第2套量子力学自测题

量子力学自测题（２）

一、填空题（本题20分）

1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。

2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。

二、（本题15分）

1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明

交换算符12

ˆP 是一个守恒量。 2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt

U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵，

（1）求证：θσθθσsin cos y i i e y +=

（2）试求：y

i Tre θσ 三、（本题10分）

求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2

2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41

),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。

求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。

（2）z l ˆ的平均值。

如有必要可利用，

θπcos 4310=Y ，ϕθπ

i e Y ±±=sin 8311 。

五、（本题20分）

已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为

22

222m a n E n π=，a

x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='),(2,2)(ˆx a a

k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。

如有必要，可利用积分公式⎰

+=y y y ydy y sin cos cos 。

六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=

121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。

（2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。