阿波罗尼斯圆问题
阿波罗尼斯圆及其直接应用 (解析版)
1专题一：阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用主干知识：1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的方程【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．例题讲解例1．（2022·河北盐山中学高二期中）已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.【分析】设(,)P x y ，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设(,)P x y ，由题设得：2222(2)(1)2[(2)(1)]x y x y ++-=-++，∴22(6)(3)40x y -++=，故P的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π例2．（2022四川涪陵月考）若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【分析】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC x =，则2AC x =，由余弦定理可得22216(2)163cos 248x x x B x x+--==⨯⨯由三角形任意两边之和大于第三边得2442x x x x +>⎧⎨+>⎩，解得443x <<，即216169x <<14sin 222ABCS x B ∆∴=⋅⋅⋅===当2809x =时，ABC ∆面积取最大值163故答案为：163答案第2页，共3页例3．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．【分析】根据12PA PB =得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线0x y m -+=上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设(,)P x y则PA PB ==因为12PA PB ==，同时平方，化简得224x y +=，故点P 的轨迹为圆心在（0,0），半径2为的圆，又点P 在直线0x y m -+=上，故圆224x y +=与直线0x y m -+=必须有公共点，2≤，解得m -≤例4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB=，即()2223x y-+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+=+=+，所以()22max2116x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+3故选：A.例5．（2022四川·成都外国语学校高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB=，则实数m 的取值范围是（）A．22⎣⎦B．542⎡⎢⎣⎦C．2⎛ ⎝⎦D．2⎥⎣⎦【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：22m ≤≤，所以实数m 的取值范围是2⎥⎣⎦，。
初中数学几何最值专题44：阿波罗尼斯圆问题(最全修正版)
阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．【问题引入】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________；则PA+23PB 的最小值为__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 【思考】分析解析提示2中原理EAB C DPMPDCBA【问题引入】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两，则2PM+PN的最小值为__________；则2PM+3PN的最小值为点，点P是圆C上一个动点，CM=1，CN=43__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化2PM，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CM=1，连接CP，构造包含线段PM的△CMP，连接AP，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即2PM=PA．问题转化为PN+PA最小值，直接连AN即可．【问题剖析】（1）这里为什么是2PM？（2）如果问题设计为PM+kPN最小值，k应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．【思考】分析解析提示2中原理【例题精讲】例1、如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4。
专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．2C．410D．13【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=P A，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∵PC2＝CM•CA，∵PC CM CA CP=，∵∵PCM＝∵ACP，∵∵PCM∵∵ACP，∵13 PM PCPA AC==，∵PM13=P A，∵13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt∵BCM中，∵∵BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∵BM2217=+=52，∵13AP+BP≥52，∵13AP+BP的最小值为52．故选：B．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点PABC是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题． 【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∵P A 2＝AT •AB ，∵＝， ∵∵P AT ＝∵P AB ，∵，∵＝＝，∵PT ＝PB ，∵PB +CP ＝CP +PT ， ∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∵CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∵CT ，∵PB +PC ，∵PB +PC ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的EF 1217PAT BAP ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATAB PA PAT BAP ∽PT PB AP AB 121212ACT 22AT AC +171217121717一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32， 31232BM BP ==，3162BP BC ==BM BP BP BC ∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴==12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒在Rt CDM 中，2222915622DM DC MC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：152． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键． 例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A 10B 11C 13D 14【答案】C【分析】连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明BPG BAP ，得到12PG AP =，则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，求出DG 的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，△2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==， △G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BG BA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPGBAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =， 则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长， 224913DG AD AG =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将12AP 转换成PG ，再根据三点共线求出最小值．例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．【答案】20【分析】取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，首先利用四点共圆证明2OP =，再利用相似三角形的性质证明12PT PC =，推出14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，根据+PD PT DT ≥，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ，即可求出DT 的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，△A （2，0），B （0，2），C （4，0），△OA =OB =2，OC =4，以O 为圆心，OA 为半径作O ，在优弧AB 上取一点Q ，连接QB ，QA ，△1452Q AOB ∠=∠=︒，135APB ∠=︒，△45135180Q APB ∠+∠=︒+︒=︒， △A ，P ，B ，Q 四点共圆，△2OP OA ==，△2OP =，1OT =，4OC =，△2OP OC OT =，△OP OT OC OP=，△POT POC ∠=∠，△POT COP △∽△，△12PT OP PC OC ==，△12PT PC =， △14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ， △D 的坐标为（5，3），△点E 的坐标为（5，0），TE =4，△22=3+4=5DT△+PD PT DT ≥，△4+220PD PC ≥，△4+2PD PC 的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，△C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又△△PCD＝△△△△△13=PDBP△PD＝13BP△AP+13BP＝AP+PD△当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，△COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）BCP，PCD，BCP，2592；（2）210；（3）作图与求解过程见解析，2P A+PB的最小值为97．【分析】(1)连结AD，过点A作AF△CB于点F，AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP△△PBF，当点F，点P，点C 三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，确定12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP，△AOP△△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD，△AC＝9，AF△BC，△ACB＝60°△CF＝3，AF＝932；△DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，△AD＝22259 =2AF DF+，△AP+13BP的最小值为2592；故答案为：2592；(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，△AB＝8，PB＝4，BF＝2，△12BP BFAB BP==，且△ABP＝△ABP，△△ABP△△PBF，△12FP BPAP AB==，△PF＝12AP，△12AP+PC＝PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，△CF＝222262210BF BC+=+=，△12AP+PC的值最小值为210，故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，△OC＝4，FC＝4，△FO＝8，且OP＝4，OA＝2，△12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP△△AOP△△POF△1=2AP OAPF OF=，△PF＝2AP△2P A+PB＝PF+PB，△当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，△△COD＝120°，△△FOM＝60°，且FO＝8，FM△OM△OM＝4，FM＝43，△MB＝OM+OB＝4+3＝7△FB＝2297FM MB+=，△2P A+PB的最小值为97．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，△A=60°，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．