囚徒困境和纳什均衡
好的纳什均衡例子(一)
好的纳什均衡例子(一)好的纳什均衡什么是纳什均衡？纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈参与者之间形成的一种稳定和平衡的策略选择状态。
在纳什均衡下，任何一个参与者都无法通过改变自己的策略来获得更大的利益。
好的纳什均衡指的是存在多个纳什均衡时，其中某些纳什均衡比其他纳什均衡更为理想。
例子一：囚徒困境囚徒困境是博弈论中最经典的例子之一。
假设有两个犯人，他们因为涉嫌合谋犯罪被捕，警察只有有限的证据。
警察与每个犯人分别进行单独审讯，并给他们提供了合作和背叛两个选项，这两个选项对应于认罪和抵赖。
如果两个人都选择合作，即认罪，则每个人都会被判刑2年；如果两个人都选择背叛，即抵赖，则每个人都会被判刑5年；如果一个人选择合作而另一个选择背叛，则合作的人会被判刑6年，而背叛的人会被判刑1年。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：互相背叛和互相合作。
然而，互相合作是更为理想的纳什均衡，因为如果两个人都选择合作，他们的总刑期将会最短，只有2年。
例子二：拍卖拍卖是另一个常见的博弈场景。
假设有两个竞拍者A和B，他们在一个拍卖会上竞价购买一件物品。
物品的最低价格为100元。
竞拍者A知道他的估值是200元，而竞拍者B知道他的估值是150元。
他们每次可以按照一定幅度加价，但不能超过自己的估值。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：A出价200元，B不出价；B 出价150元，A不出价。
然而，对于卖家来说，A出价200元，B不出价是更好的纳什均衡，因为这样卖家可以以更高的价格售出物品。
例子三：价格战价格战是市场竞争中常见的博弈情景。
假设有两家公司A和B，它们在同一个市场上销售类似的产品。
它们可以根据自己的利润目标制定价格。
如果两家公司的价格相等，则它们将平分市场份额；如果一家公司的价格比另一家低，则它将获得更大的市场份额。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：价格相等和一家公司的价格低于另一家。
然而，价格相等是更好的纳什均衡，因为这样两家公司可以共享更多的市场份额，并且避免因为价格战而导致的利润下降。
囚徒困境背后的经济学原理
囚徒困境背后的经济学原理1. 引言囚徒困境是博弈论中的一个经典问题，它涉及到个体在面对合作与背叛之间做出决策时所面临的权衡。
该问题可以通过经济学原理来解释，其中包括效用理论、合作与竞争、信息不对称等基本原理。
2. 效用理论效用理论是经济学中描述个体偏好和决策行为的基本原理。
在囚徒困境中，两个囚徒都希望获得最大化的利益，因此他们会根据自身的效用函数来进行决策。
效用函数可以描述个体对不同决策结果的偏好程度，从而帮助我们分析和预测他们的行为。
3. 合作与竞争囚徒困境涉及到个体之间的合作与竞争关系。
在该问题中，每个囚徒都面临着两种选择：合作或者背叛。
如果两个囚徒都选择合作，他们将获得较好的结果；但如果其中一个人选择背叛而另一个人选择合作，那么背叛者将获得更好的结果，而合作者将获得较差的结果。
这就形成了一个竞争的情景，每个囚徒都希望通过背叛来获得更大的利益。
4. 信息不对称在囚徒困境中，存在着信息不对称的问题。
每个囚徒只能观察到自己的选择和对方的选择，而无法准确了解对方的动机和行为意图。
这种信息不对称导致了决策过程中存在着风险和不确定性。
5. 纳什均衡纳什均衡是博弈论中一个重要的概念，用于描述在博弈过程中各参与者之间达成的一种稳定状态。
在囚徒困境中，如果两个囚徒都采取背叛策略，那么他们将陷入一个互相背叛、互相伤害的局面。
虽然他们可以通过合作来获得更好的结果，但由于彼此之间缺乏信任和信息共享，他们很可能会选择背叛策略。
因此，在囚徒困境中存在着纳什均衡点，即两个囚徒都选择背叛的策略。
6. 支付矩阵支付矩阵是用来描述博弈参与者在不同决策组合下获得的利益或效用。
在囚徒困境中，可以使用一个2x2的支付矩阵来表示两个囚徒的决策结果和相应的利益。
例如，如果两个囚徒都选择合作，他们将分别获得一个较好的结果；如果其中一个人选择背叛而另一个人选择合作，背叛者将获得最好的结果，而合作者将获得最差的结果。
囚徒B选择合作囚徒B选择背叛囚徒A选择合作较好结果最差结果囚徒A选择背叛最好结果较差结果根据支付矩阵可以看出，在囚徒困境中，每个囚徒都有动机去追求自己的最大利益，这导致了难以达成合作并产生了悲观的结果。
完整揭示纳什均衡概念的内涵及解决囚徒的困境
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(10), 1317-1324Published Online October 2018 in Hans. /journal/aamhttps:///10.12677/aam.2018.710153Complete Disclosure of the Connotations of Nash Equilibrium Concept and Solution tothe Prisoners’ DilemmaLiusheng YangShaanxi Chang’an Normal School, Xi’an ShaanxiReceived: Oct. 7th, 2018; accepted: Oct. 22nd, 