集合导学案(附练习题完整)北师版

集合的含义与表示 导学案

【学习目标】

（1）通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义； （2）知道常用数集及其专用记号；

（3）了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；

（4）理解列举法和描述法，能选择自然语言、集合语言、图形语言表示集合。 【学习重点】

（1）利用集合中元素的三个特性解题; （2）集合的三种表示方法. 【学习难点】

（1）利用集合中元素的三个特性解题； （2）准确认识元素与集合间的关系； （3）对描述法表示的集合的理解.

一、知识链接

请列举小学和初中已接触过的集合 . 二、学习过程

思考一、

(1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明；

(3)到一个角的两边距离相等的所有的点； (4)方程2

560x x -+=的所有实数根； (5)不等式30x ->的所有解；

(6)安吉县高级中学20XX 年9月入学的高一学生的全体. 观察上面的例子,指出这些实例的共同特征是什么？

1.元素与集合的概念

元素：一般地，我们把 统称为元素；集合：把一些元素的 叫做集合，简称为集.

思考二、指出问题1中各集合的元素

2.元素与集合的表示

元素：通常用 拉丁字母 来表示；集合：通常用 拉丁字母 来表示.

3.元素与集合的关系：如果a 是集合的元素，就说 ，记作 ；如果a 是集合的元素，就说 ；记作 . 思考三、判断以下元素的全体是否成集合，并说明理由。

（1)美丽的小鸟；(2)不超过20 的所有非负整数；（3）所有等腰直角三角形；（4）全班成绩优异的学生.

思考四、在一个给定的集合中能否有相同的元素？

思考五、112班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？

4.集合元素的特性： ； ； .

5.集合相等的概念

集合相等：只要构成两个集合的 是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

6.常用数集及其表示符号

自然数集（非负整数集）： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ；实数集： 。

7.集合的表示方法

集合的表示方法有 、 、图示法. 叫列举法.注元素间要用 隔开; 叫描述法.注花括号内竖线的前面部分为集合的代表元素. 思考六、

（1） a 与{}a 的含义是否相同？

（2） 集合

{}(){}2,1,2,1是否表示同一集合？

（3） 集合{}{}(){}

,,|,,,,,|2

2

2

R x x y y x C R x x y B R x x y y A ∈==∈==∈==

{}2|x y x D ==是不是相同的集合？试用文字语言叙述集合的含义.

三、典例剖析

例1.已知集合A 是有三个元素12,52,22

a a a +-组成的，且A ∈-3，求a.

例2.用适当的方法表示下列集合

（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合； （2）所有奇数组成的集合； （3）函数32+=x y 的图像上的点.

例3.集合A={

}

0168|2

=+-x kx x ，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值.

四、课堂小结

课后检测

1.给出下列四个命题：

(1)很小的实数可以构成集合；

(2)集合{y |y =x 2

-1}与集合{(x ,y )|y =x 2

-1}是同一个集合； (3)1,

23,46,2

1

-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合； (5)集合{x |x >3}与集合{t|t >3}表示不同的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( ) Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2-- Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3

３.{},0.3,0,00R Q N +

?∈∈其中正确的个数是( )

Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个

4.已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长,那么ABC ?一定不是 ( )

Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形 5.下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B. M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}

D.M={1,2},N={2,1}

6.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( ) A.6 B.7

C.8

D.9

二、填空题

7.方程组2

5x y x y +=??-=?

的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

8.已知集合Ａ＝{

}

2

0,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿.

9.已知集合A 中的元素y 满足N y ∈且12

+-=x y ，若A t ∈，则t 的值为________. 10.已知集合P={x |2

11.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.

12.设R x ∈，集合A 中含有三个元素3，x x x 2,2

-，（1）求x 应满足的条件；（2）若-2A ∈，

求实数x 的值.

集合间的关系 导学案

【学习目标】

（1）理解集合之间的包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集；

（2）在具体情境中,了解全集与空集的含义.

【学习重点】集合间关系的判断. 【学习难点】

（1）正确判断元素与集合、集合与集合的关系； （2）空集概念的理解.

一、知识链接

1.元素与集合的关系是 或 ；用符号 表示.

2.集合元素的特性 、 、 .

3.集合的表示方法有 、 、 . 二、学习过程

思考一

我们知道实数有大小或相等的关系,哪么集合间是不是也有类似的关系呢？ （１）{}{}1,2,3,1,2,3,4,5A B ==;

（２）设集合Ａ为我班全体女生组成的集合,集合Ｂ为我班全体学生组成的集合; （３）设{}{}

|,|C x x D x x ==是等边三角形是三角形.