【答案】（1）见解析；（2）10；（3）237【分析】（1）证明△P AQ△△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ 交△A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．【详解】解：（1）证明：△P A=2，AB=4，AQ=1，△P A2=AQ⋅AB=4．△PA AB AQ PA=．又△△A=△A，△△P AQ△△BAP．△12PQ PAPB AB==．△PB=2PQ；（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．△AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，△2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．△PC+PQ≥QC，△当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．△QC =22QB BC +=5，△2PC +PB =2(PC +PQ )≥10．△2PC +PB 的最小值为10．（3）如图，在AB 上取一点Q ，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，延长CQ 交△A 于点P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB =4，AQ =1．由（1）得PB =2PQ ，△2PC −PB =2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，△PC −PQ ≤QC ，△当点P 在CQ 交△A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．△QC =22QH CH + =37，△2PC −PB =2(PC −PQ )≤237．△2PC −PB 的最大值为237．【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PA k k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.【答案】（1）222.m k r +（2）4103. 【分析】 △ 将PC+kPD 转化成PC+MP ，当PC+kPD 最小，即PC+MP 最小，图中可以看出当C 、P 、M 共线最小，利用勾股定理求出即可；△ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C 对应O,D 对应P ，A 对应C ，B 对应M ，当D 在AB 上时23AD BD +为最小值，所以23AD BD +=2223AC CD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = 224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【详解】解()1:,MP PD k MP kPD =∴=∴，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即,,C P M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得()2222222.CM OC OM m kr m k r =+=+=+ ()223AD BD +的最小值为4103， 提示：4AC m ==，2433CD kr ==，23AD BD ∴+的最小值为224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP +BP 的最小值为（ ）A ．2.B ．3C ．5D ．2【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P 在何时会使得13AP +BP 有最小值，进而得到答案． 【详解】解：如图，连接CP ，作PE 交AC 于点E ，使CPE PAC ∠=∠△=PCE ACP ∠∠ △PCE △APC △ △PC EP AC AP = △9,3AC PC == △13EP AP = △13AP BP EP BP +=+，当B 、P 、E 三点共线，即P 运动P '时有最小值EB△EC PC PC AC = △1EC = △2252EB EC CB =+= △13AP BP +的最小值为52 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，△O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．【答案】85【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据13OA APOP PC==，△AOP是公共角，可得△AOP△△POC，得PC=3P A，当B,C,P三点共线时，3P A+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,△△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），△OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,△1=3OA OPOP OC=，△AOP是公共角，△△AOP△△POC，△PC=3P A，△3P A+PB=PC+PB,△当B,C,P三点共线时，3P A+PB最小值为BC,△BC =22OC OB +=2292+=85，△3P A +PB 的最小值为85．故答案为：85【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C 、P 、B 三点在同一条直线上时3P A +PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD 中， 3AB =260AC BAC ACD =∠=∠=︒，，设•AD k BD =，则k 的最小值为 ___________．21##12-【分析】如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．由ABE MBD ∽，推出232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，设BD m =,则2BE m =,由勾股定理求得DF ，根据两点之间线段最短可得AD 的最小值，进而根据•AD k BD =，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．在Rt ACJ 中，260AC CAJ =∠=︒，，△sin 603CJ AC =⋅︒=，△60ACD BAC ∠=∠=︒，△AB CD ∥， △BM CD CJ AB ⊥⊥，，△四边形BJCM 是矩形，△3BM CJ ==，90MBJ ∠=︒，△ABE MBD ∽，△232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，△设BD m =,则2BE m =, △EF FB =，△12AF BE m ==,△ABE MBD ∠=∠，△90EBD ABM ∠=∠=︒，△222DF BF BD m =+=， △2AD DF AF m m ≥-=-，△AD 的最小值为2m m -，△AD kBD =，△k 是最小值为221m m m-=-．故答案为：21-． 【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题．4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A , B ，所有满足PA PB= k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．【答案】16 3【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC△△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=12AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，△△APC=△BPA，AB= 2AC△△APC△△BPA，△12AP CP ACBP AP AB===△BP=2AP，CP=12AP△BP－CP=BC=4△2AP－12AP=4解得：AP=83△BP=163，CP=43，即点P为定点△点A的轨迹为以点P为圆心，83为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大S△A1BC=12BC·A1P=12×4×83=163即△ABC面积的最大值为163故答案为：163．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在CG的最小值为_____．边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12【答案】5【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI△△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，△DG＝122EF=，△点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，△DIDG＝DGCD＝12，△△GDI＝△CDG，△△GDI△△CDG，△IG DICG DG=＝12，△IG＝12CG，△BG+12CG＝BG+IG≥BI，△当B、G、I共线时，BG+12CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，△BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC 的最小值是___________．【答案】5 【分析】作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH 为△B 的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC 2=，接着证明△BPD △△BCP 得到PD 22=PC ，所以P A 22+PC ＝P A +PD ，而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到P A 22PC +的最小值． 【详解】解：作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，△AC 为切线，△BH 为△B 的半径，△△ABC ＝90°，AB ＝CB ＝2，△AC 2=BA ＝22，△BH 12=AC 2=，△BP 2=， △22PB BC =，1222BD BP ==，而△PBD ＝△CBP ，△△BPD △△BCP ， △22PD PB PC BC ==，△PD 22=PC ，△P A 22+PC ＝P A +PD ， 而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD 22215=+=，△P A +PD 的最小值为5，即P A 22PC +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD22PC．也考查了等腰直角三角形的性质．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．【答案】5【详解】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，△221PBBG==，422BCPB==，△PB BCBG PB=，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△12PG BGPC PB==，△PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝2243+＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．9．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△O2P A ＋PB的最小值为________．【答案】25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB），利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2r ＝22，取OB 的中点I ，连接PI ，△OI ＝IB ＝2，△222OP OI ==，2222OB OP == ，△OP OB OI OP = ，△O 是公共角，△△BOP △△POI ， △22PI OI PB OP ==，△PI ＝22PB ，△AP ＋22PB ＝AP ＋PI ， △当A 、P 、I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，作IE △AB 于E ， △△ABO ＝45°，△IE ＝BE ＝22BI ＝1，△AE ＝AB −BE ＝3， △AI ＝223110+=，△AP ＋22PB 最小值＝AI ＝10， △2P A ＋PB ＝2（P A ＋22PB ），△2P A ＋PB 的最小值是2AI ＝21025⨯=．故答案是25． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．【答案】37；2373．【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD△△BCP．可得PD=12BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=2216+=37即可；在AC上取CE=23，△PCE△△ACP．可得PE=13AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+13AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=23，CB=4，根据勾股定理BE=2222374=33⎛⎫+⎪⎝⎭即可．