2018; published: Oct. 30th, 2018AbstractIn order to solve the inconsistency caused by prisoners’ dilemma, it is necessary to re-examine the validity of the previous argumentation. The results reveal that the connotations of Nash Equili-brium Concept fail to be completely disclosed, and thus it is necessary to rectify the definitions of Nash Equilibrium, Dominant Strategy and other concepts; the logical necessity of the answer is the reason and condition for two prisoners to cooperate with each other. Conclusion: ① The reason for the occurrence of Prisoners’ Dilemma is as follows: logically, one side involved in the dilemma intends to regard ahead the selection of the assumptive opposite side but behind his own strategy in times of inference, but in fact, the both sides typically make their own selections simultaneously, and if resultant strategy profile is not Nash Equilibrium, it should not have existed in theory. ② In the game of Prisoner’s Dilemma, the optimal plan is provable and there. ③ There is no dominant strategy and dominant strategy equilibrium. ④ Both the “guilty plea of both sides” and “plea of not guilty of both sides” are Nash Equilibrium. ⑤ Nash Equilibrium, the “invisible hand” theory of Adam Smith and Pareto optimality are coordinated.KeywordsPrisoners’ Dilemma, Nash Equilibrium, Dominant Strategy, Adam Smith, Pareto Optimality,Rational People完整揭示纳什均衡概念的内涵及解决囚徒的困境杨六省陕西省长安师范学校，陕西西安杨六省收稿日期：2018年10月7日；录用日期：2018年10月22日；发布日期：2018年10月30日摘要为了解决囚徒的困境所引起的不一致性，有必要对以往论证的有效性进行重新审查，结果发现，纳什均衡概念的内涵并未得到完整的揭示，从而，纳什均衡及占优策略等概念的定义需要修正；答案所具有的逻辑必然性是两个囚徒应该和能够进行合作的理由和条件。
证明囚徒困境复制因子方程的稳定均衡为纳什均衡
证明囚徒困境复制因子方程的稳定均衡为纳什均衡
囚徒困境复制因子方程是一种模型，用于描述两个个体之间的竞争或合作关系。
该模型中存在一个稳定均衡点，称为纳什均衡。
证明囚徒困境复制因子方程的稳定均衡为纳什均衡，需要先了解什么是囚徒困境。
囚徒困境是指两个犯罪嫌疑人被捕后，分别被关押在不同的房间里。
警方让他们各自交代出对方的罪行，如果两人都不说，那么两人各判刑1年；如果两人都说，那么两人各判刑3年；如果一个人说，一个人不说，那么说的人免罪，不说的人则判刑5年。
在囚徒困境中，两个人都想要尽可能地减轻自己的惩罚，但同时也要考虑对方的行为。
这就是典型的非合作博弈。
在复制因子方程中，每个人都有一个策略，即说或者不说。
每次博弈之后，双方的策略会根据结果进行复制，赢家的策略更容易被复制。
这就是复制因子方程的核心思想。
在囚徒困境复制因子方程中，存在一个稳定均衡点，即当两个人都选择不说的时候，这个状态稳定，即使有一方改变策略，也不会有太大的影响。
这个稳定均衡点就是纳什均衡。
为什么说这个稳定均衡点是纳什均衡呢？因为纳什均衡是指在
博弈中，每个人都选择了自己最优的策略，而不考虑对方的策略。
在囚徒困境中，两个人都选择不说的话，对于个体来说，这是最优的策略。
即使对方改变了策略，自己也不会受到太大的影响，因此这个稳定均衡点就是纳什均衡。
综上所述，囚徒困境复制因子方程的稳定均衡为纳什均衡的证明
就是这样的。
纳什均衡和囚徒困境的关系
纳什均衡和囚徒困境的关系
囚徒困境所形成的均衡解就是纳什均衡解，即两个囚徒从自身效用最大化的角度考虑都会选择坦白，但这并非帕累托最优状态。
纳什均衡由约翰•纳什于20世纪50年代在一系列有关博弈论的论文中提出。
