高中数学三角函数的最值

高三第一轮复习数学---三角函数的最值
一、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 二、教学重点：求三角函数的最值 三、教学过程：
（一）主要知识：
求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角
(cos ϕϕϕ=
=
，化为
)y x c ϕ=++求解方法同类型①；
③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2
y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的
最值求之；
④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数
2(1)
2
a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；
⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at b
y t
+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平
均值定理求最值； ⑥sin sin a x b
y c x d
+=
+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形
结合”．
（二）主要方法：
（1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。

（2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。

（3） 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。

2． 特别说明
注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

（三）例题分析：
1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：求函数2
sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。

解：cos 2)2122
y x x =
-+-
1112cos 2sin(2)2262
x x x π--=-- ∴当22,6
2
x k π
π
π-
=+
即()3
x k k Z π
π=+
∈时，y 取得最大值，max 1
2
y =
当22,6
2
x k π
π
π-
=-
即()6x k k Z π
π=-
∈时，y 取得最小值，m x 3
2
i y =-。

练习：变式1、函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
<-=40sin cos sin πx x x x y 的最大值是 。

解：()2142sin 222cos 1212sin 21sin cos sin 2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=--=
-=πx x x x x x y ⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∈∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴<
+
<∴
<
<212,0,1,2242sin ,434
24
,4
0y x x x πππ
π
π
Θ 思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2是否存在实数a ，使得函数2385cos sin 2
-+
+=a x a x y 在闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。

解：2185421cos 22
-++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=a a a x y
当2
0π≤
≤x 时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =则10≤≤t ，
,218542122
-++⎪⎭
⎫
⎝⎛--=a a a t y 10≤≤t
)
(42
3
1
21
854,2cos 2,20,12012max 舍或时即则当时即-==⇒=-+===≤≤≤≤a a a a y a x a t a a ο
)(512
12185,0cos 0,0,022max 舍时即则当时即=⇒=-===<<a a y x t a a ο
)(13
2012385,1cos 1,2,123max 舍时即则当时即=⇒=-+===>>a a a y x t a a ο 综上知，存在23
=a 符合题意。

思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。

练习变式3:.2sin cot sin 2
cot
的最值求函数x x x x
y ⋅+⋅= 解:8741cos 2cos sin 2sin cos sin sin cos 12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⋅+⋅+=x x x x x x x x y
时当41cos 1cos 0sin -=∴±≠∴≠x x x Θ,y 有最小值8
7
,无最大值.
3、换元法解决x x x x cos sin ,cos sin ±同时出现的题型。

例3求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值)20(≤<a 。

解：2
)cos (sin cos sin a x x a x x y +++=
令t x x =+cos sin ，则]2,2[-∈t ，且有2
1
cos sin 2-=•t x x
故=
y 2
1)(2122-++a a t ，由]2,0(∈a 知当a t -=时， 212-=a y mix
；当2=t 时，2
122max ++=a a y 。

[思维点拨]：遇到x x cos sin +与x x cos sin 相关的问题，常采用换元法，但要注意
x x cos sin +的取值范围是]2,2[-，以保证函数间的等价转化。

练习变式4、求函数()()x x y cos 34sin 34--=的最小值。

解：()x x x x y cos sin 9cos sin 1216++-=
令[]
2.2,4sin 2cos sin -∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=t x x x t π，则21cos sin 2-=t x x
27
342921912162
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅+-=∴t t t y ，[]
2.2-∈t
所以当3
4
=t 时，27min =y
4、图象法，解决形如d
x b c
x a y ++=cos sin 型的函数。

例4、求函数x
x
y sin 2cos 3+=
的值域。

思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。

这里以图象法的主求解。

解：由x x y sin 2cos 3+=
得()
2sin 0
cos 3---=x x y ，设点()()0,2cos ,sin -Q x x P
则
x
x
sin 2cos +可看作是单位圆上的动点P 与定点Q 连线的斜率k
令：()2+=x k y ，圆心到直线的距离1122
=+=
k k d ，得33-
=k 或3
3=k
11333
33≤≤-∴≤≤-
∴y y 所以函数的值域为[]1,1-。

例5．设]2,
0[π
∈x ，若方程
3π
有两解，求a 的取值范围。

解：
设a y x y =+
=),3
2sin(3π
，
要使两函数图象有交点（如图）则
32
3
3<≤a 。

[思维点拨]：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。

本题若改为方程有一解，则a 的范围又该怎样呢？
5、利用不等式单调性求最值。

例6 求x
x x y sin 2)
sin 3)(sin 1(+++=
的最值及相应的x 的集合。

变式：⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=ππ，x x y 2
sin 在上的最大值为多少？
思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。

（四）巩固练习：
1．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9
x π
=时，取得最大值
1
2
，当49x π=时，
取得最小值1
2-
，则该函数的解析式是 （ B ） ()A 12sin()36y x π=- ()B 1sin(3)26y x π=+ ()C 1sin(3)26y x π
=-
()D 1sin(3)2y x π
=-+
2．若方程cos 2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈[3,1]-．
四、小结：
（1） 求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一个角的三角函数，③数形结合
法④换元法，⑤基本不等式法。

（2） 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。

（3） 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有
意义的条件和弦函数的有界性。

（4）含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

五、作业：。