观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？你还能举出有以上关系的例子吗？

1.子集的概念

集合A 中 元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有 关系，称集合 是集合 的子集.即若A x ∈，就有 .记作A B 或B A;读作 .可用Venn 图表示为 .

思考二

（1）{}{}1,3,5,5,1,3A B ==

（2）}|{D }|{是两条边相等的三角形，是等腰三角形x x x x C ==

（3）131(,)|,(,)222x y A x y B x y ?+=????

==-??

???-=?????

上面的各对集合中有何关系？

2.集合的相等

如果集合A 是集合B 的 ，即A B ；且集合B 是集合A 的 ，即A B ，则称集合A 与B 相等，记作 .可用Venn 图表示为 .

3.真子集的概念

如果集合A B,但存在元素B x ∈,且A x ?,则称 ，记作A B ，B A.

思考三

{}{}2|10,|5A x x B x x =+==是身高在米以上的人

观察上面给定的两个集合,归纳出空集的概念.

4.空集的概念

叫空集,记作 .规定空集是 集合的子集， 集合的真子集. 思考四

判断下列集合是否是空集

（1）{}0；（2）{}

22

++x x ；（3）{}

32|2

++x x x ；（4）{}32|-<-∈x N x

思考五

类比实数的大小关系，可归纳处集合间的什么性质？

（1）a a R a ≤∈,；（2）c a c b b a R c b a ≤≤≤∈那么若,,,,,.

5.集合间的基本关系

任何集合是 的子集，即A A ；对于集合A,B,C,若C B B A ??,,那么A C. 含n 个元素的集合，其子集的个数 ，真子集的个数 ，非空真子集的个数 .

三、典例剖析

例1.写出下列各集合的子集及其个数

{}{}{},,,,,,a a b a b c ?

例2.用适当的符号填空

（1）a {}c b a ,,;(2)0 {}0;(3)0 φ;(4){

}1 {}3,2,1;(5)φ {}0.

例 3.已知集合{}

{}112|,43|+<<-=≤≤-=m x m x B x x A ，求下列情况下实数m 的取值范围.（1）若B A ?；（2）A B ?.

例4.已知含有３个元素的集合,,1b A a a ?

?

=????

,{}

2,,0B a a b =+,若Ａ＝Ｂ，求20102010a b +的值.

四、课堂小结

1.集合间有几种基本关系？

2.集合的基本关系分别用哪些符号表示？怎样用Ｖenn 图来表示？

3.什么叫空集？它有什么特殊规定？

课后检测

一、选择题

１.下列各式中错误的个数为( )

①{}10,1,2∈②{}{}10,1,2∈③(){}(){}a b b a ,,=④{}{}0,1,22,0,1=⑤{

}φφ∈ ⑥{}φφ? A 1 B 2 C 3 D 4 ２.若,x y R ∈,集合{}(,)|,(,)|

1y A x y y x B x y x ?

?

====????

,则Ａ,Ｂ的关系为( ) Ａ Ａ＝Ｂ Ｂ Ａ?Ｂ Ｃ ＡＢ Ｄ ＢＡ ３.若,A B A

?C,且Ａ中含有两个元素,{}{}0,1,2,3,0,2,4,5B C ==则满足上述条件

的集合Ａ可能为( ). Ａ

{}0,1

Ｂ

{}0,3

Ｃ

{}2,4

Ｄ

{}0,2

４.满足{}a M ?{},,,a b c d 的集合Ｍ共有(

)

Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个 二、填空题

５.已知{}{}{}

A B C ===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

6.{

}R a a x x M ∈+==,1|2

,{}

R x x x y y P ∈+-==,54|2

,则M 与P 的关系 .

7.已知集合{}

{}2

|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A ,则实数a 的值为＿＿.

8.已知集合{}{}|40,|12A x R x p B x x x A B =∈+≤=≤≥?或且,则实数p 的取值集合为＿＿＿.

9.集合{}|21,A x x k k Z ==-∈,集合{}|21,B x x k k Z ==+∈,则Ａ与Ｂ的关系＿＿. 10.已知Ａ＝{},a b ,{}A x x B ?=|,集合Ａ与集合Ｂ的关系为 .

