冯西桥老师弹性力学张量课件FXQ-Chapter-02张量
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弹塑性力学-02(张量初步)
S jkm Aijk B im
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
R ijl Aijk B lk S jkm
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后 张量B的第一指标缩并的结果，记为 A B 。其指标符号为：
A B = Aijk B km
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。 线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
i 1 3
i i i
abc i
i
i
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。 例如方程 c i a ib i d i
i
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
'Байду номын сангаас
x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 j x j ;
'
x 3 a 3 1 x1 a 3 2 x 2 a 3 3 x 3 a 3 j x j ;
'
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x i a ij x j
'
这里 j 是哑标， i 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如， R i Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代 表的是截面上应力的分解方向。 内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积 表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例 如：
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-02张量共98页PPT
生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢你的阅读
清华大学弹性力学冯西 桥FXQ-Chapter-02张
量
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
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清华大学弹性力学冯西 桥FXQ-Chapter-02张
量
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
张量弹性力学2
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-04应变理论
v dx x
v dy y x
16
v dx x
dx
u
u d x ＋u x
x
位移和应变
由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上 的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为 A: B:
u( x d x, y, z ) ; v( x dx, y, z ) u( x, y d y, z ) ; v( x, y dy, z )
Taylor 级数展开：
du 1 d2u 2 u x dx u x dx dx 2 dx 2 dx
8
Chapter 4.1
位移和应变
单轴应变
略去高阶项：
du l u x dx u x dx dx
单轴应变（工程应变）定义为：
位移和应变
1 2 (dS 2 dS0 ) da E da 2
根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。
1 xm xm E ji ji 2 a j ai
A: B:
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
Chapter 4.1
17
位移和应变
按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而 略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分 量为
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
OP x xi ei OQ x dx ( xi dxi )ei
PQ OQ OP dx dxi ei
36
Chapter 4.2
位移和应变
变形前后，线元 PQ 和 PQ的长度平方为
哈工大弹塑性力学02_张量概念
哈工大 土木工程学院
……
12 / 48
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
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◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹性力学基础教学课件PPT
圆柱坐标：r—径向；θ—周向；z—轴向
dq
z
qr
zr
z
zq
r
q
qz
dr
rz dz
rq
r
dq dr
dz
r rq rz
o
y
ij qr
q
qz
q
r
zr zq z
x
➢圆柱坐标下的平衡微分方程
rr1 r qqr z zrr rq0
rrq1 r qq zzq2 rrq0
yz
1（wv） 2 y z
zx
1（uw） 2 z x
yz
x
1 2（z2vxy2wx）（2）
zx
y
12（x2wyz2uy）（3）
以上三个式子分别两两相加然后再减去第3 式，可得到：
yx
z
xz
y
yz
x
2u yz
xy
z
yz
x
xz
y
2v xz
• 左面三式分别对 X，Y,Z求偏导
• 平面问题应变协调方程
➢ 平面变形--物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，
而在该平面的法线方向没有变形。
➢ 发生变形的平面称为塑性流平面，它始终保持为平面，不会
发生扭曲、倾斜。
➢ 假设没有变形的方向为坐标的Z向，则Z方向上的位移分量 w=0; 其余两个位移分量与Z坐标无关，对Z的偏导数为零。
• 角标符号：同一个物理量的不同分量用同一个字母加不同
的的下标来表示。比如：
3根坐标轴：x,y,z
3个方向余弦：l,m,n, 3个基准矢量：i,j,k,
Xi (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ni (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ei (i=1,2,3)或（i=x,y,z)
弹塑性力学第02章
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
x
y
z
yz
应变协调方程推导（3） u
为了进一步 消除上式右 端的位移分 量 u ，将上式 两边对 x 求一 2 yz xz xy u 阶偏导数， 2 x y z yz 再注意到式 2 （ 2-6 ） 的 第 xz x yz xy 2 一式，便有 x x y z yz
2-2 试叙述平衡微分方程和静力边界条件 的物理意义，满足平衡微分方程和静力 边界条件的应力是否是实际存在的应力？ 为什么？
2-11 一个任意形状的物体，其表面受均 匀压力p作用，如果不计其体力，试验证 应力分量
x y z p, yz zx xy 0
1 yz yz, 2
1 xz xz, 2
1 xy xy 2
1 ij u i , j u j ,i 2
一、应变张量
x 1 ij xy 2 1 xz 2 1 yx 2 y 1 yz 2 1 zx 2 1 zy 2 z
1 1 1 ,m ,n 2 2 2
§2-2 平衡微分方程与应力边界条件
一、平衡微分方程 纳维（Navier）方程
2u x yx zx Fx 0 2 x y z t xy y zx 2v Fy 0 t 2 x y z 2 w xz yz z Fz 0 2 x y z t
第二章 弹性力学基本理论
x
y
z
yz
应变协调方程推导（3） u
