阿波罗尼斯圆问题

A

P

B

阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】

苏教版《数学必修2》第12题：

已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为1

2

，那么点M 的坐标应满足什么关系画出满足条件的点M 所构成的曲线．

二、【阿波罗尼斯圆】

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，

则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．

证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -）

，（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2

2

2

2

)()(y m x y m x +-=++λ，

两边平方并化简整理得）（）（）（）（2

22222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，

当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；

当1>λ时，2

2

2

22222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．

上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．

三、【范例】

例1 满足条件BC AC AB 2,2=

=的三角形ABC 的面积的最大值是 ．

解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），

，（01-A ）

，（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得22

22121y x y x +-⋅=++）（）（，

平方化简整理得883162

22≤+--

=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 2222

1

≤⋅⨯=

∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 变式 在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的

最大值是 ．

解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,=

=知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为

8322

=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2

,21(

y

x D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2

(32122

=+-+y x ）（

，即

32522=+-y x ）（， ∴243222

1

=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．

例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点

P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．

解：设(,)P x y =

，

整理得2

2

(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆2

2

(5)8x y -+=有交点，

所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．

例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.

若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()2

2

241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ， 2MA MO =Q ()2

2

2

2

0000344x y x y ∴+-=+， 即

()2

20014x y ++=

这说明M 既在圆()()2

2

241x a y a -+-+=上，又在圆()2

2

14x y ++=上，因而这

两个圆必有交点，即两圆相交或相切，

2121∴-≤≤+，

解得1205a ≤≤

，即a 的取值范围是12[0,]5

． 例4 已知⊙2

2

:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；

（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；

（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ

PR

为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得

11

|24|2=+

-k k ，解得815

k ±=

，

∴切线l 方程为24)y x -=

-． （2）圆心到直线12

-=x y r ，则9)5(22

22=+=r

∴⊙M 的方程为9)2()4(2

2=-+-y x

（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，

根据题意可得12

2

-+=

y x PQ ，∴

λ=-+--+2

222)

()(1b y a x y x ，

即)22(12

2

2

2

2

2

2

b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），

又点P 在圆上∴9)2()4(2

2

=-+-y x ，即11482

2

-+=+y x y x ，代入（*）式得：

[]

)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ

若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩

⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8

)28(2222

2b a b a λλλ，

解得3

10,51,522,1,2===

=

==λλb a b a 或，