高中数学三角函数的最值

高三第一轮复习数学---三角函数的最值

一、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 二、教学重点：求三角函数的最值 三、教学过程：

（一）主要知识：

求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角

(cos ϕϕϕ=

=

，化为

)y x c ϕ=++求解方法同类型①；

③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2

y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的

最值求之；

④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数

2(1)

2

a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；

⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at b

y t

+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平

均值定理求最值； ⑥sin sin a x b

y c x d

+=

+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形

结合”．

（二）主要方法：

（1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。

（2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。 （3） 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。

2． 特别说明

注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

（三）例题分析：

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：求函数2

sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。

解：cos 2)2122

y x x =

-+-

1112cos 2sin(2)2262

x x x π--=-- ∴当22,6

2

x k π

π

π-

=+

即()3

x k k Z π

π=+

∈时，y 取得最大值，max 1

2

y =

当22,6

2

x k π

π

π-

=-

即()6x k k Z π

π=-

∈时，y 取得最小值，m x 3

2

i y =-。 练习：变式1、函数()⎪⎭

⎫

⎝

⎛

<

<-=40sin cos sin πx x x x y 的最大值是 。 解：()2142sin 222cos 1212sin 21sin cos sin 2-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=--=

-=πx x x x x x y ⎥⎦⎤ ⎝

⎛-∈∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴<

+

<∴

<

<212,0,1,2242sin ,434

24

,4

0y x x x πππ

π

π

Θ 思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2是否存在实数a ，使得函数2385cos sin 2

-+

+=a x a x y 在闭区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。

解：2185421cos 22

-++⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=a a a x y

当2

0π≤

≤x 时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =则10≤≤t ，

,218542122

-++⎪⎭

⎫

⎝⎛--=a a a t y 10≤≤t

)

(42

3

1

21

854,2cos 2,20,12012max 舍或时即则当时即-==⇒=-+===≤≤≤≤a a a a y a x a t a a ο

)(512

12185,0cos 0,0,022max 舍时即则当时即=⇒=-===<

)(13

2012385,1cos 1,2,123max 舍时即则当时即=⇒=-+===>>a a a y x t a a ο 综上知，存在23

=a 符合题意。

思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。 练习变式3:.2sin cot sin 2

cot

的最值求函数x x x x

y ⋅+⋅= 解:8741cos 2cos sin 2sin cos sin sin cos 12

+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=⋅+⋅+=x x x x x x x x y

时当41cos 1cos 0sin -=∴±≠∴≠x x x Θ,y 有最小值8

7

,无最大值.