2015高二海淀区第一学期期末数学文科试题及详细答案
2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，集合 B＝{a+2}，若 A∩B＝∅， ∴a+2≤1，即 a≤﹣1， 则实数 a 的范围为（﹣∞，﹣1]， 故选：A． 2． （4 分）已知 sinθcosθ＜0，那么角 θ 是（ A．第一或第二象限角 C．第二或第四象限角 【解答】解：由题意知，sinθcosθ＜0， 则 故选：C． 3． （4 分）已知命题 p：∃x0∈R， A．∀x0∈R， C．∃x0∈R， 【解答】解：命题 p：∃x0∈R， ∴￢p 是：∀x0∈R， 故选：A． 4． （4 分）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则 a7＝（ A． B． C． ） D． ， ． ．则￢p 是（ ） 或 ，所以角 θ 在第二或第四象限， ） B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角
x
②f（x）＝ ③f（x）＝e ④f（x）＝sinx 既是奇函
12． （4 分）某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（单位：℃）满足函数关系 t ＝ 且该食品在
该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结 论： ①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时； ②当 x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间 t 随看 x 增大而逐渐减少； ③到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 其中，所有正确结论的序号是 ．
第 2 页（共 12 页）
2 *
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn 的最大值； （3）设 bn＝|an|，求数列{bn}的前 10 项和 T10． 16． （9 分）在数列{an}中，a1＝3，an＝﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2 且 n∈N ） ． （1）求 a2，a3 的值； （2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 17． （9 分）已知函数 f（x）＝x ﹣（2a+1）x+alnx（a＞0） ，求函数 f（x）的单调区间． 18． （9 分）已知函数 f（x）＝ax +bx+1（a，b 为实数，a≠0，x∈R） ． （Ⅰ）若函数 f（x）的图象过点（﹣2，1） ，且方程 f（x）＝0 有且只有一个根，求 f（x） 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 x∈[﹣1，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx 是单调函数，求实数 k 的 取值范围； （Ⅲ）若函数 f（x）为偶函数，且 ＞0 时，F（m）+F（n）＞0． F（x）＝求证：当 mn＜0，m+n＞0，a
北京市海淀区届高上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，会合A={x∈R|x≥2}，则CUA=（）A．{x∈R|x＜2}B．{x∈R|0＜x＜2}C．{x∈R|x≤2}D．{x∈R|0＜x≤2}2．（5分）以下图，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2iB．1+2i C．﹣2﹣iD．﹣2+i3．（5分）已知直线A．0或﹣3l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若B．2或﹣1C．0l1∥l2，则实数D．﹣3a的值是（）4．（5分）当向量= =（﹣1，1），=（1，0）时，履行以下图的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．25．（5分）为认识某年级女生五十米短跑状况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）以下图．由此可预计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为秒）的概率为（）A．B．C．D．-1-/18北京市海淀区届高上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析6．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：?a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：?a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么以下命题为真命题的是（）A．?q B．p∧q C．（?p）∧q D．p∧（?q）7．（5分）某堆雪在消融过程中，其体积3t（单位：h）近似知足函V（单位：m）与消融时间数关系：（H为常数），其图象以下图．记此堆雪从消融开始到结束的均匀消融速度为．那么刹时消融速度等于的时辰是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t48．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处二、填空题共6小题，每题5分，共30分．29．（5分）抛物线y=﹣2x的焦点坐标为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=．11．（5分）某三棱锥的三视图以下图，该三棱锥的体积为．-2-/1812．（5分）设不等式组表示的平面地区为 D ．则地区D 上的点到坐标原点的距离的最小值是．13．（5分）在等比数列 {a n }中，若a 1=﹣24，a 4=﹣ ，则公比 q=；当n=时，{a n }的前n 项积最大．14．（5分）已知⊙O ：x 2+y 2=1．若直线y=kx+2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是．三、解答题共 6小题，共 80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数 f （x ）=cos （πx+φ）（0＜φ＜ ）的部分图象以下图．（Ⅰ）写出 φ及图中x 0的值；（Ⅱ）求 f （x ）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某中学在 2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ，共有50名同学选修，此中男同学 30名，女同学 20名．为了对这门课程的教课成效进行评估，学校按性别采纳分层抽样的方法抽取 5人进行查核．（Ⅰ）求抽取的 5人中男、女同学的人数；-3-/18（Ⅱ）查核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）查核分辩论和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；联合答辩状况，他们的查核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与查核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只要写出结论）17．（14分）以下图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点能否共面，并说明原因．2218．（13分）已知椭圆M：x+2y=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上极点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直均分线交椭圆M于C，D两点．问：能否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出全部知足条件的直线l的方程；若不存在，说明原因．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只要写出结论）20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且知足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，务实数p的值．（Ⅲ）能否存在实数p，使得数列{}知足：能够从中拿出无穷多项并按本来的先后序次排成一个等差数列？若存在，求出全部知足条件的p的值；若不存在，说明原因．北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）-4-/18参照答案与试题分析一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，会合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2}B．{x∈R|0＜x＜2}C．{x∈R|x≤2}D．{x∈R|0＜x≤2}考点：补集及其运算．专题：会合．剖析：欲求补集，利用补集的定义求解解答：解：∵全集U={x∈R|x＞0}，会合A={x∈R|x≥2}，C U A={x∈R|0＜x＜2}应选：B评论：此题主要观察了会合交，并，补的混淆运算，较为简单．2．（5分）以下图，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i考点：复数的基本观点．专题：数系的扩大和复数．剖析：利用复数的几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=﹣2+i．应选：D．评论：此题观察了复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3B．2或﹣1C．0D．﹣3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．剖析：对a分类议论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．解答：解：当a=﹣2时，两条直线分别化为﹣2x+1=0，﹣2x﹣y+2=0，此时两条直线不平行，舍去．