抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数的定义域

排除无意义点
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的定义域范围。
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特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。

抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]，再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}．四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]，再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}．四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。

抽象函数定义域的求法

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课题教法、学法学习目的学习重点学习难点
抽象函数（一）定义域的求法讲练结合
课时数课型
1 新授课
学习过程一、认识抽象函数
我们把没有给出函数具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数。一般形式为 y= f(x) ，或许还附有定义域、值域等，如： y= f(x) , (x>0, y>0) 。
练习：若函数 f ( x ) 的定义域是(0,1)，求函数g x = f x + a ˙f x − a (− 2 < �� < 0)的定义域。
1
巩固训练：
1. 设函数
的定义域为
，则
（1）函数
（2）函数
的定义域为________。
的定义域为__________。
2．设函数 y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求 y=f( x ) f ( x ) 定义域。
二、抽象函数定义域的求法例一：已知函数 f(x) 的定义域为 [-1,5] ，求 f(3x-5) 的定义域。
练习：设函数 f(x) 的定义域为 [0,1,] ，求函数 f(
x )的定义域。
例二：已知函数 f（x-1）的定义域是[0,3]，求函数 f(x)的定义域。
练习：设函数 f(x 2) 的定义域为 [0,3] ，求函数 f(x) 的定义域。
例三：设函数 f(x +1 ) 定义域是[-2,3]，求函数 f(2x-1)的定义域。
练习：设函数 f(2x-1) 定义域是[-2,3]，求函数 f(x +1) 的定义域。
例四：若 f ( x) 的定义域为 3 Байду номын сангаас 5 ，求 ( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域。

巧妙求解五类抽象函数定义域

巧妙求解五类抽象函数定义域发布时间：2021-04-26T12:57:04.450Z 来源：《比较教育研究》2021年4月作者：龚青青[导读] 抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。

本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。

龚青青山西省朔州市应县第六中学山西朔州 037600【摘要】抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。

本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。

【关键词】抽象函数定义域取值范围【Abstract】The definition domain of abstract function is a difficult problem in middle school mathematics, especially for freshmen of high school who just touched function, it is more difficult to understand the abstract function without specific analytical formula. In this paper, some techniques of solving the domain of abstract function are given, which can accurately grasp the domain of abstract function. 【Keyword】abstract function definition field value range 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）04-148-02求解抽象函数的定义域是高中学生接触到函数以后遇到的比较困难的问题。

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。

抽象函数定义域的四种类型

抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。

下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。

一、已知的定义域，求’I I的定义域，其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。

例1.设函数"■的定义域为，则（1）函数的定义域为_____________ 。

（2）函数八的定义域为_________________ 。

解：（1）由已知有L -■■-■，解得故的定义域为一：’「（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。

其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。

例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1的定义域为________ 。

解：由H S，得:■ I < . 'I所以二…：二1，故填-■:三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。

其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。

例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）A. ■B. ' - 1C. ' ：；-D. '「解：先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3：.1<X+1 <4 , 即卩：的定义域是一乙1再求一…：：丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。

抽象函数定义域的种类和求解方式

抽象函数定义域的种类和求解方式抽象函数是数学中的一个重要概念。

它是指能够对给定的输入值产生唯一的对应输出值的一种关系。

抽象函数的定义域是指输入值的集合，决定了函数的有效输入范围。

在数学中，抽象函数的定义域可以分为以下几种类型，并且每种类型有不同的求解方式。

1.实数集：实数集是最常见的抽象函数定义域类型。

在实数集中，函数可以接受任何实数作为输入。

求解实数集作为定义域的抽象函数的方式通常是将输入值代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数f(x)=√x，实数集作为其定义域。

如果我们想求解f(4)，只需将4代入函数表达式中，得到f(4)=√4=22.自然数集：自然数集是正整数（包括0）的集合。

在抽象函数中使用自然数集作为定义域通常是为了描述一些计数或离散的现象。

求解自然数集作为定义域的抽象函数的方式是将自然数代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数g(n)=n^2，自然数集作为其定义域。

如果我们想求解g(3)，只需将3代入函数表达式中，得到g(3)=3^2=93.整数集：整数集是包括正整数、负整数和0的集合。

在抽象函数中使用整数集作为定义域通常是为了描述带有正负号的现象。

求解整数集作为定义域的抽象函数的方式和自然数集类似，将整数代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数h(m)=2m，整数集作为其定义域。

如果我们想求解h(-2)，只需将-2代入函数表达式中，得到h(-2)=2*(-2)=-44.空集：空集是不包含任何元素的集合，因此抽象函数的定义域为空集时，表示函数没有输入值，也就是无效的函数。