为了进一步 消除上式右 端的位移分 量 u ，将上式 两边对 x 求一 2 yz xz xy u 阶偏导数， 2 x y z yz 再注意到式 2 （ 2-6 ） 的 第 xz x yz xy 2 一式，便有 x x y z yz
2-2 试叙述平衡微分方程和静力边界条件 的物理意义，满足平衡微分方程和静力 边界条件的应力是否是实际存在的应力？ 为什么？
2-11 一个任意形状的物体，其表面受均 匀压力p作用，如果不计其体力，试验证 应力分量
x y z p, yz zx xy 0
1 yz yz, 2
1 xz xz, 2
1 xy xy 2
1 ij u i , j u j ,i 2
一、应变张量
x 1 ij xy 2 1 xz 2 1 yx 2 y 1 yz 2 1 zx 2 1 zy 2 z
1 1 1 ,m ,n 2 2 2
§2-2 平衡微分方程与应力边界条件
一、平衡微分方程 纳维（Navier）方程
2u x yx zx Fx 0 2 x y z t xy y zx 2v Fy 0 t 2 x y z 2 w xz yz z Fz 0 2 x y z t
第二章 弹性力学基本理论
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-张量_图文
Appendix A.4
张量分析引论
矢量和张量的记法，求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A
张量代数&商判则
相等
若两个张量
和
相等
则对应分量相等
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则 它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
坐标与坐标转换
向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：
Appendix A.3
坐标与坐标转换
由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式
Appendix A.3
坐标与坐标转换
坐标转换的矩阵形式(设新老 坐标原点重合)
Appendix A.3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而自动消失。
Appendix A.3
坐标与坐标转换
笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
任意坐标系
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
概念 • 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时， 空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 • 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi
张量分析引论
矢量和张量的记法，求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A
张量代数&商判则
相等
若两个张量
和
相等
则对应分量相等
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则 它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
坐标与坐标转换
向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：
Appendix A.3
坐标与坐标转换
由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式
Appendix A.3
坐标与坐标转换
坐标转换的矩阵形式(设新老 坐标原点重合)
Appendix A.3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而自动消失。
Appendix A.3
坐标与坐标转换
笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
任意坐标系
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
概念 • 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时， 空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 • 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
弹性理论相关张量基础
e3
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-平面问题-A_图文
非零应变分量 x , y , xy ( x, y)
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变问题基本场变量：
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
x =x(x,y) y =y(x,y) txy =txy(x,y) z =z (x,y) txz =tyz =0
钢材
0.3
1.10
1.43
环氧树脂
0.48
1.29
1.92
其中E*/E对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不 超过30％
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
基本解法 (以平面应力为例)
位移解法
代入
代入
用位移表示的平 衡方程(L-N方程)
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
平面应力问题的位移解法基本方程。
协调方程：
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
边界条件：
在力边界上
在位移边界u上
很多情况下，两类平面问题是统一的。只要解出 其中一个，另一个可用替换弹性常数来得到。
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
泊松比越大，两类平 面问题的差别越大，
材料
E*/E
*/
水泥
0.1
1.01
1.11
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
u =u (x,y) v =v (x,y) w=0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0 x ,y ,txy, z 不独立 txz= tyz= 0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变问题基本场变量：
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
x =x(x,y) y =y(x,y) txy =txy(x,y) z =z (x,y) txz =tyz =0
钢材
0.3
1.10
1.43
环氧树脂
0.48
1.29
1.92
其中E*/E对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不 超过30％
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
基本解法 (以平面应力为例)
位移解法
代入
代入
用位移表示的平 衡方程(L-N方程)
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
平面应力问题的位移解法基本方程。
协调方程：
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
边界条件：
在力边界上
在位移边界u上
很多情况下，两类平面问题是统一的。只要解出 其中一个，另一个可用替换弹性常数来得到。
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
泊松比越大，两类平 面问题的差别越大，
材料
E*/E
*/
水泥
0.1
1.01
1.11
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