当a≠﹣2时，两条直线分别化为：，y=ax+2．∵l1∥l2，∴，．解得a=0，a=﹣3．-5-/18综上可得：a=0或﹣3．应选：A．评论：此题观察了两条直线相互平行与斜率之间的关系、分类议论思想方法，观察了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）当向量= =（﹣1，1），=（1，0）时，履行以下图的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．2考点：专题：程序框图．图表型；算法和程序框图．剖析：模拟程序运转，挨次写出每次循环获得的的值，当=（1，1），知足条件a?c=0，退出循环，输出i的值为2．解答：解：模拟程序运转，有i=1时，=（0，1），不知足条件a?c=0i=2时，=（1，1），知足条件a?c=0退出循环，输出i的值为2．应选：D．评论：此题主要观察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的重点，属于基本知识的观察．5．（5分）为认识某年级女生五十米短跑状况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）以下图．由此可预计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为秒）的概率为（）A．B．C．D．-6-/18考点：茎叶图．专题：概率与统计．剖析：由已知茎叶图获得该年级女生五十米跑成绩及格的人数，而后由古典概型的概率求解．解答：解：由已知获得该年级女生五十米跑成绩及格的有：，，，，共有6人，由古典概型概率公式得P=；应选B．评论：此题观察了由茎叶图找到检查数据的信息以及由此计算概率，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：?a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：?a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么以下命题为真命题的是（）A．?q B．p∧q C．（?p）∧q D．p∧（?q）考点：复合命题的真假．专题：简略逻辑．剖析：先求f（x）的定义域（|a|，+∞），依据偶函数的定义域特色及对数函数的单一性知命题p是假命题，命题q是真命题，因此即可判断（￢p）∧q是真命题．解答：解：函数f（x）的定义域为（|a|，+∞）；定义域不对于原点对称；f（x）是非奇非偶函数；∴命题p是假命题；依据对数函数的单一性知f（x）在定义域内是增函数；∴命题q是真命题；∴￢p是真命题，（￢p）∧q为真命题．应选C．评论：观察偶函数定义域的特色，以及对数函数的单一性，对于F（x）=f（x）+g（x），若f（x），g（x）在F（x）的定义域内都是增函数，则F（x）是增函数，以及￢p，p∧q的真假和p，q真假的关系．7．（5分）某堆雪在消融过程中，其体积3t（单位：h）近似知足函V（单位：m）与消融时间数关系：（H为常数），其图象以下图．记此堆雪从消融开始到结束的均匀消融速度为．那么刹时消融速度等于的时辰是图中的（）-7-/18A．t1B．t2C．t3D．t4考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．剖析：依据题意可知，均匀消融速度为=，反应的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，经过察看某一时辰处刹时速度（即切线的斜率），即可获得答案解答：解：均匀消融速度为=，反应的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，察看可知t3处刹时速度（即切线的斜率）为均匀速速一致，应选：C评论：此题观察了图象的辨别，重点理解均匀速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处考点：棱柱的结构特色．专题：空间地点关系与距离．剖析：由题意画出图形，数形联合获得使三棱锥B﹣D1EC的三个动面面积最大的点E得答案．-8-/18解答：解：如图，E为底面ABCD上的动点，连结BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，不论E在底面ABCD上的何地点，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．应选：A．评论：此题观察了空间几何体的表面积，观察了数形联合的解题思想方法，是基础题．二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9．（5分）抛物线2的焦点坐标为．y=﹣2x考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：依据抛物线的方程的标准方程，求出p值，确立张口方向，进而写出焦点坐标．解答：解：抛物线y 2=﹣2x，张口向左，p=1，故焦点坐标为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．评论：此题观察抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于简单题．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，tan60°=，计算即可获得m．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=x，-9-/18则有tan60°=，即有=，即为m=3．故答案为：3．评论：此题观察双曲线的方程和性质，观察渐近线方程的运用，观察运算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图以下图，该三棱锥的体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间地点关系与距离．剖析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，的直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故其体积是=8，故答案为：8评论：此题考点是由三视图求几何体的面积、体积，观察对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据复原出实物图的数据，再依据有关的公式求表面积与体积．12．（5分）设不等式组表示的平面地区为D．则地区D上的点到坐标原点的距离的最小值是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．剖析：作出不等式组对应的平面地区，利用数形联合即可获得结论．解答：解：作出不等式组对应的平面地区如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时地区D上的点到坐标原点的距离的最小，-10-/18最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故答案为：．评论：此题主要观察两点间距离的应用，利用数形联合以及点到直线的距离公式是解决此题的重点．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=4时，{a n}的前n项积最大．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．剖析：直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，获得前n项积，而后依据奇数项积为负值，剖析偶数项乘积得答案．解答：解：在等比数列 {a n}中，由a1=﹣24，a4=﹣，得，q=；∴．则{a n}的前n项积：=．当n为奇数时T n＜0，∴当n为偶数时T n有最大值．又，且当n为大于等于4的偶数时，T n+2＜T n，∴当n=4时，{a n}的前n项积最大．-11-/18故答案为：；4．评论：此题观察了等比数列的通项公式，观察了等比数列的性质，是中档题．2 214．（5分）已知⊙O：x+y=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪故答案为：（﹣∞，﹣1]∪上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．剖析：（Ⅰ）由图察看可知，函数的图象过点（0，），有=cosφ可解得φ的值是．由图察看可知，函数的图象过点（x0，），有π×x0+=2，可解得x0的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．依据余弦函数的单一性即可求f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵由图察看可知，函数的图象过点（0，），=cosφ，∵0＜φ＜，∴可解得φ的值是．∵由图察看可知，函数的图象过点（x0，），=cos（π×x0+）π×x0+=2∴可解得x0的值是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．-12-/18由于，因此．因此当，即时f（x）获得最大值1；当，即时f（x）获得最小值．评论：此题主要观察了三角函数分析式的求法，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，此中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教课成效进行评估，学校按性别采纳分层抽样的方法抽取5人进行查核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）查核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）查核分辩论和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；联合答辩状况，他们的查核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与查核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只要写出结论）考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法．专题：概率与统计．剖析：（Ⅰ）依据分层抽样的方法：各层被抽到的比率同样解答；（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的因此可能，利用古典概率公式解答；（Ⅲ）依据方差的计算公式解答．