
例如，在学习数学的过程中，可以将求导、积分、极限等知识点分别列出，并在每个知识点下列出相应的公式和应用技巧。
1.2 树状图法树状图法是将知识点进行层级划分的方式。
我们可以将一个学科或一个大的知识点看作根节点，然后将其分为若干个子节点，每个子节点再进一步分为更细的子节点。
通过这种方式，可以清晰地展示知识点之间的层级关系和相互联系。
1.3 总结法总结法是将相似的知识点进行概括和总结的方式。
当我们在学习一个知识点时，可以将其与已经学过的知识点进行对比，找出它们之间的共性和差异，并将这些共性和差异进行总结。
这样做可以帮助我们更好地理解和记忆知识点。
二、分类整理知识点分类是将知识点按照一定的规则进行划分和整理，可以帮助我们更好地理解、记忆和应用知识。
2.1 按类型分类按类型分类是将知识点按照其属性或者特点进行划分的方式。
例如，在学习语文的过程中，可以将诗歌、散文、小说等不同的文体进行分类。
在解题时，我们可以根据题目的要求，迅速定位到相应的分类，并掌握相应的解题方法。
2.2 按难度分类按难度分类是将知识点按照其难易程度进行划分的方式。
对于一个学科来说，知识点有简单的，也有复杂的。
通过按难度对知识点进行分类，我们可以有针对性地进行学习和训练，先掌握基础的知识点，再逐渐攻克难度较高的知识点。
2.3 按应用场景分类按应用场景分类是将知识点按照它们在实际问题中的应用场景进行划分的方式。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
求解排列组合应用题的“八字诀”
求解排列组合应用题的“八字诀”分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。
对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。
特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。
附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。
反——利用“正难则反”的原则解题。
当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。
等——利用概率相等解题。
充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。
化——注意用转化思想指导解题。
许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。
转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。
捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。
插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。
推——运用递推关系解决排列组合应用问题。
递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。
若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。
下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。
例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A ．5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．554422A A A解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数44A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数55A .第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间11A .∴满足条件的陈列方式有：224544A A A ⨯⨯种故选D 。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理-高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)
新知探索
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在
ll
前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个,都可
以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标
l
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征
是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得
到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，
每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
新知探索
ll
一般地，有如下分步乘法计数原理：
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1
步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种
方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同
取法的种数为 = 4 × 3 × 2 = 24.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.(
(2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(
)
)
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能
完成这件事.(
)
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(
l
完成一件事情有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？443解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
计数原理的十二个技巧的典型例题
计数原理的十二个技巧的典型例题摘要：一、引言二、计数原理概述1.分类计数原理2.分步计数原理三、典型例题解析1.分类计数问题a.例题1：颜色的分配b.例题2：排列组合问题2.分步计数问题a.例题3：组合数的计算b.例题4：事件的相互独立性四、解题技巧总结1.善于运用分类讨论思想2.掌握分步计数原理的应用3.利用数学公式和性质简化计算4.注意审题，挖掘题目信息五、结论正文：一、引言计数原理是高中数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们解决各种计数问题。
掌握计数原理的十二个技巧，可以让我们在解决典型例题时更加游刃有余。
本文将详细解析这些技巧，并给出典型例题的解答。
二、计数原理概述计数原理主要包括分类计数原理和分步计数原理。
1.分类计数原理当我们面临一个问题时，可以将其分为若干个类别，然后分别计算每个类别的方案数，最后求和得到总方案数。
2.分步计数原理分步计数原理适用于一个问题可以分为多个步骤完成的情况。
我们可以按照每个步骤的方案数计算乘积，得到总方案数。
三、典型例题解析1.分类计数问题例题1：有5个不同的颜色，要将这些颜色分配给8个物体，问有多少种分配方法？解：可以将问题分为两类，一类是每个物体都分配到颜色，另一类是有一个物体没有颜色。
计算可得，第一类的分配方法有5^8种，第二类的分配方法有8种。
所以总的分配方法为5^8 + 8 = 391,729种。
例题2：从5个人中选出3个人参加比赛，问有几种不同的选法？解：这个问题可以采用组合数的计算公式解决。
根据组合数公式，C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，可得C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种。
2.分步计数问题例题3：有一个盒子，可以装下1~4个球。
现在有5个球，问有多少种放法？解：可以将问题分为四个步骤：a.第一个球可以放入盒子，有4种放法；b.第二个球可以放入盒子，有4种放法；c.第三个球可以放入盒子，有4种放法；d.第四个球可以放入盒子，有4种放法。
§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数理
变式训练 3
如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并 使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用,求 不同的染色方法总数. 方法三 按所用颜色种数分类． 第一类:5种颜色全用,共有 A 5 种不同的方法; 5 第二类:只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C, 或B 与D),共有2× A 5 种不同的方法；
r
n r
b
r
对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和 C
0 2 1
0 n
Cn 2
n
n
Cn Cn Cn Cn 2
3
n1
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的 区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法 相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事; 分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
——
主页
预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!
