人教新课标版数学高二选修2-1训练 四种命题的相互关系
人教课标版高中数学选修2-1《四种命题及相互关系》名师课件2
例题讲解：
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命 题，同时指出它们的真假。
（1）两个全等的三角形的三边对应相等； （2）四边相等的四边形是正方形； （3）负数的平方是正数；
例题讲解：
例3、等价命题的应用
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋ (2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否 命题的真假．
4)若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等
条件
结论
四种命题：
原命题: 逆命题: (交换原命题的条件和结论） 否命题: (同时否定原命题的条件和结论） 逆否命题: (交换原命题的条件和结论，并且同时否定)
练习： （1）若两直线平行，则同位角相等； （2）若平面上两条直线平行，则这两条直线不相交； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
数学理论：原命题与逆命题的知识
即在两个命题中，如果第一个命题的条件 （或题设）是第二个命题的结论，且第一个 命题的结论是第二个命题的条件，那么这两 个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题 叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命 题.
原命题：同位角相等，两直线平行；
逆命题：两直线平行，同位角相等.
数学理论：原命数的立方是负数；
条件
结论
(2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
条件
结论
把下列命题改写成“若 和结论：
p
则
q
”的形式并指出条件
（l）全等的两个三角形面积相等；
（2）面积相等的两个三角形全等；
（3）不全等的两个三角形面积不相等；
（4）面积不相等的两个三角形不全等。
即在两个命题中，一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，这样的两个命题就叫做互否 命题，若把其中一个命题叫做原命题， 则另一个就叫做原命题的否命题.
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题、四种命题间的相互关系》自我小测
自我小测1．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是()．A．若a＜b，则a－8＜b－8B．若a－8＞b－8，则a＞bC．若a≤b，则a－8≤b－8D．若a－8≤b－8，则a≤b2．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的()．A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上判断都不对3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()．A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”4．命题“如果x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()．A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．如果－1＜x＜1，则x2＜1C．如果x＞1或x＜－1，则x2＞1D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥15．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．6．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．7．若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．8．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a＜2”的逆否命题的真假．9.已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．参考答案1.答案：D2.解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若n，则m，故p是r的逆否命题．答案：C3.答案：B4.解析：原命题结论“－1＜x＜1”的否定是“x≤－1或x≥1”，原命题条件“x2＜1”的否定是“x2≥1”，故逆否命题是：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D5.解析：可以从逆否命题去判断．答案：假6.解析：①的逆命题是：在空间中，若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1作模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不是真命题．②的逆命题是：在空间中，若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②的逆命题是真命题．答案：②7.解：逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.逆命题为真命题．否命题：若m＞0且n＞0，则m＋n＞0.否命题为真命题．逆否命题：若m＋n＞0，则m＞0且n＞0.逆否命题为假命题．8.解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，∵a≥2，∴4a－7＞0，即抛物线与x轴有交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真命题．解法二：先判断原命题的真假：∵a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.∴724a<<.∴原命题是真命题．∵原命题和它的逆否命题等价，故它的逆否命题为真命题．9.解：假设三个方程都无实根，则有2122223(4)2(43)0(1)40(2)80a aa aa a⎧∆=+-<⎪∆=--<⎨⎪∆=+<⎩即312211320aa aa⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或解得312a-<<-.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或32 a≤－.。
人教课标版高中数学选修2-1基础训练：四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系1、命题“若A ∩B =A ,则A ⊆B ”的逆否命题是( )A.若A ∪B ≠A ,则A ⊇BB.若A ∩B ≠A ,则A BC.若A B ,则A ∩B ≠AD.若A ⊇B ,则A ∩B ≠A2、命题“若a >-3,则a >-b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.43、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是( )A.若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥14、一个命题与他们的逆命题.否命题.逆否命题这4个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数5、_________"c bx ax y ,0ac 4b ,0a ''22的否命题为恒为负则且若++=<-< 其真假情况是原命题为______,否命题为_______.6、有下列命题：①x ，y ∈R ，若x 2+y 2=0，则x 、y 全为零；②“全等的三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ﹥1，则mx 2–2（m +1）x +m –3﹥0的解集为R”的逆命题；④“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是______.（填上所有正确命题的序号）7、命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为__________.8、下列三个命题⑴ “正方形是菱形”的否命题⑵ “若ac 2＞bc 2，则a ＞b”的逆命题⑶ 若m ＞2，则不等式x 2－2x ＋m ＞0的解集为R ，其中真．命题为_________．(请把你认为正确的命题前面序号填在横线上)9、，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”的否命题_______________________________________________________.参考答案1、C2、B解析:命题“若a>-3,则a>-b”的逆命题为“若a>-b,则a>-3”为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-b”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-b,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.3、D4、C5、若a≥0或b2-4ac≥0则y=ax2+bx+c不恒为负;真;真. 6、①④7、0 8、⑶9、当a>0时，函数y=ax+b的x值不增加，y值也不增加.。
