抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．

一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域

其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．

例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．

分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．

解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033

x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域

其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．

例2 已知函数2

(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，

由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．

令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．

故()f x 的定义域为[]15，．

三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．

解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩

，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．