初中数学比例线段-课件
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4.1比例线段1
【变式】已知点(a，1)，（a+2，a）在同一 个正比例函数的图象上，求：
（1）a的值； （2）这个正比例函数的解析式。
谢谢
bd f h b
成立吗？
若 a c m(其中 b d n 0 )
bd
n
ac
仍有
ma 吗？
bd n b
【例5】已知： bccaabk
ab c
，当 abc0时，求k的值。
若去掉限制条件呢？
课堂练习4
如果 a b ca b c a b c k
c
b
a
成立，那么k的值为（ ）
A．1
B．—2
例2 求比例式中x的值： x:(x+1)=(1-x):3
课堂练习1
1、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#2,#3 2、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#1,#4
3、《课堂冲浪》P.49——拓展提升：#1
【例3】已知 a c ，判断下列
bd
比例式是否成立，并说明理由。
(1 )abcd (2 )aac
4.1比例线段1
为什么翩翩起舞 的芭蕾舞演员要掂 起脚? 为什么身材 苗条的时装模特还 要穿高跟鞋?为什么 她们会给人感到和 谐、平衡、舒适、 美的感觉?
“黄金分割”
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
4.1 比例线段(1)
——比例的基本性质
比？ 比例？ 成比例？
知识琏接1—— 什么叫比？
bd
b bd
课堂练习2
1、《课堂冲浪》P.49—— 例题，夯实 基础：#5,#6
2、《课堂冲浪》P.49——拓展提升： #2,3,4，中考琏接
课堂练习3
已知 a 3 。求下列算式的值 b2
（1）a的值； （2）这个正比例函数的解析式。
谢谢
bd f h b
成立吗？
若 a c m(其中 b d n 0 )
bd
n
ac
仍有
ma 吗？
bd n b
【例5】已知： bccaabk
ab c
，当 abc0时，求k的值。
若去掉限制条件呢？
课堂练习4
如果 a b ca b c a b c k
c
b
a
成立，那么k的值为（ ）
A．1
B．—2
例2 求比例式中x的值： x:(x+1)=(1-x):3
课堂练习1
1、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#2,#3 2、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#1,#4
3、《课堂冲浪》P.49——拓展提升：#1
【例3】已知 a c ，判断下列
bd
比例式是否成立，并说明理由。
(1 )abcd (2 )aac
4.1比例线段1
为什么翩翩起舞 的芭蕾舞演员要掂 起脚? 为什么身材 苗条的时装模特还 要穿高跟鞋?为什么 她们会给人感到和 谐、平衡、舒适、 美的感觉?
“黄金分割”
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
4.1 比例线段(1)
——比例的基本性质
比？ 比例？ 成比例？
知识琏接1—— 什么叫比？
bd
b bd
课堂练习2
1、《课堂冲浪》P.49—— 例题，夯实 基础：#5,#6
2、《课堂冲浪》P.49——拓展提升： #2,3,4，中考琏接
课堂练习3
已知 a 3 。求下列算式的值 b2
初中数学人教九年级下册第二十七章相似时平行线分线段成比例PPT
CE DF
AE BF
C. C E D F D. AE BD
AE BF
BF AC
A
C E
B l1 D l2
F l3
新课讲解
2 平行线分线段成比例定理的推论
观察与思考
如图，直线l1∥l2∥ l3，由平行线分线段成比例
的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右
任意平移，这些线段
△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？
A
D
E
可以将 DE 平移到
BC 边上去
B
C
新课讲解
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
A
证明：
D
E
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
B
FC
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
三角形相似的两种常见类型：
新课讲解
A
D
E
D
E
A
B
C
B
“A ”型
C “X ”型
随堂即练
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_3__对相似
三角形.
相似具有传递性
A
B
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_4_︰__3_.
∵
DE∥BC，DF∥AC， ∴
ADAE，ADCF. AB AC AB CB
∵ 四边形DFCE为平行四边形，∴ DE=FC，
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件3.2平行线分线段成比例
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC.
BC 3
2
3
由于
AD
DB
1 2
AB
，
BE
EF
FC
1 3
BC.
因此 AD DB BE EF FC .
知识讲解
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1 D1 2 .