他假设有n个局中人参与博弈，在给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己效用最大化。
所有局中人策略构成一个策略组合（StrategyProfile）。
纳什均衡就是指这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成，即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。
博弈论术语
博弈论术语1. 占优策略占优策略就像是考试时那种不管别人怎么选，自己肯定是最优的选择。
比如说，在一场考试中，有一道选择题，A选项明显比其他选项都正确，不管其他同学怎么蒙，我选A就是最靠谱的，这就是我的占优策略。
2. 纳什均衡这纳什均衡啊，就好比一群人在跳舞。
我向左迈一步，你也会相应地调整你的步伐，最后大家达成一种平衡的状态。
像在市场竞争里，两家公司都在调整价格，当双方都觉得再调整也不会得到更多好处的时候，就达到了纳什均衡。
3. 囚徒困境哎囚徒困境可太折磨人了！就像两个小偷被抓了，分开审讯。
他们都可以选择坦白或者不坦白。
如果都不坦白呢，可能就判得很轻，但他们互相猜忌啊。
其中一个想：“要是他坦白了，我不坦白就惨了。
”于是都坦白了，结果都判得很重。
这就像我们在合作项目中，有时候因为不信任对方，结果都做出了对大家都不利的选择。
4. 混合策略混合策略有点像做菜的时候放盐。
有时候多放点，有时候少放点，没有一个固定的量。
在玩猜拳游戏的时候，我不能老是出剪刀，我得随机出拳，这就是混合策略。
我出剪刀、石头、布的概率不一样，这样对手就很难猜到我要出什么。
5. 零和博弈零和博弈就像抢一块蛋糕，我多吃一口，你就少吃一口。
我们之间的利益总和是零。
比如说在一场赌博中，我赢的钱就是你输的钱，没有双赢的可能，这真让人觉得有点残酷呢。
6. 正和博弈正和博弈就完全不一样啦，它就像大家一起做蛋糕，然后再分蛋糕。
我们合作，把蛋糕做得越来越大，每个人分到的都比以前多。
就像一个创业团队，大家齐心协力，最后赚得盆满钵满，这多让人高兴啊。
7. 负和博弈负和博弈就很惨啦。
就像两个人打架，都受伤了，不仅没得到什么好处，还都有损失。
比如说两个国家打仗，消耗了大量的人力物力，最后两败俱伤，这真是一种愚蠢的行为啊。
8. 策略空间策略空间就像是我的魔法口袋，里面装着各种各样我能采取的行动。
在一场棋局里，我的策略空间就是我可以走的每一步棋，每一种走法都是这个空间里的一个元素，这就看我怎么选择来应对对手啦。
最新囚徒困境和纳什均衡
囚徒困境和纳什均衡当对手知道了你的决定之后，就能做出对自己最有利的决定------普林斯顿大学数学家约翰·纳什囚徒困境著名的“囚徒困境”，是纳什均衡理论的经典案例。
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。
于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供一下相同的选择：若有一人认罪并作证检控对方（背叛对方）而对方保持沉默，此人将立即获释，沉默者将判监禁十年。
若两人都保持沉默(互相合作）则两人同时被判监禁半年。
若两人都互相检举（互相背叛）则两人同时监禁两年。
如同博弈论的其他论证，囚徒困境假设每个囚徒都是利己的，激斗寻求自己的最大利益。
囚徒到底应该选择哪一项策略，才能将自己的刑期缩至最短？两名囚徒由于相互隔离监禁，并不知道对方的选择。
试想困境中两名理性的囚徒会如何选择：若对方沉默，背叛会让我获释，所以对方会选择背叛。
若对方背叛我，我也要指控对方才能得到较低的刑期，所以也是这样会选择背叛。
二人面对的情况一样，所以二人的理想思考会得到相同的答案----选择背叛。
背叛是两种策略之间的支配性策略。
因此这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡就是两人选择同时背叛对方，结果两人同时服刑两年。
这场博弈的纳什均衡，显然不是最优的解决方案。
如果两人都选择沉默，两人都只会被判刑半年。
但根据以上假设，两人均为理性的个人，均衡状况回事两个囚徒都选择背叛。
这就是“困境”所在。
寻找“纳什均衡点”在现实生活中，纳什均衡理论影响着人们的行为。
比如，在有些国家，报亭既无管理人员也不上锁，买报纸的人在自行放下前后拿走报纸。
当然某些人可能取走报纸却不付钱（背叛）但由于大家意识到如果每个人都偷窃报纸（共同背叛）会造成以后不方便的有害结果，这种情形很少发生。
在商业活动中，也会出现各种各样的囚徒困境的例子。
两个公司相互竞争，他们的广告互相影响，即一公司的广告较被顾客接受则会夺取对方的部分收入。
但若二者同时期发出质量类似的广告，收入增加很少但成本增加。
囚徒困境与纳什均衡的关系
囚徒困境与纳什均衡的关系这两个概念都是博弈论中的概念，那什么是博弈论呢，博弈论是研究竞争现象的一种理论方法。
既然是理论方法就会有许多假设的前提，但在现实情况下，这些前提很可能不会同时存在。
所以所有理论方法，只是有助于你分析并理解现实世界，它只是一种方法，或者是一种思维工具而已，切不可生搬硬套。
博弈论在经济学、生物学、物理学、社会学、政治学中都有应用，所以博弈论是一种十分有用的分析框架。
先介绍一下囚徒困境，然后在囚徒困境中找到纳什均衡的局面，最后进行一下总结。
1.囚徒困境1.1两个犯罪嫌疑人都被抓了起来，并且这两个人都是理性、自利的，并且不能相互交流。
都被告知如下规则。