u =u (x,y) v =v (x,y) w=0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0 x ,y ,txy, z 不独立 txz= tyz= 0
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
弹性力学专题知识课件
7
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
17
图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
17
图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
弹性力学_张量
x3
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。
e1 、e 2 、e3 为坐标的基矢量（单位
x1
i 1
e3
r
e2 e1
x2
记法：
（1）实体记法： r
可表示为
ij
（i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
S ai xi a j x j ak xk
or
or
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
ai bi xi
双重求和
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
S aij xi x j
2 f 2 f 2 f 2 f , 2 , 2 , f , ij 2 x1 x 2 x3 x1 x 2
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
R3 C3 E3Fra bibliotek规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
3 r r1 e1 r2 e 2 r3 e3 ri ei
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。
e1 、e 2 、e3 为坐标的基矢量（单位
x1
i 1
e3
r
e2 e1
x2
记法：
（1）实体记法： r
可表示为
ij
（i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
S ai xi a j x j ak xk
or
or
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
ai bi xi
双重求和
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
S aij xi x j
2 f 2 f 2 f 2 f , 2 , 2 , f , ij 2 x1 x 2 x3 x1 x 2
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
R3 C3 E3Fra bibliotek规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
FXQ-Chapter-07平面问题-A
fx
0;
t yx x
y y
fy
0;
fz 0
, f =0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
3. 协调方程 三维协调方程：
emjeknil ij,kl0
平面问题协调方程： emjeni ij,0
平面应变问题：
emen ,0
几何 关系
ij
本构 关系
应力解法
基本框架
应力协调方程（3）
应力平衡方程（3）
ij
应力边界条件（3）
2 ij1 1 ,ij fi,jfj,i 1fk,kij
ji,jfi 0
ui
本构 关系
ij
几何 关系
平面问题及其分类
平面应变问题 平面应力问题 广义平面应变问题 广义平面应力问题
非平凡的方程：
mn3
,, 0
11,2222,11212,120
Chapter 7.1
平面问题及其分类
3. 协调方程
2x
y2
2y
x2
2xy ;
xy
yz
z
x
zx
y
xy
z
2 2z
2
2y
zx
2x
y2
2y
x2
2xy
xy
0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
3. 协调方程 三维协调方程：
平面问题协调方程：
emjeknil ij,kl0 emjeni ij,0
平面应力问题：
33 0
弹性理论第二讲—张量理论_211207049
物体内一点处的局部受力情况是一个具有双重 方向性的物 量 其中第 个是面元的方向 方向性的物理量，其中第一个是面元的方向， 用其法矢量表示，第二个是作用在该面元上的 应力矢量的方向。 应力矢量的方向
如何表示？？？
我们在物体内兴趣点周围截出一微单元，该点的 应力状态由各微分面上的应力情况表示。 应力状态由各微分面上的应力情况表示
哑指标：该重复指标称为哑指标。 自由指标：除哑标外，在表达式或者方程的某项中 非成对出现的其它指标。
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
10
附录：指标符号
求和约定
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
利用哑标简化方 a21 x1 a22 x2 a23 x3 程中的表达式 x2
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3
9
附录：指标符号
求和约定 求 约定
定义：如果在表达式的某项中，某指标重复 重复地出现 两次，则表示要把该项 两次 该项在该指标 该指标的取值范围 取值范围内遍历 遍历 求和。 求和
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3 ui ei
19
eijk ai b j e k
A－ 2
二者在矢量运算中的应用
[ a , b, c ] a b c a b c
三个矢量的混合积： a am e m , b b j e j , c ck e k ,
a b c (am e m ) (b j e j ck e k )
弹性力学基础及有限元
第二讲 张量理论
如何表示？？？
我们在物体内兴趣点周围截出一微单元，该点的 应力状态由各微分面上的应力情况表示。 应力状态由各微分面上的应力情况表示
哑指标：该重复指标称为哑指标。 自由指标：除哑标外，在表达式或者方程的某项中 非成对出现的其它指标。
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
10
附录：指标符号
求和约定
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
利用哑标简化方 a21 x1 a22 x2 a23 x3 程中的表达式 x2
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3
9
附录：指标符号
求和约定 求 约定
定义：如果在表达式的某项中，某指标重复 重复地出现 两次，则表示要把该项 两次 该项在该指标 该指标的取值范围 取值范围内遍历 遍历 求和。 求和
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3 ui ei
19
eijk ai b j e k
A－ 2
二者在矢量运算中的应用
[ a , b, c ] a b c a b c
三个矢量的混合积： a am e m , b b j e j , c ck e k ,
a b c (am e m ) (b j e j ck e k )
弹性力学基础及有限元
第二讲 张量理论
清华大学弹性学冯西桥FXQ-Chapter-05本构关系
32
Chapter 5.1
广义胡克定律
常用的三套弹性常数
E、ν
单拉测定
Lamé常数：G、λ
K、G
静水压、纯剪 （扭转）测定
33
Chapter 5.1
广义胡克定律
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)， 所以
由三部分组成，即
y
o
y
e x e x e x e x
y
x x z
21
Chapter 5.1
广义胡克定律
e x e x e x e x
其中e x 是由于x的作用所产生的相对伸长
e x
x
E
e x是由于y的作用所产生的相对缩短
e
x
弹性的定义
由实验可知当加载到A点后
卸载，加载与卸载路径并不 B
A
完全重合，亦即应力与应变
之间不是单值对应的关系。
OBACO称为滞后回线。其 o
C
e
所包含的面积称为滞后面积。
7
Chapter 5.1
