中考数学二轮 二次函数 专项培优附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 13
=
x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】
【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；
（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：
m ＝﹣3；
（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：
x ＝3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：
390b a b =-⎧⎨+=⎩
， 解得：133
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
所以二次函数的解析式为：y 13
=
x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，
则∠ODC ＝45°+15°＝60°，
∴OD ＝OC •tan30°3=
设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩
， 所以M 1（36）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，
则∠OEC ＝45°-15°＝30°，
∴OE ＝OC •tan60°＝3
设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解得：12120332
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．
综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）
定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关
于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=1
4（x-2）2=
1
4
x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
2141
14y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），
将A （1，14
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-
1312x+43， 当y=-1时，有-
1312x+43=-1， 解得：x=2813
， ∴点P 的坐标为（
2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，
∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．
∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（
14m 2-m+1）+y 0
2=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴000220
001110
222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩
＝＝＝，
∴00
21x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．
3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：
2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】
【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．
∴A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，32-
）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23
327p 4216--+
（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），
∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，
解得：12m 2=-,22m 2
=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，
解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．
综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x 元．求：
（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60-
10
x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．
【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣
10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10
x ），利用配方法化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10
x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110
x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣
10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣
2110x +42x +10800 =﹣110
（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．
此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
5．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1
2
，-
5
2
），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b，把E（
1
2
，-
5
2
）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
，则
解方程组
5
112
55 y x
y
x
-
⎧
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=
13
+
6
2
x
，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
25300
5
a c
c
++=
⎧
⎨
=-
⎩
，解得
1
5
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=2AB=2×4=22，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，
∴222=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41
，m
2=
5-41
，
综上所述，P点的横坐标为4或
5+41
2
或
5-41
2
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（
1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣
1
5
x+b，
把E（
1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴
x=
23
6
，
∴M2（23
6
，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（
13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．如图，抛物线22
y ax bx
=++交x轴于A(1,0)
-，(4,0)
B两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点22
1
(6)()8
2
x x
-+=，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D的坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为
Q'．是否存在点P，使Q'恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2
13
2
22
y x x
=-++；点D坐标为(32)
，；（2）P1(0,2)； P2(41
2
,-2)；P3
341
-
（3）满足条件的点P13
-9+13
），（13
-
-9-13
）．
【解析】
【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标
(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标
(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213222a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可
【详解】
解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过A (1
0)-，，B (40)，两点， ∴2016420
a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a =-，32b =， ∴抛物线解析式为：213222
y x x =-++； 当2y =时，2132222
x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为(32)，．
（2）∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：
①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ， ②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，
∴P 点的纵坐标为2-（如图2），
把2y =-代入抛物线的解析式，得：2132222x x -
++=-， 解得：13412
x =，23412x =， ∴P 点的坐标为3+41(
2)-，341(2)2-， 综上所述：1(0,2)P ； 2P 3+412)-；3P 341(2)2
- ． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，
点P 的坐标为（a ，21
3222
a a -
++）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图3），
p CQ x a ==，
2132(2)22
c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -， 又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒，
90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,
又90COQ Q FP ''∠=∠=︒，∴
COQ Q FP ''， ∴'''Q C Q P CO Q F
=， ∵Q C CQ a '==，2CO =，Q P PQ '==21322a a -，∴213222'a a a Q F
-=，∴'3Q F a =-，
∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=
+= 即13a =，∴点p 139132
-）， ②当p 点在y 轴左侧时（如图4），
此时0a <，2132022
a a -++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213222
a a -++）＝21322a a -， 又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒， ∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒
∴COQ Q FP ''，∴'''Q C Q P CO Q F
=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==
21322a a -， ∴213222'a a a Q F
--=，∴'3Q F a =-， ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，
CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 此时13a =P 的坐标为（13913--）． 综上所述，满足条件的点P 139132-+），（13-913--）． 【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大
7．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；
（2）求证：a=m-；
（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．
【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；
（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．
试题解析：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x2-4x+3；
②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC的面积=×2×3=3；
（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B关于直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，
∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，
∴m2=，
∴m=，m=-（舍去），
∴a=−，
综上所述：a=1或a=−．
考点：二次函数综合题．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析
式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
10
930
b c
b c
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x＝
2
22(1)
b
a
-=-
⨯-
＝1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则
4
30 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
2
6
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），
则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
9．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.
(1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可
【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =---
由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()112
ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3y x AC 中点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =-
∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11
x y =-⎧⎨=⎩ ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).
(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴
由题意得：PD =d ，
∴12
ABP S PD AB ∆=⋅ =2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等
∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B
∴1y x =-
∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0
x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠
易得：ABQ QPA ∆∆≌
∴BQ =AP 26设Q (m ，-1)(0m ＜)
∴()2
21126m -+= 4m =-
∴Q ()4,1-.
【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线
的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式
10．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-
++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】 试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．
试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，
∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），
∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4；
（2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-
t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53
t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，
当∠PBE ＝∠OCD 时，
则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC
=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；
当∠PBE ＝∠CDO 时，
则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD
=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，
∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，
∴∠OCQ ＝∠AQB ，
∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB
=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，
∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，
①当m ＝2时，CQ BQ
∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，
∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），
∴t （10﹣t ），解得t ＝103
， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203
， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为
103或203．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用
Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。