【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，△CP=2，BC=4，△CD121=,CP242CPBC==，△CD1=CP2CPBC=，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP．△12PDBP=，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，△CD=1，CA=6，△AD=2216+=37，△AP+12BP的最小值为37．故答案为：37在AC上取CE=23，连接CP，PE△21213==,2363CE CP CP AB ==△13CE CP CP AB == 又△△PCE =△ACP ，△△PCE △△ACP ．△13PE AP =，△PE =13AP ，△BP +13AP =BP +PE ， 当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小， 在Rt △BCE 中，△CE =23，CB =4，△BD =2222374=33⎛⎫+ ⎪⎝⎭， △BP +13AP 的最小值为2373．故答案为：2373． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为__，PD ﹣23PC 的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为__，PD ﹣12PC 的最大值为__．【答案】 106 106 37 37【分析】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，先证明PBG CBP ，得到23PG PC =，所以32PD PC PD PG +=+，而PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC +的最小值，32PD PC PD PG -=-，而PD PG DG -≤（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC -的最大值； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，解法同（1）．【详解】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，6342PB BG ==，9362BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，23PG BG PC PB ∴==， 23PG PC ∴=，32PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为2259106DG =+=，32PD PC +的最小值为106，32PD PC PD PG DG -=-≤， 23PD PC ∴-的最大值为106，故答案为：106，106； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，221PB BG ==，422BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，12PG BG PC PB ∴==，12PG PC ∴=，12PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为DG ， 12PD PC ∴+的最小值为DG ， 在Rt CDF 中，60DCF ∠=︒，4CD =，sin 6023DF CD ∴=⋅︒=，2CF =，在Rt GDF 中，22(23)537DG =+=，12PD PC ∴+的最小值为37， 12PD PC PD PG DG -=-≤，12PD PC ∴-的最大值为37，故答案为：37，37． 【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，△C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=3，则有CDCP=CPCB=12，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP，△PDBP=12，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，△COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）AP+12BP的最小值为313；（2）13AP+PC的值最小值为52；（3）2PA+PB的最小值为97，见解析.【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=63，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由PB1BFAB3BP==，可证△ABP△△PBF，可得PF=13AP，即13AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，由勾股定理可求13AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，由OA1OPOP2OF==，可得△AOP△△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【详解】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+12BP=AP+PD，要使AP+12BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值为AD，△AC=12，AF△BC，△ACB=60°△CF=6，AF=63△DF=CF-CD=6-3=3△AD=22AF DF+=313△AP+12BP的最小值为313（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，△AB=9，PB=3，BF=1△PB1BFAB3BP==，且△ABP=△ABP，△△ABP△△PBF，△FP BP1AP AB3==△PF=13AP△13AP+PC=PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，△CF=22BF BC +=149+=52△13AP+PC 的值最小值为52，（3）如图，延长OC ，使CF=4，连接BF ，OP ，PF ，过点F 作FB△OD 于点M ， △OC=4，FC=4，△FO=8，且OP=4，OA=2， △OA 1OPOP 2OF==，且△AOP=△AOP△△AOP△△POF △AP OA 1PF OF 2==△PF=2AP△2PA+PB=PF+PB ， △当点F ，点P ，点B 三点共线时，2AP+PB 的值最小， △△COD=120°，△△FOM=60°，且FO=8，FM△OM △OM=4，FM=43△MB=OM+OB=4+3=7△FB=22FM MB +=97△2PA+PB 的最小值为97．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +24PD PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC+的最小值，23PD PC -的最大值，2PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．3PC 的最小值【答案】见详解【分析】（1）如图1中，在BC 上取一点G ，使得BG=1．由△PBG△△CBP ，推出12PG BG PC PB ==，推出PG=12PC ，推出PD+12PC=DP+PG ，由DP+PG≥DG ，当D 、G 、P 共线时，PD+12PC 的值最小，最小值为DG=2243+=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD-12PC 的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把24PD PC +转化为4（24PD PC +），这样只需求出24PD PC +的最小值，问题即可解决。
(完整版)阿波罗尼斯圆问题
APB阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》P.112第12题：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、【范例】例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，平方化简整理得88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 变式 在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ，2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5． 例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k ±=，∴切线l 方程为24)y x -=-． （2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PRPQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310． 四、【练习】1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与 平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值． 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， APD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，这样就转化为题3的题型．在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠ 化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤， PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．AP BDCβα3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，,2(2O ，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．。
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题 解析版
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A ，B 是平面上两点，则满足PA PB=k (其中k 为常数，k ≠0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A 6,0 ，B 62,0，且k =2.(1)求点P 所在圆M 的方程.(2)已知圆Ω:x +2 2+y -2 2=5与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD =∠FCD .【详解】(1)解：由题意可得，PA PB=2，即PA =2PB ，则x -6 2+y 2=2x -622+y 2，整理得x 2+y 2=3，即圆M 的方程为x 2+y 2=3.(2)证明：对于圆Ω，令y =0，得x =-1或x =-3，所以C -3,0 ，D -1,0 .设直线l 的方程为x =ty -1，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 .由x =ty -1,x 2+y 2=3,得1+t 2 y 2-2ty -2=0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=-21+t 2.k CE +k CF =y 1x 1+3+y 2x 2+3=y 1x 2+3 +y 2x 1+3 x 1+3 x 2+3=y 1y 2t +2 +y 2ty 1+2 x 1+3 x 2+3 =2×ty 1y 2+y 1+y 2x 1+3 x 2+3 =2×-2t 1+t 2+2t 1+t 2x 1+3 x 2+3 =0则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD =∠FCD .2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点为5,0 ，离心率为53．(I )求椭圆C 的标准方程；(II )若动点P x 0,y 0 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【详解】(I )可知c =5，又e =c a =5a =53,∴a =3,b 2=a 2-c 2=9-5=4，故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1．(II )设两切线为l 1,l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P ±3,2 或P 3,±2 ．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0,l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 29+y 24=1，得9k 2+4 x 2+18k y 0-kx 0 x +9y 0-kx 0 2-4 =0，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得18k 2y 0-kx 02-36y 0-kx 0 2-4 9k 2+4 =0,∴4y 0-kx 0 2-49k 2+4 =0，整理得x 20-9 k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0(*)，∴k 是方程(*)的一个根，同理-1k是方程(*)的另一个根，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13x ≠±3 ，又P ±3,2 或P 3,±2 满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A -1,0 和B 2,1 ，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny -2=0(m ,n >0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.40【答案】B【分析】点P 的轨迹为圆，直线mx +ny -2=0过圆心，得5m +2n =2，利用基本不等式求2m +5n的最小值.