在这种情况下，两个人会做什么选择？答案是两个人都会选择背叛对方。
分析如下：甲想：如果乙沉默，我背叛的话，就会立即获释。
如果乙背叛，我沉默的话，就会判刑十年。
所以甲会选择背叛。
同理乙也会选择背叛。
最终两人都会服刑5年。
其实有一个最优解就是：甲乙都选择沉默。
这就是“困境”所在：个人的最优解，并不是全局的最优解。
1.2知道次数的囚徒困境。
比如限制十次经过上次的教训，甲知道了沉默是全局的最优解，但是最后一次，甲背叛，乙沉默的话，甲会立马获释。
所以前九次甲都会选择沉默，已获得对方的信任，最后一次会选择背叛。
同理乙也会这么想。
当双方都知道对方在最后一局选择背叛，那么会有人在第九局选择背叛，依次类推。
第一局双方都会选择背叛。
1.3不知道次数的囚徒困境经过多次博弈，背叛会受到惩罚，双方趋向于选择合作。
2.纳什均衡在博弈中会存在一个均衡，任何一方都不愿改变策略，因为这种状况下改变策略会不利于自己。
囚徒困境下的纳什均衡是：双方都背叛。
可以用排除法找到答案，如果两人都沉默的话，只要任何一方背叛，会立马获释。
这种双方都沉默的局面并不稳定。
如果一方沉默，另一方背叛的话。
没有人傻到自己沉默，所以这种情况也是不稳定的。
3.总结3.1局部最优解不是全局最优解。
3.2个人的理性选择，会造成全局的非理性。
纳什均衡例题
纳什均衡的经典案例是“囚徒困境”。
在这个例子里，有两个小偷A和B联合犯事，被警方抓住并分别关在不同的房间里进行审讯。
警方对每个犯罪嫌疑人给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，那么证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也坦白了罪行，那么两人各被判刑8年。
这个案例中，无论A还是B，最优策略都是坦白。
因为如果A选择坦白，B的最优策略也是坦白；如果A选择不坦白，B的最优策略也是坦白。
反之亦然。
因此，两人的最优策略是一致的——坦白。
这就是纳什均衡的一个体现。
在更复杂的情况下，例如狮群博弈中，总数是奇数和偶数时，狮子的策略会发生变化。
这同样可以通过纳什均衡来解释。
当狮子总数为奇数时，每只狮子都有可能成为狩猎者，因此它们会选择大胆去吃睡着的狮子；而当狮子总数为偶数时，没有狮子会成为狩猎者，因此它们会选择谨慎地不去吃睡着的狮子。
这也是纳什均衡的一个应用。
希望这个例子能够帮助你理解纳什均衡的概念和实际应用。
第一章 囚徒困境与纳什均衡
政客的囚徒困境
1984年 1984年，美国联邦预算赤字实在太高 了。裁减必要的巨额开支在政治上并不 可行，因此，大幅增税应是不可避免的。 可行，因此，大幅增税应是不可避免的。 民主党总统候选人沃尔特·蒙代尔在竞 民主党总统候选人沃尔特 蒙代尔在竞 选中提出增税政策，却被罗纳德 里根打 罗纳德·里根 选中提出增税政策，却被罗纳德 里根打 得落花流水，因为里根许诺绝不加税。 得落花流水，因为里根许诺绝不加税。 这就是为什么美国是世界上最富有的 国家，却同时又是最大的债务国的原因。 国家，却同时又是最大的债务国的原因。
不巴结
（落选，升官） 落选，升官）
(升官或落选， 升官或落选， 升官或落选 升官或落选） 升官或落选） 三乌丛臣
巴结
不巴结
双方均巴结，则双方成本高；双方均不巴结，则双方成本 双方均巴结，则双方成本高；双方均不巴结， 低。然而“背叛”是双方的最佳的策略。 然而“背叛”是双方的最佳的策略。
囚徒与战士
约瑟夫·海勒《 22条军规》 约瑟夫·海勒《第22条军规》 条军规 的一个故事： 的一个故事： 第二次世界大战胜利在望， 第二次世界大战胜利在望，投 弹手尤塞里安不想成为胜利前夕最 后一批牺牲者， 后一批牺牲者，千方百计逃避执行 任务。他的上级军官问： 可是， 任务。他的上级军官问：“可是， 假如我方士兵都这么想呢？ 假如我方士兵都这么想呢？”可尤 塞里安答道： 那我若是不这么想， 塞里安答道：“那我若是不这么想， 岂不就成了一个大傻瓜？ 岂不就成了一个大傻瓜？”
经典案例——囚徒困境 囚徒困境 经典案例
就是说，对方背叛，你也背叛将会更好些。这意味着， 就是说，对方背叛，你也背叛将会更好些。这意味着， 无论对方如何行动，如果你认为对方将合作， 无论对方如何行动，如果你认为对方将合作，你背叛能 得到更多；如果你认为对方将背叛， 得到更多；如果你认为对方将背叛，你背叛也能得到更 你背叛总是好的。 多。你背叛总是好的。 于是两人都作出招供的选择，这对他们个人来说都是最 于是两人都作出招供的选择， 佳的，即最符合个体理性的选择。 佳的，即最符合个体理性的选择。 照博弈论的说法，这是本问题的惟一平衡点。 照博弈论的说法，这是本问题的惟一平衡点。只有在这 一点上，任何一人单方面改变选择， 一点上，任何一人单方面改变选择，他只会得到较差的 结果。这一点就是纳什均衡 纳什均衡（ Equilibrium）。 结果。这一点就是纳什均衡（Nash Equilibrium）。
囚徒困境和纳什均衡
囚徒困境和纳什均衡当对手知道了你的决定之后，就能做出对自己最有利的决定------普林斯顿大学数学家约翰·纳什囚徒困境著名的“囚徒困境”，是纳什均衡理论的经典案例。
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。
于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供一下相同的选择：若有一人认罪并作证检控对方（背叛对方）而对方保持沉默，此人将立即获释，沉默者将判监禁十年。
