第06章 线性动态电路的时域分析

零输入线性特性：零输入响应是起始状态的线性函数
零状态线性特性：零状态响应是输入的线性函数
（2） （3）
微分特性
输入为 df 时的零状态响应是输入为 f (t ) 时的零状态响应的导数。
dt 时不变特性
对于线性时不变电路，若在输入 f (t ) 作用下产生的零状态响为 xzs (t ) ，则在时间上延迟了 t0 的
⎪ ⎪ ⎪ ⎪经典分析法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎪⎨初始值的确定 ⎪
⎧起始状态的确定 ⎪ ⎪⎨初始状态的确定 ⎪
⎧无跃变电路的换路定则 ⎨⎩跃变电路的电荷、磁链守恒
⎪ ⎪
⎪⎩初始值的确定
⎪ ⎪微分方程的解法 ⎪⎩
⎧经典解法 ⎨⎩直流一阶电路的三要素法
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪响应的分解 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
（3） 由 t = 0+ 时刻电路确定初始值 x (0+ ) 。
（2）确定 x′(0+ ) 。
x = iL 或 uC 时，
⎧ ⎪iL′
(
0+
)
=
⎪
⎨
diL dt
t =0+
=
源自文库
⎪⎪uC′ ⎩
(0+ ) =
duC dt
t =0+
u =
L (0+ )
L
iC (0+
C
)
x ≠ iL 或 uC 时，根据换路后的电路将输出 x (t ) 用 uC (t ) 和 iL (t ) 及输入表示，即
第六章 线性动态电路的时域分析
一、 教学目标
通过本章的学习，使学生掌握（1）动态电路的基本概念及其方程；（2）线性动态电路的时 域分析方法；（3）动态电路的特性。 1． 知识教学点
动态电路的基本概念 线性动态电路输入-输出方程和状态方程 线性动态电路的初始条件 线性动态电路的经典分析法（时域解法） 直流一阶电路的三要素法 线性时不变动态电路的特性 零输入响应、零状态响应、单位阶跃响应和冲激响应 二阶动态电路零输入响应的特点 2． 能力训练点 建立线性动态电路的输入-输出方程和状态方程 确定线性动态电路的初始值 用经典分析法（时域解法）求解线性动态电路 用三要素法求解直流一阶电路 分析线性动态电路的零输入响应、零状态响应、单位阶跃响应和冲激响应 3． 其它 了解卷积积分法 了解二阶动态电路零输入响应的特点
了解卷积积分法
了解含电容回路（或电感割集）动态电路中的跃变现象
知识详解
知识点 1 动态电路输入-输出方程的建立
换路：电路结构或元件参数的变化。
（1）一阶电路输入-输出方程的标准形式
τ
dx dt
+
x
=
fs
式中
⎧ReqC
τ
=
⎪ ⎨⎪Geq L ⎩
=
L Req
说明：τ 为一阶电路的时间常数，它仅与电路的结构和元件参数有关，而与电源无关。式中的 Req 是
（t
≥
t0
）
零输入响应和零状态响应的定义 单位阶跃响应和冲激响应的定义 状态方程和输出方程的标准形式 学习方法与建议 复习高等数学中微分方程的解法，特别是微分程的解分为通解＋特解，以及通过特征方程确 定通解的求解方法。对于经典分析法而言，一旦建立了电路的微分方程和确定了初始值，就 转化成了数学问题。因此，学习经典分析法时，要重点掌握微分方程的建立方法和初始值的 确定：起始状态 → 初始状态 → 初始值。 对于直流一阶电路的三要素法，重点掌握正确画出求解三个要素所需的电阻电路。 重点掌握零状态响应、零输入响应的概念；单位阶跃响应和冲激响应的定义及二者间的关系。 重点掌握状态方程和输出方程的直观列写方法。
由新的稳态电路（ t = ∞ 的电路）求新的稳态值 x (∞) 。
说明：
其它周期电源激励下的一阶电路响应的三要素公式为
x(t)
=
xp
(t)
+
⎡⎣x (0+
)
−
xp
(0+
)⎤⎦
e
−t τ
当
电源为同频率的正弦电源时， xp (t ) 为正弦稳态响应，可用相量法求解（见第 7 章）。当电
源为非正弦周期电源时， xp (t ) 为非正弦周期稳态响应，可用谐波法确定（见第 11 章）。
响应的分解 单位阶跃响应、冲激响应、二阶电路零输入响应的特点
动态电路状态方程和输出方程的建立
学时
2 2 1 2 1
六、 随堂例题与练习
动态电路输入输出方程的建立
【例 1】列写图 1（a）所示电路中以电容电压为输出的输入－输出方程。
+uC (t ) −
0.5F