三.解答题

11.已知集合{}{}

22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.

12.已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ?,求实数a 的取值范围

集合的基本运算(第一课时) 导学案

【学习目标】

1.理解两个集合的并集与交集的含义,掌握有关术语和符号，会求两个简单集合的并集与交集.

2.能使用Ｖenn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 【学习重点】

理解两个集合的交集、并集的含义. 【学习难点】

理解并集概念中“或”的含义以及交集概念中“且”的含义. 一、知识链接

1.集合与元素的关系有 、 ；集合与集合的关系有 、 、 .

2.已知集合{}{}6,4,3,2,5,3,1==B A ，由集合A 与B 的所有元素组成的集合是 ；

由集合A 与B 的公共元素组成的集合是 . 二、学习过程 思考一

类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”吗？ 考察下列各集合，归纳集合A 、B 中的与集合C 有何关系？ 集合C 中的元素与集合A 、B 有何关系？

（1）{

}{}{}5,3,2,1,5,3,2,5,3,1===C B A ； （2）{}{}{}

是实数，是无理数，是有理数x x x x x x A |C |B |===. 若,A x ∈则x C;若B x ∈,x C.若C x ∈，则x .

1.集合的并集

文字语言： 组成的集合，成为集合A 与B 的 .

符号语言：=?B A .

图形语言： . 思考二

判断下列各集合间的关系

A ∪

B B ∪ A ； (A ∪B )∪

C A ∪(B ∪C )；A ∪ A ＝ ；A ∪ ?＝ ；

A B A ?;B B A ?;=???B A B A ；A B B A ?=? B .

思考三

考察下列各集合，归纳集合A 、B 中的与集合C 有何关系？ 集合C 中的元素与集合A 、B 有何关系？

（1）{

}{}{}3,2,9,7,3,2,5,3,2,1===C B A ； （2）{}{}

，是我校高一全体学生，是我校全体女生学生x x x x A |B |==

{}是我校全体高一女生x x C |=.

若A x ∈，则x C ;若C x ∈,则x A ;x B .

2.集合的交集

文字语言： 组成的集合，成为集合A 与B 的 .

符号语言：=?B A .

图形语言： . 思考二

判断下列各集合间的关系

A ∩

B B ∩ A ； (A ∩ B ) ∩

C A ∩ (B ∩ C )；A ∩ A ＝ ；A ∩ ?＝? A ＝ ； A B A ?;B B A ?;=???B A B A ；A A B A ?=? B .

三、典例剖析

例 1.已知{

}{

}

35,43,24,1,32,4,22

222

+-+-+-+=+-=a a a a a a a B a a A ，若

{},3,2=?B A 求B A ?.

例2.若{}

{}12|,31|+≤≤=>≤=a x a x B x x x A 或，求a 的取值范围. （1）R B A =?; (2)φ=?B A .

例3.设集合{}

{}R a ax x B A ∈=+=-=,01|,2，若B B A =?，求a 的值.

四、课堂小结

1.集合有哪些基本运算？

2.各种运算如何用符号和Ｖenn 图来表示.

3.集合运算与实数的运算有何区别与联系.

课后检测

一、选择题

１.设集合{}{}|32,|13M x Z x N n Z n =∈-<<=∈-≤≤,则M N ?= ( ) Ａ {}0,1

Ｂ

{}1,0,1-

Ｃ

{}0,1,2

Ｄ

{}1,0,1,2-

２.集合{}{}

21,4,,,1A x B x A B B ==?=且,则满足条件的实数x 的值为 ( ) Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２

3.下列关系中完全正确的是 ( ) Ａ {},a a b ?

Ｂ

{}{},,a b a c a ?=

Ｃ {}{},,b a a b ? Ｄ {}{}{},,0b a a c ?=

4.已知集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或,则A B ?= ( ) A {}|34x x x ≤>或 B {}

≤x|-1

1≤<-x|-2x 5.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足C B B A ?=?,则一定有( ) Ａ C A ≠ Ｂ φ=A Ｃ A C ? Ｄ C A ? 二、填空题

6.设集合{}{}|91,|32A x x B x x A B =-<<=-<

7.满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5A ?=的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

8.若集合{}{}|2,|A x x B x x a =≤=≥,满足{}2A B ?=则实数a =＿＿＿＿＿＿＿.