弹性的定义
对大多数材料来讲，当 应力加载幅值较小时， 滞后回线非常窄小，可 以认为加载与卸载是重 合的。因此应力与应变 间可看作是单值对应关 系。
8
Chapter 5.1
弹性的定义
弹性本构关系：
σ TF,a
其中
F x a
94
F
Chapter 2.1
弹性的定义
弹性本构关系：
应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。
相关主题
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而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3 e1 e1 e2
Appendix A.2
e3 e2
35
•17
•2015/3/25
符号ij与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
u2 e 2
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
x1=x
e 3= k
u1e1 e 2= j x2=y
e 1= i
6
Appendix A.1
•3
•2015/3/25
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量;
x3=z u3e3 u
其分量与坐标系选取有关，满 足坐标转换关系；
希腊指标
u=u e u1e1 u2e2
a b=a b = a1b1 a2b2
13
张量基本概念
二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量
压电张量，等。
四阶张量 弹性张量，等。
14
Appendix A.1
•7
•2015/3/25
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积
Appendix A.1
•11
•2015/3/25
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s
2
d x1 d x2 d x3
2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
i 1
3
25
Appendix A.1
•12
•2015/3/25
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
ai bi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特
26
Appendix A.1
张量基本概念
小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方 程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭 加的nm个项。
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。
(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
32
Appendix A.2
符号ij与erst
特性
1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
•2015/3/25
第二章
张量分析初步
Fundamentals of Tensor Analysis
冯 西 桥 清华大学工程力学系
2007.09.21
1
目
引言
录
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量
分解式记法： 11e1e1 12e1e2 13e1e3
分量记法：
ij
Appendix A.1
17
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ij n j i1n1 i 2n2 i 3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1
更高阶张量的缩并，等。
15
Appendix A.1
张量基本概念
应力张量
16
Appendix A.1
•8
•2015/3/25
张量基本概念
张量的三种记法： 实体记法：
+ 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s 2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
10
Appendix A.1
•5
•2015/3/25
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = ai bi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交 换。例如：
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
22
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指
标应防止重名。
ji , j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现
的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji , j fi 0
i换成k
jk , j f k 0
23
2
Appendix A
•1
•2015/3/25
引
言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示 主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972
11
Appendix A.1
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, ,
, …均为二维指标，取值1, 2。
Hale Waihona Puke 12•6•2015/3/25
张量基本概念
拉丁指标
u =ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1 (当i＝j时)
不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei•ej＝ ij
34
Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
ei e j eijk ek
21
Appendix A.1
•10
•2015/3/25
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，
关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
df
24
f d xi xi
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来
表示多重求和。 例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibi ci
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
Appendix A.1
8
•4
•2015/3/25
张量基本概念
指标符号用法
1.三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 2.两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
i 1
31
Appendix A.2
•15
•2015/3/25
符号ij与erst
erst符号(排列符号或置换符号)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
或 erst
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 r s s t t r 2
ij
1 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
ei e j eijk ek
e3 e1 e1 e2
Appendix A.2
e3 e2
35
•17
•2015/3/25
符号ij与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
u2 e 2