2H
0.5F
iL 2H
+ uC (t ) −
将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理
成标准型。
输出方程的直观列写步骤：
若输出为状态变量，令自身相等；若输出为非状态变量，则需将其用状态变量和输入表示。
知识点 8 二阶电路零输入响应的特点
α = 0 ：无阻尼 α > ω0 ：过阻尼 α = ω0 ：临界阻尼 α < ω0 ：欠阻尼
R
、
L
和
C
串联电路： α
=
R 2L
、 ω0
=
1 LC
G
、
L
和
C
并联电路： α
=
G 2C
、 ω0
=
1 LC
知识点 2 动态电路初始值的确定
（1）确定初始值 x (0+ ) 。
（1） 由 t = 0− 求起始状态 uC (0− ) 、 iL (0− ) ；
（2） 由换路定则确定初始状态： uC (0+ ) = uC (0− ) 、 iL (0+ ) = iL (0− )
二、 教学方法
1．教法指导 举例说明一阶、二阶电路输入-输出方程的建立，并概括出标准形式。 在讲授初始值确定方法时，要注重初始值求解的分析过程：由初始值引出初始状态的概念， 进而引出起始状态的概念；给出用 0− 时刻电路求起始状态的方法等，并总结求初始值的步 骤（包括一阶导数的初始值）。 以直流激励的一阶、二阶动态电路为例介绍动态电路的经典分析法，并进而引出稳态分量 和暂态分量的概念。 在分析直流一阶电路的基础上总结得出三要素法。 强调几个重要的概念：稳态响应和暂态响应；零输入响应及零输入线性特点；零状态响应 及零状态线性特点；单位阶跃响应和冲激响应以及二者之间的关系。
输出方程的标准形式
y (t ) = Cx (t ) + Df (t )
（2） 状态方程和输出方程的直观列写法
状态方程的直观列写步骤：
选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为状态变量；
对每个独立的电容，选用一个节点或割集，并依据 KCL 和电容的 VAR 列写节点或割集方程；
对每个独立的电感，选用一个回路，并依据 KVL 和电感的 VAR 列写回路方程；
从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻，或者说，将电路中所有独立电源置零，从储能元
件两端看进去二端网络的输入电阻。
（2）二阶电路的输入-输出方程的标准形式
d2x dt 2
+
2α
dx dt
+ ω02 x
=
fs (t)
式中， x 为输出；α 为阻尼系数；ω0 为谐振频率； fs (t) 为电路中独立电源的线性组合。
设电路在 t = 0 时换路，直流一阶电路的三要素公式为
x
(
t
)
=
x
(
∞
)
+
⎡⎣
x
(
0+
)
−
x
(
∞
)
⎤⎦
−t
eτ
三要素的计算步骤如下：
求初始值 x (0+ ) （按前面所述的方法求解）。
求时间常数τ 。求时间常数τ 的计算公式为
τ
=
⎧⎪ReqC ⎨⎪Geq L ⎩
=
L Req
（RC一阶电路） （RL一阶电路 ）
无阻尼和欠阻尼属于振荡过程；过阻尼和临界阻尼属于无振荡过程；
识记知识
无跃变电路的换路定则
直流稳态下，电容相当于开路，电感相当于短路
直流一阶线性电路的三要素公式
x(t)
=
x(∞)
+
⎡⎣x (0+
)
−
x ( ∞ )⎤⎦
−t
eτ
（
t
≥
0
）或
x(t)
=
x(∞)
+
⎡⎣x (t0+
)
−
( ) −t−t0
x ∞ ⎤⎦ e τ
x(t) =
ay1
+ by2
+
cf
s
(
t
)
⎧ ⎪ ⎨
y1 y1
= uC = uC1
, y2 = iL , y2 = uC2
⎪⎩ y1 = iL1 , y2 = iL2
式中， a 、 b 、 c 为常数，它们仅与电路结构和元件参数有关，与输入无关。 fs (t ) = is 或 us 或为输
入的线性组合。
三、 重点、难点和疑点及解决方法
1. 重点 一、二阶动态电路输入-输出方程的建立和动态电路状态方程的建立 直流一阶电路的三要素法 零输入响应和零状态响应的概念 单位阶跃响应和冲激响应
2. 难点和疑点 动态电路方程的建立 含受控源的一阶电路和二阶电路的分析 冲激响应的求解
3. 易混淆点、易错点、易忽略点 零输入响应、零状态响应、稳态响应、暂态响应之间的区别。 换路定则只能用来确定无跃变电路的电感电流、电容电压的初始值。其他变量的初始值只能 由 t = 0+ 时的等效电路确定。 三要素公式只适用于一阶电路。
