一元二次方程知识结构图(1).doc
一元二次方程知识点总结与易错题精编版
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。
高二数学一元二次不等式的解法2
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
y
R
Байду номын сангаас
x
x
b 2a
y
△＜0
R
R
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
3.3 一元二次不等式的解法 课件
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
x x x2或x x1
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
(完整版)七年级上册数学知识结构图
1 第一章：有理数★知识结构图：正分数负分数正整数0负整数第二章：整式的加减★知识结构图：2★概念、定义：1.都是数或字母的积的式子叫做单项式（monomial），单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient）。
32.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
4.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
5.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
6.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母和字母的指数不变。
7.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；8.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
4第三章:一元一次方程知识结构图：概念、定义：1.含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
3等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
5.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。
56.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
7.工程问题：工作总量=工作效率×时间盈亏问题：利润=售价－成本利率=利润÷成本×100％售价=标价×折扣数×10％储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间本息和=本金+利息三:图形的初步认识知识结构图：61.我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形（geometric figure）。
72.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形（solid figure）。
3.有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形（plane figure）。
二元一次方程组、一元一次不等式(组)的性质及其应用
名称 符号 读法
意义
例子
大于号
> 大于
左边的量大于右边的量 3>2
小于号 < 小于
左边的量小于右边的量 -5<1
大于或等于号 ≥
1.大于或等于左边的量不小于右边的量 a≥4
2.不小于
小于或等于号 ≤ 12..小不于 大或 于等于左边的量不大于右边的量 b≤-1
不等号
≠ 不等于 左右两边的量不相等 c≠0
一.基本知识结构:
二元一次方程及二元一次方程组
求解
思想 方法
消代 元入
加 减
消
消
元
元
法
法
一、知识要点： 1、二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且所含的未知数的项的次数都是1的 方程，叫做二元一次方程。 练习：1、请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程， 哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10 (2) 2x+y+z=1
轴上表示为( )
A
B
C
D
解析：解不等式 3x－1＞2，得 x＞1.解不等式 4－ 2x≥0，得 x≤2.∴1＜x≤2.在数轴上表示不等式组的解 集时，要从表示 1 的点向右画，且用空心圆圈；从表 示 2 的点向左画，且用实心圆点．故选 A.
答案： A
4．(2014·株洲)一元一次不等式组x2－x＋5≤1>00， 的
化系数为1得: x≤6 所以不等式 的正整数解为： 1、2、3、4、5、6
10、一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组 成一个一元一次不等式组。
11、一元一次不等式组的解集：
一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个 一元一次不等式组的解集。
一元二次方程拐点_概述说明以及解释
一元二次方程拐点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它常常用于解决与曲线相关的问题。
而在研究一元二次方程时，拐点也是一个需要关注的概念。
拐点所处的位置对于确定曲线的形状以及解题有着重要影响。
本文将详细介绍一元二次方程中的拐点概念，并探讨其求解方法及在实际问题中的应用场景。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述：引言部分将对文章主题进行概述和说明；接下来，我们将详细介绍一元二次方程拐点的定义和背景知识；然后，我们会讨论一元二次方程如何求解，并进一步探究拐点在该方程中的概念和作用；随后，我们将详细介绍几种不同情况下确定拐点的方法，并通过计算实例和图形展示加深理解；最后，我们将探讨拐点在实际问题中的应用案例，并总结本文所涉及内容。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解和理解一元二次方程及其拐点概念。
通过本文的阅读，读者将了解一元二次方程的基本性质、求解方法以及拐点的定义和作用。
同时，我们也将通过实际应用案例，展示拐点在不同领域中的重要性和应用价值。
希望本文能够为读者提供一个具有全面性的概述，并激发对于一元二次方程拐点的深入探索和研究。
2. 一元二次方程拐点:2.1 定义和背景:一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种类型的方程在数学中具有重要的地位和应用价值。
其中，拐点是指曲线上出现凹凸变化的位置，也被称为转折点或转向点。
对于一元二次方程而言，拐点的存在使得曲线在某个点处发生了变化趋势，这在解释和研究问题时起到了重要作用。
2.2 求解一元二次方程:解一元二次方程可以使用因式分解、配方法、求根公式等多种方法。
通过这些方法，可以求得方程的根或者判定其无实数根的情况。
然而，在讨论一元二次方程拐点之前，需要先获得该方程的解析表达式或者曲线图像。
2.3 拐点的概念和作用:拐点是指函数曲线上出现凹凸变化的位置。
当函数曲线从凸性向下发生转折变为凹性时，该转折点即为拐点；反之亦然。
人教版初二一元二次方程和二次函数教案
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）C.n=2,m=1D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★★2、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★★3、若=•=-+yx 则y x 324,0352 。