解答：解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为人，女同学的人数为人．（4分）（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，全部可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．（6分）用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，1B2，A2B1，A2B2．A3B1，A3B2（8分）因此选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．（10分）（Ⅲ）．（13分）评论：此题观察了统计与概率的问题，属于基础题．-13-/1817．（14分）以下图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点能否共面，并说明原因．考点：平面与平面平行的性质；直线与平面平行的判断．专题：证明题；空间地点关系与距离．剖析：（Ⅰ）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，经过证明点F?平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．解答：证明：（Ⅰ）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，由于BC?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，因此BC∥平面AB1C1；（3分）（Ⅱ）连结BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，由于平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB?平面ABB1A1，因此AB⊥平面BB1C1C；（5分）又由于B1C?平面BB1C1C，因此AB⊥B1C；（6分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；由于BC1?平面ABC1，AB?平面ABC1，且BC1∩AB=B，因此B1C⊥平面ABC1；（8分）由于AC1?平面ABC1，因此B1C⊥AC1；（10分）（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，原因以下；（11分）由于E，G分别是B1C，B1C1的中点，因此GE∥CC1，同理可证：GH∥C1A1；由于GE?平面EHG，GH?平面EHG，GE∩GH=G，CC1?平面AA1C1C，A1C1?平面AA1C1C，因此平面EHG∥平面AA1C1C；-14-/18又由于F∈平面AA1C1C，因此F?平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．（14分）评论：此题观察了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也观察了判断空间中的四点能否共面问题，是综合性题目．2218．（13分）已知椭圆M：x+2y=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上极点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直均分线交椭圆M于C，D两点．问：能否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出全部知足条件的直线l的方程；若不存在，说明原因．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．c=，即可得出离心率与长轴长．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直均分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），=1．与=2，联立解出即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．∴c==1．∴=，2a=2．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直均分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴=1．又=2，联立，解得，或（舍去）．当取点B（0，﹣1）时，直线l的方程为x=0，知足条件．∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．评论：此题观察了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直均分线的性质，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．-15-/1819．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只要写出结论）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．剖析：（Ⅰ）求函数的导数，依据函数的切线方程进行求解即可求x0的值；（Ⅱ）结构函数g（x）=，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）＞x；（Ⅲ）依据函数和方程之间的关系直接求解即可．解答：（Ⅰ）解：，由于切线ax﹣y=0过原点（0，0），因此，解得x0=2（Ⅱ）证明：设，则．令，解得x=2，当x在（0，+∞）上变化时，g（x），g′（x）的变化状况以下表x（0，2）2（2，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘↗因此当x=2时，g（x）获得最小值，因此当时x＞0时，即f（x）＞x．（Ⅲ）解：当b≤0时，会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为0；当时，会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为1；当时，会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为2；当时，会合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为3．评论：此题主要观察导数的综合应用，以及导数的几何意义，观察学生的运算能力．-16-/1820．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且知足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，务实数p的值．（Ⅲ）能否存在实数p，使得数列{}知足：能够从中拿出无穷多项并按本来的先后序次排成一个等差数列？若存在，求出全部知足条件的p的值；若不存在，说明原因．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．剖析：（Ⅰ）利用a1n+1n233=1，2a=2a+p，求出2a=2+p，2a=2+2p，利用S=12，求出p，即可求S n；2（Ⅱ）若数列{a n213，求出实数p的值，再考证；}是等比数列，则a=aa（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，2a n+1=2a n+p，2a2=2+p，2a3=2+2p，S3=12，2+2+p+2+2p=6+3p=24，p=6，a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴S n=n+=；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则2a2=a1a3，∴（1+）2=1×（1+p），p=0，a n+1=a n，此时，数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；（Ⅲ）p=0时，a n=1，数列{}是等差数列，知足题意；p≠0时，a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，∴a n=n+1﹣．假定存在p0≠0，知足题意，数列记为{b n}．①p0＞0，a n＞0，数列{b n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＜1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＜b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＞0矛盾；-17-/18②p0＞0，令＜0，∴n＞1﹣，a n＜0，数列{b n}是各项均为负数的递加数列，∴d＞0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＞1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＞b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＜0矛盾，综上所述，p=0是独一知足条件的p的值．评论：此题观察数列的通项与乞降，观察反证法，观察学生剖析解决问题的能力，有难度．-18-/18。