第3章 图形的相似
第3章 图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
学习目标
1 了解平行线等分线段成比例的基本事实. 2 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 3 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 4 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决
相关的计算和证明问题.（难点）
知识回顾
1.比例线段的概念
解: ∵ 两条直线被三条平行线所截，
∴
,
即 4x ＝ 3×7 ,
.
随堂训练
5.如图，已知直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A，C，E， B，D，F，AC = 4，CE = 6，BD = 3，求 BF 的长.
解：∵a / /b / /c
AC BD CE DF
即4 3 6 DF
4DF 36 DF 18 = 9
∴ 2 AC 1.8 ,
3
AC
∴ 2AC 3( AC 1.8).
解得 AC 5.4.
随堂训练
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ D ）
A. —ACCE—＝ —BDDF— B. A—C—＝ —BD—
AE BF C. C—E—＝—D—F
AE BF D. A—E—＝—BD—
初中数学由平行线截得的比例线段PPT课件
你还能找出一组比例线段吗？若平行线 a，b，
c间的距离是任意的，比例式
AB A'B' 还成立吗？
BD B'D'
图2
图3
问题二：
如图4，已知AБайду номын сангаас∥CD∥EF，那么下列结论中， 正确的是（ ）
A. CD AC EF AE
C. AC CE BD DF
B. AC BD AE DF
D. AC DF BD CE
问题一: 1.观察有横格线的练习簿页，这些横线有什么特征？ 在图1中任意画一条截线AB，分别与平行线a，b，c， d，e交于点A,B,C，D,E,则截得的线段AB,BC，CD,DE 有什么数量关系？
图1
2.若在图1中再任意画一条截线 A'B' （如图2），
你能找出一组比例线段吗？
3.如果在图2中去掉直线c，e(如图3)，那么
图6
例1 如图，直线 l1 // l2 // l3 ，直线AC分别交
l1,l2 ,l3 于点A,B,C；直线DF分别交 l1,l2 ,l3
于点D,E,F.已知DE=3，EF=6，AB=4， 求AC的长.
A
D
若在上题的基础上，增加 OE=2，则OB的长是 .
B
E
O
F
C
问题四： 如何将线段AB两等分？ 例2 已知线段AB.把线段AB五等分.
变式：
图4
1.如图4，已知AB∥CD∥EF，若
AC 3 ,求 BD . CE 4 BF
2.将上图中的直线l向左平移，使点B与点A重合 (如图5)，已知AC:CE=3:4,BF=14， 求BD的长.
图5
3.若将上图中的直线继续向左平移，使点D与 点C重合（如图6），请写出一个成比例线段 和相应的比例式.
平行线分线段成比例定理教学课件
05
02
步骤2
根据相似三角形的性质，三角形ABC与三角 形EDC相似，所以有AB/BC = DE/EC。
04
步骤4
根据平行的性质，有骤5，得到AB/AD = BC/AC， 即AB/BC = AD/AC。
定理证明的实例应用
实例1
在梯形ABCD中，AB//CD，点E 在AB上，点F在BC上。如果 EF//AD，那么EF/AD = BF/BC。
数学模型初步建立
通过作图和演示，引导学生初步建立 数学模型。
介绍平行线分线段成比例定理的基本 概念和符号表示。
定理的猜想与验证
引导学生根据情境和模型进行猜想。 通过实例和证明，引导学生验证定理的正确性。
CHAPTER 02
平行线分线段成比例定理的证明
定理的陈述与证明思路
定理陈述
如果两条直线平行，那么任何一条直 线被这两条平行线所截得的两条线段 之比等于两条平行线被这条直线所截 得的两条线段之比。
平行线分线段成比例定理的拓展与 延伸
与其他数学定理的关联与结合
比例与等比定理
讲解如何利用平行线分线段成比例定理证明比例和等比定理，以及这些定理在 几何学中的应用。
勾股定理
介绍如何利用平行线分线段成比例定理证明勾股定理，以及该定理在三角函数 和空间几何中的应用。
在不同年级的教学拓展与延伸
初中教学
重点讲解平行线分线段成比例定理的证明和应用，结合实例 引导学生掌握该定理。
THANKS
[ 感谢观看 ]
判定相等
定理还可以用于判定两条 线段相等，通过比较对应 线段是否成比例来判定。
求解角度
在某些几何问题中，可以 使用该定理来求解角度的 大小，从而解决一些角度 问题。
初中数学课件《比例线段
初中数学课件《比 例线段》
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
比例线段3PPT课件
9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831
2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604
6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179
2265263556 2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 5127000602
389016243 5308899909 5016803281 121943275 8633147985 7191139781 5397807476
1218156285 512224845 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889
9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 267575620
2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 524060275 3427775927 7862561943 2082750513
人教版初中三年级下册数学27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 教学课件