若两人都保持沉默(互相合作）则两人同时被判监禁半年。
若两人都互相检举（互相背叛）则两人同时监禁两年。
如同博弈论的其他论证，囚徒困境假设每个囚徒都是利己的，激斗寻求自己的最大利益。
囚徒到底应该选择哪一项策略，才能将自己的刑期缩至最短？两名囚徒由于相互隔离监禁，并不知道对方的选择。
试想困境中两名理性的囚徒会如何选择：若对方沉默，背叛会让我获释，所以对方会选择背叛。
若对方背叛我，我也要指控对方才能得到较低的刑期，所以也是这样会选择背叛。
二人面对的情况一样，所以二人的理想思考会得到相同的答案----选择背叛。
背叛是两种策略之间的支配性策略。
因此这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡就是两人选择同时背叛对方，结果两人同时服刑两年。
这场博弈的纳什均衡，显然不是最优的解决方案。
如果两人都选择沉默，两人都只会被判刑半年。
但根据以上假设，两人均为理性的个人，均衡状况回事两个囚徒都选择背叛。
这就是“困境”所在。
寻找“纳什均衡点”在现实生活中，纳什均衡理论影响着人们的行为。
比如，在有些国家，报亭既无管理人员也不上锁，买报纸的人在自行放下前后拿走报纸。
当然某些人可能取走报纸却不付钱（背叛）但由于大家意识到如果每个人都偷窃报纸（共同背叛）会造成以后不方便的有害结果，这种情形很少发生。
在商业活动中，也会出现各种各样的囚徒困境的例子。
两个公司相互竞争，他们的广告互相影响，即一公司的广告较被顾客接受则会夺取对方的部分收入。
但若二者同时期发出质量类似的广告，收入增加很少但成本增加。
囚徒困境与纳什均衡
囚徒困境与纳什均衡
囚徒困境是两个囚犯之间的一个“博弈”，常用来说明不是最优性质的纳什均衡。
当然，囚徒困境的纳什均衡虽然不利于博弈的参与人，但却有利于整个社会。
事例基本内容是：张三和李四以前抢过银行，后来在一次偷汽车的时候被抓住了，警察对他们进行隔离审问，而且向他们每个人都提出了如下的交易：现在可以判你坐一年牢，但如果你承认你和你的同伙前不久抢过银行，我们就可以把你放了，而你的同伙则要坐20年牢；反之，如果你不承认，而你的同伙招供了，那你的同伙就可以自由，而你则要坐20年牢；如果你和你的同伙都承认了抢银行的事，你们2人要坐8年牢。
此时，张三会想：对我来说，最好的结果就是李四不坦白而我坦白，这样我就不用坐牢了；但李四也可能坦白，如果李四坦白了，我该怎么办呢？我最好还是坦白，因为如果我不坦白，就要坐20年牢，而坦白了只要坐8年牢；所以，不管李四坦白不坦白，我最好都要坦白。
当然，李四也会这么想，结果两人都坐8年牢。
由此可见，在有些情况下，每个参与人都追求自己的利益，可能既不能给自己带来好处，也不能给别人带来好处。
囚徒困境表明，合作是困难的，解决囚徒困境最经常的情况是：参与者的博弈不是一次性的而是多次的，而且参与者在开始合作时可以签订协议并规定如果一方违约将如何处理。
所以，只要参与者都非常关心自己未来的利益，他们就会放弃违规带来的一次性好处。
这样，在多次囚徒困境博弈中，参与者就可能达到合作性的结果。
纳什均衡与囚徒困境
交通拥堵中的纳什均衡
在交通拥堵中，如果所有驾驶员都选择走某一 条路，那么这条路就会变得非常拥堵。
如果一个驾驶员选择走另一条路，那么他可能 会更快地到达目的地，但其他驾驶员也可能会 效仿，导致另一条路也变得拥堵。
纳什均衡在交通拥堵中的表现为：所有驾驶员 都选择走同一条路，形成一种稳定的交通状态。
公共资源中的纳什均衡
建立信任
通过建立信任机制，让囚犯相 信对方不会出卖自己，从而都
选择抵赖。
引入第三方监管
由第三方监管机构介入，制定 规则并监督执行，确保双方都 遵守规则。
改变奖励机制
改变奖励机制，使得双方都选 择抵赖成为最优解，例如将坦 白惩罚变得更重。
增加沟通机会
让囚犯有更多的沟通机会，了 解对方的想法和处境，从而更
企业竞争中的囚徒困境
价格战
01
企业为了争夺市场份额，可能会采取降价策略，但这种策略可
能导致整个行业的利润下降。
技术研发
02
企业在研发新技术时面临投入不足或过度投入的困境，如何平
衡研发投入与市场收益是一大挑战。
广告策略
03
企业在广告投放上可能存在囚徒困境，过多的广告投入可能增
加品牌知名度，但也可能导致广告费用过高而降低利润。
01
02
03
公共资源是指那些不属于任何个 人或组织的资源，如海洋、森林、 空气等。
在公共资源的使用中，如果每个 人或组织都过度使用资源，那么 资源将会被耗尽或使用 资源，导致资源的过度消耗和破 坏，形成一种稳定的竞争状态。
05 囚徒困境的实例分析
促进学科发展
纳什均衡与囚徒困境的研究推动了博弈论和其他相关学科的发展，促进了学术交流和知识创新。
纳什均衡与囚徒困境
纳什均衡纳什均衡，Nash equilibrium ,又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名，是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。
首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。
换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。
纳什均衡（Nash equilibrium），无一参与者可以通过独自行动而增加收益的策略组合。
