平面向量数量积习题课PPT课件
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向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
平面向量的数量积(PPT)4-2
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
弊病，所储氢在温和条件下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
j
a=(x , y)
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代 表数据不确定性氢是一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；殊性质导致难以常温常压 储存，泄漏后有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定 储存，加入催化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
弊病，所储氢在温和条件下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
j
a=(x , y)
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代 表数据不确定性氢是一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；殊性质导致难以常温常压 储存，泄漏后有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定 储存，加入催化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
向量的数量积课件(共17张PPT)
则AOB （0 ）叫a与b 的夹角.
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =
平面向量的数量积_图文_图文
平面向量的数量积_图文_图文.ppt
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
平面向量的数量积PPT课件
|b|＝ (2n－3m )2＝ 4n2－12m ·n＋9m 2＝ 7. 而a·b＝(2m ＋n)·(2n－3m )＝m ·n－6m 2＋2n2＝－72， 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|··|bb|＝－772＝－12. 又θ∈[0°，180°]，故a与b的夹角为120°.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解 由于A、B、C三点在同一条直线上， 则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解 由于A、B、C三点在同一条直线上， 则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.
平面向量的数量积课件课件
并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力 做功 的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中 ，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积 的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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求
a·b＋b·c＋c·a.
精选ppt课件
5
[尝试解答] (1)①由已知得 a·b＝|a||b|cos θ
＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. (2)∵|a|＝|b|＝|c|＝ 2，且 a 与 b、b 与 c、c 与 a 的夹角 均为 120°， ∴a·b＋b·c＋c·a＝ 2× 2×cos 120°×3＝－3.
精选ppt课件
6
练一练 1．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
精选ppt课件
7
例 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ＝(－1，t)， ＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数 t 的值为________．
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8
精选ppt课件
9
练一练．已知向量 a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)， 求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
精选ppt课件
13
[尝试解答] (1)因为 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝ （a－3b）2＝ a2－6a·b＋9b2
＝ 12＋9×12＝ 10. (2)因为|2a＋b|＝ 10，所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|＝1，
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练一练 若非零向量 a，b 满足|a|＝232|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b
∴|a－b|＝ 10.
答案：(1)2 (2) 10
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16
(三)、平面向量垂直与夹角的运算
例 4 已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若 n ⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为________．
精选ppt课件
17
∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即 tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0. 又 4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0， 解得 t＝－4.
的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(a_·_b_)_＝_a_·_(λ_b_)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝_a_·_b_＋__a_·c_精. 选ppt课件
3
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈Leabharlann ，b〉.结论几何表示
坐标表示
模 数量积
|a|＝ a·a a·b＝|a||b|cos θ
|a|＝__x_21_＋__y_21 a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
a⊥b
a·b＝0
_x_1_x2_＋__y_1_y2_＝__0__
精选ppt课件
10
(2) 法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)， b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)， ∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14. ②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22
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4
二、例题讲练
(一)、平面向量数量积的运算
例 1．(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|
＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)设正三角形 ABC 的边长为 2，
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11
法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2 ＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9) ＝14. ②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c ＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1) ＝23. 答案：(1)5
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12
（二）、平面向量模的运算 例 3．(1)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1， 则|a－3b|＝________． (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10， 则|b|＝________．
所以 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0，解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)．
答案：(1) 10 (2) 2 精选ppt课件
14
练一练 1．(1)已知非零向量 a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若 a 与 b 的夹 π 角为 3 ，则|a|＝________； (2)已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b| ＝________．
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解析：(1)由于 c＝12a－b，所以 c2＝14|a|2＋|b|2－2×12|a||b|×12， 整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2 或|a|＝0(舍去)．
(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝ 16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得 4＋2a·b＋9＝16，即 2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋ b2＝4－3＋9＝10，
抓
基
础
·
自
主 学 习
平面向量数量积习题课 课
时
分
层
训
明 考
主讲人：马亮珍
练
向
·
题
型
突
破
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1
教学目标
1．本节课的重点是复习向量数量积的定义、几何意义、 性质、运算律以及坐标表示．
2．重点是掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算 (2)向量的模的计算 (3)向量的夹角及垂直问题
精选ppt课件
2
一、知识梳理
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量|a_|_|b_|c_o_s__θ_叫作
向量 a 和 b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0__.
(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|_c_o_s_θ__