A组
专项基础训练题组
一、选择题
题号 答案
二、填空题
4. 48
5. 40
1 C
2 C
3 D
6. 2880
主页
三、解答题
变式训练 3
解:方法二 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点 染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法 计数原理即可得出结论． 由题设, 四棱锥S—ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不 相同,它们共有5×4×3＝60(种)染色方法． 当S, A, B染好时,不妨设其颜色分别为1, 2, 3, 若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法； 若C染4，则D可染3或5，有2种染法； 若C染5，则D可染3或4，有2种染法． 可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法， 故不同的染色方法有60×7＝420(种)．
小学数学应用题解题技巧--分类思路
小学数学应用题解题技巧--分类思路
【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。
这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。
例1 如图2.12，共有多少个三角形？
分析（用分类思路考虑）：
这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。
怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。
本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）。
例2 如图2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？
分析（运用分类思路分析）：
小卒过河后，首先到达A点，因此，题目实际上是问：从A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。
因为“将”直接相通的是P点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法。
分类。
一种走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法。
二种走法：从A到H有两种走法。
三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法。
其他各类的走法：因为从A到M、到I各有3种走法，所以从A到N 就有3＋3＝6种走法了，因为从A到I有3种走法，从A到D有1种走法，所以从A到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻，而A到N有6种走法，A 到J有4种走法，所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻，而A到J有4种走法，到E有1种走法，所以A到K就有4+1=5种走法。
再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。
分类与分步解题技巧共53页文档
பைடு நூலகம் 1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
分类与分步解题技巧
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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根据分步乘法计数原理，不同的分配方式共有3×3×1＝9 种．
方法二：21—4—33—4—14—1—3 31—4—241—22—1 41—2—331—22—1
共9种.
用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1) 四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？
四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数 的首位不为0且个位必须为奇数．
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步： 第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不 同的选取方法，第二步从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共4个数字 选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩 余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方 法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字， 有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的 四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数 是( )
A．11
B．12
C．30
D．36
解析： 个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分 步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．
答案： C
2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的 花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花， 则不同的种法总数为( )
那么小王共有多少购买方案？
1．两个计数原理在解决计数问题中的方法
2．应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行计 数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤，恰 好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一 步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方 法数相乘，得到总数．
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四 步：
第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二 步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个 有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字 先排百位3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理 共有2×3×3×2＝36个．
解析： 方法一：对4人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年 卡也编上1,2,3,4四个号，那么1,2,3,4四个数字填入1,2,3,4四个方 格的一个填法对应贺卡的一个送法，原题转化为上面所述方格 的编号与所填数字的不同的填法种数问题．首先，在1号方格里 填数，可填上2,3,4中的任意一个数，有3种填法；其次，当在第 1号方格填数i之后(2≤i≤4)，在第i号方格中填上合乎要求的数， 有3种填法；最后，将剩下的两个数，填到空着的方格里，只有 1种填法合乎要求(因为这两个数中，至少有一个数与空的方格序 号相同)．
用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色， 规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少 种不同的涂色方案？
由题目可获取以下主要信息： ①用五种不同的颜色给四个区域涂色； ②相邻区域不能涂同种颜色； ③不相邻区域可以涂同种颜色． 解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着 相同颜色进行分类、分步解决．
共有N＝24＋48＋12＝84种． 答案： B
3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开 始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共 有________种．
解析： 如下图：
同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法． 答案： 10
4．同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿 1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？
第2课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用
1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实 际问题．
2．会根据实际问题合理分类或分步.
1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点) 2．合理分类或分乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大 内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政 策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要 给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和 3种型号的洗衣机，
A．96
B．84
C．60
D．48
解析： 方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与 A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同 花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝ 4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A 和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相 同且B和D相同，有4×3＝12种．
1.8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡 片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析： 先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选 法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一 个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的 6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组 成7×7×6＝294(个)不同的三位数．
[题后感悟] (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末 位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素) 优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反 面求解．
(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐 藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先 的原则．
[解题过程] (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事， 可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种 选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取 方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分 步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2 ＝120个．