人教A版高中数学高二版选修2-1练习四种命题间的相互关系
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：B2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．注意“∈”与“∉”互为否定形式．答案：B3．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．注意“是”的否定为“不是”，“＜”的否定为“≥”．答案：A4．下列四个命题中，真命题为()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q答案：B二、填空题6．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中假命题是__________________，真命题________________________________．答案：原命题、逆否命题；逆命题、否命题．7．下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③8．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1三、解答题9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，所以逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．因为原命题与其逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 解析：a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案：A2．给出命题：若f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，有________个是真命题．解析：原命题为真，逆命题为假，故由四种命题的真假关系知，这3个命题中有1个是真命题．答案：13．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。
人教版数学高二选修2-1课后训练 1-1-2、3 四种命题及其间的相互关系
04课后课时精练一、选择题1．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否命题是()A．若sinα＝sinβ，则α＝βB．若α≠β，则sinα≠sinβC．若sinα≠sinβ，则α≠βD．以上都不对解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．答案：B2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真命题的是()A．若q，则p B．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈p D．若綈p，则q解析：根据逆否命题的等价性易得．答案：C3．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①④解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧ m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D4．用反证法证明命题“5＋7是无理数”时，应假设( ) A.5是有理数 B.7是有理数 C.5或7是有理数 D.5＋7是有理数解析：在实数范围内无理数的反面是有理数．故选D.答案：D5．[2014·陕西高考]原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：本题以数列的单调性为背景考查命题真假的判断和四种命题之间的关系．从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案：A6．下列命题中，真命题是()A．命题“若a>b，则ac2>bc2”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题解析：命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．答案：D二、填空题7．命题“x∈A∩B”的否命题是_________________________________________________________．解析：x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.答案：x ∉A 或x ∉B8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“ax 2－2ax －3>0不成立”亦即“ax 2－2ax －3≤0恒成立”．当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.故－3≤a ≤0.答案：[－3,0] 9．用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”．证明如下：假设n 是奇数，则n ＝2k ＋1(k 是整数)，n 3＝(2k ＋1)3＝________________________，与已知n 3是偶数矛盾，所以n 是偶数．解析：(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1.答案：2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1三、解答题10．若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个相异实根，则ac <0，为假命题；否命题：若ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )至多有一个实根，为假命题；逆否命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )至多有一个实根，则ac ≥0，为真命题．11．设p ：m －2m －3≤23，q ：关于x 的不等式x 2－4x ＋m 2≤0的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 与q 有且只有一个成立．解：由m －2m －3≤23得：m －2m －3－23≤0，即m 3(m －3)≤0.解得0≤m <3，即当且仅当0≤m <3时，p 成立．因为关于x 的不等式x 2－4x ＋m 2≤0的解集是空集，所以Δ＝16－4m 2<0，解得m >2或m <－2.即当且仅当m >2或m <－2时，q 成立．当p 成立而q 不成立时，0≤m ≤2.当p 不成立而q 成立时，m <－2或m ≥3.综上所述，当且仅当m ∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)时，p 与q 有且只有一个成立．12．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解：能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小．所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．。
人教版高中数学选修2-1《1.1.3四种命题间的相互关系》
请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
解：张三走的原因是：“该来的没有来”， 逆否命题是--“来了的是不该来的！” 李四走的原因是“不该走的又走了”， 其逆否命题是“没有走的是应该走的”.
选修2-1
课堂小结：
1）掌握四种命题的相互关系及真假关系； 2）能够利用逆否命题的等价性解决具体问题.
