2015高二海淀区第一学期期末数学文科试题及详细答案

海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学（文科）
2015.1
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2y x =+的倾斜角是（ ）
A.
π6 B.π4 C. 2π3 D.3π4
2. 焦点在x 轴上的椭圆22
13x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）
A.4
B.94
C. 1
D.34
3. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ） A. 8 B.
83 C. 163
D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的
弦长为（ ）
A.
65 B. 1 C.8
5
D.2 5. 命题 “0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限”的否定是（ ）
A. 0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限
B. 0k ∃≤，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限
C. 0k ∀>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限
D. 0k ∀≤，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限
6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是 （ ） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈
，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥
8. 已知曲线
||1W y =, 则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（ ） A.
12
C.2
1
二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =
10. 双曲线22
1169x y -=的渐近线方程为________________.
11. 椭圆22
12516
x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离是_______.
12. 已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则
椭圆C 的离心率为______. 13. 已知平面αβ⊥，且l α
β=，在l 上有两点,,A B 线段AC α⊂，
线段BD β⊂，, AC l ⊥, BD l ⊥ 4, 3, 12, AB AC BD === 则线段CD 的长为_____.
14. 已知点(1,0)A -, 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y
在抛物线上，且|||AP PF ， 则||___.OP =
三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）
已知点(0,2)A , 圆22:1O x y +=. ( I ) 求经过点A 且与圆O 相切的直线方程；
( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OA AP ⋅的取值范围.
16. （本小题共12分）
已知直线:l y x t =+与椭圆22
:22C x y +=交于,A B 两点.
( I ) 求椭圆C 的长轴长和焦点坐标； ( II )
若||3
AB =，求t 的值.
17.（本小题共12分）
如图所示的几何体中，直线AF ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，ADEF 为梯形，DE AF ∥，又
1AB =，2=2AF D E a =.
( I ) 求证：直线C E ∥平面ABF ； ( II ) 求证：直线BD ⊥平面AC F (Ⅲ) 若直线AE CF ⊥，求a 的值.
18.（本小题共10分）
已知椭圆22
143
x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点. ( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标； ( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.
B
海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学（文科）
参考答案及评分标准
2015.1
一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.
二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.
9. 1或1- 10. 34y x =
或 34y x =- 11. 6 12. 1
2
13. 13 14.
说明：9，10题每个答案两分，丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）
解: （I ）由题意知道，所求直线的斜率存在，
设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=， -------------1分 所以圆心O 到直线的距离为
d =
， -------------3分
所以
1d =
=，解得k =, -------------4分
所求的直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (0,2)OA =，(,2)AP x y =-， ----------6分 所以 2(2)OA AP y ⋅=-. -------------7分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[6,2]OA AP ⋅∈--. -------------10分 16．（本小题满分12分）
解: （I ）因为2
2
22x y +=,所以2
212
x y +=，---1分
所以1a b ==，所以1c =, --------3分
所以长轴为2a =焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. -------------4分
（II ）设点1122(,),(,)A x y B x y .因为22220
x y y x t ⎧+-=⎨=+⎩, 消元化简得2234+220x tx t +-=, ---6分
所以222122121612(22)=24804+3223t t t t x x t x x ⎧
⎪∆=--->⎪
-⎪
=⎨⎪
⎪-=
⎪⎩
-------------8分
所以
12||AB x x -=
-------------10分
又因为|AB 所以
， 解得1t =±. ---------12分
17.（本小题满分12分）
解: （I ）因为ABCD 为正方形，所以AB CD . -------------1分
又DE AF ∥，且,AB
AF A CD
DE D ==. 所以平面ABF ∥平面DCE . ------3分
而CE ⊂平面EDC , 所以CE ∥平面ABF . ------------4分 (II) 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ -------------5分 因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF BD ⊥， ----6分 因为AF
AC A =,所以直线BD ⊥平面ACF . -------------8分
(Ⅲ) 连接 FD .因为直线AF ⊥平面ABCD ，所以AF CD ⊥，又CD AD ⊥, AD
AF A =
所以CD ⊥平面ADEF ， -------------9分 所以CD AE ⊥.又AE CF ⊥, FC CD C =,所以AE ⊥平面FCD ， 所以AE FD ⊥. ----11分
所以π2EAD FDA ∠+∠=
,所以11
tan 1tan 2a EAD EAD a
∠===
∠
解得a = -------12分 18．（本小题满分10分）
解: （I ） 设点11(,)P x y , 由题意||||PO PA =,
所以点P 在OA 的中垂线上，而OA 的中垂线为32y =
, 所以有13
2y =.-------------2分 把其代入椭圆方程，求得11x =±. 所以 3(1,)2P 或3
(1,)2
P -. ------4分
(II) 设22(,)Q x y .根据题意，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为3y kx =+,
所以22341203x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩.消元得到 22
(34)24240k x kx +++=, 所以22122
122(24)96(34)024+342434k k k x x k x x k ⎧
⎪∆=-+>⎪-⎪=⎨+⎪
⎪
=⎪+⎩
-----6分 因为=OAP OPQ S S △△，所以=2OAQ OPQ S S △△, 即
1211
||||=2||||22
OA x OA x ⋅ ------7分 所以有12||=2||x x ， -------------8分
因为122
24034x x k =>+, 所以12x x ，同号， 所以122x x =.所以12122122224342434x x k x x k x x k ⎧
⎪=⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪
=⎪+⎩
， -----9分 解方程组得到3
2
k =±
, 经检验，此时0∆>, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，或3
32
y x =-+. -------------10分
法二：设22(,)Q x y ，因为=OAP OPQ S S △△，所以||||AP PQ =. ------------6分 即点P 为线段OQ 的中点， 所以2121=2, 23x x y y =-. -----7分
把点,P Q 的坐标代入椭圆方程得到22
1122
11143(2)(23)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ------8分 解方程组得到11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或者111
32
x y =-⎧⎪
⎨=⎪⎩,
即3
(1,)2P , 或者3(1,)2
P -. -------------9分
所以直线PQ 的斜率为32k =或者3
2k =-, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，3
32
y x =-+. -------------10分
说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。