求解空集作为定义域的抽象函数没有可行的方式，因为没有输入值可以代入函数表达式进行计算。

总结起来，抽象函数的定义域可以是实数集、自然数集、整数集或空集。

求解求解不同类型定义域的抽象函数的方式取决于具体的函数表达式和输入值的类型，通常是将输入值代入函数表达式中进行计算。

需要注意的是，对于一些定义域为离散集合的抽象函数，也可以通过列出给定输入值的输出值来进行求解。

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。

必修一中抽象函数定义域问题

必修一中抽象函数定义域问题
我们在必修一中学习了函数,确定一个函数的两个要素是：定义域、对应法则,函数的定义域是自变量的取值集合,一般函数的定义域可根据解析式和题意的限制条件求解,但抽象函数的定义域却不好求解,有些同学在学习抽象函数的定义域时总感觉找不到思路,笔者总结了三种求抽象函数定义域的情况,和大家一起分享:
一、已知函数的定义域为,求的定义域,只需,解出的取值集合即为的定义域．
例1、如果函数的定义域是,求函数的定义域．
解：要使函数有意义,须,解得,所以函数的定义域为．
二、已知函数的定义域为,求函数的定义域,当时, 的值域即为的定义域.
例2、已知函数的定义域为,求函数的定义域.
解: ,,所以函数的定义域为．
三、已知函数的定义域,求函数的定义域,可以先利用上面的“二”求出的定义域,再利用上面的“一”求出的定义域．
例3、已知函数的定义域是,求函数的定义域．
解：, ,函数的定义域为,,即,所以函数的定义域为．
检测练习：
1.已知函数的定义域是,则函数的定义域是．
2.若函数的定义域为,则函数的定义域为.
3.已知函数的定义域为,则函數的定义域是．
4.已知函数的定义域是,则函数的定义域是.
5.已知函数的定义域为,则函数的定义域是．。

抽象函数的奇偶性_单调性问题

练习：函数f(x)对任意 a, b R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。例1：已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。

函数定义域值域的求法

函数定义域的求法
1、求函数定义域的一般原则
（1）如果为整式，其定义域为实数集R.
（2）若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.（3）若是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
（4）x0的定义域是{x∈R∣x≠0}.
（5）若是由几部分的数学式子构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集.
2、抽象函数的定义域
（1）函数的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
（2）函数的定义域还是指x的取值范围而不是的取值范围.
函数值域的求法
（1）直接法：从自变量x的范围入手，逐步推出y=的取值范围.（2）换元法：运用代数或三角代换，将所给的函数转化为值域容易求出的另外一个函数，从而得到原函数的值域.
（3）反解法：通过反解，用y表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围.。

抽象函数定义域的类型及计算方法

抽象函数定义域的类型及计算方法
简介
在数学中，抽象函数是一种不可直接计算的函数。

而定义域则是指函数的输入值的范围。

本文将介绍抽象函数的定义域类型以及计算方法。

定义域类型
抽象函数的定义域可以分为以下几种类型：
1. 实数域（Real numbers）：抽象函数的定义域为实数集。

2. 自然数域（Natural numbers）：抽象函数的定义域为自然数集。

3. 整数域（Integer numbers）：抽象函数的定义域为整数集。

4. 有理数域（Rational numbers）：抽象函数的定义域为有理数集。

5. 实数区间域（Real interval）：抽象函数的定义域为实数的某个区间。

计算方法
计算抽象函数的定义域可以采用以下方法：
1. 分析函数表达式：通过分析函数表达式中的分式、开方、对
数等运算，确定函数定义域。

2. 观察函数图像：观察函数图像，找到函数的不连续点和断点，确定定义域。

3. 使用不等式：通过求解函数所满足的不等式，确定函数的定
义域。

4. 考虑函数的性质：结合函数的性质，如奇偶性、单调性等，
确定函数的定义域。

5. 考虑函数的限制条件：对于一些特殊函数，如三角函数、指
数函数等，需要考虑限制条件，确定定义域。

总结
抽象函数的定义域类型包括实数域、自然数域、整数域、有理
数域、实数区间域和复数域。

计算抽象函数的定义域可以通过分析
函数表达式、观察函数图像、使用不等式、考虑函数的性质和限制
条件等方法来确定。

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数831522-+--=x x x y 的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 即⎩⎨⎧-≠≠-<>11535x x x x 且或解得1135-≠-<>x x x 且或即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。

其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。

例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。

解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤-x即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x（二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。

其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。

例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。

解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。

即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

抽象函数一

公众号：数学其实没那么难
5. 定义在 R 的函数 f (x) 满足 f (x + y)= f (x) + f ( y) + 2xy ， f (1) = 2 ，则 f (−3) =（）
A．2
B．3
C．6
D．9
6. 已知偶函数 f (x) 的定义域是 x ≠ 0 的一切实数，对定义域内的任意 x, y 有 f (= xy) f (x) + f ( y) ，
指数函数 f (x) = ax (a > 0且a ≠ 1)
= f (x + y) f (x) f ( y= )或f (x − y) f (x) f (y)
对数函数 f (x=) loga x(a > 0且a ≠ 1) 余弦函数 f (x) = cos x
f (xy) = f (x) + f ( y)或f ( x ) = f (x) − f ( y) y
或 f (xm ) = mf (x)
f (x) + f ( y) = 2 f ( x + y ) f ( x − y )
2
2
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) f ( y)
正切函数 f (x) = tan x
f (x ± y) =f (x) ± f ( y) 1 f (x) f (y)
a ≤ g(x) ≤ b ，求出 x 的取值范围即为 f (g(x)) 的定义域。
2）已知 f (g(x)) 的定义域为 D = [a,b]，求 f (x) 的定义域。
这类函数的定义域求解等价于已知 g(x) 的定义域为 D 求 g(x) 的值域。注意：这里的定义域是指 x 的取值范围。

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