2015-2016年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．56．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1] 8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2，故选：A．2．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，∴=0，解得a1=1，∴a4=1×23=8．故选：C．3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：=．则λ+μ的值为：．故选：A．4．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个，∴概率P==，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为≈6．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．6．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，可知（2，﹣3）满足x﹣y≥0，满足x+y﹣2≤0，所以不满足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．故选：B．7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1]【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；∀x∈R，f（﹣x）≠f（x），B不正确；函数f（x）在上单调递增，所以C不正确；函数f（x）的值域是[﹣1，1]，所以D正确．不正确的选项为D．故选：D．8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：点A（5，0）在x轴上，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由抛物线的定义可知，P的横坐标为：3，纵坐标为：2．则PA的长度为：=4．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=10．【解答】解：由lga+lgb=1，得：lg（ab）=1，所以，ab=10．故答案为10．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4．【解答】解：由三视图可知三棱柱的底面为直角边为2等腰直角三角形，棱柱的高为2，这是一个歪放的三棱柱∴V==4．故答案为4．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．【解答】解：设切点为（m，m2），y=x2的导数为y′=2x，即有切线l的斜率为k=2m=tan45°=1，解得m=，可得切点为（，），由1=，解得t=．故答案为：．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a= 2或6．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，∴=，解得a=2或a=6．故答案为：2或6．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．…．（3分）因为a1=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1=1，a n=2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x…．（4分）=…．（6分）所以函数f（x）的最小正周期．…．（8分）（Ⅱ）因为，所以，所以，…．（9分）根据函数f（x）=sinx的性质，当时，函数f（x）取得最小值，…．（10分）当时，函数f（x）取得最大值．…．（11分）因为，所以函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．…．（13分）17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t ≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日．…．（3分）（少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大，即D1＞D2．…．（6分）（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，…．（7分）则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29，20，31）}，共计29个基本事件…．（9分）由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，…．（11分）所以，…．（13分）所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，∴FG∥PD且．∵BE∥PD，且，∴BE∥FG，BE=FG，∴四边形BGFE为平行四边形．∴EF∥BG，又∵EF⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∵G为AD中点，∴BG⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAD．（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=．∵．，∴V=V棱锥E﹣ADP=S△PAD•EF=．棱锥P﹣ADE19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．…．（1分）．…．（3分）当k=1时，，令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：…．（6分）所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．（7分）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．…．（8分）（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，令g（x）=f（x）﹣k，则问题等价于函数g（x）存在零点，…．（9分）所以．…．（10分）令g'（x）=0，得．当k＜0时，g'（x）＜0对（0，+∞）成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（1）=1﹣k＞0，，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以为函数g（x）的最小值，当时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，当时，即k≥1时，注意到，所以函数g（x）存在零点．综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）法二：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程1+kx（lnx﹣1）=0有解，…．（9分）令g（x）=kx（lnx﹣1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）令g'（x）=0，得x=1当k＜0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=k（﹣1）+1＞0.，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最小值，而g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k＞0时，即0＜k＜1时，函数g（x）不存在零点．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k≤0，即k≥1时，g（e）=ke（lne﹣1）+1=1＞0所以函数g（x）存在零点．…．（13分）综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．法三：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程有解，…．（9分）设函数g（x）=x（1﹣lnx），所以g'（x）=﹣lnx．…．（10分）令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）又当x＞1时，1﹣lnx＜0，所以x（1﹣lnx）＜1﹣lnx，所以函数g（x）的值域为（﹣∞，1]，…．（12分）所以当时，关于x的方程f（x）=k有解，所以k∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，∴a=4．又离心率为，∴，则，∴b2=a2﹣c2=4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k=±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m=±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m=0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．。
北京市海淀区2015-2016高二年级第一学期期末练习数学(文科)试题带答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。
2015海淀区高二(上)期末数学(文科)
2015海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC 8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD ⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP =S△OPQ，求直线PQ的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：712．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．14．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．17．【解答】（本小题满分12分）（I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．18．【解答】（I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=S△OPQ，因为S△OAP=2S△OPQ，所以S△OAQ即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）第11页共11 页。
海淀区高二数学(文)期末试卷答案