选修2-1
2 2
选修2-1
（假）
（假）
探究新知二： (3)原命题与逆否命题的真假关系
（真） (1)原命题：若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称 .
逆否命题： 若一个函数的图像不关于原点对称，则它不是奇函数.（真） (2)原命题：若ac 2 bc 2 , 则a b. 逆否命题： 若a b, 则ac 2 bc 2 . (3)原命题：若x 2 3 x 2 0, 则x 2. 2 逆否命题： 若x 2，则x 3x 2 0. 2 2 (4)原命题：若 sin , 则 cos . 2 2 2 2 若 cos , 则 sin . 逆否命题：
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。
4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
选修2-1
规 律 一：
原命题 若 p则 q 互 否 命 题
四 种 命 题 的 关 系
逆命题 若 q则 p 互 否 命 题
否命题 若﹁ p则﹁ q
选修2-1
逆否命题 若﹁ q则﹁p
2 2
选修2-1
真假相同
（真） （真） （假） （假） （假） （假）
ห้องสมุดไป่ตู้
规 律 二：
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
人教课标版高中数学选修2-1《四种命题间的相互关系》参考学案
1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：进一步理解四种命题相互关系，理解用互为逆否命题的真假来证明命题，即反证法。
学习重点：四种命题真假关系学习难点：反证法的简单应用。
讲学过程：一、复习准备：写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>1,则a-1>0； 2) 若q<1,则方程 022=++q x x 有实根 逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:3) 若x 2-3x+2=0,则x=2； 4)若ab ，0≠则a 、b 中至少有一个为0。
逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:二、新课：1、四种命题的相互关系：结论一：原命题与它的逆否命题 ；结论二：两个命题为 命题或 命题，它们的真假性没有关系.2、四种命题的真假关系：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3、当堂检测---写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>-3,则a>-6 2）若(x-7)(x-3)=0,则x=33）若a b >，则a c b c +>+； 4)若x > y, 则x 2 > y 24、反证法概念求证：若x 2＋y 2＝0，则x=y=0反证法步骤----5、跟踪练习---用反证法证明：1、证明：若222p q +=，则2p q +≤2、证明1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则三、小结：掌握一些词语的否定,如。
新版人教A版高中数学选修2-1精品课件：1.1.3四种命题间的相互关系
等价命题是 ( )
A.不拥有的人们会幸福
B.幸福的人们不都拥有
C.拥有的人们不幸福
D.不拥有的人们不幸福
【解析】选D.“幸福的人们都拥有”我们可将其化为: 如果人是幸福的,则这个人拥有某种食品.它的逆否命 题为:如果这个人没有拥有某种食品,则这个人是不幸 福的,即“不拥有的人们不幸福”.
类型一 四种命题的相互关系及应用 【典例】1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的 等价命题是 ( ) A.若q不正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确 C.若p正确,则q不正确 D.若p正确,则q正确
第一章 常用逻辑用语 1.1.3
四种命题间的相互关系
1.四种命题间的关系
【思考】 (1)为什么否命题与逆命题互为逆否命题? 提示:否命题“若﹁p,则﹁q”的条件和结论分别是逆 命题“若q,则p”的结论和条件的否定,所以否命题与 逆命题互为逆否命题.
(2)原命题、逆命题、否命题、逆否命题,这四种命题 中有几对互逆命题、互否命题、互为逆否命题?
④由“若A∪B=A,则A⊆B”为假命题,可知其逆否命题 也为假命题. 答案:2
类型二 等价命题在证明中的应用 【典例】判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a<2”的逆否命 题的真假.题的真假,可以写 出原命题的逆否命题再判断其真假,也可以利用互为逆 否命题的两个命题的等价性,通过判断原命题的真假得 出其逆否命题的真假.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)命题“若p,则q”与命题“若﹁q,则﹁p”互为逆否 命题.( ) (2)对于一个命题的四种命题可能只有一个真命题.