9.集合{}

{},1|,12|),(-==+==x y y B x y y x A ,则=?B A ＿＿＿＿＿. 10.对于集合Ａ,Ｂ,定义{}|A B x x A -=∈?且B ,Ａ⊙Ｂ=()()A B B A -?-, 设集合

{}{}1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10M N ==,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

11.设集合{}{}

22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B A ?=,求实数

a 的取值集合.

12. 已知{}{}|24,|A x x B x x a =-≤≤=< （1）若A B φ?=,求实数a 的取值范围； （2）若A B A ?≠,求实数a 的取值范围；

（3）若A B A B A φ?≠?≠且,求实数a 的取值范围.

集合的基本运算(第二课时) 导学案

【学习目标】

1.理解全集、补集的含义，会求给定子集的补集；

2.熟练掌握集合的基本运算；

3.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；

4.能利用集合的关系和运算及Venn 图来求有限集合中元素的个数. 【学习重点】

求给定集合的补集. 【学习难点】

1.求交、并、补集的运算；

2.数形结合思想在解题中的应用.

一、知识链接

1.集合间的三种运算 、 、 .

2.=?B A ；=?B A .

思考一

在下列范围内解方程0)3)(2(2

=--x x

（1）有理数范围内；（2）实数范围内. 1.全集

如果一个集合 ，那么我们就称这个集合为 .通常记作 . 2.补集

文字语言：对于集合A ，由全集U 中 组成的集合，称为 .记作 .

符号语言：=A C U . 图形语言： . 思考二

求下列各集合间的运算

u C u = ;=φu C ;=?A C A u ;=?A C A u ; =)(A C C u u . =?)(B A C u ;=?)(B A C u .

三、典例剖析

例1.已知全集{}

22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值.

变式：已知集合{

}x A ,3,1=，{}2

,1x B =，若A B C B u

=?,求B C u

.

例2.已知全集{

}6,5,4,3,2,1=U ，{},6,1=?B A C u {}{},4,3,2=?=?B A B C A u 求B.

例3.已知集合{}{}21|,22|<<=<<-=x x B a x a x A ，且B C A R ?

≠,求a 的取值范

围.

变式.已知集合{}{}21|,22|<<=<<-=x x B a x a x A ，且A C B R ?

≠,求a 的取值范

围.

课后检测

一、选择题

1.设全集{}60|,≤≤==x x A R U ，则A C R 等于 ( ) Ａ {}6,5,4,3,2,1,0 Ｂ

{}60|>

Ｃ

{}60|<

Ｄ

{}60|≥≤x x x 或

２.设Ｕ为全集,集合,M U N U N M ???且则 ( ) Ａ U U C N C M ? Ｂ U M C ?N Ｃ U U C N C M = Ｄ ()U U C M C ?N ３.已知集合{}3|

0,|31x M x N x x x +?

?

=<=≤-??-??

,则集合{}|1x x ≥是 ( ) Ａ N M ? Ｂ N M ? Ｃ ()M N ?U C Ｄ ()M N ?U C 4.已知全集{}8,5,2=U ，且{}2=A C u ，则集合A 的真子集个数为 ( ) Ａ 3 Ｂ 4 Ｃ 5 Ｄ 6

5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义Ｍ与Ｎ的差{}|M N x x M x N -=∈?且,那么 Ｍ－(Ｍ－Ｎ)总等于 ( ) Ａ Ｎ Ｂ Ｍ Ｃ M N ? Ｄ M N ? 二.填空题

6.设集合{}

{},(,)|1A B x y x y ==-=-(x,y)|x+2y=7,则A B ?=＿＿＿＿＿＿＿. 7.设{}{

}2,|20,U A x x x N

+

==<∈x|x 是不大于10的正整数,则U

C

A =＿＿＿＿.

8.已知全集为Ｕ,,,D C B B C A u u ==则A 与D 的关系是＿＿＿＿.

9.设全集{}{},|U A x ==x|x 是三角形x 是锐角三角形,{}

|B x =x 是钝角三角形,则

U C A B

?（）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.已知全集{}

{}{}22,4,1,1,2,7U U a a A a C A a =-+=+==则＿＿＿＿＿＿＿.

三.解答题

11.设全集{}

{}

{}y A C A x x I I ,2,5,32,3,22

==-+=，求x,y 的值.

12.设全集R U =,{}m x m x A 213|<<-=，{}31|<<-=x x B ，若B C A u ?

≠，求实数m

的取值范围.