【详解】设点P 的坐标为x ,y ，因为PA =2PB ，则PA 2=2PB 2，即x +1 2+y 2=2x -2 2+y -1 2 ，所以点P 的轨迹方程为(x -5)2+(y -2)2=20，因为P 点的轨迹关于直线mx +ny -2=0m >0,n >0 对称，所以圆心5,2 在此直线上，即5m +2n =2，所以2m +5n =125m +2n 2m +5n =1220+4n m +25m n ≥10+12×24n m ⋅25m n=20，当且仅当4n m =25m n ，即m =15,n =12时，等号成立，所以2m +5n的最小值是20.故选：B .2.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32【答案】A【分析】由题可得动点M 的轨迹方程x -5c 3 2+y 2=16c 29，可得12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，即求.【详解】设M x ,y ，E -c ,0 ,F c ,0 ，由ME MF=2，可得x +c2+y 2=2x -c 2+y 2=2，化简得x -5c 3 2+y 2=16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，∴b 2=13a 2=a 2-c 2，即c 2=23a 2，∴e =63．故选：A ．3.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P -12,0 且λ=2，若点B 1,1 ，则2MP +MB 的最小值为()A.6B.7C.10D.11【答案】C【分析】根据点M 的轨迹方程可得Q -2,0 ，结合条件可得2MP +MB =MQ +MB ≥QB ，即得.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a2+y 2，又P -12,0 ，所以MP =x +122+y 2．因为MQ MP=λ且λ=2，所以x -a2+y 2x +122+y 2=2，整理可得x 2+y 2+4+2a 3x =a 2-13，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以4+2a3=0a 2-13=1，解得a =-2，所以Q -2,0 ，又MQ =2MP ，所以2MP +MB =MQ +MB ，因为B 1,1 ，所以2MP +MB 的最小值为BQ =1+22+1-0 2=10．故选：C ．4.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到A 2,0 ，B -2,0 的距离比为3，则点P 到直线l ：22x -y -2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.63【答案】A【分析】先由题意求出点P 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点P x ,y ，则PA PB=x -22+y 2x +2 2+y2=3，∴x -22+y 2x +2 2+y 2=3，化简得点P 的轨迹方程为x +4 2+y 2=12，∴点P 的轨迹是以-4,0 为圆心，半径r =23的圆.圆心-4,0 到直线l ：22x -y -2=0的距离d =-82-222 2+-12=32，∴点P 到直线l 最大距离为d +r =32+2 3.故选：A .5.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,43【答案】C【分析】设点M x ,y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点M x ,y ，∵MA =2MO ，∴(x +2)2+y 2=4x 2+4y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：3x 2+3y 2-4x -4=0，又直线l :y =k x -1 +b 恒过点1,b ，若对任意实数k 直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，∴1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b 2-8≤0，所以3b 2≤5，解得-153≤b ≤153，即b 的取值范围为-153,153.故选：C6.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设P x ,y ，由PAPB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得(x +4)2+y 2=16，故A 正确；当A ,B ,P 三点不共线时，OA OB =12=PA PB，所以PO 是∠APB 的角平分线，所以∠APO =∠BPO ，故B 正确；设M x ,y ,则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x +832+y 2=169，因为-4+832+0-02=43<4-43，所以C 上不存在点M ，使得|MO |=2|MA |，故C 错误；因为PA PB=12，所以PB =2PA ，所以PB +2PD =2PA +2PD ≥2AD =45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故D 正确.故选：C .7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r .因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×6=4.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2.又MB =4-BO =4-a ，所以MA =2MB =8-2a .又MA +MB =6，所以8-2a +4-a =6，解得a =2，所以O 2,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.当点P 在侧面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ，BB 1分别交于点M ，R ，所以点P 在侧面ABB 1A 1内的轨迹为MR.因为在Rt △RBO 中，RO =4，BO =2，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×4=4π3，所以点P 在侧面ABB 1A 1内部的轨迹长为4π3.故选：B.二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B2,0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆C :x2+(y-2)2=4外切C.曲线C被直线l:x+y=0截得的弦长为22D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点P x,y，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C 的半径分析判断.【详解】对于A，设P x,y，由定义PAPB=12，得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12，化简整理得(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B，C的圆心为-2,0，半径r1=2；C 的圆心为0,2，半径r2=2；圆心距CC =22≠r1+r2，故B错误；对于C，圆心C-2,0到直线l:x+y=0的距离d=22=2，所以弦长为2r12-d2=22，故C正确；对于D，圆心C-2,0到直线m:x+3y=0的距离d=22=1，半径r=2，所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.故选：ACD.9.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点C.曲线C被x轴截得的弦长为42D.△ABP面积的最大值为22【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2，设P x,y，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=r2，得到曲线C被x轴截得的弦长l，从而判断C的正确性；AB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设P x,y，对于选项A，因为PAPB=2，所以x-12+y2x-32+y2=2，化简得x2+y2-10x+17=0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心5,0到直线3x +4y=0的距离为d=3>22，所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42，故C正确；对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以AB=2,故S△ABP=12⋅AB⋅y p =y p ，而曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以y p∈-22,22，即S△ABP的最大值为22，故D正确.故选：ACD10.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则( )．A.轨迹C的方程为x+42+y2=9B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线D.在C上存在点M，使得MO=2MA【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可判断A；设D m，0，E n，0，由两点间的距离公式结合轨迹C的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设M x，y，由MO=2MA求出点M的轨迹方程与x2+y2+8x=0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系xOy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设P x，y，则x+22+y2x-42+y2=12，化简得x2+y2+8x=0，即x+42+y2=16，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12，设D m，0，E n，0，则x-n2+y2=2x-m2+y2，化简得3x2+3y2-8m-2nx+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12或m=-2，n=4(舍去)，所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，OAOB =12=PAPB，可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得MO=2MA，可设M x，y，则x2+y2=2x+22+y2，化简得x2+y2+163x+163=0，与x2+y2+8x=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】ABD【分析】对于A ，通过直接法求出点P 的轨迹方程即可判断；对于B ，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C ，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D ，将PB +2PD 转化为2PA +2PD 进行判断即可.【详解】设P x ,y ，(P 不与A ，B 重合)∵A -2,0 ，B 4,0 ，∴PA =x +22+y 2，PB =x -42+y 2，∴PAPB=12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x +4 2+y 2=16，∴点P 的轨迹曲线C 是以C -4,0 为圆心，半径r =4的圆，对于A ，曲线C 的方程为x +4 2+y 2=16，故选项A 正确；对于B ，由已知，OA =2，OB =4，∴OA OB=12=PA PB，∴当A ，B ，P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，∴∠APO =∠BPO ，故选项B 正确；对于C ，若MO =2MA ，则MO MA=2，由题意，M 点轨迹是圆，设M x ,y ，由MO MA=2得x 2+y 2x +22+y 2=2，化简得点M 轨迹方程为x +832+y 2=169，即点M 的轨迹是圆心为C -83,0 ，半径r =43的圆，圆C 与圆C 的圆心距CC =-4+832+0-0 2=43<r -r =83，∴圆C 与圆C 的位置关系为内含，圆C 与圆C 无公共点，∴C 上不存在点M ，使得MO =2MA ，故选项C 错误；对于D ，∵PA PB=12，∴PB =2PA ，∴PB +2PD =2PA +2PD =2PA +PD ≥2AD =2×-2-22+0-2 2=45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故选项D 正确.故选：ABD .三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．【答案】x +1 2+y 2=4【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设P x ,y ，PO PA=12即x 2+y 2x -32+y 2=12，整理得：x 2+y 2+2x -3=0即x +1 2+y 2=4．