纳什均衡达成时，并不意味着博弈双方都处于不动的状态，在顺序博弈中这个均衡是在博弈者连续的动作与反应中达成的。
纳什均衡可以分成两类:"纯战略纳什均衡"和"混合战略纳什均衡"。
纯战略是提供给玩家要如何进行赛局的一个完整的定义。
特别地是，纯战略决定在任何一种情况下要做的移动。
战略集合是由玩家能够施行的纯战略所组成的集合。
混合战略是对每个纯战略分配一个机率而形成的战略。
混合战略允许玩家随机选择一个纯战略。
混合战略博弈均衡中要用概率计算，因为每一种策略都是随机的，达到某一概率时，可以实现支付最优。
因为机率是连续的，所以即使战略集合是有限的，也会有无限多个混合战略。
案例：智猪博弈、囚徒困境、普通范式博弈（公司合作背叛）、饿狮博弈、硬币正反。
这里有一个理想化假设，那就是假设双方都知道博弈次数是无限的话，也就是说双方的商业往来是无止尽的，那么二者的策略都将持续选择合作，最终的博弈收益将定格在（3，3），这就是一个纳什均衡。
既然博弈次数是无限的，那么任何一方都没有理由选择背叛策略去冒险追求5点短暂收益，而招致对方在下一轮博弈中的报复（这种报复在博弈论里称作“以牙还牙”策略）。
还有另一种假设情况是，假使双方都知道博弈次数是有限的，也许下一次博弈就是最后一次，那么为了避免对方在最后一轮博弈中选择背叛策略而使我方遭受-3的收益损失，于是双方都重新采取了背叛的策略选择，最后的博弈结果又回到了（-1，-1），这就形成了第二个纳什均衡。
纳什均衡与囚徒困境的关系
纳什均衡与囚徒困境的关系纳什均衡和囚徒困境是博弈论中两个重要的概念。
纳什均衡是指在一个博弈中，每个玩家都选择了最优的策略，而其他玩家也选择了最优的策略，这种情况下，每个玩家都无法通过单方面改变策略来获得更大的收益。
囚徒困境则是指，在一个博弈中，每个玩家都会倾向于选择自己的最优策略，但是这种最优策略对于其他玩家来说并不是最优的，导致所有玩家都会得到较差的结果。
那么，纳什均衡和囚徒困境有什么关系呢？首先，纳什均衡可以被用来解决囚徒困境。
在囚徒困境中，每个囚徒都会选择背叛对方，因为这是他们自己的最优策略。
但是，如果两个囚徒都选择合作，那么他们都能获得比背叛更好的结果。
这种情况下，囚徒困境的纳什均衡就是合作。
如果两个囚徒都选择合作，那么他们都不会通过单方面改变策略来获得更大的收益。
其次，囚徒困境可以被用来解释为什么人们会选择不合作的策略。
在现实生活中，人们经常会面临类似于囚徒困境的情况。
例如，在商业谈判中，每个公司都希望获得更多的收益，但是如果所有公司都选择了竞争，那么他们都会得到比合作更差的结果。
这种情况下，每个公司都可能会选择竞争，因为这是他们自己的最优策略。
但是，如果所有公司都选择了合作，那么他们都能获得比竞争更好的结果。
这种情况下，囚徒困境的纳什均衡就是竞争。
最后，纳什均衡和囚徒困境的研究对于社会科学和经济学有着重要的意义。
在社会科学中，博弈论被广泛应用于研究人类行为和社会互动。
在经济学中，博弈论被用来研究市场竞争、拍卖和合同等问题。
纳什均衡和囚徒困境作为博弈论的核心概念，对于解决这些问题具有重要的理论和实践意义。
总之，纳什均衡和囚徒困境是博弈论中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
纳什均衡可以被用来解决囚徒困境，囚徒困境可以被用来解释为什么人们会选择不合作的策略。
这些研究对于社会科学和经济学具有重要的意义，为我们深入理解人类行为和社会互动提供了重要的理论基础。
纳什均衡的例子
纳什均衡的例子
纳什均衡是博弈论中一种重要的概念，最早由约翰·福纳什提出。
它描述了在多方参与的竞争中，每个参与者根据其他人的策略选择了一种最优策略，使得再改变个体策略时，其他人已经无法获得更好的结果。
一个经典的例子是“囚徒困境”。
在这个例子中，有两个嫌疑犯被警方逮捕，并被关在不同的监狱。
检察官只有足够的证据起诉他们合谋犯罪，而不能成功起诉单独一个人。
如果两人都保持沉默，不揭发彼此，那么他们只会因为小罪名被判入狱一年。
如果其中一个人选择供出另一个人，而另一个人保持沉默，那么供出者将被免于刑罚，而另一个人将被判处十年监禁。
如果两人都选择供出对方，那么他们将被判处三年入狱。
在这个案例中，每个嫌疑犯面临着两个策略选择：合作（保持沉默）或者背叛（供出对方）。
无论对方选择什么策略，每个嫌疑犯都可以通过背叛来获得更轻的刑罚。
然而，当两人都背叛时，他们的总刑期最长。
这导致了一个纳什均衡：在这个案例中，两人都会背叛，因为无论对方选择什么策略，自己背叛都会获得更轻的刑罚。
这个例子揭示了纳什均衡的重要思想，即每个参与者都在预期其他人的行为的基础上做出最优的决策，以达到自己的最大利益。
纳什均衡在经济学、生物学、国际关系等领域都有广泛的应用，对于分析人类行为和决策提供了有力的理论基础。
两个纳什均衡解
两个纳什均衡解纳什均衡（Nash equilibrium）是博弈论中的一个重要概念，描述了多方参与者在无法单方面改变策略时所达到的最佳决策状态。
简单来说，如果每个参与者都已经选择了最佳策略，而且没有人有动机单独改变自己的策略，那么这种状态就被称为纳什均衡。
以下将介绍两个不同情境下的纳什均衡解。
情境一：囚徒困境囚徒困境是一种典型的博弈论情景，在这种情况下，两名犯罪嫌疑人被警方逮捕，在不互相沟通的情况下，警方给予了他们一定的定罪量刑选择。
假设两名嫌疑人分别有两种选择：合作（cooperate）和背叛（defect）。
如果两人都合作，他们会获得较轻的定罪和刑罚。
