自动控制原理第四章线性系统的根轨迹法

H (s)
f
G(s)K sG (T (11 ss 11 ))T ((22 2 2ss22 222 1T 2 2ss 1 1)) KG * i q 1((ss p zii)) i1
KG *
KG
12
T1T22
和
K G ：前向通路增益
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s p j )
与实轴夹角 与实轴交点
a
(2k1)180o
nm
n
m
pi z j
a i1
j 1
nm
例1 设单位反馈系统的前向传递函数为
K*(s1) G(s)
s(s4) (s2 2s2)
（1） p10,p24,p31j
p41j,z11
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴
（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
根轨迹方程
由闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
m
(szj)
1G(s)H(s)0 K* j1
1 根轨迹方程
n
(spi)
i1
当 K*0 K*
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
根轨迹方程可以进一步表示为
m
(szj)
K* j1
1 ,
n
(spi)
i1
m
szj
K* j1
ej1ej(2k1)
0
K* 有一个无穷远处的起 点
规则2：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）
或与开环有限零点数m相等（n<m)
根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续 变化。
实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或 共轭复数。
规则3：根轨迹渐近线
当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角 和交点来确定。
本章重点
学习本章内容, 应重点掌握根轨迹的 基本概念、绘制根轨 迹的条件、系统根轨 迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统的稳 定性、暂态特性和稳 态性能, 参量根轨迹 的概念和绘制方法, 理解零度根轨迹的基 本概念和绘制方法。
4-1 根轨迹方程
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
系统动态响应（稳定
与实轴夹角
a (2 k n 1 ) m 18 o 0 (2 k 4 1 ) 1 18 o 0 6o 0 , 6o 0 ,18 o
与实轴交点
n
m
p i zj ai 1n m j 1
(0 4 1 j 1 j) ( 1 ) 1 .67 4 1
图示P.135 4-6
规则4：实轴上的根轨迹
若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。
j 1
K
* G
：前向通道根轨迹增益
K
* H
：反馈通道根轨迹增益
f
l
m
(szi)(szj)
(szj)
G(s)H(s)KG *KH *
i1 q
j1 h
K* j1
n
(spi)(spj)
(spi)
i1
j1
i1
nqh , mf l , K* KG *KH *
(s) G(s)
KG * f (szi) h (spj)
m(szj) n(spi)(2k1)
j1
i1
(2k1)18o0 , (k0,1,2,)
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点， 终止于开环零点。
简要证明：
1 G (s )H (s ) 0 n(s p i) K * m (s zj) 0
i 1
j 1
K * 0 n(s p i) 0 s p i
i1
j1
1G(s)H(s) n(spi)K* m(szj)
i1
j1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹
增益。（2）闭环系统Fra bibliotek零点 开环前向通道传递函数的零点和
反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 K * 均有关。
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益， 用图解方法确定闭环极点。
s1,2 1 12K
开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环
极点的全部数值。
j K
K2.5
2
s1,2 1 12K K0
K1 K0
2 1
1
0 K0.5
1
2
根轨迹与系统性能
稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系
统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。 但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益， 根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。
n
spi
i1
相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）
m
n
(s zj) (s p i) (2 k 1 ) , (k 0 , 1 , 2 , )
j 1
i 1
n
s pi
模值条件（幅值条件）：
K * i1
m
s zj
j 1
4-2 根轨迹绘制的基本法则
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o相轨迹
i 1
又从
K 1*i n1(spi) jm 1(szj)0
K * m (s zj) 0 szj
j 1
在实际系统通常是 nm ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m)
个无限远（无穷）零点。
K* 0
nm
K* 0
nm
0
K* 有两个无穷远处的终 点
动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估
计。
对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根 轨迹。
根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，
通过图解法来求闭环系统根轨迹。
闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设 控制系统如图所示
R (s) G(s) C (s)
(s) G(s)
1G(s)H(s)
根轨迹 开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化
到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为 根轨迹。
若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根 与闭环传递函数的极点是一一对应的。
例 二阶系统的根轨迹
K s (0.5 s 1)
(s)C(s) 2K
,
R(s) s2 2s2K
D(s)s2 2s2K0
第四章 线性系统的根轨迹法
●本章主要内容与重点 ● 根轨迹方程 ●根轨迹绘制的基本法则 ●广义根轨迹
本章主要内容
本章阐述了控制系统 的根轨迹分析方法。包 括根轨迹的基本概念、 绘制系统根轨迹的基本 条件和基本规则,参量根 轨迹和零度根轨迹的概 念和绘制方法，以及利 用根轨迹如何分析计算 控制系统的性能（稳定 性、暂态特性和稳态性 能指标等）。
这个结论可以用相角条件证明。
由相角条件
m