人教新课标版数学高二选修2-1训练 四种命题的相互关系

数学·选修2－1(人教A版)

常用逻辑用语

1．1 命题及其关系

1.1.2 四种命题的相互关系

课时训练

一、选择题

1．下列命题中，正确的个数是( )

①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

A. 3个 B．2个 C．1个 D. 0个

答案：B

2．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的 ( )

A．逆命题 B．否命题

C．逆否命题 D．等价命题

解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B

3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集不是∅”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是 ( )

A．都真 B．都假

C．否命题真 D．逆否命题真

解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．

答案：D

4．已知全集U＝R，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是( )

A．非p：3∉A

B．非p：3∈∁U B

C．非p：3∉A∩B

D．非p：3∈∁U(A∪B)

答案：D

5．设p：x<－1，﹁q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是( ) A．若q，则﹁p B．若﹁q，则p

C．若p，则q D．若﹁p，则q

解析：∵﹁ q：x<－1或x>2，∴若p，则﹁q.

答案：A

二、填空题

6．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________________________________________________________

______________．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．

7．“若P＝{x||x|<1}，则0∈P”的等价命题是________________________．

解析：原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”．

答案：“若0∉P，则P≠{x||x|<1}”

8．给定下列命题：

①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；

②若f(x)＝cos x，则f(x)为周期函数；

③“若A＝B，则sin A＝sin B”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命题为真．所以①是真命题．

显然②是真命题．

③的逆命题：“若sin A＝sin B，则A＝B”是假命题．

④的否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．

答案：①②④

三、解答题

9．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题P的否命题；

(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．

解析：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx ＋c＝0有实根．”

(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．所以该命题是真命题．

10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

解析：方法一原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．

方法二先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

即4a－7≥0，

解得a≥7

4

，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆

否命题等价，所以其逆否命题为真．