高三一模分析会材料专题复习(数列)

2015 届高三一模分析会材料——专题复习（数列）
一、考纲要求（与 2014 年相比没有变化）
数列
（ 1）数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）
.
②了解数列是自变量为正整数的一类函数。
（ 2）等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念。
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前
1
a1
，
2
Sn n 2an n(n 1) ( n N * ).
( Ⅰ) 求 a2 , a3 ；
( Ⅱ) 求数列 an 的通项；
( Ⅲ ) 设 bn
1 , 数列 bn 的前
Sn Sn+1
n 项和为 Tn , 证明 : Tn
5 (n
N * ).
2
列 { an} 与 前
n 项 和 Sn 的
递推关系， 等 差数列， 数学 归纳法， 放缩 成裂项求前
模
b1 log 2 a1 b2 log 2 a2
bn log 2 an
n(n 1) (n
N* )
式。还考查了转化
2
与化归的思想方法
（ 1）求数列 an 和 bn 的通项公式。
以及分析推理能
（ 2）求证：
力。
n 2(n 2）
n源自文库
(1
k1
bk ) bk 1
1 bk 1
5 (n
N* )
6
; 右边不等式先用基本不等式
考点
考查了数列通项公式，数列 { an} 与前 n 项和 Sn 的递推关系，数学归纳法。还考查了归
纳推理的能力。
考查了数列通项公式，数列 { an} 与前 n 项和 Sn 的递推关系，等差数列，不等式放缩，
裂项求和。还考查了转化、化归的思想方法。
考查了数列通项公式，数列 { an} 与前 n 项和 Sn 的递推关系，等差数列，不等式放缩， 等比数列以及前 n 项和。还考查了转化、化归的思想方法。 考查了数列通项公式，数列 { an} 的递推关系，等差数列，等比数列，基本不等式放缩。
式，两个数列 { an} 、 bn 的递推关系，
递 推 关 系 ， 用 bn 表 示
an 得
等差数列，等比数
an 1
bnbn 1 ，然后再递推消
列，不等式放缩， 裂项求和。还考查 了方程、转化与化
去 an ，得到关于 bn 的等差结
构 2 bn
bn 1
bn 1 ，进而
归的思想方法以及 分析推理能力。
n 和为 Sn 。还考查 了转化与化归的思
想方法以及分析推
理能力。
广第
已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 0 ， 考查了数列通项公
（ 2）错位相减求和法。
州 二
19 题
对任意 n
N * ，都有 nan 1
Sn n n 1 .
模
（ 1）求数列 an 的通项公式；
式，数列 { an} 与前 n 项 和 Sn 的 递 推
数学解答题都放在了第 19 题，难度有所下降。中等以上的学生经过训练可以得到较好的分数甚至满分。
这些题目大都充分利用通项 an 与和 Sn 的关系求通项，求和（文科直接可裂项求和，理科放缩后裂项求和）
( Ⅰ ) 求 a2的值；
( Ⅱ ) 求数列 an 的通项公式； ( Ⅲ) 证明 : 对 一切 正整数 n , 有
11 a1 a2
17
.
an 4
数列 an ，从而得到数列 n
an 的通项公式。
（ 3）由第三项开始进行放缩，当 n 3 时 ,
11 an n2
1
1 1 ，再通过裂项
n 1n n 1 n
六、 2015 年备考建议及参考试题
【2015 年备考建议】
纵观广东省近几年在数列模块的命题特点，数列小题基本为容易或中等难度题目，
2012 、 2013 年文、
理卷小题都不难，位置在 11 或 12 小题， 2014 年在第 13 小题（也不算难） 。 2007～ 2011 数列解答题为难
题，位置在 20、21 题，其中 2010 年文、理科数学都没有以解答题形式考查， 2012、2013、2014 文、理科
（ 2 ） 把 Sn 转 化 为 a n 的 递 推 关 系 an 2 3an 1 2n 1 ， 再 构 造 成 等 比 数 列
an 1 +2 n 1 3 an 2n ，从而得到数列 an
的通项公式。
（ 3）通过放缩 an 3n 2n 3n 1 ，再利用等
比数列求和公式，得到不等式成立。
2011 第
放缩，裂项求和即可 :
五、 2015 年广州、佛山模拟试题的比较分析
年份 题 号
广州 第 调研 19
题
广州 第 一模 19
题
佛山 第 一模 19
题
试题
考点
关键解法
已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足：
Sn
a an 1 ， a 为 常 数 ， 且
a1
a 0， a 1．
（ 1）求数列 an 的通项公式；
考查了等差数列，
（ 2）证明 n 6 时， bn a n ，
等比数列， 由 { an} 、 即 2 n 1 2n 8 ，用数学归纳
bn 组成的新的数 法或二项式定理；最后分段求
列，作差比较大小， 和 Sn
数学归纳法，二项
cn min an ,bn ，求前 n 个正方形的面积之
式定理，数列的前
和.