故答案为：x +1 2+y 2=4．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.【答案】-2,18【分析】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，由题可得点P 轨迹方程，后可得答案.【详解】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，因为AB =3，所以A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，因为PA PB=2，所以x +322+y 2=2⋅x -322+y 2，整理得x 2+y 2-5x +94=0，即x -522+y 2=4.y 2=4-x -522≥0⇒x ∈12,92.又PA =-32-x ,-y ，PB =32-x ,-y ，则PA ⋅PB =x 2+y 2-94=x 2+4-x -52 2-94=5x -92，则PA ⋅PB ∈-2,18 .故答案为：-2,1814.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.【答案】25【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A 的坐标，最后求解AC 的长度即可．【详解】解：因为sin B =12sin C ，由正弦定理可得b =12c ，即c =2b ，因为BC =6，不妨令B (-3,0)，C (3,0)，建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为A x ,y y ≠0 ，点A 的轨迹方程满足：(x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2，整理可得：(x -5)2+y 2=16，y ≠0 ，即点A 的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x 轴两交点外)，当点A 的坐标A (5,4)或A (5,-4)时三角形的面积最大，其最大值为S =12×6×4=12，由勾股定理可得AC =22+42=25．故答案为：25．15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -3,1 ,B -3,6 ，点P 是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】106+123【分析】由阿氏圆的定义得到点P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设P x ,y ，由阿氏圆的定义可得PA PB=63，即(x +3)2+(y -1)2(x +3)2+(y -6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y -60=0.所以(x +3)2+(y +9)2=150，所以点P 在圆心为-3,-9 ，半径为56的圆上，因为抛物线C :y =16x 2的焦点为F .所以F 0,32，因为(0+3)2+32+92=4774<150.所以点F 在圆(x +3)2+(y +9)2=150内，因为点F 到与圆心的距离为4774=4772，所以过点F 的最短弦长为2150-4774=123，过点F 的最长弦长为2150=106，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为106+123.故答案为：106+12316.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为．【答案】43π+32π【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以O 1,0 为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r ，因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×3=2，设圆O 与AB 交于点M ，由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2，又MB =2-BO =2-a ，所以MA =2MB =4-2a ，又MA +MB =3，所以4-2a +2-a =3，解得a =1，所以O 1,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为2的球，当点P 在面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ,BB 1分别交于点M ,R ，所以点P 在面ABB 1A 1内的轨迹为MR，因为在Rt △RBO 中，RO =2,BO =1，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×2=2π3，所以点P 在面ABB 1A 1内部的轨迹长为2π3，同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当点P 在面BCC 1B 1内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与BB 1,BC 分别交于点R ,Q ，且BP =OP 2-OB 2=4-1=3，所以点P 在面BCC 1B 1内的轨迹为RQ，且RQ=π2×3=32π，综上，点P 的轨迹长度为2π3+2π3+32π=43π+32π.故答案为：43π+32π.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k 且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C 1上的动点P 满足：PO PA=2(其中O 为坐标原点，A 点的坐标为0,3 .(1)直线L ︰y =x 上任取一点Q ，作圆C 1的切线，切点分别为M ，N ，求四边形QMC 1N 面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.【答案】(1)4；(2)证明见解析，1,3 .【分析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，求出点P 的轨迹方程为x 2+(y -4)2=4，求出S QMC 1N =2S △QMC 1=2QM ，QM =|C 1Q |2-4，求出|QM |最小值即得解；(2)设Q a ,a ，两圆方程相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，即得解.【详解】(1)解：设点P 的坐标为x ,y ，根据题设条件有P ∈P PO =2PA ， 所以有x 2+y 2=2x 2+y -3 2，化简得x 2+(y -4)2=4. 所以S QMC 1N =2S △QMC 1=2×12C 1M ⋅QM =2QM QM =C 1Q |2- C 1M |2=|C 1Q |2-4，由题知，当C 1Q ⊥L 时，此时C 1Q =d =0-42=22，|QM |最小，即四边形QMC 1N 面积取得最小值4.(2)解；设Q a ,a ，由几何性质，可知M ，N 两点在以C 1Q 为直径的圆上，此圆的方程为x x -a +y -4 y -a =0，而直线MN 是此圆与圆C 1的相交弦所在直线，相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，所以直线MN 恒过定点1,3 .19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【答案】(1)x 28+y 26=1；(2)①13,1 ；②y =52x -102．【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)①首先由面积比值求得BS DS=BF DF，令BF DF=λ，则BF =λFD，利用坐标表示向量，求得λ=35-2x 0，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S ，T ，F 在以B ，D 为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BF DF=2r -BF 2r +DF，求得r ，再根据1BF-1DF=2-2x 0322-12x 0=229，求得x 0,y 0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0 ，c -2a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2∴a 2=8，b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1方法(2)设M x ,y ，由题意MF MA=x -c2+y 2x -a 2+y2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22，c =2．∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1．方法(3)设M x ,y ，则x 2+y 2=4．由题意MF MA=x -c 2+y 2x -a2+y2=x -c 2+4-x 2x -a2+4-x2=c 2+4-2cxa 2+4-2ax∵MF MA为常数，∴c 2+4a 2+4=c a ，又c a =12，解得：a 2=8，c 2=2，故b 2=a 2-c 2=6∴椭圆C 的方程为x 28+y 26=1(2)①由S △SBF S △SDF =12SB ⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)。
培优点 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
培优点隐圆(阿波罗尼斯圆)问题隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A ，B 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若∠ACB ＝90°，则点P 的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝14B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝14D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 B解析 圆C 即(x －1)2＋(y －2)2＝2，半径r ＝2，因为CA ⊥CB ， 所以|AB |＝2r ＝2， 又P 是AB 的中点， 所以|CP |＝12|AB |＝1，所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·茂名模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 满足|a ＋b －2c |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[1，5－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，3＋12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，52答案 C解析 |a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，以a 为y 轴，b 为x 轴，建立平面直角坐标系， 设OA →＝a ＝(0,1)，OB →＝b ＝(2,0)， OC →＝c ＝(x ，y )，所以a ＋b －2c ＝(2－2x ，1－2y )， 由|a ＋b －2c |＝1，可得(2－2x )2＋(1－2y )2＝1， 化简可得(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫122， 所以点C 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，以r ＝12为半径的圆，原点(0,0)到⎝⎛⎭⎫1，12的距离为d ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以|c |＝x 2＋y 2的取值范围是[d －r ，d ＋r ]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12.规律方法 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．跟踪演练1 (2022·平顶山模拟)已知M ，N 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0上两点，且|MN |＝4，点P 在直线l ：x －y ＋3＝0上，则|PM →＋PN →|的最小值为( ) A ．22－2 B ．2 2 C ．22＋2 D ．22－ 5答案 A解析 设线段MN 的中点为D ，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心为C (1,2)，半径为 5.则圆心C 到直线MN 的距离为(5)2－⎝⎛⎭⎫422＝1，所以|CD |＝1，故点D 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的圆，设点D 的轨迹为圆D ，圆D 上的点到直线l 的最短距离为t ＝|1－2＋3|2－1＝2－1.所以|PM →＋PN →|＝|2PD→|＝2|PD →|≥2t ＝22－2.考点二 由圆周角的性质确定隐形圆例2 (1)已知点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，若圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则实数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．(0,4]∪[6，＋∞)D ．