第二十二章一元二次方程单元知识结构图
第二十二章 一元二次方程小结与复习（分3课时完成）一、知识结构二、知识点归纳1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；（•4）•求根公式法，•求根公式是3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4.一元二次方程的根与系数的关系：（根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么： 结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 5.一元二次方程应用题．三、典型习题(一)一元二次方程概念1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，6 3．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．acx x a b x x =⋅-=+2121,5xA ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=2 4．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则（ ）． A ．1B ．-1C ．0D ．25．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 6．一元二次方程的一般形式是 ．7．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________． 8．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．9．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？10．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？11．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．（二）解一元二次方程的方法：1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11 3．方程x 2+4x-5=0的解是________．4．代数式的值为0，则x 的值为________． 5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．7．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 8．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．9．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．10．已知b ≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）•=0的根的情况是________． 11．如果x 2-4x+y 2+13=0，则（xy ）z •=2221x x x ---12.某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．13.用直接开平方法解下列方程（1）3x 2+9=0 （2）8x 2-16=0 （3）（x-）2=2（x-3）2=7214．用配方法解下列方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 215.用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+=0 （4）4x 2-3x+2=016．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0 （3）x 2-12x-28=0 （4）x 2-12x+35=017.不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0 18.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：22m x+13891212013)1(2=--x x 0532)2(2=-+x x 02231)3(=-x x。
一元二次不等式题-概述说明以及解释
一元二次不等式题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述一元二次不等式是数学中常见且重要的内容之一。
它是由一个未知数的二次方程构成的不等式，表示了一个范围内的不等关系。
解一元二次不等式是我们在求解实际问题时经常遇到的需求，掌握解一元二次不等式的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对一元二次不等式的基本概念、性质以及解题方法进行详细介绍。
首先，我们将介绍一元二次不等式的基本概念，包括定义、形式以及与一元二次方程的关系。
其次，我们将介绍一元二次不等式的性质，如单调性、图像、根的性质等，这些性质是我们解一元二次不等式时的重要参考依据。
最后，我们将探讨解一元二次不等式的方法，包括图像法、代入法、等价变形法等不同的解题思路和应用技巧。
本文的目的是帮助读者通过学习和掌握一元二次不等式的基本概念和性质，以及解题方法，提高对一元二次不等式的理解和应用能力。
通过解一元二次不等式的过程，读者可以培养分析问题、抽象问题、解决问题的能力，同时也可以锻炼逻辑思维和数学推理的能力。
在文章的后续部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质，以及解一元二次不等式的方法。
通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用一元二次不等式解决实际问题，在数学学习中迈出更加坚实的步伐。
接下来，我们将开始介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
请继续阅读下一部分：2.1 一元二次不等式的基本概念和性质。
1.2文章结构1.2 文章结构：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的主题——一元二次不等式题，并介绍文章的目的。
通过引言部分的阅读，读者可以初步了解一元二次不等式题的基本概念、性质以及解题方法的重要性。
在正文部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
首先，我们会解释什么是一元二次不等式，它在数学中的重要性以及与一元二次方程的关系。
然后，我们会探讨一元二次不等式的性质，包括判定一元二次不等式的正负性、求解一元二次不等式的基本步骤等等。
第22章 一元二次方程复习
第22章一元二次方程复习（1）一元二次方程及其解法樊城区太平店中学刘玉萍一、内容与内容解析1、内容复习一元二次方程及其有关的概念，一元二次方程的基本解————配方法、公式法、因式分解法，一元二次方程根与系数的关系等知识，建立知识体系，综合运用一元二次方程的知识解决有关的问题。
2、内容解析本章学习了一元二次方程。
在学习中通过具体实例认识了一元二次方程，探索了一元二次方程的解法，研究了实际问题与一元二次方程，分别讨论了传播问题、增长率问题和几何图形面积问题。
本章的重点是一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
这些知识都是方程领域的基础知识，在以后学习“二次函数”中“用函数的观点看一元二次方程”也要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。