（注： min a, b 表示 a 与 b 的最小值 .）
S2k 1 , a4 k 成等比数列 ? 若存在 , 求 k
的值； 若不存在 ,
请说明理由 .
数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知
考查了数列 通项公式， 数
列 { an} 与 前
n 项 和 Sn 的
递推关系， 等 比数列， 放缩 成等比数列 或裂项求前
n 项和。 还考
查了转化与 化归的思想 方法以及归 纳推理的能 力。 考查数列
还考查了转化、化归的思想方法以及分析推理能力。
三、近五年广东试题对比分析（含考点、解法对比分析）
年份 题 试题
关键解法
号
2014 年
第
19 题
设 数 列 an 的 前 n 和 为 Sn , 满 足 （ 2）首先猜想出通项公式， 再把 Sn 转化为 a n Sn 2nan 1 3n2 4n, n N * ，且 S3 15 . 的递推关系，最后用数学归纳法证明。
关系，等差数列，
（ 2）若数列 bn 满足 an log 2 n log 2 bn ， 等比数列，数学归
求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
纳法，错位相减求
前 n 项和 Tn 。还考
查了转化与化归的
思想方法以及归纳
推理的能力。
佛 山 一
第
20 题
数列 an 、 bn 的每一项都是正 数 , a1 8, b1 16 , 且 an 、 bn 、 an 1成等差数
求和，得到不等式成立。
2012 第 设数列 { a n} 的前 n 项和为 Sn ，满足
年
19 题
2Sn a n 1 2n 1 1， n N * , 且 a1 ，
a 2 5 ， a3 成等差数列 .
（ 1）求 a1 的值；
（ 2）求数列 { an } 的通项公式；
（ 3）证明：对一切正整数 n ，有
(1)求 a1, a2 , a3 的值 ;
(2)求数列 an 的通项公式 .
2013 第
年
19
题
设 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn . 已知
a1 1 , 2Sn an 1 1 n 2 n 2 , n N * .
n
3
3
（ 2 ） 把 Sn 转 化 为 a n 的 递 推 关 系 n 1 an nan 1 n n 1 ，再构造成等差
{ an} 与 前 n
项和 Sn 的递
推关系、 等差 数列、数列求 通项等知识， 考查化归与 转化的数学 思想方法， 以 及抽象概括 能力、运算求 解能力和创 新意识 . 考查了数列 通项公式， 数
（ 3）放 缩 裂项 求 和， 由
1
1， 1
3n 1 3n 3n 1 1
∴ bn
1
1
3n 1 3n 1 1
n 项和。 还考
查了转化与 化归的思想 方法以及归 纳推理的能 力。
关系系，再构造成等差数列
n 1 Sn ，通过求 Sn 的通项得 n
到求解，或利用数学归纳法； （ 3） 放缩裂项
k2 bk k 2 k 1
k2 1 k k(k 1)
kk 1
2
k k(k 1) k(k 1)
1 2
k
明.
1 ，再求和 Tn 得到证 k1
(2) 求数列 an 的通项公式 .