然而，如果其中一人选择了背叛，而另一人选择了合作，背叛方将获得较轻的定罪和刑罚，而合作方将面临较重的定罪和刑罚。
如果双方都选择了背叛，那么他们将分别获得相对较重的定罪和刑罚。
在这种情境下，纳什均衡解是双方选择背叛。
理由如下：- 如果A选择合作，那么B选择背叛可以得到相对较轻的定罪和刑罚。
因此，A会更倾向于选择背叛以避免较重的定罪和刑罚。
同样地，如果B选择合作，A选择背叛可以获得相对较轻的定罪和刑罚。
所以，B也会选择背叛。
- 如果A选择背叛，那么无论B选择何种策略，A都能获得相对较轻的定罪和刑罚。
同样地，如果B选择背叛，无论A选择何种策略，B都能获得相对较轻的定罪和刑罚。
情境二：价格竞争在价格竞争情境下，假设有两家公司A和B都在销售同一种产品。
他们可以独立地选择产品的价格。
两家公司的目标是最大化利润。
假设每家公司的利润函数都取决于自身价格和对方的价格。
公司A的利润函数为πA(PA,PB)，公司B的利润函数为πB(PA,PB)。
其中，PA和PB分别表示A和B的价格。
理由如下：- 如果公司A选择了某个价格PA，并且公司B决定维持原先的价格PB，那么公司A的最佳策略是选择自己的价格来最大化利润。
因此，公司A的利润函数中的PA变量将达到最大值。
- 同理，如果公司B选择了某个价格PB，并且公司A决定维持原先的价格PA，那么公司B的最佳策略是选择自己的价格来最大化利润。
博弈论案例分析
博弈论案例分析在经济学、政治学、社会学以及商业策略中，博弈论是一个重要的分析工具。
它研究在具有相互依赖关系的决策者之间如何做出最优决策。
以下是几个典型的博弈论案例分析：1. 囚徒困境囚徒困境是博弈论中最著名的例子之一。
它描述了两个被捕的罪犯面临的决策问题。
每个囚犯可以选择合作（保持沉默）或背叛（供出对方）。
如果两人都合作，他们都会被轻判；如果两人都背叛，他们都会被重判；如果一个合作而另一个背叛，背叛者将被释放，而合作者将受到最重的惩罚。
在这种情况下，尽管两人都合作是最优的集体结果，但个体理性导致他们最终选择背叛对方。
2. 纳什均衡纳什均衡是博弈论中的一个核心概念，由数学家约翰·纳什提出。
它指的是在一个非合作博弈中，每个参与者都选择了自己的最优策略，前提是其他参与者的策略是已知的。
在囚徒困境中，纳什均衡就是两人都选择背叛，因为无论对方如何选择，背叛都是每个囚犯的最优策略。
3. 公共物品的提供公共物品的提供是博弈论在现实世界中的一个应用。
公共物品具有非排他性和非竞争性，即一个人使用公共物品不会减少其他人的使用，且无法阻止未付费者使用。
这导致了一个“搭便车”的问题，即个体可能倾向于不支付公共物品的成本，而是依赖其他人的支付。
博弈论可以用来分析如何通过激励机制来解决这个问题，比如通过征税或罚款。
4. 拍卖理论拍卖理论是博弈论在经济活动中的一个应用。
它研究在不同拍卖规则下，买家和卖家如何制定策略以达到最优结果。
例如，在英式拍卖中，价格逐步上升，直到只剩下一个出价者；而在荷兰式拍卖中，价格从高到低下降，直到有人接受当前价格。
博弈论可以帮助分析在不同拍卖形式下，参与者如何制定出价策略以最大化自己的利益。
5. 冷战时期的核威慑冷战时期，美国和苏联之间的核威慑是一个典型的博弈论案例。
双方都拥有能够摧毁对方的核武器，但任何一方首先使用核武器都会导致灾难性的后果。
这种情况下，双方都有动机保持克制，以避免触发全面的核战争。
第2章 纳什均衡与囚徒困境
最优选择
• 这个博弈只要求一阶理性共识就可以预测均衡 结果： • 如果R相信C是理性的，R就知道C不会选择C3， 所以R的最优选择是R1； • 如果C相信R是理性的，C就知道R不会选择R2， 所以C的最优选择是C2。 • 但要C预期R不会选择R3，需要二阶理性共识； 要R不预期C会选择C1，需要三阶理性共识。
无论对方如何选择，每个人的最优选择：不提供。 所以，我们可以预测，结果将是（不提供，不提供）
公共产品与税收制度
• 比较私人产品与公共产品的不同：使用 上排他性； • 私人产品是志愿购买的，但公共产品可 能需要强制购买； • 税收制度就是保证公共产品的生产，解 决公共产品生产上的“囚徒困境”
“囚徒困境”的一般表示
战略 做广告
企业2
做广告 不做广告 4， 4 15 ， 1 10 ， 10
企业1
不 做 广 告 1 ， 15
• 纳什均衡：（做广告，做广告）
利用纳什均衡寻租
• 考虑股票市场融资的例子：设想企业价值是 100，现在发行的流通股为100股，每股价值1 元。现在假定经理想筹集100元，投资价值只 有50元。有人买新股吗？ • 假定每一股配4股，价格为0.25元。如果股东不 接受配股：原来一股1元的价值就变成0.3元 （=150/500）；如果接受配股，他持有的股票 的价值是1.5元；因为配股的成本是1元，所以 他的最优选择是接受配股。
重复剔除占优均衡
• “重复剔除严格劣战略”(iterated elimination of strictly dominated strategy)的思路：首先找出博弈参与人的劣 战略(dominated strategy)（假定存在的话），把这个劣 战略剔除后，剩下的是一个不包含已剔除劣战略的新 的博弈；然后在剔除这个新的博弈中的劣战略；继续 这个过程，直到没有劣战略存在。如果剩下的战略组 合是唯一的，这个唯一的战略组合就是“重复剔除占 优均衡”(iterated dominance equilibrium)。 • 如果这样的解存在，我们说该博弈是“重复剔除占优 可解的”(iterated dominance solvable).