(0,4)∪(6，＋∞)答案 A解析 由题意知，点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)， 可得以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝t 2， 则圆心C 1(2,0)，半径R ＝t ， 又由圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1， 可得圆心C (－2,3)，半径r ＝1，两圆的圆心距为|CC 1|＝(2＋2)2＋(0－3)2＝5，要使得圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，即两圆存在公共点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧R ＋r ≥5，R －r ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≥5，t －1≤5，解得4≤t ≤6， 所以实数t 的取值范围是[4,6]．(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l ：x －y ＋4＝0上动点P ，过P 点作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为C ，D ，记M 是CD 的中点，则直线CD 过定点________，点M 的轨迹方程为______________________________． 答案 (－1,1) ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12 解析 如图，连接PO ，CO ，DO ，因为PD ⊥DO ，PC ⊥CO ，所以P ，D ，O ，C 在以PO 为直径的圆上， 设P (x 0，x 0＋4)，则以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －x 0＋422＝x 20＋(x 0＋4)24， 化简得x 2－x 0x －(x 0＋4)y ＋y 2＝0， 与x 2＋y 2＝4联立，可得CD 所在直线的方程为x 0x ＋(x 0＋4)y ＝4⇒x 0(x ＋y )＝4(1－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1－y ＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝－1，直线CD 过定点Q (－1,1)，又OM ⊥CD ，所以OM ⊥MQ ，所以点M 在以OQ 为直径的圆上， 所以点M 的轨迹为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 规律方法 利用圆的性质，圆周角为直角，即可得到：若P A ⊥PB 或∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆．注意轨迹中要删除不满足条件的点．跟踪演练2 (2022·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，|AB |＝22，若CA ⊥CB ，则当k ，m 变化时，点C 到点(1,1)的距离的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．2 2 D. 2 答案 B解析 由y ＝kx ＋m (k ≠0)得A ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，B (0，m )， 因为CA ⊥CB ，所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 2k 2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝m 24k 2＋m24，设该动圆的圆心为(x ′，y ′)，则x ′＝－m 2k ，y ′＝m2，整理得k ＝－y ′x ′，m ＝2y ′，代入到⎝⎛⎭⎫－mk 2＋m 2＝8中，得x ′2＋y ′2＝2， 即点C 轨迹的圆心在圆x ′2＋y ′2＝2上，故点(1,1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C 到点(1,1)的距离的最大值，最大值为[1－(－1)]2＋[1－(－1)]2＋2＝3 2.考点三 阿波罗尼斯圆例3 (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A ，B 为平面上相异的两点，则所有满足：|P A ||PB |＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P 的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (4,0)，若λ＝12，则下列关于动点P 的结论正确的是( )A ．点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0B ．△APB 面积的最大值为6C ．在x 轴上必存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12D ．若点Q (－3,1)，则2|P A |＋|PQ |的最小值为5 2 答案 ACD解析 对于选项A ，设P (x ，y )， 因为P 满足|P A ||PB |＝12，所以(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＋8x ＝0，故A 正确； 对于选项B ，由选项A 可知， 点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝16，所以点P 的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |＝6，且点A ，B 在直径所在直线上，故当点P 到圆的直径所在直线的距离最大时，△P AB 的面积取得最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△P AB 的高的最大值为4， 所以△P AB 面积的最大值为12×6×4＝12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12，设M (m ，0)，N (n ，0)，故(x －m )2＋y 2(x －n )2＋y 2＝12，即(x －n )2＋y 2＝2(x －m )2＋y 2， 化简可得x 2＋y 2－8m －2n 3x ＋4m 2－n 23＝0, 又点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0， 可得⎩⎨⎧－8m －2n3＝8，4m 2－n23＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－6，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M (－6,0)，N (－12,0)， 使得|PM ||PN |＝12，故C 正确；对于选项D ，因为|P A ||PB |＝12，所以2|P A |＝|PB |，所以2|P A |＋|PQ |＝|PB |＋|PQ |，又点P 在圆x 2＋8x ＋y 2＝0上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时2|P A |＋|PQ |取得最小值，此时(2|P A |＋|PQ |)min ＝|BQ | ＝[4－(－3)]2＋(0－1)2＝52，故D 正确．规律方法 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A (－a ，0)，B (a ，0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1a ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪2aλλ2－1为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．跟踪演练3 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则|P A |2＋|PB |2的最大值为( ) A ．16＋8 3 B ．8＋4 3 C ．7＋4 3 D ．3＋ 3答案 A解析 由题意，设A (－1,0)，B (1,0)，P (x ，y )， 因为|P A ||PB |＝3，所以(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为3的圆，因为|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2(x 2＋y 2＋1)，其中x 2＋y 2可看作圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， 所以[2(x 2＋y 2＋1)]max ＝16＋83， 即|P A |2＋|PB |2的最大值为16＋8 3.专题强化练1．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0，2]B ．[－52，1]C ．[－2，2]D ．[－2,2]答案 D解析 由题意可知四边形P AOB 为正方形， |OP |＝2，∴点P 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，其方程为x 2＋y 2＝2， 若圆M 上存在这样的点P ，则圆M 与x 2＋y 2＝2有公共点， 则有2－2≤a 2＋4≤2＋2， 解得－2≤a ≤2.2．已知点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ，若点C (5，－1)，那么|BC |的最大值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 C解析 由动直线方程化为m (x －1)＋n (y －3)＝0，可知其恒过定点Q (1,3)． 又∵点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ， ∴∠ABQ ＝90°，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆， ∴圆心为AQ 的中点M (－2，－1)， 圆的半径r ＝12|AQ |＝5.又|MC |＝(5＋2)2＋(－1＋1)2＝7>r ＝5， ∴点C (5，－1)在圆M 外，故|BC |的最大值为r ＋|MC |＝7＋5＝12.3．(2022·武汉模拟)已知O 为坐标原点，点A (cos α，sin α)，B ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，以OA ，OB 为邻边作平行四边形AOBP ，Q (－2,0)，则∠PQO 的最大值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，A ，B 是圆O 上两动点，且∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形， 又|AB |＝|OA |＝1， 取AB 的中点M ，则|OM |＝32， 所以|OP |＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3， 当PQ 与x 2＋y 2＝3相切时，∠PQO 最大，此时sin ∠PQO ＝32， 则∠PQO ＝π3.4．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE →·PF →＝BE →·CF →的点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 以BC 的中点O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设△ABC 的边长为4，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，E (－1，3)， F (1，3)，BE →＝(1，3)，CF →＝(－1，3)， 设P (x ，y )，则PE →＝(－1－x ，3－y )， PF →＝(1－x ，3－y )， 由PE →·PF →＝BE →·CF →得，(－1－x ，3－y )·(1－x ，3－y ) ＝(1，3)·(－1，3)， 所以x 2＋(y －3)2＝3，即点P 的轨迹是以(0，3)为圆心，3为半径的圆，也就是以AO 为直径的圆，易知该圆与△ABC 的三边有4个公共点．5．(多选)已知AB 为圆O ：x 2＋y 2＝49的弦，且点M (4,3)为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2＋BC 2＝66，则( ) A ．点C 构成的图象是一条直线 B ．点C 构成的图象是一个圆 C ．OC 的最小值为2 D ．OC 的最小值为3 答案 BC解析 ∵点M (4,3)为AB 的中点，∴OM ⊥AB ， |OM |＝42＋32＝5，∴|AM |＝|BM |＝49－52＝26， ∵AC 2＋BC 2＝66， ∴AC →2＋BC →2＝66，则(AM →＋MC →)2＋(BM →＋MC →)2＝66，即AM →2＋2AM →·MC →＋MC →2＋BM →2＋2BM →·MC →＋MC →2＝66， ∵AM →＝－BM →，则可得2AM →2＋2MC →2＝66， 可解得|MC |＝3，∴点C 构成的图象是以M 为圆心，3为半径的圆，故A 错误，B 正确； ∴可得OC 的最小值为|OM |－3＝5－3＝2，故C 正确，D 错误．6．(多选)(2022·福州模拟)已知A (－3,0)，B (3,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，记C 的轨迹为Γ.过A 的直线与Γ交于P ，Q 两点，直线BP 与Γ的另一个交点为M ，则( ) A ．Q ，M 关于x 轴对称B ．△P AB 的面积的最大值为6 3C ．当∠PMQ ＝45°时，|PQ |＝4 2D ．直线AC 的斜率的范围为[－3，3] 答案 AC解析 设C (x ，y )，由|CA |＝2|CB |得， (x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，整理得Γ的方程为(x －5)2＋y 2＝16，其轨迹是以D (5,0)为圆心，半径r ＝4的圆．