最新人教版高中数学选修2-1第一章四种命题间的相互关系
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2.四种命题之间的相互关系
思考 2 解决四种命题的关键是什么? 提示:明确原命题的逆命题、 否命题、 逆否命题的条件和结论的位置关 系和否定关系是解决四种命题的关键.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
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1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
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探究一
探究二
探究四
解:(1)逆命题:若 x≥0,则 x>1; 否命题:若 x≤1,则 x<0; 逆否命题:若 x<0,则 x≤1. (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0. 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0. (3)逆命题:若 x,y 全为零,则 x2+y2=0. 否命题:若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零. 逆否命题:若 x,y 不全为零,则 x2+y2≠0. (4)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
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人教课标版高中数学选修2-1随堂测试：四种命题、四种命题间的相互关系
随堂测试：四种命题、四种命题间的相互关系一、综合题1.命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若一个数a 的平方根等于0,则a 不是正数”的( ).A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.不确定关系2.已知命题p:∀x 1,x 2∈R ,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,则┐p 是( ).A.∃x 1,x 2∈R ,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0B.∀x 1,x 2∈R ,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0C.∃x 1,x 2∈R ,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0D.∀x 1,x 2∈R ,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<03.命题“若x 2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( ).A.若x 2≥1,则x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,则x 2<1C.若x>1或x<-1,则x 2>1D.若x≥1或x≤-1,则x 2≥14.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( ).A.若α≠4π,则tanα≠1 B.若α=4π,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠4π D.若tanα≠1,则α=4π 5.已知下列四个命题: ①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x 2-2x+m>0的解集为R ”.其中真命题的个数为( ).A.0B.1C.2D.36.命题“若一个数是无理数,则它的平方是无理数”的逆命题是 .7.有下列四个命题:①“如果xy=1,则lg x+lg y=0”;②“如果sinα+cosα=12,则α是第一象限角”的否命题;③“如果b≤0,则方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;④“如果A∪B=B,则A⊆B”的逆命题.其中是真命题的有.8.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是.9.写出命题“如果|x-2|+(y-1)2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.10.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.参考答案1.答案:C2. 答案:C3. 答案:D4. 答案:C解析:命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠4π”. 5. 答案:B解析:对于①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;对于②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;对于③,不等式x 2-2x+m>0的解集为R ,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2>1,故只有③正确.故选B.6. 答案:若一个数的平方是无理数,则它是无理数7.答案:③④解析:命题①显然错误,例如:x=-1,y=-1时,lg x+lg y 无意义.对于②,其否命题为“如果sinα+cosα≠12,则α不是第一象限角”,当α=60°时可知其否命题为假命题.对于③,当b≤0时,Δ=4b 2-4b≥0恒成立,故方程x 2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假性相同,知命题③是真命题.对于④,逆命题为“若A ⊆B,则A ∪B=B”,显然为真命题.8. 答案:1≤m≤2解析:由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立.∴1≤m≤2.9. 解:逆命题:如果x=2且y=1,则|x-2|+(y-1)2=0.真命题;否命题:如果|x-2|+(y-1)2≠0,则x≠2或y≠1.真命题;逆否命题:如果x≠2或y≠1,则|x-2|+(y-1)2≠0.真命题.10. 解:方法一:逆否命题:已知a,x 为实数,若a<1,则关于x 的不等式x 2+(2a+1)x+a 2+2≤0的解集为空集.判断如下:抛物线y=x 2+(2a+1)x+a 2+2的开口向上,又方程x 2+(2a+1)x+a 2+2=0的判别式Δ=(2a+1)2-4(a 2+2)=4a-7,因为a<1,所以4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.因此关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真. 方法二:先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,所以方程x2+(2a+1)x+a2+2=0的判别式Δ=(2a+1)2-4 (a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥7 4 .因为a≥74,所以a≥1.故原命题为真.又因为原命题与其逆否命题有相同的真假性,所以逆否命题为真.。
新课标人教版(选修2-1)1.1.3四种命题的关系课件
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
2018/1/22
郑平正制作
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
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可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
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例
用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
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回顾
交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 所得的命题是__________
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（对） （错）
（错）
（假） （假） （假） （假）
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练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程 （3）若 m 0 或n
x 2x q 0 有实根。