学好这部分内容的关键是要使学生理解一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的情况；一元二次方程根与系数的关系等知识。
并将一元二次方程与一元一次方程作类比，因为一元二次方程是一元一次方程的拓展和延伸，一元一次方程是学习一元二次方程的基础。
在本章的学习过程中需要学生通过观察、对比、归纳、类比等来发现一元二次方程的解法，同时还要注意引导学生分析方程的特点，引导学生进行转化，是学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题的思考方法。
作为本章复习课的第一节课，本节主要复习一元二次方程的有关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的根与系数的关系。
本节内容是对本章重点知识的巩固和提高，通过复习使学生能够熟练地选用适当的方法解一元二次方程，进一步体会一元二次方程化归降次的思想。
由以上的分析，确定本节课的教学重点是：灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题。
二、教材解析本节课主要内容是复习巩固一元二次方程有关概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系等知识，重点是一元二次方程的解法。
在知识回顾的过程中，结合问题让学生通过独立思考，回顾所学的内容，建立相应的知识结构图。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系(201911整理)
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
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使学生掌握农业机械的基本理论、知识和使用技能，掌握倒车雷达的选择和安装使用的方法；2 实验目的 3 第七部分 4 汽车新技术与未来汽车 汽车理赔（6学时） 燃料的喷雾的作用、形成及喷油规律 郑立新， 自学与讲授相结合、理论与实践相结合的教学方法。教学目标 接头形式 制定 为研究汽车拖拉机发展和改进设计提供基本知识。理解合金相、组织的概念。电子控制变速器，三、教材及教学资源 第一部分 本部分重点 2 齿轮系及其设计（4学时） 镀铬原理，起动机的台架试验。第四部分 2 《金属切削原理及刀具》（第三版）. 轮胎的结构和各类的作用原 理，56学时3.本部分重点 汽车前照灯的检测原理；本部分重点： 高等教育出版社，工程材料的分类。压杆稳定部分的重点是稳定性、临界力、临界应力的概念及稳定校核计算， 各种基准特征 了解渐开线的形成过程， 2 本部分难点 教学目标 掌握汽车修复方法的选择原则。MCS-51单 片
一元二次方程——求根公式
《一元二次方程——求根公式》教学设计教学目标：知识与技能：1) 经历求根公式的发现和探究过程.2) 会用公式法解一元二次方程.过程与方法：启发式教学方法，渗透化归思想.情感态度价值观：感受数学公式的简洁美和统一美.教学重点：一元二次方程求根公式的获得及用公式法解一元二次方程.教学难点：一元二次方程求根公式的推导.教学过程：1.创设教学情境，引发学生学习需求问题1.用配方法解下列方程：（1）（2）教师提问1：通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？教师提问2：你发现了哪些问题？师生活动：解两个方程，师生共同得出结论.设计意图：用配方法解上述两方程，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解，并且用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同.同时体验到配方法的局限性.形如（1）的一元二次方程，一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便.方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了.教师提问3：能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根？设计意图：使学生产生寻找一般方法的内在需求.2.数学命题的发现与推理论证教师提问1：对一般形式的一元二次方程如何配方？教师提问2：你能否类比前面的研究方法进行思考？师生活动：教师引导学生类比数字系数一元二次配方的步骤，经历用配方法获得一元二次方程求根公式的推导过程：因为，所以方程两边都除以，得，移项（把常数项放到方程右边），得，配方得：，即.教师追问：你认为直接开平方妥当吗？开平方时对被开方数有怎样的要求？师生活动：引发学生的认知冲突，产生新的疑难和困惑，从而弥补已有认知的缺陷，认识到时才能直接开平方，从而获得一元二次方程的求根公式. 设计意图：在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配方法，引导学生对一般形式进行配方.在学生未考虑判别式的符号直接得到求根公式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对需要进行分类讨论.同时使求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平，又为一元二次方程根的判别式与根的关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区.三.数学命题的理解由上面的探究过程可知，一元二次方程时，.当时，上述一元二次方程无实数根.教师追问1:观察公式，你有哪些发现？教师追问2：这对今后解一元二次方程有什么帮助？师生活动：通过讨论加深对求根公式及条件的理解，一元二次方程的根由方程的系数确定.同时让学生进一步感受到数学公式、数学方法的简洁美和统一美.叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法称为公式法，其中叫做一元二次方程根的判别式.设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，把握公式的结构特征，突出数学问题的本质.4.数学命题的应用问题1.用求根公式解前面的方程.设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程，使学生体味到求根公式的优越性，感悟科学研究从特殊到一般，发现提出问题的方法.问题2.变式练习1)2)3)设计意图：使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化简为一元二次方程的标准行事再运用求根公式.问题3.体味判别式与根的个数的关系1）2）3）设计意图：上述一元二次方程1），2）和3）的判别式分别小于0，大于0和等于0，旨在使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不必代入求根公式，概括处在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.5.数学命题的系统化建立直接开平方、配方法与求根公式法的内在联系，使学生感悟化归思想和分类讨论思想.化归的目标为将次设计意图：引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.。
人教A版必修一课件第二章一元二次函数、方程和不等式(知识整合)
(1)求k的值；
[分析] (1)根据题意，比例系数为 k，设燃料费为 W1＝kv2，将 v＝ 10 时 W1＝96 代入即可算出 k 的值．
(2)算出航行 100 海里的时间为1v00小时，燃料费为 96v，其余航行运 作费用为15 v000元，由此可得航行 100 海里的总费用为 W＝96v＋15 v000， 再运用基本不等式求最值即可．
解得 m∈R，
所以 m<0，符合题意．
综上所述，实数 m 的取值范围是mm<16
.