F P C 1B 1A 1EABC 北京市海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习 高二数 学（文科）参考答案 2016．1本试卷共100分． 考试时间90分钟．一、选择题：（本大题共10小题, 每小题4分，共40分）．DBACB DADCB二、填空题：（本大题共6小题, 每小题4分,共24分）．11． x ∃∈R ，20x < 12． 若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直 真13． 4 20x y ±= 14． 22143x y += 15． 3 16． 2 1 （说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:（本大题共3小题,共36分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）． (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可) 17． 解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩------------------------2分 解得3,5a r ==．-----------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=．--------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------7分所以|24|5m +，--------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-．-------------------------------10分18．证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥．--------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AAC C ．---------4分 所以1CB AC ⊥．-------------5分 （Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AAC C 是平行四边形，所以点F 是1AC 的中点． 因为E 为AB 中点，所以在1AC B △中1EF C B ∥．----------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------10分 所以1BC ∥平面1ACE ．--------------------11分 （Ⅲ）43a =． ---------------------------------------------14分 19．解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m+=-， 由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩--------------------------3分解得302m <<, 所以m 的取值范围是302m <<．--------------------------------4分 （Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=．--------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ， 由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，--------------------------------------6分因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,-----------------------------------------------------7分 所以AB AC ⋅=0．因为AB AC ⋅=11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，-----------------------------------9分所以13n =-或1n =．--------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+．--------------------12分。
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学(理)试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ；( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.OAx PQ二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB =4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为. -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB mOB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQ x x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分 所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．（4分）若sinθcosθ＜0，则角θ是第（）象限角．A．第一或第二B．第二或第三C．第三或第四D．第二或第四3．（4分）已知命题p：∃x0∈R，．则￢p是（）A．∀x0∈R，B．∀x0∉R，C．∃x0∈R，D．∃x0∉R，4．（4分）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3a5，则a7=（）A．B．C．D．5．（4分）下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x|D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．7．（4分）已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（）A．B．C．2 D．48．（4分）某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，给出下列结论：①f（﹣x）+f（x）=0对任意x∈R成立；②函数f（x）的值域是（﹣2，2）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）﹣2x在R上有三个零点．则正确结论的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）.9．（4分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于第象限．10．（4分）在等比数列{a n}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的条件．11．（4分）下列函数中，①f（x）=②f（x）=③f（x）=e x④f（x）=sinx既是奇函数又存在零点的是．12．（4分）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．13．（8分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）x∈[﹣，]，求f（x）的值域．14．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，c=2，cosB=，求b边长，及sinC的值．15．（9分）已知数列{a n}的前n项和S n=10n﹣n2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最大值；（3）设b n=|a n|，求数列{b n}的前10项和T10．16．（9分）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．17．（9分）已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx（a＞0），求函数f（x）的单调区间．18．（9分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣1，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且F（x）=求证：当mn＜0，m+n ＞0，a＞0时，F（m）+F（n）＞0．2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）（2017•新城区校级二模）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．2．（4分）（2016春•海淀区期末）若sinθcosθ＜0，则角θ是第（）象限角．A．第一或第二B．第二或第三C．第三或第四D．第二或第四【解答】解：∵sinθ•cosθ＜0，∴或，则θ在第二或四象限，故选：D3．（4分）（2014•宜宾二模）已知命题p：∃x0∈R，．则￢p是（）A．∀x0∈R，B．∀x0∉R，C．∃x0∈R，D．∃x0∉R，【解答】解：命题p：∃x0∈R，．∴￢p是：∀x0∈R，，4．（4分）（2016•红河州一模）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3a5，则a7=（）A．B．C．D．【解答】解：由等比数列的性质可知，a4=a3a5=∵a4≠0∴a 4=1∵a1=8∴=1∴a7=故选B5．（4分）（2016春•海淀区期末）下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x|D．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．故选：C6．（4分）（2016春•海淀区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．【解答】解：∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，故选：D．7．（4分）（2016•河西区模拟）已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（）A．B．C．2 D．