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线分线段成比例定理.学习过程：一.依标独学 1.相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B B C B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B B C B A AB ''=''=''． 问题：如果1k =，这两个三角形有怎样的关系？明确 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆∽'''A B C ∆; （3）相似比是带有顺序性和对应性的：当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k． 二、围标群学（课堂导学）实验探究：(1) 如图,任意画两条直线1l ,2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别量度3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::ABAC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
[初中数学]平行线分线段成比例课件+华东师大版九年级数学上册
![[初中数学]平行线分线段成比例课件+华东师大版九年级数学上册](https://img.taocdn.com/s3/m/c8f2d4a6c9d376eeaeaad1f34693daef5ff71373.png)
探究新知 活动1 知识探究
按下列要求作图．
(1)在方格图中画任意的一条直线m交格线于点A、B、C，则AB = BC， 你能说出理由吗？
(2)在方格图中再画任意的一条直线n交格线于点D、E、F，则DE = EF，你能说出理由吗？
m
A B C
n
D E F
你还有什么发现？
活动2 知识探究 按下列要求作图．
(1)在方格图中画任意的两条直线m、n与不相邻的三条格线相交，若 m∥n，则线段AD、DB、FE、EC的长度有什么关系？
(2)若m与n不平行，则上述关系是否仍成立？
m
nn
A
FF
D
EE
B
C
C
获取新知
知识点1 基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平 行线分线段成比例”）．
几何语言：如图．
O，交AD于点F，若BO︰FO = 2︰1，则EO︰BO =
．
知识应用
2. 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. A
D
E
BF
C
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
获取新知
知识点2 基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例．
几何语言：如图1．
∵ DE∥BC
∴
．
图2可以推出哪些结论？
A(F)
D B
nE
E 图1 C Dm
A
图2
B
C
例1．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、
C和点D、E、F，若AB = 4，BC = 6，DE = 3，则DF =
按下列要求作图．
(1)在方格图中画任意的一条直线m交格线于点A、B、C，则AB = BC， 你能说出理由吗？
(2)在方格图中再画任意的一条直线n交格线于点D、E、F，则DE = EF，你能说出理由吗？
m
A B C
n
D E F
你还有什么发现？
活动2 知识探究 按下列要求作图．
(1)在方格图中画任意的两条直线m、n与不相邻的三条格线相交，若 m∥n，则线段AD、DB、FE、EC的长度有什么关系？
(2)若m与n不平行，则上述关系是否仍成立？
m
nn
A
FF
D
EE
B
C
C
获取新知
知识点1 基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平 行线分线段成比例”）．
几何语言：如图．
O，交AD于点F，若BO︰FO = 2︰1，则EO︰BO =
．
知识应用
2. 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. A
D
E
BF
C
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
获取新知
知识点2 基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例．
几何语言：如图1．
∵ DE∥BC
∴
．
图2可以推出哪些结论？
A(F)
D B
nE
E 图1 C Dm
A
图2
B
C
例1．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、
C和点D、E、F，若AB = 4，BC = 6，DE = 3，则DF =
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两 个 外 项 的 积 为18 。
(2)比 例 式 0.6=0.3的 两 个 内 项 的 积 为1.2 42
两 个 外 项 的 积 为1.2。
，
(3)比 例 式3=1的 两 个 内 项 的 积 为 6 ，
62
两 个 外 项 的 积 为 6 。
根据这三组数据，你发现了什么？
a
你能从比例式 b
c d
b4
4 b bb b4
例2、 （1）已知
a c 你能推出 a b c d
成立吗？为什么？
bd
bd
（2）已知
a=c bd
，判断 a + c = a 是否成立？为什么？ b+d b
课堂小结: 你学到了什么？还有什么疑惑吗？
1、比例有如下性质:
a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
旧题重现——解方程：
x2 2 23
已知
a b
3 4
, 求代数式
a
b
b
的. 值
解法一：设a=3k,b=4k,则 a-b=3k4k 1 b 4k 4
解法二： a-baba1311 b bb b 4 4
解法三： 由 a 3 可 知 ， a = 3 b ,代 入 a -b ， 则 a -b 3 4 b b 1 4 b 1
探究活动
已知 ad=bc ,你还能从中写出像 a c 一样 bd
有关a、b、c、d成立的比例式吗？
ac,ab,dc,db, b dc db ac a
bd,cd,ba,ca a ca bd cd b
a
例1、根据下列条件，求 的值。
b
(1)2a 3b
(2) a b 54
(3) a 2b 1 b4
推导出 adbc吗？
ad bc
a b
c d
a c 两边同乘以bd
adbc
bd
反过来呢?