由图可知，由于AB ＝6，所以当DP 垂直于x 轴时，△P AB 的面积有最大值，所以(S △P AB )max ＝12|AB |·r ＝12×6×4＝12，选项B 错误；因为|P A |＝2|PB |，|MA |＝2|MB |， 所以|P A ||MA |＝|PB ||MB |，所以∠P AB ＝∠MAB ，又C 的轨迹Γ关于x 轴对称，所以Q ，M 关于x 轴对称，选项A 正确； 当∠PMQ ＝45°时，∠PDQ ＝45°×2＝90°， 则△DPQ 为等腰直角三角形，|PQ |＝2r ＝42， 选项C 正确；当直线AC 与圆D 相切时，CD ⊥AC ，此时|AD |＝8＝2r ＝2|CD |，所以sin ∠DAC ＝12，所以切线AC 的倾斜角为30°和150°， 由图可知，直线AC 的斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33，选项D 错误． 7．已知等边△ABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤38，12解析 如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)， 设P (x ，y )．则P A →·PB →－2λ＋1＝0，即为(－1－x )(1－x )＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上． 过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点， 所以|OM |<2λ≤|OA |，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12. 8．已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |取得最小值时，直线AB 的方程为________________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，①则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2.如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB | ＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l .故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)， 即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴P (－1,0)．依题意知P ，A ，M ，B 四点共圆，且PM 为圆的直径，∴该圆方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54，② 由①－②整理得2x ＋y ＋1＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
阿波罗尼斯圆例题
阿波罗尼斯圆（Apollonian Circle）是一个由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的几何图形。
在这个轨迹中，一个点到两个定点的距离之比等于一个常数。
下面是一个关于阿波罗尼斯圆的例题：
在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC上，且BD=2，求点D 到AC边的距离。
解法：
我们可以利用阿波罗尼斯圆的性质来解这个问题。
首先，我们以点A为圆心，以AC为半径画一个圆，与BC交于点D'。
根据阿波罗尼斯圆的定义，点D'到A的距离与到C的距离之比等于BC与BD'的距离之比，即：
$\frac{AD^{\prime}}{AC} = \frac{BC}{BD^{\prime}}$
由于AB=AC=5，BC=8，BD'=BC-BD=8-2=6，我们可以得到：
$\frac{AD^{\prime}}{5} = \frac{8}{6}$
解得：$AD^{\prime} = \frac{20}{3}$
然后，我们在△ABC中，利用面积相等的方法可以得到：
$\frac{AD^{\prime} \times AC}{2} = \frac{AB \times CD}{2}$
将上面求得的$AD^{\prime} = \frac{20}{3}$代入得：
$\frac{\frac{20}{3} \times 5}{2} = \frac{5 \times CD}{2}$
解得：$CD = \frac{20}{3}$
所以，点D到AC的距离为$\frac{20}{3}$。
完整版阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆〔阿波罗尼斯圆〕为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .阿氏圆定理〔全称：阿波罗尼斯圆定理〕,具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比n〔丰1〕,那么P点的轨迹,是以定比n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB 〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,〔k丰1〕P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆根本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴分别有点C〔m, 0〕 , D〔0, n〕.点P是平面内一动点,且OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹〔圆〕,以点.为圆心、r为半径画圆；〔假设圆已经画出那么可省略这一步〕第二步：连接动点至圆心0〔将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接〕,即连接OR OD第三步：计算出所连接的这两条线段OR OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆.交点即为点P.此时CMgP所求的最小值.一…,括号外边,将其中一条线段的系数化成；,再构造△相似进行计算】习题【旋转隐圆】如图,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),假设AC=4, BC=3那么在旋转过程中,线段C咔度的取值范围是.1.Rt △ ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点.为^ ABC内一动点,满足CD=2 贝U AD+2 BD3 的最小值为.2.如图,菱形ABCD勺边长为2,锐角大小为60° , O A与BC相切于点E,在O A上任取一-3……点P,贝U PB+业3 PD的最小值为2【旅转隐圆】第1鞭第2题3.如图,菱形ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点,贝U PD+11 PC的最小值为.24.如图,点A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10.动.,, …1…点P在③.上,贝U PC+— PD的最小值为.25.如图,等边△ ABC的边长为6,内切圆记为.O P是圆上动点,求2PB+PC勺最小值.第3题第4题第5题6.如图,边长为4的正方形,内切圆记为③ O, P是圆上的动点,求J2PA+PB勺最小值.7.如图,边长为4的正方形,点P 是正方形内部任意一点,且BP=2那么PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8.在平面直角坐标系xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第象限内一动点,且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是.10.如图,在 Rt△ ABC 中,/ A=30° , AC=8,以 C 为圆心,⑴试判断O C 与AB 的位置关系,并说明理由；⑵点F 是③C 上一动点,点 D 在AC 上且CD=2试说明△ FCL^A ACF 1 ……EF+— FA 的最小值.211.(1)如图1,正方形 ABCD 勺边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个动点,求PD+1 PC 的最小值和PD-1PC 的最大值；22⑵如图2,正方形 ABCD 勺边长为9,圆B 的半径为6,点P 是圆B 上的一个动点,那 ,2,, 一…2…,…么PD+—PC 的最小值为 , PD-—PC 的最大值为 .3 3⑶如图3,菱形 ABCD 勺边长为4, Z B=60° ,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个 动点,那么PD+1PC 的最小值为 , PD-1PC 的最大值为 .22ZABC=60 , O A 的半径为6, P 是O A 上的动点, 连接PB PC,4为半径作O C.9,在^ ABC 中,AB=& BC=8那么3PC+2PB 勺最小值为⑶ 点E 是AB 上任意一点,在(2)的情况下,试求出B•••PD=1BP, ••• AP+1 BP=AP+PD221……,请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+—BP 的最小值为 .2⑵自主探索：在“问题提出〞的条件不变的情况下,-AP+BP 的最小值为 .3⑶ 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3 OB=5,点P 是弧CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x 轴交于点 A (4, 0),与y 轴交于点B,在 x 轴上有一动点E (m 0) ( 0v rnK 4),过点E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点N,交抛物线 于点P,过点P 作P 机AB 于点M⑴求a 的值和直线AB 的函数表达式；⑵设△ PMN!勺周长为 C1, △ AEN 的周长为 C2, 假设C6,求m 的值； C25⑶如图2,在(2)条件下,将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va V90° ),连接E' A 、E' B,求 E' A+2E' B 的最小值.3问题背景：如图1,在^ ABC中,BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CADW B,交BC的延长线于点问题解决：求△ ABC的面积的最大值.,AC=D,求CD的长.1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：⑴如图1,A、B C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点D,连接DA DC 使四边形ABCC^邻等四边形；r_r T-r -i r ~r~r ~r _r _i尝试体验：⑵如图2,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边形ABCD勺面积.解决应用：⑶如图3,邻等四边形ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形, 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗如果能,请求出此时四边形ABCE®积的最小值；如果不能,请说明理由.2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形〞.(1)如图1,在四边形ABC/,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形〞.请写出你添加的一个条件.⑵如图2,等邻边四边形ABCg, AB=AD Z BAD% BCD=90 , AG BD为对角线,AC^2AR试探究BC, BD的数量关系.(3)如图3,等邻边四边形ABC" AB=AD AC=2, / BAD=^ BCD=60 ,求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.S'。
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过 A(0，2)，O(0，0)，D(t， 0)(t>0)三点，M 是线段 AD 上的动点，l1，l2 是过点 B(1，0)且互相垂直 的两条直线，其中 l1 交 y 轴于点 E，l2 交圆 C 于 P，Q 两点． (1)若 t＝PQ＝6，求直线 l2 的方程； (2)若 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形 EPQ 的面 积的最小值．
2
2
2
2
串讲 2 已知点 P 是圆 O：x2＋y2＝25 上任意一点，平面上有两个定点 13 1 M(10，0)，N( 2 ，3)，则 PN＋2PM 的最小值为
5
．
解析： 设 x 轴上一定点 Q(m， 0)， 记 PM∶PQ＝λ， P(x， y)， 由 PM∶PQ ＝λ 得(x－10)2＋y2＝λ2[(x－m)2＋y2]，化简得(λ2－1)x2＋(λ2－1)y2＋(20 －2mλ2)x＋(λ2m2－100)＝0，因为 x2＋y2＝25，所以
2 解析：依题意，PA2＝PO2－12，PB2＝PO2 － 2 ，因为 PB＝2PA，所 1 2 2 2 2 以 PB2＝4PA2，所以 PO2 － 4 ＝ 4( PO － 1 ) ， 可得 PO ＝ 4 PO ，设 P(x， 1 1
4 2 2 64 y)，可得(x－4 )＋y ＝4(x ＋y )化简得(x＋3) ＋y ＝ 9 .所以满足条件的
2 2 2 2
4 8 点 P 在以(－3，0)为圆心，3为半径的圆上，又因为点 P 在直线 x＋ 3y 4 |－3－b| 8 －b＝0 上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以 <3， 1＋ 3 20 解得－ 3 <b<4.