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、四种命题的写法原命题“若p则q”；逆命题为“若q则p”；否命题为“若⌝p则⌝q”；逆否命题为“若⌝q则⌝p”.二、四种命题的关系当一个命题的真假不好判断时，可考虑判断其逆否命题的真假.反证法的原理就是依据互为逆否命题的等价性.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系.（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；三、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:（1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.问题·探究问题在证明问题时可以利用反证法，那么反证法可以证明哪些问题呢？有什么矛盾呢？探究:（1）证明唯一性、无理性等问题可用反证法.+++（2）命题以否定形式出现（如不存在、不相交等）,并伴有“至少……”“不都……都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.（3）正难则反,即若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决. （4）得出矛盾,一般有三种:一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 有下列四个命题，其中真命题是（）①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1，则x2-2x＋m＝0有实根”的逆否命题;④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题.A.①②B.②③C.①②③D.③④思路分析：可根据题目要求写出相应的命题，然后对命题进行真假判断，淘汰不需要的选项.①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题.②否命题：面积不等的三角形不全等，真命题.③逆否命题：若方程x2-2x＋m＝0无实根，Δ＝4-4m<0,则m＞1.真命题.④逆否命题：若A B，则A∩B≠B，原命题为假命题，逆否命题也为假命题.综上，确定①②③均为真命题.答案：C方法归纳①在判断命题的真假性时,可以利用原命题与逆否命题、逆命题和否命题等价这一知识.②否命题与命题的否定是不同的：如果原命题是若p则q，否命题是若⌝p则⌝q；而命题的否定是若p则⌝q.例2 已知a、b、c是一组勾股数即a2+b2=c2,求证:a、b、c不可能都是奇数.思路分析：命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等，利用反证法证明.证明:假设a、b、c都是奇数.∵a、b、c是一组勾股数,∴a2+b2=c2. ①∵a、b、c都是奇数,∴a2、b2、c2也都是奇数.∴a2+b2是偶数.这样①式的左边是偶数,右边是奇数,产生矛盾,∴a、b、c不可能都是奇数.方法归纳用反证法证明命题的一般步骤是：①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.③由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.④得出矛盾,一般有三种:一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题矛盾.例3 已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f（a）+ f（b）≥f （-a）+f（-b）”写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明，可利用反证法.解:（1）逆命题是:若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）,则a+b≥0,真命题.用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.∵f（x）是（-∞,+∞）上的增函数,则f（a）<f（-b）,f（b）<f（-a）,∴f（a）+f（b）<f（-a）+f（-b）.这与题设相矛盾,∴逆命题为真.方法归纳互为逆否命题的两个命题是等价命题,在证明一个命题的真假性时,可证明它的等价命题.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习 ~1.1.3四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系一、基础过关1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( ) A ．若α≠π4，则tan α＝1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．以下说法错误的是( ) A ．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B ．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C ．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D ．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题5．“如果x 、y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( )A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x 、y ∈R 且xy ≠0，则x ＋y ≠06．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________，这是________命题．7．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)8．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．二、能力提升9．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3 B．2 C．1 D．010．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为() A．①②B．②③C．①③D．③④11．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．三、探究与拓展13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．答案1．C 2.D 3.B4．B5．B6．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假7．②和③①和③①和②8．解逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题．∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题．9．C10．C11．①②④12．解(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．13．解(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真命题．。
人教A版高中选修2-1课件：1-1-2、3 四种命题与四种命题间的相互关系
2．(1)四种命题间的相互关系
(2)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四 种情况：
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
思考感悟 四种命题中真命题的个数可能为多少？ 提示： 由于互为逆否关系的命题同真同假，真 命题可能有 0 个， 2 个或 4 个．
c ＝ d ， 则 a ＋ c ＝ b ＋ d” ， 对 其原命 题 、逆命 题 、否命 题、逆否命题而言，真命题的个数是( )
A．0 C．3
B． 2 D． 4
解析：(1)原命题与逆否命题等价．
(2)因为原命题为真，逆命题为假．
答案：(1)D
(2)B
类型四 [例4]
等价命题的应用 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不
解答本题时可先分清命题的条件和结论，写成
“若p，则q”形式，再写出逆命题、否命题和逆否命 题．
[解 ]
(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条
直线垂直于同一个平面．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么
这两条直线不平行． 逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直 线不垂直于同一平面．
(2) 逆命题：若方程 mx2 － x ＋ n ＝ 0 有实数根，则 m·n<0.