(3)令 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2 的一切 m 的值不等式恒成立，则只需gg2－<20<，0，
即－2x22－x2－x－x－1<10<，0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3 .
因此，航行 100 海里的总费用为 W＝0.96v2·1v00＋15 v000＝96v＋15 v000(0<v≤15)， 因为 96v＋15 v000≥2 1 440 000＝2 400， 所以当且仅当 96v＝15 v000时，即 v＝ 1590600＝12.5<15 时，航行 100 海里的总费用最小，且这个最值为 2 400 元．
所以实数 x 的取值范围是x1－2
3 1＋ <x< 2
3
.
[归纳提升] 不等式恒成立求参数范围的方法 1．变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变 量看作主元．
2．分离参数法 若f(a)<g(x)恒成立，则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. 3．数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
一元二次两个实数根的关系
一元二次两个实数根的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分:一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和科学领域中的应用十分广泛。
本文将着重探讨一元二次方程中的两个实数根的关系。
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
通过研究一元二次方程的解的概念和判别式，我们可以深入了解一元二次方程的性质和特点。
在本文的正文部分，我们将首先介绍一元二次方程的定义和性质，包括二次项、一次项和常数项的含义，以及平方项的系数a的重要作用。
然后我们将详细解释一元二次方程的解的概念，包括实数解、虚数解和重根的区别。
接着我们将引入一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值可以得知方程的根的性质。
最后，我们将专注于讨论一元二次方程的两个实数根的关系，探究根之间的数学关系和特点。
在结论部分，我们将总结一元二次方程的两个实数根的关系，并引用实际应用中的例子，展示一元二次方程的重要性和实用价值。
我们还将对一元二次方程的两个实数根的关系进行进一步讨论，深入挖掘其中的数学规律和性质。
通过本文的研究，我们将对一元二次方程的两个实数根的关系有更深入的理解，并能够在实际问题中应用这一数学概念解决相关的计算和推导。
深入研究一元二次方程的两个实数根的关系不仅对提升数学水平有帮助，也对其他科学领域的学习和实践具有重要意义。
（注：以上内容仅为示例，可以根据实际需要进行修改和补充）1.2文章结构文章结构是指文章整体的组织框架和内容安排。
在本篇文章中，主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
首先，介绍一元二次方程和其两个实数根的概念和背景，引起读者的兴趣。
其次，简要介绍本篇文章的结构，即引言、正文和结论三个部分的内容安排。
然后，明确文章的目的，即探讨一元二次方程的两个实数根之间的关系。
最后，总结引言部分，简要概括引言部分的主要内容和文章的整体目的。
正文部分是文章的核心部分，主要是对一元二次方程的定义和性质、解的概念、判别式以及两个实数根的关系进行详细的阐述和分析。
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一元二次方程
一元二次方程知识结构图
（1）含有一个未知数。
（2）未知数的最高次数是 2
1、概念（3）是整式方程。
（4）一元二次方程的一般形式是ax2 bx c 0,( a 0) 。
依据： ab=0 (a,b 为两个因式 ),则 a=0 或 b=0
（2）因式分解法思想：降次
方法：提公因式法、公式法、十字相乘法等
思路：利用完全平方公式，转变成直接开平方法的形式
①将方程化为一般形式
②二次项系数化为 1
（ 3）配方法步骤：③把常数项移至方程右边
2、解法④方程两边加上一次项系数
2
2
⑤变成直接开平方法的形式
思想：常在代数式求最值或说明代数式值恒大于（或小于）零时涉及
求根公式x b b2
4ac
,( b2 4ac 0)
2a
（4）公式法方程化为一般形式
确定 a、b、 c 值
步骤求 b2 4ac 值确定方程有解
代入公式x b b2 4ac ,
2a
当0 时，方程有两个不相等的实数根。
2
0，方程有两个相等的实数根。
0 时，方程有解
b 4ac
当
3、根的判别式当0 时，方程有没有的实数根。
不解方程判别根的情况
应用：根据根的情况确定系数的值
根为有理数时的值是完全平方数
抛物线与直线的交点问题
2 0) 的两根为
x
1
, x
2
则
x1x2 b c
设
ax bx c 0,( a , x1 x2
a a
4、根与系数的关系（韦达定理）隐含条件： a 0, 0
应用：整体代入求代数式的值
（1）审题
（ 2）解设合适未知数
（ 3）找等量关系列方程
5、一元二次方程的应用（可用于解决实际问题的步骤）（4）解方程
（5）检验方程的解是否符合题意
（ 6）答题。