4【解答】解∵，，∴2=（3，x），由⇒3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=，∴或，∴||=，或||=．故选C．8．（4分）（2016春•海淀区期末）某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，给出下列结论：①f（﹣x）+f（x）=0对任意x∈R成立；②函数f（x）的值域是（﹣2，2）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）﹣2x在R上有三个零点．则正确结论的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）∴f（﹣x）==，故f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故①正确；当x≥0时，f（x）==2+∈[0，2）当x＜0时，f（x）==﹣2+=﹣2﹣∈（﹣2，0）故函数f（x）的值域是（﹣2，2），故②正确；函数f（x）=在定义域上为增函数，故x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），故③正确；函数g（x）=f（x）﹣2x=﹣2x，当且仅当x=0时，g（x）=0，故函数g（x）=f（x）﹣2x在R上只有一个零点，故④错误故函数g（x）=f（x）﹣2x在R上有三个零点①②③故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）.9．（4分）（2016春•海淀区期末）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于第二象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i2=﹣2+i，∴复数z=i（1+2i）对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故答案为：二．10．（4分）（2016春•海淀区期末）在等比数列{a n}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件．【解答】解：等比数列{a n}中，a1=1，若a2=4，则公比q=4，可得a3=42=16；反之不成立，例如q=﹣4时，a3=16满足条件a1=1，而a2=﹣4．∴“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．11．（4分）（2016春•海淀区期末）下列函数中，①f（x）=②f（x）=③f（x）=e x④f（x）=sinx既是奇函数又存在零点的是④．【解答】解，对于①，f（x）=其定义域不关于原点对称，故不符合题意；对于②f（x）=，函数图象与横轴无交点，故无零点，不符合题意；对于③，f（x）=e x，是指数函数，不符合题意；对于④，f（x）=sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），其图象与横轴有交点，符合题意；故答案为：④12．（4分）（2016春•海淀区期末）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是①④．【解答】解：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=，∴t=，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．13．（8分）（2016春•海淀区期末）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）x∈[﹣，]，求f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣，x∈R．化简可得：f（x）=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+）（1）∴f（x）的最小正周期T=；令，k∈Z．得：≤x≤．k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）∵）x∈[﹣，]，∴2x+∈[，π]，当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1．故得x∈[﹣，]，f（x）的值域为[，1]．14．（8分）（2016春•海淀区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，c=2，cosB=，求b边长，及sinC的值．【解答】解：∵a=3，c=2，cosB=，∴sinB=．由余弦定理：cosB==，可得：b=3．由正弦弦定理：，即，解得：sinC=．15．（9分）（2016春•海淀区期末）已知数列{a n}的前n项和S n=10n﹣n2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最大值；（3）设b n=|a n|，求数列{b n}的前10项和T10．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n=10n﹣n2（n∈N*）．可得n=1时，a1=S1=10﹣1=9；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=10n﹣n2﹣10（n﹣1）+（n﹣1）2=11﹣2n，上式对n=1也成立．则a n=11﹣2n，n∈N*；（2）S n=10n﹣n2=﹣（n﹣5）2+25，当n=5时，S n的最大值为25；（3）b n=|a n|=|11﹣2n|，当1≤n≤5时，b n=11﹣2n；n≥6时，b n=2n﹣11．则数列{b n}的前10项和T10=9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=2×（9+1）×5=50．16．（9分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n ≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．17．（9分）（2016春•海淀区期末）已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx（a＞0），求函数f（x）的单调区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2（a+1）x+2alnx（a＞0）．∴f′（x）=2x﹣2（a+1）+=，由f'（x）=0得x1=a，x2=1，①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；在x∈（a，1）时，f'（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；②当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0；在x∈（1，a）时，f'（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．18．（9分）（2016春•海淀区期末）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a ≠0，x∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣1，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且F（x）=求证：当mn＜0，m+n＞0，a＞0时，F（m）+F（n）＞0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a．…（1分）因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2﹣4a=0．所以4a2﹣4a=0．即a=1，b=2．…（2分）所以f（x）=（x+1）2．…（3分）（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2﹣（k﹣2）x+1=（x﹣）2+1﹣．…（5分）所以当或时，即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．…（7分）（Ⅲ）因为f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax2+1．所以F（x）=…（8分）因为mx＜0，不妨设m＞0，则n＜0．又因为m+n＞0，所以m＞﹣n＞0．所以|m|＞|﹣n|．…（9分）此时F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0．所以F（m）+F（n）＞0．…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn ；whgcn ；小张老师；吕静；qiss ；sxs123；豫汝王世崇；zlzhan ；沂蒙松；陈高数；左杰；双曲线；minqi5；刘老师（排名不分先后） 菁优网2017年7月2日赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
北京海淀区20142015高三期末考试试卷及答案数学文科每小题配详解
ＷＮ某 堆 雪 在 融 化 过 程 中 ， 其 体 积 V （ 单 位： ? 3 ） 与 融 化 时 间 t （ 单 位 ： ? ） 近 似 满 足 函 数 关 系 ：
? V Ｈt Ｉ］ H ＱＰ-
Ｑt ? 3 （ H
为 常 数）， 其 图 象 如 图 所 示 ， 记 此 堆 雪 从 融 化 开 始 到 结 束 的 平 均 融 化
ＳＮ已 知直 线 l 1 Ｚax Ｋ Ｈa Ｋ ＲＩy Ｋ Ｑ］ Ｐ ， l2 Ｚax - y Ｋ Ｒ］ Ｐ ． 若 l1 l 2 ， 则 实 数 a 的 值是 （ ）
ａＮＰ 或 - Ｓ 答 案：ａ
ｂＮＲ 或 - Ｑ
ｃＮＰ
ｄＮ- Ｓ
解 析： 由 l 1 l 2 可得 ， - a ］ a Ｈa Ｋ ＲＩ且 - Ｑ］ ＲＨa ＫＲＩ， 解 得 a ］ Ｐ 或 a ］ - Ｓ．
二、 填 空题
ＹＮ抛 物线 y 2 ］ - Ｒx 的 焦 点 坐 标是
．
? 答 案： -
Ｑ? ,Ｐ
Ｒ
ＱＰＮ若 双曲 线 x 2 - y2 ］ Ｑ 的一 条 渐 近线 的 倾 斜角 为 ＶＰ? ， 则 m ］
Ｎ
m
答 案： Ｓ
√ 解 析： 题 中 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ］ ± mx
，
其 中一
条
渐近线
倾斜角为
ＶＰ?