两边同除以bd
adbc
ac bd
比例的基本性质
a c bd
adbc
下列各组数据能否成比例？为什么？若成 比例,请写出一个比例式.
（ 1） 2， -4， 3， -6；
（ 2 ） 3 ，0， 5；
4.1比例线段(一)
• 请你任意写出某两个数（不为零）的比，并 求出它们的比值
• 根据比值相等，寻找你的“幸运搭档”，联 立比例式
如果两个数a、b的比值与另两个数 c、d的比值相等，那么这四个数a、 b、c、d成比例。
a:bc:d或a c bd
（a,b,c,d均不为零）
(1)比 例 式39的 两 个 内 项 的 积 为18 ， 2 6
2、对比例式变形检验:是否满足“ 外项之积等于内项之积”
3、判断四个数成比例的基本方法： （1）计算a:b和c:d的值是否相等；（2）计算ad和bc的值是否相等
4、比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值法
谢谢！
(2)比 例 式 0.6=0.3的 两 个 内 项 的 积 为1.2 42
两 个 外 项 的 积 为1.2。
，
(3)比 例 式3=1的 两 个 内 项 的 积 为 6 ，
62
两 个 外 项 的 积 为 6 。
根据这三组数据，你发现了什么？
a
你能从比例式 b
c d
b4
4 b bb b4
例2、 （1）已知
a c 你能推出 a b c d
成立吗？为什么？
bd
bd
（2）已知
a=c bd
，判断 a + c = a 是否成立？为什么？ b+d b
课堂小结: 你学到了什么？还有什么疑惑吗？
1、比例有如下性质:
a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
旧题重现——解方程：
x2 2 23
已知
a b
3 4
, 求代数式
a
b
b
的. 值
解法一：设a=3k,b=4k,则 a-b=3k4k 1 b 4k 4
解法二： a-baba1311 b bb b 4 4
解法三： 由 a 3 可 知 ， a = 3 b ,代 入 a -b ， 则 a -b 3 4 b b 1 4 b 1
探究活动
已知 ad=bc ,你还能从中写出像 a c 一样 bd
有关a、b、c、d成立的比例式吗？
ac,ab,dc,db, b dc db ac a
bd,cd,ba,ca a ca bd cd b
a
例1、根据下列条件，求 的值。
b
(1)2a 3b
(2) a b 54
(3) a 2b 1 b4
推导出 adbc吗？
ad bc
a b
c d
a c 两边同乘以bd
adbc
bd
反过来呢?
两边同除以bd
adbc
ac bd
比例的基本性质
a c bd
adbc
下列各组数据能否成比例？为什么？若成 比例,请写出一个比例式.
（ 1） 2， -4， 3， -6；
（ 2 ） 3 ，0， 5；
4.1比例线段(一)
• 请你任意写出某两个数（不为零）的比，并 求出它们的比值
• 根据比值相等，寻找你的“幸运搭档”，联 立比例式
如果两个数a、b的比值与另两个数 c、d的比值相等，那么这四个数a、 b、c、d成比例。
a:bc:d或a c bd
（a,b,c,d均不为零）
(1)比 例 式39的 两 个 内 项 的 积 为18 ， 2 6
2、对比例式变形检验:是否满足“ 外项之积等于内项之积”
3、判断四个数成比例的基本方法： （1）计算a:b和c:d的值是否相等；（2）计算ad和bc的值是否相等
4、比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值法
谢谢！