数学建模简介及数学建模常用方法

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待

人们去研究、去解决。但

是，社会对数学的需求并

不只是需要数学家和专门

从事数学研究的人才，而

更大量的是需要在各部门

中从事实际工作

的人善于运用数

学知识及数学的

思维方法来解决

他们每天面临的

大量的实际问题，

取得经济效益和社会效

益。他们不是为了应用数

学知识而寻找实际问题

（就像在学校里做数学应

用题），而是为了解决实

际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，

很可能还要用到别的学

科、领域的知识，要用到

工作经验和常识。特别是

在现代社会，要真正解决

一个实际问题几乎都离不

开计算机。可以这样说，

在实际工作中

遇到的问题，

完全纯粹的只

用现成的数学

知识就能解决

的问题几乎是

没有的。你所能遇到的都

是数学和其他东西混杂在

一起的问题，不是“干净

的”数学，而是“脏”的

数学。其中的数学奥妙不

是明摆在那里等着你去解

决，而是暗藏在深处等着

你去发现。也就是说，你

要对复杂的实际问题进行

分析，发现其中的可以用

数学语言来描述的关系或

规律，把这个实际问题化

成一个数学问题，这就称

为数学模型。

数学模型具有下列特

征：数学模型的一个重要

特征是高度的抽象性。通

过数学模型能够将形象思

维转化为抽象思维，从而

可以突破实际系统的约

束，运用已有的数学研究

成果对研究对象进行深入

的研究。数学模型的另一

个特征是经济性。用数学

模型研究不需要过多的专

用设备和工具，可以节省

大量的设备运行和维护费

用，用数学模型可以大大

加快研究工作的进度，缩

短研究周期，特别是在电

子计算机得到广泛应用的

今天，这个优越性就更为

突出。但是，数学模型具

有局限性，在简化和抽象

过程中必然造成某些失

真。所谓“模型就是模型”

(而不是原型)，即是该性

质。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

模型是客观实体有关属性的模拟。陈列

在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞

机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而

参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果

飞行性能不佳，外形再

像飞机，也不能算是一

个好的模型。模型不一

定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的

某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并

不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符

号、文字和数字来反映出该地区的地质结

构。数学模型也是一种模拟，是用数

学符号、数学式子、程序、图形等对

实际课题本质属性的抽象而又简洁

的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。实际问题中有许多因素，在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律，牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答仍有改进的余地，可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。

应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型。

从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题