，则
√ m
］
√ ??? ＶＰ? ］ Ｓ ， 所 以 m ］ Ｓ ．
ＱＱＮ某 三棱 锥 的 三视 图 如 图所 示 ， 该三 棱 锥 的体 积 为
Hale Waihona Puke ．答 案： ＸＳ
ＴＲ.Ｓ． 由 图可 知 此 时为 t 3 时 刻．
ＸＮ在 正方 体 ABCD - A 1B 1 C1D 1 中， 点 E 为 底 面 ABCD 上 的 动 点． 若三 棱 锥 B - D 1EC 的 表 面 积 最 大，则 E 点位于（ ）
2015海淀区高二(上)期末数学(文科)
2015海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP =S△OPQ，求直线PQ的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：712．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．14．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．17．【解答】（本小题满分12分）（I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．18．【解答】（I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以 或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （II ） 设Q （x 2，y 2）．根据题意，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y=kx +3，所以．消元得到 （3+4k 2）x 2+24kx +24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 因为S △OAP =S △OPQ ，所以S △OAQ =2S △OPQ ，即 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 所以有|x 1|=2|x 2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x 1，x 2同号，所以x 1=2x 2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ 的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 法二：设Q （x 2，y 2），因为S △OAP =S △OPQ ，所以|AP |=|PQ |．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 即点P 为线段OQ 的中点，所以x 2=2x 1，y 2=2y 1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）word下载地址第11页共11。
2015高二海淀区第一学期期末数学理科及详细答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科） 2015.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（ ）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 （ ） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（ ） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（ ） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8. 已知曲线 ||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（ ） A. 1[,1]2B.[2C.[2D. 二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11. 已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__. 12. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分 ②椭圆的一部分 ③双曲线的一部分 ④抛物线的一部分 三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=. ( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. ( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II ) 若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ； ( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12xC y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.OAx PQ海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10. 34y x =或 34y x =- 11. 1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解: （I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=， ---1分 所以圆心O 到直线的距离为d =， -------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y +或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-， -------6分所以 222OP AP x y y ⋅=+-. -------------7分 因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分）解: （I ）设点1122(,),(,),A x y B x y 因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（ ----2分所以 2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩ -------------4分 所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II ）因为||AB =解得4t =- 经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=，所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. --10分又||AB =所以AFB △的周长为 -------------12分 17.（本小题满分12分）解: （I ）法一：取点(0,2,0)C 则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥ -----1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥ -------------2分 又,OA OD D CECB C == 所以平面OAD CBE ∥ ------3分所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面，取其法向量为(0,1,0)n =， -----1分 而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥， -------------3分 又显然点 ,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO .-----4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =,因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB = 设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB m OB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ) 假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=， ----11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解: （I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠，而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, ----2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点 ,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+= -------------3分 所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQx x y y k k x x x x ----⋅==--221222211()2x x x x -=-12=- --------5分 法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. ----1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在,设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. ---5分（II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直，所以11k k =-，所以2AQ kk =， ----6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市海淀区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥ADB．∃F∈BC，EF⊥ACC．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值X围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x 的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值X围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥ADB．∃F∈BC，EF⊥ACC．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值X围是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到X围．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值X围是．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x 的值为1或﹣1．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C 的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是④．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先判断PA表示P到直线AA1的距离，从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD 的距离，利用抛物线的定义，可得结论．解答：解：设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值X围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．解答：解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．解答：解：（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
海淀区高二数学(文)期末试卷
北京海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习高二数 学（文科） 2016．1本试卷共100分．考试时间90分钟．一、选择题：（本大题共10小题, 每小题4分,共40分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1．已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为 ( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C ．（ D ．（ 2．抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．双曲线2214x y -=的离心率为 （ ）A ．2B C ． D ． 4．圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切5．已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件6．已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( ) A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴 B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴 C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴 D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是 （ ） A ．2 B ．2± C ．2- D ．0 8．已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则M O N ∠=（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．909．已知两平面α,β，两直线m ,n ，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m α∥，n ⊂α，则m n ∥ B ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β D ．若m α∥，α∩β＝n ，则m n ∥ 10． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是 （ ）ED 1C 1B 1A 1D C AA ．三角形B ． 四边形C ．曲边形D ． 五边形二、填空题：（本大题共6小题, 每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上）． 11．已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________． 12．已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题．（填“真”或“假”）13．双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________．14．已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________．15．已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________．16．已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________________．三、解答题:（本大题共3小题,共36分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）． 17． （本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值．()主正视图俯视图()侧左视图18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．（Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ； （Ⅱ）求证：1BC //平面1ACE ； （Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）．PC 1B 1A 1EAB C19．（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C ． （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程．。