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
x1=x
e 3= k
u1e1 e 2= j x2=y
e 1= i
6
Appendix A.1
•3
•2015/3/25
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量;
x3=z u3e3 u
其分量与坐标系选取有关，满 足坐标转换关系；
希腊指标
u=u e u1e1 u2e2
a b=a b = a1b1 a2b2
13
张量基本概念
二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量
压电张量，等。
四阶张量 弹性张量，等。
14
Appendix A.1
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•2015/3/25
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度 低阶张量的并积
Appendix A.1
•11
•2015/3/25
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s
2
d x1 d x2 d x3
2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
i 1
3
25
Appendix A.1
•12
•2015/3/25
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
ai bi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特
26
Appendix A.1
张量基本概念
小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方 程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭 加的nm个项。
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。
(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
32
Appendix A.2
符号ij与erst
特性
1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素 为-1，其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
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第二章
张量分析初步
Fundamentals of Tensor Analysis
冯 西 桥 清华大学工程力学系
2007.09.21
1
目
引言
录
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量
分解式记法： 11e1e1 12e1e2 13e1e3
分量记法：
ij
Appendix A.1
17
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ij n j i1n1 i 2n2 i 3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1
更高阶张量的缩并，等。
15
Appendix A.1
张量基本概念
应力张量
16
Appendix A.1
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•2015/3/25
张量基本概念
张量的三种记法： 实体记法：
+ 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
11 12 13 1 0 0 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s 2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
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Appendix A.1
•5
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张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = ai bi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交 换。例如：
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
22
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指
标应防止重名。
ji , j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现
的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji , j fi 0
i换成k
jk , j f k 0
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2
Appendix A
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引
言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示 主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972
11
Appendix A.1
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标, ,
, …均为二维指标，取值1, 2。
Hale Waihona Puke 12•6•2015/3/25
张量基本概念
拉丁指标
u =ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1 (当i＝j时)
不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei•ej＝ ij
34
Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
ei e j eijk ek
21
Appendix A.1
•10
•2015/3/25
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，
关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
df
24
f d xi xi
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来
表示多重求和。 例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibi ci
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
Appendix A.1
8
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张量基本概念
指标符号用法
1.三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 2.两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
i 1
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Appendix A.2
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•2015/3/25
符号ij与erst
erst符号(排列符号或置换符号)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
或 erst
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 r s s t t r 2
ij
1 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)