⎧⎪按过程分解 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪按因果分解 ⎪ ⎪ ⎪⎩
⎧暂态响应 ⎨⎩稳态响应 ⎧ ⎪ ⎪⎪零状态响应 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩零输入响应
⎧单位阶跃响应 ⎪⎪冲激响应 ⎨⎪基本性质 ⎪⎩卷积积分
⎪ ⎪⎪⎩状态方程
⎧状态方程 ⎨⎩输出方程
五、 学时安排：
内容 动态电路输入输出方程的建立和初始值的确定 动态电路的经典分析法、直流一阶电路的三要素法
4. 考点 动态电路输入-输出方程的建立和动态电路状态方程的建立 直流一阶电路的三要素法 零输入响应、零状态响应的概念，并借助零输入线性特性和零状态线性特性分析问题 单位阶跃响应
四、 本章总结
本章知识结构图
⎧
⎧定义
⎪⎪基本概念 ⎪⎨过渡过程
⎪ ⎪
⎪⎩电路分类
⎪
⎧
⎪ ⎪
⎪⎪电路的微分方程
线性动态电路的时域分析
根据两类约束，列出换路后电路的输入-输出方程（微分方程）；
求相应的初始值；
求输出的强制分量（电路微分方程的特解）；
求输出的自由分量（电路齐次微分方程的通解）；
将上述两个分量相加（微分方程的解＝齐次微分方程的通解＋微分方程的特解），并用初始
值确定待定系数，可得所求输出。
知识点 4 直流一阶电路的三要素法
输入 f (t − t0 ) 作用下产生的零状态响为 xzs (t − t0 ) 。
知识点 6 单位阶跃响应和冲激响应 （1） 单位阶跃函数和冲激函数的定义以及二者之间的关系。 （2） 单位阶跃响应和冲激响应 电路对单位阶跃输入的零状态响应称为（单位）阶跃响应。阶跃响应的求解方法与直流激励下
零状态响应的求法相同。 电路对单位冲激输入的零状态响应称为冲激响应。冲激响应与零输入响应具有相同的性质。冲
将上式两边对时间 t 求导数，得
dx = a dy1 + b dy2 + c dfs dt dt dt dt
令 t = 0+ ，可求出 x′(0+ ) 。
注：换路定则适用于无跃变的电路。无跃变电路是指电路不含纯电容回路、纯电感割集和冲激电源
的电路。
知识点 3 动态电路的经典分析法
动态电路经典分析法的步骤：
+
us (t)
−
2Ω
+
2Ω
us (t)
−
2Ω
2Ω
（a）
（b）
图1
【解】所用电量的参考方向如图（b）所示。由 KVL 和元件的 VAR 得
2 diL dt
+ uC
+ 2iL
= us
（1）
由元件 VAR 和 KCL 得
iL
= 0.5 duC dt
+
uC 2
（2）
将式（2）代入式（1），整理得以 uC 为输出的输入－输出方程为
激响应求解步骤如下：
① 由 t = 0 的电路确定 iC (0) 和 uL (0) ；
② 利用公式
∫ ∫ uC
(0+
)
=
1 C
0+ 0−
iC
( 0) dτ
， iL
(0+
)
=
1 L
( ) u 0+
0− L
0
dτ
确定 uC (0+ ) 和 iL (0+ ) 。
③ 由 0+ 时刻的电路求初始值。
④ 将电路中冲激电源置零，求电路的零输入响应即为所求的冲激响应。 注：
电路在
t
=
t0
时换路时，一阶电路的三要素公式变为：
x(t)
=
x(∞)
+
⎡⎣x (t0+
)
−
x ( ∞ )⎤⎦
− t −t0
eτ
、
x
(t
)
=
xp
(t
)
+
⎡⎣ x
(t0+
)
−
xp
(t0+
)⎤⎦
− t −t0
eτ
、
知识点 5 线性时不变动态电路的特性
（1） 线性特性 线性动态电路的叠加定理：
全响应＝零输入响应＋零状态响应
由单位阶跃响应 s (t ) 求冲激响应 h(t ) 。由微分特性可知 h(t ) = ds 。
dt 冲激响应可以用复频域分析法求解（见第 13 章）。 知识点 7 电路的状态方程和输出方程 （1） 状态方程和输出方程的标准形式 状态方程的标准形式
x (t ) = Ax (t ) + Bf (t )
2．学法指导 预备知识
数学方面：高等数学中求解微分方程的方法
电路方面：电容元件和电感元件的伏安关系及其储能公式
本章指南
熟练掌握一阶、二阶电路输入-输出方程的建立和电路状态方程的建立
熟练掌握直流一阶电路的三要素公式
深刻理解零输入响应、零状态响应、单位阶跃响应和冲激响应的概念
掌握线性动态电路的经典分析法和线性二阶动态电路零输入响应的特点