关系，数学归纳法。 还考查了归纳推理
的能力。
广第
州 19
调题
研
n
已知数列 { an} 满足 a1 N* ．
3 ， an 1
5
3an ， 2an 1
考查了数列通项公
式，数列 { an} 的递
推关系， 等差数列， 等比数列，基本不
（ 1）数列 { a n} 的递推关系倒
求出数列 an 、 bn 的通项
公 式 。（ 3 ） 放 缩 裂 项 求 和
1
21 1
4n2 4n 1 7 n n 1 。
佛 山
第 19
已知等比数列
an
满 足 a1a2 = 2a3 ， 且
考查了等差数列， 等比数列，放缩裂
（ 2）左边不等式先放缩，裂 项求和即可 :
二 题 a1， a2 2， a3 成 等 差 数 列 。 数 列 bn 满 足 项 求 和 证 明 不 等
（2）若
1 a
3
，设
bn
an
an 1 ，且数列 bn 的
1 an 1 an 1
前 n 项和为 Tn ，求证： Tn
1． 3
已知数列 an 的各项均为正数， 其前
n 项 和 为 Sn ， 且 满 足
a1
1, an 1
2 Sn
1， n
*
N.
（ 1）求 a2 的值；
（ 2）求数列 an 的通项公式；
（ 3 ） 是 否 存 在 正 整 数 k , 使 ak ,
考点
关键解法
份号
广 第 设 数 列 an 的 前 n 和 为 Sn , 满 足 考查了数列通项公
（ 2）首先猜想出通项公式，
东 试
19 题
Sn
2nan 1 3n2
4n,n N * ，且 S3 15 .
题
(1) 求 a1, a2 , a3 的值 ;
式，数列 { an} 与前 再 把 Sn 转 化为 an 的 递推 关 n 项 和 Sn 的 递 推 系，最后用数学归纳法证明。
n 项和公式。
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
二、近五年广东该专题的考点分布
年份 2014 年 2013 年 2012 年 2011 年 2010 年
题号 第 19 题
第 19 题
第 19 题
第 20 题
年
20
题
11 a1 a2
13
.
an 2
设 b 0, 数 列 an 满 足
a1 =b, an
nban 1 (n 2) ,
an 1 2n 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) 证 明 ： 对 于 一 切 正 整 数
n ,an
bn 1 2n 1 1 .
（ 1）数列 { an} 的递推关系根据 b 的取值构造
或放缩成等比数列求和
1， 3n 1 1 1. 3n 3n 1
bn
1
1
11
3n 1 3n 1 1 3n 3n 1
2 3n 1 .
（ 3）建立关于 k 的方程， 然后把三
次方程转化为二次方程，用求根公 式，判断是否存在正整数根即可。
（ 2）先由数列 { a n} 与前 n 项和 Sn 的递推关系转化为关于 Sn 的递推
成等差数列 { n } ，或等比数列 { n
1 }，
an
an 2 b
从而得到数列 an 的通项公式。 （ 2）对证明
的不等式进行变形
n( 2 b) b 1 ，再展开，利用基本不 2n bn 2n 1 bn
等式，得到不等式成立。
2010 年
四、 2014 年广东试题与广州、佛山模拟试题的比较分析
年 题 试题
模
列 , bn 、 an 1 、 bn 1 成等比数列 , n 1,2,3, .
（Ⅰ）求 a2 、 b2的值；
（Ⅱ）求数列 an 、 bn 的通项公式； （Ⅲ）证明 : 对一切正整数 n , 有
1
1
1
a1 1 a2 1 a3 1
12
.
an 1 7
考查了数列通项公
（ 2）建立关于 { an} 、 bn 的
数变形，然后构造成等比数列
1 1 。（ 2）由（ 1）求出
（ 1）求证：数列
1 1 为等比数列；
等式，存在性问题。
an
an
还考查了转化、化
数列 { an} 的通项公式， 然后建
（ 2）是否存在互不相等的正整数 m ， s ， t ， 归的思想方法以及
立关于 m ， s ， t 的两个方程
使 m ，s ，t 成等差数列， 且 am 1，as 1，at 1 分析推理能力。
m t 2s ，3m 3t 2 3s ，
成等比数列？如果存在， 求出所有符合条件的 m ，
再利用基本不等式
s ， t ；如果不存在，请说明理由．
3m 3t 2 3m t 2 3s ，从
而引出矛盾。
广 州 一 模
第
19 题
已知等差数列 an 的首项为 10 ，公差为 2 ，等 比数列 bn 的首项为 1，公比为 2 ， n N . （ 1）求数列 an 与 bn 的通项公式； （ 2）设第 n 个正方形的边长为