纳什均衡案例
纳什均衡案例
纳什均衡是指博弈论中的一种平衡状态，它是指在博弈中每个参与者都选择了最佳的策略并且没有人愿意改变自己的策略。
下面是几个纳什均衡的案例：
1. 餐馆竞争：假设有两家在同一地区经营相同类型餐馆的商家，他们都可以选择提供更好的餐饮服务或者降低价格来吸引更多的顾客。
如果两家商家都选择提供更好的餐饮服务，那么他们就会处于纳什均衡状态，因为如果其中一家降低价格，顾客可能会前往该店，但是该店会失去利润。
2. 囚徒困境：在这个案例中，两个囚犯被逮捕并被分开审讯。
如果他们都选择拒绝认罪，那么他们将面临较轻的刑罚，但如果其中一个人认罪并作证控告另一个人，那么被控告的人将面临更严重的刑罚。
在这种情况下，如果每个囚犯都选择认罪，那么他们就处于纳什均衡状态，因为即使其中一个人拒绝认罪，他也可能面临更严重的刑罚。
3. 投标竞争：在这个案例中，几个公司竞标一个项目，他们必须决定如何投标以获得合同。
如果所有公司都选择报一个高价，那么他们将失去竞标的机会，但如果所有公司都选择报一个较低的价格，那么获得合同的公司将无法盈利。
在这种情况下，如果每个公司都选择中等价格的投标，那么他们就处于纳什均衡状态，因为这样可以最大限度地获得合同并保持盈利。
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囚徒困境和纳什均衡
当对手知道了你的决定之后，就能做出对自己最有利的决定------普林斯顿大学数学家约翰·纳什
囚徒困境
著名的“囚徒困境”，是纳什均衡理论的经典案例。
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。
于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供一下相同的选择：若有一人认罪并作证检控对方（背叛对方）而对方保持沉默，此人将立即获释，沉默者将判监禁十年。
若两人都保持沉默(互相合作）则两人同时被判监禁半年。
若两人都互相检举（互相背叛）则两人同时监禁两年。
如同博弈论的其他论证，囚徒困境假设每个囚徒都是利己的，激斗寻求自己的最大利益。
囚徒到底应该选择哪一项策略，才能将自己的刑期缩至最短？两名囚徒由于相互隔离监禁，并不知道对方的选择。
试想困境中两名理性的囚徒会如何选择：若对方沉默，背叛会让我获释，所以对方会选择背叛。
若对方背叛我，我也要指控对方才能得到较低的刑期，所以也是这样会选择背叛。
二人面对的情况一样，所以二人的理想思考会得到相同的答案----选择背叛。
背叛是两种策略之间的支配性策略。
因此这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡就是两人选择同时背叛对方，结果两人同时服刑两年。
这场博弈的纳什均衡，显然不是最优的解决方案。
如果两人都选择沉默，两人都只会被判刑半年。
但根据以上假设，两人均为理性的个人，均衡状况回事两个囚徒都选择背叛。
这就是“困境”所在。
寻找“纳什均衡点”
在现实生活中，纳什均衡理论影响着人们的行为。
比如，在有些国家，报亭既无管理人员也不上锁，买报纸的人在自行放下前后拿走报纸。
当然某些人可能取走报纸却不付钱（背叛）但由于大家意识到如果每个人都偷窃报纸（共同背叛）会造成以后不方便的有害结果，这种情形很少发生。
在商业活动中，也会出现各种各样的囚徒困境的例子。
两个公司相互竞争，他们的广告互相影响，即一公司的广告较被顾客接受则会夺取对方的部分收入。
但若二者同时期发出质量类似的广告，收入增加很少但成本增加。
因此，这两家公司可以有两种选择:1.互相达成协议，减少广告的开支（合作）；2.增加广告开支，设法提升广告的质量，压倒对方（背叛）。
若两家公司不信任对方，无法合作，背叛成为支配性策略时，它们将陷入广告战，而广告的成本的增加损害了两家公司的利益，这就是陷入囚徒困境。
在现实中，要互相竞争的公司达成合作协议是比较困难的，多数会陷入囚徒困境中。
在自行车赛事或者长跑赛事中，也会出现一种博弈。
例如，每年都会举行的的环法自行车赛事中有以下情况：选手们在到终点前的路程常以大部队方式前进，他们采取这种策略是为了令自己不至于太落后，又出力适中。
最前方的选手在迎风时是最费力的，所以在前方是最差的策略。
因此，在起先阶段，大家都不愿意在前面（共同背叛），所以这个时段，整体的速度很慢。
而后，通常会有几位选手骑到前面，然后互相一段时间交换到最前面位置，以分担风的阻力（共同合作），使得全体的速度有所提升。
而此时，如果前方的一人试图一直保持前方位置（背叛）其他选手以及大部队就会赶上（共同背叛）。
通常情况是，在最前面次数最多的选手（合作），通常会到最后被落后的选手赶上，因为后面的选手骑在最前面选手的冲流中，比较不费力。
用科学的语言来描述纳什均衡，指的是在一组策略中，所有的参与者面临这样一种情况：当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。
在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。