海淀区高二数学(文)期末试卷
北京海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习高二数 学（文科） 2016．1本试卷共100分．考试时间90分钟．一、选择题：（本大题共10小题, 每小题4分,共40分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1．已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为 ( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C ．（ D ．（ 2．抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．双曲线2214x y -=的离心率为 （ ）A ．2B C ． D ． 4．圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切5．已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件6．已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( ) A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴 B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴 C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴 D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是 （ ） A ．2 B ．2± C ．2- D ．0 8．已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则M O N ∠=（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．909．已知两平面α,β，两直线m ,n ，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m α∥，n ⊂α，则m n ∥ B ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β D ．若m α∥，α∩β＝n ，则m n ∥ 10． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是 （ ）ED 1C 1B 1A 1D C AA ．三角形B ． 四边形C ．曲边形D ． 五边形二、填空题：（本大题共6小题, 每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上）． 11．已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________． 12．已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题．（填“真”或“假”）13．双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________．14．已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________．15．已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________．16．已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________________．三、解答题:（本大题共3小题,共36分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）． 17． （本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值．()主正视图俯视图()侧左视图18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．（Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ； （Ⅱ）求证：1BC //平面1ACE ； （Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）．PC 1B 1A 1EAB C19．（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C ． （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程．。
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)【解析版】
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析1．D．2．A．3．B4．C5．B．6．C．7．A．8．A．9．1或﹣110．11．1或﹣112．．13．．14．④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．所求直线方程为或．（II）16．，其中；（II）△AFB的周长为．17 OB和平面ABD所成的角为．﹣（Ⅲ）P的坐标为．﹣点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）2015.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2y x =+的倾斜角是（ ）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A.4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）A.65 B. 1 C.85D.2 5. 命题 “0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限”的否定是（ ）A. 0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限B. 0k ∃≤，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限C. 0k ∀>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限D. 0k ∀≤，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是 （ ） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8. 已知曲线||1W y =, 则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（ ） A.12C.21二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为________________.11. 椭圆2212516x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离是_______.12. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______. 13. 已知平面αβ⊥，且l αβ=，在l 上有两点,,A B 线段AC α⊂，线段BD β⊂，, AC l ⊥, BD l ⊥ 4, 3, 12, AB AC BD === 则线段CD 的长为_____.14. 已知点(1,0)A -, 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y在抛物线上，且|||AP PF ， 则||___.OP =三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）已知点(0,2)A , 圆22:1O x y +=. ( I ) 求经过点A 且与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OA AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知直线:l y x t =+与椭圆22:22C x y +=交于,A B 两点.( I ) 求椭圆C 的长轴长和焦点坐标； ( II )若||3AB =，求t 的值.17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，ADEF 为梯形，DE AF ∥，又1AB =，2=2AF D E a =.( I ) 求证：直线C E ∥平面ABF ； ( II ) 求证：直线BD ⊥平面AC F (Ⅲ) 若直线AE CF ⊥，求a 的值.18.（本小题共10分）已知椭圆22143x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点. ( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标； ( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.B海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10. 34y x =或 34y x =- 11. 6 12. 1213. 13 14.说明：9，10题每个答案两分，丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解: （I ）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=， -------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =， -------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求的直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (0,2)OA =，(,2)AP x y =-， ----------6分 所以 2(2)OA AP y ⋅=-. -------------7分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[6,2]OA AP ⋅∈--. -------------10分 16．（本小题满分12分）解: （I ）因为2222x y +=,所以2212x y +=，---1分所以1a b ==，所以1c =, --------3分所以长轴为2a =焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. -------------4分（II ）设点1122(,),(,)A x y B x y .因为22220x y y x t ⎧+-=⎨=+⎩, 消元化简得2234+220x tx t +-=, ---6分所以222122121612(22)=24804+3223t t t t x x t x x ⎧⎪∆=--->⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩-------------8分所以12||AB x x -=-------------10分又因为|AB 所以， 解得1t =±. ---------12分17.（本小题满分12分）解: （I ）因为ABCD 为正方形，所以AB CD . -------------1分又DE AF ∥，且,ABAF A CDDE D ==. 所以平面ABF ∥平面DCE . ------3分而CE ⊂平面EDC , 所以CE ∥平面ABF . ------------4分 (II) 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ -------------5分 因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF BD ⊥， ----6分 因为AFAC A =,所以直线BD ⊥平面ACF . -------------8分(Ⅲ) 连接 FD .因为直线AF ⊥平面ABCD ，所以AF CD ⊥，又CD AD ⊥, ADAF A =所以CD ⊥平面ADEF ， -------------9分 所以CD AE ⊥.又AE CF ⊥, FC CD C =,所以AE ⊥平面FCD ， 所以AE FD ⊥. ----11分所以π2EAD FDA ∠+∠=,所以11tan 1tan 2a EAD EAD a∠===∠解得a = -------12分 18．（本小题满分10分）解: （I ） 设点11(,)P x y , 由题意||||PO PA =,所以点P 在OA 的中垂线上，而OA 的中垂线为32y =, 所以有132y =.-------------2分 把其代入椭圆方程，求得11x =±. 所以 3(1,)2P 或3(1,)2P -. ------4分(II) 设22(,)Q x y .根据题意，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为3y kx =+,所以22341203x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩.消元得到 22(34)24240k x kx +++=, 所以22122122(24)96(34)024+342434k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩-----6分 因为=OAP OPQ S S △△，所以=2OAQ OPQ S S △△, 即1211||||=2||||22OA x OA x ⋅ ------7分 所以有12||=2||x x ， -------------8分因为12224034x x k =>+, 所以12x x ，同号， 所以122x x =.所以12122122224342434x x k x x k x x k ⎧⎪=⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩， -----9分 解方程组得到32k =±, 经检验，此时0∆>, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，或332y x =-+. -------------10分法二：设22(,)Q x y ，因为=OAP OPQ S S △△，所以||||AP PQ =. ------------6分 即点P 为线段OQ 的中点， 所以2121=2, 23x x y y =-. -----7分把点,P Q 的坐标代入椭圆方程得到22112211143(2)(23)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ------8分 解方程组得到11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或者11132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,即3(1,)2P , 或者3(1,)2P -. -------------9分所以直线PQ 的斜率为32k =或者32k =-, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，332y x =-+. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。