变式 2 已知点 A(－2，0)，B(4，0)，圆 C：(x＋4) ＋(y＋b) ＝16，点 P PA 是圆 C 上任意一点，若PB为定值，则 b 的值为 0 ．
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用答案
微专题161．答案：(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.解析：设M (x ，y )，则由2MA＝MB得2（x －1）2＋y 2＝ （x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝4，设直线l ：y＝k (x －1)－2，则|－k －2|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≥0，解得k ≤0或k ≥43.2．答案：[0，125]．解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝ 2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．3．答案：{22，－22}． 解析：设P (x ，x ＋m )，则由P A PB ＝12可知（x －1）2＋（x ＋m ）2（x －4）2＋（x ＋m ）2＝14，化简得到2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，由题意可知Δ＝4m 2－4×2×(m 2－4)＝0，即m 2＝8，则实数m 的取值集合为{22，－22}．4．答案：52.解析：记12PB ＝PC ，那么PC PB ＝12，其中B (2，0)，下面研究点C 的位置．设C (a ，b )，P (cos θ，sin θ)，则由PC PB ＝12得 错误!＝12，化简得(4－8a )cos θ－8b sin θ＋4a 2＋4b 2－1＝0①，由于①式对任意θ都成立，则⎩⎨⎧4－8a ＝0，b ＝0，4a 2＋4b 2－1＝0，解得C (12，0)．因此，P A ＋12PB ＝P A ＋PC ≥AC ＝52.5．答案：⎝⎛⎭⎫53，73. 解析：如图，设AB ＝3，AC ＝1，AD ＝k ，以点C 为原点，线段AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系xCy ，则点A 的坐标为(1，0)，因为AB ＝3，所以点B 在以点A 为圆心，3为半径的圆上，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9(*)．设D (x ，y )，由CD ＝2DB 得B (32x ，32y )，代入(*)式得(32x －1)2＋(32y )2＝9，化简得(x －23)2＋y 2＝4，所以r －13<k <13＋r ，从而53<k <73.6．答案：l 22（1－k 2）.解析：如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy .设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以y 2＝－（1－k 2）x 2＋2lx －l 21－k 2＝错误!≤k 2l2（1－k 2）2，于是，y max ＝kl1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22（1－k 2），所以，(S △ABC )max＝1k(S △ABD )max ＝l 22（1－k 2）.7．答案：2＋ 3. 解析：易知点B 的轨迹是阿波罗尼斯圆，记圆与线段AC 的交点为F ，圆心为D ，则AB BC ＝AFFC＝m ，从而BF 为∠ABC 的平分线，即∠ABF ＝∠CBF ＝π6，此时∠BCD ＝∠BFC ＋∠CBF ＝5π12，∠CAB ＝π12，∠ACB ＝7π12.在△ABC 中，由正弦定理得m ＝AB BC ＝sin ∠ACB sin ∠CAB＝2＋ 3.8．答案：存在；λ＝12，理由略．解析：假设存在点P (x ，y )满足题意，则x 2＋y 2＋8x ＝0，所以P A 2＝(x ＋2)2＋y 2，PB 2＝(x －4)2＋y 2，由P A 2＝λ2·PB 2，可得x 2＋y 2＋4x ＋4＝λ2(x 2＋y 2－8x ＋16)，整理得(1－x )(1－4λ2)＝0，由点P (x ，y )为圆C 上任意一点，且λ>0，于是取λ2＝14，即有λ＝12.。
阿波罗尼斯圆结论
阿波罗尼斯圆结论阿波罗尼斯圆结论是17世纪德国数学家阿波罗尼斯提出的一个重要定理，它说明，当链类曲线延伸到无穷远时，其面积会接近一个圆，这关乎到几何学上著名的面积定理：“圆的面积等于其半径的平方乘以π等于$$pi r^2$$”。
除了阿波罗尼斯圆结论，还有一些相关的结论：一、半径的变化。
圆的面积随着半径的变化而变化，半径越小，面积越小，反之亦然。
二、角度的变化。
阿波罗尼斯圆结论表明，当圆的曲线角度变化时，其面积也会发生变化，曲线越接近直线，面积越大。
三、圆的形状。
曲线一次经过圆心两次时，其形状就ok圆，曲线在圆周上也可以形成圆，而曲线一次经过圆心一次，其形状就不是圆，这个曲线可能是半圆、椭圆等。
阿波罗尼斯圆结论引出了一系列问题，比如如何求出圆心到曲线之间的距离、如何计算由某种曲线求得的圆的面积等。
此外，阿波罗尼斯圆结论也为数学家们提供了思考圆形的精确性方法，因此，他们可以更准确地研究出比较精确的圆形。
阿波罗尼斯圆结论也鼓励学者们研究圆圈与比例关系，并结合数学学习，使学生们更好地理解几何学中的圆圈。
例如，当学生们学习计算圆面积时，他们就可以结合阿波罗尼斯圆结论，利用几何类的曲线计算出圆的面积，这将会让学生们学习到更多几何学的内容。
此外，阿波罗尼斯圆结论也促进了其他科学领域的发展，例如，天文学中的太阳系模型使用了阿波罗尼斯圆结论，物理学家也可以利用阿波罗尼斯圆结论来研究圆周运动。
阿波罗尼斯圆结论不仅在古代数学家中受到赞誉，也在现代人们中得到了重视。
在现代数学中，几何学家依然在学习并使用阿波罗尼斯圆结论，并以此作为研究其他几何形状的基础。
它的影响力深远，不仅引领了几何学的发展，而且对现代科学的发展也有所贡献。
因此，我们可以看出，虽然阿波罗尼斯圆结论已经出现了数百年，但是它仍然具有重要的指导意义，在现代数学中也仍然占有重要的地位，其影响力远远超过它在古代数学家中的知名度。
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆
1.一个轨迹问题
已知,，若动点满足，求动点的轨迹。
解：由题可知，设，则
化简整理可得
∴动点的轨迹为以为圆心，为半径
的圆，该圆与直线的两交点分别为。
2.阿波罗尼斯圆
早在两千多年前古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中已经发现了一个规律：一般地，平面上到两个定点距离之比为一个不
等于1的常数的动点的轨迹是一个圆。
这种圆因而被称为阿波罗尼斯
．．．．．圆．。
一般地，已知,，若动点满足，则动点的轨迹方程为
其圆心为，半径。
3.阿波罗尼斯的一个性质
设,为平面上两定点，动点满足
，则动点的轨迹为圆。
设圆与直线的两交点为，则
即分别为分线段的定比绝对值为的内外分点。
模型17 阿氏圆最值问题(解析版)
模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.解：如图1，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．要使AP +BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +PD 最小，即：AP +BP 最小值为AD ，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC 的最小值等于5．解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是5．解：如图，作MB⊥ON于B，则BM＝3，OB＝6，取OA的中点I，连接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中点，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于点H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE•sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是2．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，∵∠EOB为公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三点共线时取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案为【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为3．解：如图，连接OC交⊙O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值为BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．故答案为：3．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中点I，连接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴当D、P、I在一条直线上时，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为2．解：如图，连接OP，取OC的中点E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为6．解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，∴PM＝2，如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值为6．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK•AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值为，故答案为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．解：在AB上取F，使AF＝，连接CF与⊙A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF•AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根据两点之间线段最短，此时PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值为CF＝＝＝，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是4．解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四点共圆，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC•OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案为：4．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝，连接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半径为1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即为AM+MC的最小值，∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值为．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（12，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为3．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为5．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3；（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5；（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值为．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如图1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处，PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处，故答案为：，；（2）如图2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE＝，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∴PC＝＝，即：AM+CM的最小值为．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．。
(完整版)阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比k ；第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+1PC 的最小值为_________.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为______，PD-32PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为______，PD-21PC 的最大值为________.2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；尝试体验：(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．解决应用：(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。
压轴题型07 阿波罗尼斯圆问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题07阿波罗尼斯圆问题在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB P A λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设PB P A m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．又设），（y x C ，则由PB P A λ=得:2222)()(y m x ym x +-=++λ，两边平方并化简整理得:）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=+-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，以122-λλm 长为半径的圆．○热○点○题○型隐形的阿波罗尼斯圆典型例题例1、如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,A B（B在A的上方），且2AB=．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1O x y+=相交于,M N两点，下列三个结论：①NA MANB MB=；②2NB MANA MB-=；③NB MANAMB+=其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）解析：（Ⅰ）易知半径r=()(2212x y-+-=；（Ⅱ）方法一：因为圆心)2,1(C，)2,0(E∴又因为2AB=，且E为AB中点，所以()()1,1A B因为,M N在圆22:1O x y+=上，可设)sin,(cosααM，)sin,(cosββN所以：22)]12([sin)0(cos--+-=ββNA所以：12)sin2)(12(2)sin2)(12(2-=-+--=ββNBNA,同理：12-=MBMA，所以：NA MANB MB=1-2=，①正确；2)12(121-=---=MBMANANB,②正确22)12(121=-+-=+MBMANANB，③正确所以：①、②、③正确方法一可以改进为：设(),P x y为圆C上任意一点，则有：12)12(2224)12(2224)12()12(2222-=+-+---=--++-+=yy y x y x PBP A ，①正确；同理2)12()12(-=--+=MBMA NA NB，②正确；22)12()12(=-++=+MBMA NANB ，③正确.这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆O 的弦MN 绕定点A 旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。
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APB阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》第12题：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系画出满足条件的点M 所构成的曲线．二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、【范例】例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，平方化简整理得88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 变式 在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ， 2MA MO =Q ()22220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5． 例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k ±=，∴切线l 方程为24)y x -=-． （2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PRPQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310． 四、【练习】1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的 轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与 平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值． 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件．ΘDA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， ΘAPD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，这样就转化为题3的题型．在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠ 化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤， PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．AP BDCβα3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，,2(2O ，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．。