这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫
做原命题，则另一个命题叫做原命题的逆否命题．也 就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否 命题是“若綈q，则綈p”．
思考感悟 在四种命题中，原命题是固定的吗？ 提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其 他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命 题，进而研究它的其他形式．
第一章
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》知识导学
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”，则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________；(2)___________________________；(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面；显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析：依逆命题定义易得. 答案：A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案：C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______，逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0，则方程x2+2x-k=0”有实根；②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0，则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。
人教新课标版数学高二选修2-1学案设计 之3四种命题、四种命题间的相互关系
1.1.2～1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题活动与探究1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x＞－2，则x＋3＞0；(2)两条对角线相等的四边形是矩形．迁移与应用1．写出命题“如果一个数列中各项都相等，那么这个数列是等差数列”的逆命题、否命题和逆否命题，并说明它们的真假．2．已知命题：“负数的平方是正数”，试写出其逆命题、否命题、逆否命题．1．给出一个命题写它的另外三个命题时，应先将命题整理成“若p，则q”的形式，然后根据定义写出另外三个命题．2．在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．二、四种命题之间的关系活动与探究2下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中的真命题是__________．迁移与应用1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()．A．0B．1C．2D．32．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)结论条件原命题逆命题若q，则p(2)条件的否定结论的否定否命题若⌝p，则⌝q(3)结论的否定条件的否定逆否命题若⌝q，则⌝p预习交流1：提示：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数．逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数．否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数．逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数．2．(2)逆否命题没有关系预习交流2：提示：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1．真命题．否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1．真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．真命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1：思路分析：首先分清命题的条件和结论，再按照定义写出逆命题、否命题、逆否命题；对于(2)，则应先将命题改写为“若p，则q”的形式．解：(1)逆命题：若x＋3＞0，则x＞－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2．(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．所以：逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．迁移与应用：1．解：原命题是一个真命题．逆命题：如果一个数列是等差数列，那么这个数列中各项都相等．它是一个假命题．否命题：如果一个数列中各项不都相等，那么这个数列不是等差数列．它是一个假命题．逆否命题：如果一个数列不是等差数列，那么这个数列中各项不都相等．它是一个真命题．2．解：原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．活动与探究2：思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断．①②③解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③．迁移与应用：1．B解析：①否命题是“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”．真命题．②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．③否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”．假命题．④逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．假命题．2．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0．逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．当堂检测1．有下列四个命题，其中真命题是()．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集不是∅”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是()．A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真答案：D解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a ＞－6，则a＞－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．4．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()．A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b答案：C5．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是__________．答案：①③解析：①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m＞0，则Δ＞0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真命题．∴逆否命题也为真命题．。
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数学·选修2－1(人教A版)
常用逻辑用语
1．1 命题及其关系
1.1.2 四种命题的相互关系
课时训练
一、选择题
1．下列命题中，正确的个数是( )
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
A. 3个 B．2个 C．1个 D. 0个
答案：B
2．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．等价命题
解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B
3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集不是∅”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是 ( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．
答案：D
4．已知全集U＝R，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是( )
A．非p：3∉A
B．非p：3∈∁U B
C．非p：3∉A∩B
D．非p：3∈∁U(A∪B)
答案：D
5．设p：x<－1，﹁q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是( ) A．若q，则﹁p B．若﹁q，则p
C．若p，则q D．若﹁p，则q
解析：∵﹁ q：x<－1或x>2，∴若p，则﹁q.
答案：A
二、填空题
6．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________________________________________________________
______________．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．
7．“若P＝{x||x|<1}，则0∈P”的等价命题是________________________．
解析：原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”．
答案：“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”
8．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；
②若f(x)＝cos x，则f(x)为周期函数；
③“若A＝B，则sin A＝sin B”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命题为真．所以①是真命题．
显然②是真命题．
③的逆命题：“若sin A＝sin B，则A＝B”是假命题．
④的否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．
答案：①②④
三、解答题
9．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题P的否命题；
(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．
解析：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx ＋c＝0有实根．”
(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：
因为ac<0，
所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．所以该命题是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
解析：方法一原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
真假判断如下：
因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．
方法二先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，
解得a≥7
4
，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆
否命题等价，所以其逆否命题为真．。